第三讲：风险厌恶PPT课件
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风险厌恶：称效用函数u ( . ) 的参与者是（严 格）风险厌恶的，如果
E [u(wg % )]E [u(w )], E [g % ]0
定理：当且仅当 u(.) 是（严格）凹函数时， 参与者是（严格）风险厌恶的。
An agent is risk-averse if he dislikes all zero- mean risk at all wealth levels (Gollier 2001)
A$ 0 .0 0 2 5 0 0 2
B $489
请问你有何结论？
回到王江教材
• 绝对风险厌恶： 确定性等价：一个参与者与一个公平博弈所
要求的风险溢价 ，定义为：
E [u (w g % )] u (w )
在小风险博弈下泰勒展开得到
绝对风险厌恶：
A(w) u(w) u(w)
• 相对风险厌恶：考虑如下以总财富为基数 的博弈和风险溢价：
风险厌恶
熊和平 2012年秋季
一、风险厌恶的定义
• 风险厌恶有多种定义方法，这里利用效用 函数定义——给定财富水平和效用函数， 定义风险厌恶。如下述定义：
• 定义：如果投资者不喜欢任何零均值（即 公平博弈）彩票，则称其为风险厌恶者。
• 效用函数的凸凹性与风险态度紧密相连
定义:凹性
• A function f:R→R is concave iff:
zero- mean risk=fair gamble
• 基于效用函数的定义：
• 风险态度的定义：
➢若对于风险投资L% 投资者满足：
E[u(L% )]u[E(L% )]
风险厌恶
E[u(L% )]u[E(L% )]
风险偏爱
E[u(L% )]u[E(L% )]
风险中性
Risk aversion
• An agent is risk-averse if and only if his
• 例子：
100元 （概率为3/4）
L
-40元 （概率为1/4）
E(L)=100×3/4+(-40) ×1/4=65元
选L而不是65元
E(u(L))>u(E(L))
选65而不是L
E(u(L))<u(E(L))
对两者的态度相同 E(u(L))=u(E(L))
二、风险厌恶的度量
• 通常我们假设所有经济人为风险厌恶者， 接下来我们希望知道如何量化风险厌恶， 从而能够比较不同参与者或同一参与者在 不同情况时的风险厌恶程度。
• 风险厌恶与凸凹性有关，如果效用函数为 凹的则风险厌恶；反之凸效用函数为风险 喜好；直线为风险中性。
• 定理：如果凸的连续偏好表示为上述的期 望效用函数，那么相应的效用函数u ( . ) 是凹 的
风险厌恶的定义
• 基于公平博弈的定义： 定义：记 g% 为一个不确定的支付。如果E[g%] 0
，则称 g% 为一个公平博弈。
utility function is concave, i.e., iff u´´ is
negative. • Example: u(w)=ln(w).
Jensen inequality
The following two conditions are equivalent: 1.f isconcave. 2. X:Ef(X)f(EX).
Tu＝ -
1 A R Au
两种方法的比较：
例子（Copeland）：
某人具有对数效用函数，初始财富为$20,000 面临两种风险决策：
（1）
50%
$10
A
50%
-$10
(2) B
80% 20%
-$1,000 -$10,000
Arrow-Pratt度量
A$0.0025
B $324
Markowtz 度量
E [u (w (1 g % ))] u (w (1 R )
• 这里，博弈的盈亏为 w g% ，与总财富成比例
展开得
R
1[wu(w)]var[g% ] 2 u(w)
R(w) wu(w) u(w)
风险厌恶的例子
• 线性或风险中性效用：u(w) w
A(w)R(w)0
• 负指数效用函数：u(w)eaw,a0
x,y,p[0,1]: pf(x)(1p)f(y)f(px(1p)y),
orequivalently, iff
Ef (X) f (EX), f(EX)
with
X: (x,p;y,1p).
Ef(X)
Fra Baidu bibliotek
x
px+(1-p)y y
凹函数的定义
• 定义：称函数 f:R→R为凹函数当且仅当
x,y, p [0,1]:pf(x)(1p)f(y)f(px(1p)y), orequivalently,iff E f(X)f(E X), w ithX:(x,p;y,1p).
u [ E （ W ） - ] ＝ u [ E ( W ) ] － u [ E ( W ) ]＋ h . o . t
＝-
1 2
u(W) u(W)
2 W%
Arrow-Pratt度量：
＝-
1 2
u(W) u(W)
2 W%
RRA＝-u(W)W ARA＝- u(W )
u(W)
u(W )
风险容忍系数 （absolute risk tolerance)
• 风险态度的图象： u(.)
风险厌恶 风险中性 风险偏爱
W
• 风险厌恶的度量： 图形分析
v(x)
v(x1) E{v(x)}
v(x0)
x0
E{x}
v-1(E{v(x)})
x1 x
• 风险厌恶及其度量： 两种风险厌恶的度量方法;
Markowtz 度量—风险溢价 E[u(W %)]＝u[W]
确定性等价（certainty equivalent)W
＝E(W%)W
风险溢价（risk premium)
具体地：
E[u(w 0 ＋ z% )]＝ u[w 0 ＋ Ce]
Ce Ce(w0,u,z% ）
(w0,u,z% ）
Arrow-Pratt度量：
E [u(W % )]＝ u[E （ W ） -]
u(W % )＝ u[E(W)]u[E(W)](W % E(W))＋ 0.5u[E(W)](W % E(W))2＋ h.o.t
A (w )a,R (w )aw
• 平方效用函数：u(w) w1aw2
2
a
aw
A(w) ,R(w)
1aw
1aw
• 幂指数效用函数：
u(w) 1 w1
1
A(w) ,R(w)
w
三、风险厌恶的比较
风险厌恶的比较：
• 定义：称u1 比 u2 更加厌恶风险若在任何财富水平
下前者不喜欢（dislikes）所有后者觉得无差异的 彩票:
E [u(wg % )]E [u(w )], E [g % ]0
定理：当且仅当 u(.) 是（严格）凹函数时， 参与者是（严格）风险厌恶的。
An agent is risk-averse if he dislikes all zero- mean risk at all wealth levels (Gollier 2001)
A$ 0 .0 0 2 5 0 0 2
B $489
请问你有何结论？
回到王江教材
• 绝对风险厌恶： 确定性等价：一个参与者与一个公平博弈所
要求的风险溢价 ，定义为：
E [u (w g % )] u (w )
在小风险博弈下泰勒展开得到
绝对风险厌恶：
A(w) u(w) u(w)
• 相对风险厌恶：考虑如下以总财富为基数 的博弈和风险溢价：
风险厌恶
熊和平 2012年秋季
一、风险厌恶的定义
• 风险厌恶有多种定义方法，这里利用效用 函数定义——给定财富水平和效用函数， 定义风险厌恶。如下述定义：
• 定义：如果投资者不喜欢任何零均值（即 公平博弈）彩票，则称其为风险厌恶者。
• 效用函数的凸凹性与风险态度紧密相连
定义:凹性
• A function f:R→R is concave iff:
zero- mean risk=fair gamble
• 基于效用函数的定义：
• 风险态度的定义：
➢若对于风险投资L% 投资者满足：
E[u(L% )]u[E(L% )]
风险厌恶
E[u(L% )]u[E(L% )]
风险偏爱
E[u(L% )]u[E(L% )]
风险中性
Risk aversion
• An agent is risk-averse if and only if his
• 例子：
100元 （概率为3/4）
L
-40元 （概率为1/4）
E(L)=100×3/4+(-40) ×1/4=65元
选L而不是65元
E(u(L))>u(E(L))
选65而不是L
E(u(L))<u(E(L))
对两者的态度相同 E(u(L))=u(E(L))
二、风险厌恶的度量
• 通常我们假设所有经济人为风险厌恶者， 接下来我们希望知道如何量化风险厌恶， 从而能够比较不同参与者或同一参与者在 不同情况时的风险厌恶程度。
• 风险厌恶与凸凹性有关，如果效用函数为 凹的则风险厌恶；反之凸效用函数为风险 喜好；直线为风险中性。
• 定理：如果凸的连续偏好表示为上述的期 望效用函数，那么相应的效用函数u ( . ) 是凹 的
风险厌恶的定义
• 基于公平博弈的定义： 定义：记 g% 为一个不确定的支付。如果E[g%] 0
，则称 g% 为一个公平博弈。
utility function is concave, i.e., iff u´´ is
negative. • Example: u(w)=ln(w).
Jensen inequality
The following two conditions are equivalent: 1.f isconcave. 2. X:Ef(X)f(EX).
Tu＝ -
1 A R Au
两种方法的比较：
例子（Copeland）：
某人具有对数效用函数，初始财富为$20,000 面临两种风险决策：
（1）
50%
$10
A
50%
-$10
(2) B
80% 20%
-$1,000 -$10,000
Arrow-Pratt度量
A$0.0025
B $324
Markowtz 度量
E [u (w (1 g % ))] u (w (1 R )
• 这里，博弈的盈亏为 w g% ，与总财富成比例
展开得
R
1[wu(w)]var[g% ] 2 u(w)
R(w) wu(w) u(w)
风险厌恶的例子
• 线性或风险中性效用：u(w) w
A(w)R(w)0
• 负指数效用函数：u(w)eaw,a0
x,y,p[0,1]: pf(x)(1p)f(y)f(px(1p)y),
orequivalently, iff
Ef (X) f (EX), f(EX)
with
X: (x,p;y,1p).
Ef(X)
Fra Baidu bibliotek
x
px+(1-p)y y
凹函数的定义
• 定义：称函数 f:R→R为凹函数当且仅当
x,y, p [0,1]:pf(x)(1p)f(y)f(px(1p)y), orequivalently,iff E f(X)f(E X), w ithX:(x,p;y,1p).
u [ E （ W ） - ] ＝ u [ E ( W ) ] － u [ E ( W ) ]＋ h . o . t
＝-
1 2
u(W) u(W)
2 W%
Arrow-Pratt度量：
＝-
1 2
u(W) u(W)
2 W%
RRA＝-u(W)W ARA＝- u(W )
u(W)
u(W )
风险容忍系数 （absolute risk tolerance)
• 风险态度的图象： u(.)
风险厌恶 风险中性 风险偏爱
W
• 风险厌恶的度量： 图形分析
v(x)
v(x1) E{v(x)}
v(x0)
x0
E{x}
v-1(E{v(x)})
x1 x
• 风险厌恶及其度量： 两种风险厌恶的度量方法;
Markowtz 度量—风险溢价 E[u(W %)]＝u[W]
确定性等价（certainty equivalent)W
＝E(W%)W
风险溢价（risk premium)
具体地：
E[u(w 0 ＋ z% )]＝ u[w 0 ＋ Ce]
Ce Ce(w0,u,z% ）
(w0,u,z% ）
Arrow-Pratt度量：
E [u(W % )]＝ u[E （ W ） -]
u(W % )＝ u[E(W)]u[E(W)](W % E(W))＋ 0.5u[E(W)](W % E(W))2＋ h.o.t
A (w )a,R (w )aw
• 平方效用函数：u(w) w1aw2
2
a
aw
A(w) ,R(w)
1aw
1aw
• 幂指数效用函数：
u(w) 1 w1
1
A(w) ,R(w)
w
三、风险厌恶的比较
风险厌恶的比较：
• 定义：称u1 比 u2 更加厌恶风险若在任何财富水平
下前者不喜欢（dislikes）所有后者觉得无差异的 彩票: