武汉大学2010-2011数理统计考试
湖北大学概率论与数理统计试卷A答案
2e
0，
2 x
,
x0
x0
（3 分）
（第 1 页 共 3 页）
湖北大学 2011——2012 学年度第一学期课程考试试题
参考答案及评分标准
2. 解：P=0.7×0.95＋0.3×0.8=0.905． (5 分) 3. 解： (1) X 的边缘分布律为 X 0 P Y 的边缘分布律为 Y P (2) X+Y 的分布律为 X+Y 0 1 P (3) 0.1 0.4 0 0.4 2 0.3 1 2 0.2 0.4 3 0.1 4 0.1 2分 0.5
e y 0 e x 0
x0 ， 其它
(2 分)
Y 的边缘分布密度函数为 f(y)=
y0 ， 其它
(2 分)
因为 f(x, y)=f(x)f(y)，所以 X 与 Y 相互独立． (4 分)
2. 证明：因为 E ( 1 )
E ( 2 ) E ( 3 ) ，
湖北大学 2011——2012 学年度第一学期课程考试试题
参考答案及评分标准
课程考试试题参考答案及评分标准
课程名称： 考试方式： 闭卷 概率论与数理统计 （开卷、 闭卷） 任课教师： （ A 卷） 高数研究室 10 计算机科学与 技术、 软件工程、 10 10 教育技术
学
院：
数学与计算机科学
专业年级：
故都是无偏估计量。 分） （5
（第 2 页 共 3 页）
湖北大学 2011——2012 学年度第一学期课程考试试题
参考答案及评分标准
又 D( 1 )
5 9
， D( 2 )
5 8
， D( 3 )
1 2
数理统计考试试题及答案
一、(满分12分）设X X X n ,,,12为来自均匀分布θU (0,)的随机样本，θθ,ˆˆ12分别为未知参数θ的矩估计量和最大似然估计量。
(1)证明nT n =+θθ和ˆˆ112都是未知参数θ的无偏估计; (2)比较两个估计量的优劣性.二、(满分14分）设X 服从伽玛分布Γαβ(,),其特征函数为=−−βϕαt itX ()(1).(1) 利用特征函数法求X 的数学期望和方差； (2)设X X X n ,,,12是独立同分布的随机变量，其概率密度为，⎩≤⎨=>⎧λλx f x e x x 0,0.(),0-试用特征函数法证明：∑=Γ=λY X n i i n~(,)1 三、（满分14分）从两个独立的正态总体中抽取如下样本值： 甲(X ) 4.4 4.0 2.0 4.8 乙（Y ）5.01.03.20.4经计算得x s y s ====3.8, 1.547, 2.4, 4.45312*2*2，在显著性水平=α0.05下，能否认为两个总体同分布？ 四、(满分10分）设X X X ,,,129是总体μσX N ~(,)2的一个样本.记Y X Y X k k k k ∑∑===63,=,11171269SS X Y Z Y Y k k ∑=−=−=2(),12()7212229求统计量 Z 的分布。
五、（满分14分）设X X X n ,,,12是总体X 的一个样本，X 的密度函数为f x x x ⎩⎨=<<⎧−θθθ他其0,.(;),01,1>θ0求未知参数g =θθ()1的最大似然估计量gθ()ˆ,并求g θ()的有效估计量.六、 (满分20分）观测某种物质吸附量y 和温度x 时，得到数据如下：x i 1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0 y i4.85.77.08.310.912.413.113.615.3应用线性模型N y a bx ⎩⎨⎧=++εσε~(0,)2(1) 求a 和b 的最小二乘估计及回归方程；(2) 在显著性水平=α0.05下，检验原假设=H b :00；(3)在温度x =60时，求吸附量y 0的置信水平为α−=10.95的预测区间; (4) 若要使吸附量在5-10之间，温度应该如何控制（=α0.05）.七、 (满分16分) 为了观察燃烧温度是否对砖块的密度有显著性影响，今在4种温度下做试验，得砖块密度的观察值如下： 温度（摄氏度） 砖块密度100 21.8 21.9 21.7 21.6 21.7 125 21.7 21.4 21.5 21.4 150 22.9 22. 8 22.8 22.6 22.5 17521.9 21.7 21.8 21.4试问燃烧温度对砖块密度是否有显著影响？(=α0.01) 附注：计算中可能用到的数据如下：t r F F t F F ===Φ=====5(7) 2.3646,(7)0.6664,(1,7) 5.59,(1.96)0.976(3,3)15.5,(6) 2.4469,(2,15) 3.68,(3,14) 5.50.9750.050.950.9750.9750.950.99一、（满分12分）解：（1）总体X 的密度函数为总体X 的分布函数为0,0(),01,x x F x x x θθθθ≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩；由于2θ=EX ，得X 2ˆ1=θθ的矩估计量为 1ˆ[2]2θθ===E E X EX ，故的无偏估计量。
武汉大学《概率论与数理统计》期末考试历年真题及参考答案
6、解：首先确定 f (x, y)
1[
1 x dy]dx
6,0 x 1, x2
y x；
0 x2
E(X)=
1[
0
x x2
x
6dy]dx
1 2
；E(X
2
)=
1[
0
x x2
x2
6dy]dx
3 10
；E(Y)=
1[
0
y
y y 6dx]dy
2 5
E(Y 2 )=
1[
0
y
y
(
1 2
x)(
1 2
y)
f
(x,
y), 所以X ,Y不独立；
（3）1[ 1h(x y) f (x, y)dy]dx 1[ x1 h(z)(x x z)dz]dx
00
0x
0 [ z1 h(z)(2x z)dx]dz 1 1 h(z)(2x z)dx]dz
1 0
0z
0 h(z)(z2 z 1)dz 1 h(z)(1 z2 z)dz
Z 0 1234
P
1 131 1
(Z) 16 4 8 4 16
武汉大学2011-2012 第一学期《概率论与数理统 计》期末试题及参考答案
一、解：(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.5+0.4-0.5×0.4=0.7
(2)P((A-B)|(A+B))=P((A-B)∩(A+B))/P(A+B)=[P(A)-P(A)P(B)]/P(A+B)=0.3/0.7=3/7 二、解：
y
2
6dx]dy
3 14
；E(XY)=
数理统计试卷(06、08、10、11)(1)
第一卷（2011年）一、(12分)设两个独立样本X 1,…,X n , Y 1,…,Y n 分别来自总体N(μ1，σ2)和N(μ2，σ2)，令222211111111,,(),()11n n n n i i X i Y i i i i i X X Y Y S X X S Y Y n n n n =======-=---∑∑∑∑， 及2,11()()1n X Y i i i S X X Y Y n ==---∑。
(1)当n=17时，求常数k使得12(0.95P X Y μμ->-+=(2)求概率22(1)XYS P S >。
二、(15分)设总体X 的密度函数为(;)f x θ=,1θ>(1)求参数θ的矩估计量θ；(2)求参数()g θ=的极大似然估计g；(3)试分析g的无偏性、有效性和相合性。
三、(10分)某生产商关心PC 机用的电源的输出电压，假设输出电压服从标准差为0.25V 的正态分布N(μ,σ2)，(1)问样本容量n 为多大时，才能使平均输出电压的置信度为0.95的置信区间的长度不超过0.2V ；(2)设X 1,…,X n 是来自总体X~N(0,θ)的样本，()1max n i i nX X ≤≤=。
统计假设：H 0：θ≥3，H 1：θ＜3的拒绝域为{}0() 2.5n K X =<，求假设检验犯第Ⅰ类错误的最大概率max α。
四、(10分)一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原止痛片至少缩短一片，因此厂方提出检验假设： 012112:2,:2H H μμμμ=>。
此处12,μμ分别是服用原止痛片和新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体均值。
设两总体均为正态分布且方差分别为已知值21σ和22σ，X 1,…,X n 和 Y 1,…,Y n 是分别来自两个总体分布的相互独立样本。
试分析上述假设检验的检验统计量和拒绝域。
{1,(0,1)0,(0,1)x x ∈∈五、(15分)设样本(,)(1,2,...,)i i x y i n =满足，01ln i i i y x ββε=++，且12,,...,n εεε相互独立。
武汉大学2010年数学分析考研试题解答
+∞
0
所以 ϕ(u) = ∫ （2）
+∞
0
e−x cosuxdx
∂k f ( x, u ) ∂u k
k k
2
的定义域为 (−∞,+∞) ； 在 [0,+∞) × (−∞,+∞) 上连续，
2
f ( x, u )
− x2
，
且有 | f ( x , u ) |≤ e ， | ∂∂u
f ( x , u ) |≤ x k e − x
n →∞
二．设 a > 0 ， x1 = a ， xn +1 = a + xn ， n = 1, 2,
1
三．设 f ( x ) 在 [ 0, 2] 上可微，且 f ( 2 ) = ∫ 2 xf ( x ) dx ，求证：存在 ξ ∈ ( 0, 2 ) ，
0
使得 f (ξ ) + ξ f ′ (ξ ) = 0 . 四．设 v = v ( x, y ) 有连续的一阶偏导数， u = u ( x, y ) = xv + yϕ ( v ) + ψ ( v ) ，
1 2 ( x + y 2 ), ( x, y ) ∈ D ， a
dσ = 1 + (
∂z 2 ∂z 2 ) + ( ) dxdy ∂x ∂y
， ，
曲面的面积
S1 = ∫∫ 1 + (
D
∂z 2 ∂z 2 ) + ( ) dxdy = ∫∫ 2dxdy = 2π a 2 ∂x ∂y D
S 2 = ∫∫ 1 + (
2 + ； 1 n+ n
n n
湖北大学概率论与数理统计试卷A
（C）P(A) P(AB)
（D）P(A) + P(B) P(AB)
3． 设 A、B、C 是两两独立且不能同时发生的随机事件，且 P(A)=P(B)=P(C)= x，则 x
的最大值为 ( )
(A) 1/4
(B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1
4． 设总体 X～N(, 2)， X1, , X n 是 X 的一个样本， S 2 是样本方差，则 2 的置
本，不是统计量的是( )
（A） 2 X1 X 3
（B）
X1
1 3
X
2
（C）
1 2
( X12
X
2 2
X
2 3
)
（D） X1 2 X 2
9．设 X1, X 2 , , X n 为正态分布 N(, 2)的样本，则 X 服从分布(
)。
(A) N (μ, 2 ) n
(B) N (0, 1)
(C) N (μ, σ2)
湖北大学 2011—2012 学年度第一学期课程考试 试题纸（第 6 页 共 7 页）
得
分
五、证明题(共计 18 分)
1.
(8 分)
设二维随机变量(X,Y)的密度函数为
f(x,y)=
e
x
y
0
x
0, y 其它
0
，(1)
求 X、
Y 的边缘密度函数；(2) 证明 X 与 Y 相互独立．
2. (10 分) 设1,2 是总体 N ( ,1) 的一个子样，试证明如下三个估计量都是 的
信度为 0.95 的置信区间为( )
( X , X ) （A）
t0.025 (n1)S
t0.025 (n1)S
2011年1,4,7,10月自考《概率论与数理统计》(经管类)试题和参考答案
2011年1月全国自考概率论与数理统计（经管类）试题全国2011年4月高等教育自学考试 概率论与数理统计(经管类)试题课程代码：04183一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A ，B ，C 为随机事件，则事件“A ，B ，C 都不发生”可表示为( ) A ．B.BC C ．ABCD.2．设随机事件A 与B 相互独立，且P(A)=，P(B)=，则P(A B)=( )A ． B.C ． D.3．设随机变量X ～B(3，0.4)，则P{X≥1}=( ) A.0.352 B.0.432 C.0.784 D.0.9364.已知随机变量X 的分布律为P{-2<X≤4 }=( )A.0.2 C.0.55 D.0.8 5.设随机变量X 的概率密度为f(x)=，则E(X)，D(X)分别为 ( )A.-3，B.-3，2C.3，D.3，26.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=则常数c=( )A. B.C.2D.47.设随机变量X~N(-1,22)，Y~N(-2,32)，且X 与Y 相互独立，则X-Y~( )A.N(-3，-5)B.N(-3,13)C.N (1，)D.N(1，13)8.设X,Y为随机变量，D(X)=4，D(Y)=16，Cov(X,Y)=2，则XY=( )A. B.C. D.9.设随机变量X~2(2)，Y~2(3)，且X与Y相互独立，则( )A.2(5)B.t(5)C.F(2，3)D.F(3,2)10.在假设检验中，H0为原假设，则显著性水平的意义是( )A.P{拒绝H0| H0为真}B. P {接受H0| H0为真}C.P {接受H0| H0不真}D. P {拒绝H0| H0不真}二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
2010年10月概率论与数理统计(经管类)试题及答案
2010年10月真题讲解（一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（）A.P（B|A）＝0B.P（A|B）＞0C.P（A|B）＝P（A）D.P（AB）＝P（A）P（B）『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。
解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确；显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。
故选择A。
提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立；② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。
2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（）A.Φ（0.5）B.Φ（0.75）C.Φ（1）D.Φ（3）『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。
解析：，故选择C。
提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。
3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（）『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。
解析：，故选择A。
提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。
4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（）A.－3B.－1C.－D.1『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。
解析：1＝，所以c＝－1，故选择B。
提示：概率密度的性质：1.f（x）≥0；4.在f（x）的连续点x，有F’（X）＝f（x）；5.5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（）A.f（x）＝－e－xB. f（x）＝e－xC. f（x）＝D.f（x）＝『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。
解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散；C：，正确；D：显然不正确。
故选择C。
提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。
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（1） 以前认为这块绿地的面积是 1.23 km ，问是否有必要修改以前的结果（ 0.05 ）？ （ 2 ）求 的置信度为 95% 的左侧、右侧和双侧置信区间；若要求这次测量的标准差不超过
2
0.015 ，在显著性水平 0.05 下，能否认为这次测量的标准差显著偏大？
ˆ 和最大似然估计量 ˆ； （1）求 的矩估计量 1 2
（2）证明 T1
2 7 ( X 1 X 2 ) 、 T2 max( X 1 , X 2 ) 都是 的无偏估计量； 3 6
（3）比较 T1 和 T2 的有效性。
2.设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体 N ( , ) 的样本,记 X
武汉大学 2010－2011 年度上学期研究生公共课 《应用数理统计》期末考试试题
（每题 25 分，共计 100 分） （请将答案写在答题纸上）
3x 2 1. 设总体 X 的密度函数为 f ( x) 3 0
0 x 其它
， 为未知参数， X 1 , X 2 为样本。
2
；
ˆ2； （2）求 2 的无偏估计
（3）对回归方程的显著性进行检验（ 0.05 ） ； （4）楼盘面积为 120 平方米时，估计其售价的置信度为 95%的置信区间； （5）若要求楼盘售价以 95%的可能性控制在 60 ~ 70 万元之间，问楼盘面积应如何控制。
可能用到的数据（数据中分位数都为上分位数） ：
4．某房地产投资公司出售五个楼盘面积与售价资料如下： 楼盘面积（平方米） 售价（万元） 90 36 150 80 100 44 110 55 100 35
设售价 y 与面积 x 之间具有线性关系： y x ， ~ N 0, （1）求 Y 对 x 的经验线性回归方程；
2 2 2 2 0.025 (5) 12.83, 0.05 (5) 11.07, 0.95 (5) 1.145, 0.975 (5) 0.831 2 2 2 2 0.025 (4) 11.14, 0.05 (4) 9.49, 0.95 (4) 0.711, 0.975 (4) 0.484
t0.025 (3) 3.182, t0.025 (4) 2.7764, t0.025 (5) 2.571 t0.05 (3) 2.353, t0.05 (4) 2.132, t0.05 (5) 2.015
F0.05 1,3 10.13, F0.05 1, 4 7.71, F0.05 1,5 6.61
2
（3）若 X n 1 是对总体的又一次独立观察，求统计量
n X X n 1 的分布。 n 1 S
3. 某大学为改建中央绿地， 建工学院有 5 位学生彼此独立地测量了中央绿地的面积， 得如下数据 （单 位： km ） 1.23
2
1.22
1.20 1.26
1.23，设测量误差服从正 X i X )2 ， X ， S i n i 1 n 1 i 1
Y
1 n Xi 。 n i 1
2
（1）试求 E ( S ) ；
2 2 ， D(Y ) 1 ； （2）试证明： E (Y ) n