第一讲 1.1平面直角坐标系(高中数学人教版选修4-4)
【精编】高中数学选修4-4知识点清单
高中数学选修44
坐标系与参数方程知识点总结第一讲
一平面直角坐标系
1．平面直角坐标系
(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．
(2)平面直角坐标系：
①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称
为直角坐标系；
②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为
两条数轴的正方向；
③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y
轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；
⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．
(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2
的中点为P，填表：两点间的距离公式中点P的坐标公式
|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2x＝x1＋x2
2
y＝y1＋y2
2
2.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ
：x′＝λx（λ>0）
y′＝μy（μ>0）的作用下，
点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立
了一个极坐标系．
(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．
(3)图示2．极坐标
(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，
记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，
θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，
高中数学北师大版选修4-4+1.1平面直角坐标系与曲线方程教案
科目:高二数学 授课时间：第11周 星期 二
单元（章节）课题 第一章 坐标系
本节课题 1.1平面直角坐标系与曲线方程
三维目标 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，理解曲线与方程的关系；
过程与方法： 通过多曲线与方程的关系的研究，体会坐标系的作用；
情感,态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
提炼的课题 在直角坐标系中曲线与方程的关系
教学重难点 重点： 会求曲线的方程；会判断方程所表示的曲线；
难点：会判断方程所表示的曲线
教 学 过 程
一、 情境导入
在平面直角坐标系中，一个点A和一个有序实数对（x,y）是什么对应关系？
二、 自主学习
学生阅读P2的内容，思考下列问题：
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？
问题2：如何创建坐标系？
问题3：(1).如何把平面内的点与有序实数对(x,y)建立联系？(2).平面直角坐标系中点和有序实数对(x,y)是怎样的关系？问题4：如何研究曲线与方程间的关系？结合课本例子说明曲线与方程的关系？
三、合作交流
1、在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2,3)、 5为半径的圆的方程是什么？
2、在平面直角坐标系中，圆心坐标为（a,b)半径为r的圆的方程是什么?
（学生活动：学生回顾并阅读课本，思考讨论交流。教师准对问题讲解。）
四、点拨精讲
刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系
1、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定
2、平面直角坐标系 ：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定
3、空间直角坐标系 ：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定
高中数学 第一章 坐标系 1.1 平面直角坐标系素材 北师大版选修4-4
平面直角坐标系
1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．
(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．
(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．
2．平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： x′＝λ·xλ>0，y′＝μ·yμ>0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
(1)在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示．
(2)在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧：P′(x′，y′)是变换后的点的坐标，P(x，y)是变换前的点的坐标．
1．如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？
【提示】 ①如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点．
建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上． 2．如何确定坐标平面内点的坐标？
【提示】 如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线段PM、PN，垂足分别为M、N，则M的横坐标x与N的纵坐标y对应的有序实数对(x，y)即为点P的坐标．
3．如何理解点的坐标的伸缩变换？
【提示】 在平面直角坐标系中，变换φ将点P(x，y)变换到P′(x′，y′)．当λ>1时，是横向拉伸变换，当01时，是纵向拉伸变换，当0
人教A版高中数学选修4-4：1.1平面直角坐标系 教学案
第一章 坐标系
1.1平面直角坐标系
一、内容及其解析
本节课要学习的内容是平面直角坐标系，指的是回顾直角坐标系中解决实际问题的过程、直角坐标系中的伸缩变换，其核心是直角坐标系中的伸缩变换。学生以前已经学习过直角坐标系的构建方程、直角坐标系在实际中的应用（解析几何）、三角函数图象的变换等，本节课要学习的内容就是此基础上归纳总结直角坐标系在解决实际问题中的作用、以及图象的伸缩变换方法。是本单元的基础内容。重点是直角坐标系中的伸缩变换，解决重点的关键是理解掌握伸缩变换公式。
二、目标及其解析
目标定位：
1.进一步理解掌握直角坐标系在实际问题中的作用；
2.理解直角坐标系中的伸缩变换。
目标解析：
1.通过实例理解怎样建立直角坐标系，怎样建立适当的直角坐标系，如何用直角坐标系来表示某点的位置等等；
2.理解直角坐标系中的伸缩变换的特征和变换公式。
三、教学过程
问题1.如何用直角坐标系解决实际问题？
设计意图：通过实例让学生回归直角坐标系解决实际问题的过程。
师生活动：
1.思考：某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s。已知各观测点到中心的距离都是1020m。试确定巨响发生的位置。（假定声音传播的速度为340m/s，各观测点均在同一平面上。）
2.已知ABC的三边,,abc满足2225bca，BE,CF分别为边AC，AB上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。
问题2.平面直角坐标系中的伸缩变换有什么意义？
设计意图：让学生通过三角函数的伸缩变换归纳总结出平面直角坐标系中的伸缩变换。
师生活动：
1.怎样由正弦曲线sinyx得到曲线sin2,3sin,3sin2yxyxyx？
2.将上述的变换用数量关系式表示的结果是什么？
3.定义：设点(,)Pxy是平面直角坐标系中的任意一点，在变换',(0):',(0)xxyy的作用下，点(,)Pxy对应到点'(',')Pxy，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
人教版高中数学选修4-4 教案【第1节】平面直角坐标系
第一部分 坐标系
第1节：平面直角坐标系
教学目标：
1.理解平面直角坐标系的意义；掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法。
2.掌握坐标法解决几何问题的步骤；体会坐标系的作用。
教学重点：体会直角坐标系的作用。
教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？
问题2：如何创建坐标系？
二、学生活动
学生回顾
刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系
1、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定
2、平面直角坐标系
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定。
3、空间直角坐标系
在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定。
三、讲解新课：
1、 建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：
任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
2、 确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
四、数学运用
例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
人教A版高中数学选修4-4 1-1-2 平面直角坐标系中的伸缩变换 测试学生版 精品
1.1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换
（检测学生版）
时间:50分钟 总分：80分
班级： 姓名：
一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1、.若点P(-2 015,2 016)经过伸缩变换后所得的点在曲线y'=上,则k=( )
A.1 B.-1 C.2 016 D.-2 016
2.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x'2+8y'2=1,则曲线C的方程为( )
A.49x2+128y2=1 B.49x2+64y2=1 C.49x2+32y2=1 D.x2+y2=1
3、将点P(－2，2)变换为P′(－6，1)的伸缩变换公式为( )
A.x′＝13x，y′＝2y B.x′＝12x，y′＝3y C.x′＝3x，y′＝12y D.x′＝3x，y′＝2y
4．在同一坐标系中，方程x2＋y2＝1经过伸缩变换x′＝5x，y′＝4y后表示的图形是( )
A．焦点在x轴上，长轴长为5的椭圆
B．焦点在x轴上，长轴长为10的椭圆
C．焦点在y轴上，长轴长为5的椭圆
D．焦点在y轴上，长轴长为10的椭圆
5．如何由正弦曲线y＝sin x经伸缩变换得到y＝12sin 12x的图象( )
A．将横坐标缩为原来的12，纵坐标也缩为原来的12
B．将横坐标缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍
C．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍
D．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩为原来的12
6、y＝cos x经过伸缩变换 x′＝2x，y′＝3y后，曲线方程变为( )
A．y′＝3cosx′2 B．y′＝3cos 2x′
C．y′＝13cosx′2 D．y′＝13cos2x′
二、 填空题（共4小题，每题5分，共20分）
人教课标版高中数学选修4-4第一讲-坐标系一-平面直角坐标系教案
人教课标版高中数学选修4-4第一讲 坐标系一 平面直角坐标系教案
考纲要求 备考指津
1.会画直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标．
2．掌握坐标平面内点的坐标特征．
3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．
4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值. 中考题型以选择题、填空题为主，有时也作为函数综合题的一个方面来考查，难度较低．这部分知识常以生活实际为背景，与生活实际应用相联系进行命题，解题时往往要用数形结合、分类讨论等数学方法进行思考．
考点一 平面直角坐标系与点的坐标特征[来源学科网]
1．平面直角坐标系
如图，在平面内，两条互相竖直的数轴的交点O称为原点，水平的数轴叫x轴(或横轴)，竖直的数轴叫y轴(或纵轴)，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．
2．各象限内点的坐标特征
点P(x，y)在第一象限x＞0，y＞0；
点P(x，y)在第二象限x＜0，y＞0；
点P(x，y)在第三象限x＜0，y＜0；
点P(x，y)在第四象限x＞0，y＜0.[来源学科网]
3．坐标轴上的点的坐标的特征
点P(x，y)在x轴上y＝0，x为任意实数；
点P(x，y)在y轴上x＝0，y为任意实数；
点P(x，y)在坐标原点x＝0，y＝0.
考点二 特殊点的坐标特征
1．对称点的坐标特征
点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标为(x，－y)；关于y轴的对称点P2的坐标为(－x，y)；关于原点的对称点P3的坐标为(－x，－y)．
2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征
平行于x轴：横坐标不同，纵坐标相同；
平行于y轴：横坐标相同，纵坐标不同．
3．各象限角平分线上点的坐标特征
第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相同，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数．
考点三 距离与点的坐标的关系
1．点与原点、点与坐标轴的距离
人教版高中数学选修四目录
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相似三角形的判定及相关性质、直线与圆的位置关系、平面与圆柱面的交线、平面与圆锥面的交线、简单曲线的极坐标方程、简单曲线的极坐标方程是人教版高中数学选修课的四个知识。
人教版高中数学选修目录
人教版数学选修4-1
第一讲、相似三角形的判定及有关性质
一、平行线等分线段定理
二、平行线分线段成比例定理
三、相似三角形的判定及性质
1．相似三角形的判定
2．相似三角形的性质
四、直角三角形的射影定理
第二讲、直线与圆的位置关系
一、圆周角定理
二、圆内接四边形的性质与判定定理
三、圆的切线的性质及判定定理
四、弦切角的性质
五、与圆有关的比例线段 第三讲、圆锥曲线性质的探讨
一、平行射影
二、平面与圆柱面的截线
三、平面与圆锥面的截线
人教版选修4-4目录
第一讲、坐标系
一、平面直角坐标系
二、极坐标系
三、简单曲线的极坐标方程
四、柱坐标系与球坐标系简介
第二讲、参数方程
一、曲线的参数方程
二、圆锥曲线的参数方程
三、直线的参数方程
四、渐开线与摆线
高中数学选修4-5目录
第一讲、不等式和绝对值不等式
一、不等式
1.不等式的基本性质
2.基本不等式 3.三个正数的算术-几何平均不等式
二、绝对值不等式
1.绝对值三角不等式
2.绝对值不等式的解法
第二讲、讲明不等式的基本方法
一、比较法
二、综合法与分析法
三、反证法与放缩法
第三讲、柯西不等式与排序不等式
一、二维形式柯西不等式
二、一般形式的柯西不等式
三、排序不等式
第四讲、数学归纳法证明不等式
一、数学归纳法
二、用数学归纳法证明不等式
必修、选修什么意思
人教版必修1、2、3、4、5为所有学生必修，不分文理，将作为学业水平考试的考试内容和高考的必考内容。
1-1，1-2是选修一系列，文科生必学内容，高考的必考内容。 另外还有两个系列的选修课，理科生必修，高考必修。
考三四系列是选修系列，要根据各省情况选择学习。高考的时候，你选的每一本书都会有一个问题，你可以从中选择一本。
(完整版)高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结
坐标系与参数方程 知识点
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)xxyygg的作用下,点P(x,y)对应到点(,)Pxy,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作(,)M.
一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.
特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)xy,极坐标是(,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点M
直角坐标(,)xy 极坐标(,)
互化公式 cossinxy 222tan(0)xyyxx
在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.
新课标人教A版高中数学选修4-4知识点
高中数学选修44
坐标系与参数方程知识点总结第一讲
一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：
①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：两点间的距离公式中点P的坐标公式
|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2x＝x1＋x22
y＝y1＋y222.平面直角坐标系中的伸缩变换微信公众号：学设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λx（λ>0）
y′＝μy（μ>0）的作用下，
点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，
记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．