全国100所名校单元测试示范卷数学(五)函数的综合应用(理科)

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2020年全国100所名校高考模拟金典卷理科数学(五)试题JD-Y(含解析)

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(完整版)100所名校高考模拟金典卷(五)理科数学(1)

100所名校高考模拟金典卷（五）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x L的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，若集合{}2|log 2M x x =<，集合{|N x y ==，则()U M C N I 等于A ．{}|03x x <<B ．{}|03x x <≤C ．{}|34x x <<D ．{}|34x x ≤<2．已知复数1cos 23sin 23z i =+o o和复数2cos37sin 37z i =+o o ，则12z z ⋅为A．122+ B．122i + C．122i - D．122i - 3．执行如图所示的程序，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为A ．5?a ≥B ．4?a ≥C ．3?a ≥D ．2?a ≥4．给定性质：①最小正周期为π；②图像关于直线3x π=对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是A ．sin()26x y π=+B ．sin(2)6y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．sin ||y x =5．某圆柱被一平面所截得到的几何体如图（1）所示，若该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆，则它的侧视图是正视图（1）俯视图A ．B ．C ．D ．6．设不等式组1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，||AB 的最小值等于A ．285B ．4C ．125D ．27．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有A ．11种B ．20种C ．21种D ．12种8．设A 、B 为双曲线2222(0)x y a bλλ-=≠同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量(1,0)m =u r，||6AB =，3AB m ⋅=u u u r u r ，则该双曲线的离心率等于A ．2B．3C ．2D ．2或39．下列说法正确的是A ．命题：“已知函数()f x ，若(1)f x +与(1)f x -均为奇函数，则()f x 为奇函数”为真命题B ．“1x >”是“||1x >”的必要不充分条件C ．若“p 且q ”为假命题，则,p q 均为假命题D ．命题:p “x R ∃∈，使得210x x ++<”，则:p ⌝“x R ∀∈，均有210x x ++≥” 10．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm 的铁丝接成的底面为正方形的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为A．B ．30cmC．D ．10cm11．已知向量,,a b c r r r 满足||||2a b a b ==⋅=r r r r ，()(2)0a c b c --=r r r r ，则||b c -r r的最小值为A B C D 12．已知()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数，对任意()0,x ∈+∞都有()0f x >，且()()ln xf x f x x '>，则当x e >时，22()()f x f e 与ln x 的大小关系是A ．22()ln ()f x x f e >B ．22()ln ()f x x f e <C ．22()ln ()f x x f e = D ．不能确定第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．天气预报说，在今后的三天中每天下雨的概率均为40％，用随机模拟的方法进行试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0～9之间随机整数的20组如下： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431257393027556488730113537989通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为．14．设sin a xdx π=⎰，则二项式6(的展开式中的常数项是．15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c 2sin c A =且2C π<，则a bc+的最大值为． 16．在平面直角坐标系xOy 中，设直线:10l kx y -+=与圆22:4C x y +=相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k ＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，2a p =（p 是不等于0的常数），n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对任意的正整数n 都有1()2n n n a a S -=．证明：数列{}n a 为等差数列．18．（本小题满分12分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均（1）估计出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ． 19．（本小题满分12分）如图，在五面体11A BCC B -中，14AB =．底面ABC 是正三角形，2AB =．四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --为直二面角．（1）D 在AC 上运动，当D 在何处时，有1AB ∥平面1BDC ，并且说明理由；（2）当1AB ∥平面1BDC 时，求二面角1C BC D --的余弦值． 20．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．ACDBB 1C 1（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(0,1)P ，(0,2)Q ．设M 、N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上．21．（本小题满分12分）函数()||xf x e bx =-，其中e 为自然对数的底．（1）当1b =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）当0b >时，判断函数()y f x =在区间(0,2)上是否存在极大值．若存在，求出极大值及相应实数b 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，已知O e 与M e 相交于A 、B 两点，AD 为M e 的直径，直线交O e 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连结AG 分别交O e 、BD 于点E 、F ，连结（1）求证：AG EF CE GD ⋅=⋅；（2）求证：22GF EF AG CE=．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合．设点O为坐标原点，直线,:22x t l y t=⎧⎨=+⎩（参数t R ∈）与曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=．（1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，证明：0OA OB ⋅=u u u r u u u r．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知函数2()log (|21||2|)f x x x m =+++-．（1）当4m =时，求函数()f x 的定义域；（2）若关于x 的不等式()1f x ≥的解集是R ，求m 的取值范围．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13．14．15．16．三、解答题17．。

2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷及答案解析(13页)

2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷理科数学试卷（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，[]{}2|log (2)(1)B x y x x ==-+，则A B =I （） A.[-2,2) B.(-1,1) C.(-1,1] D.(-1,2) 2.复数21iz i=-，则z 在复平面内的对应点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242, 16a S ==，则5a =（） A.10 B .12 C .13 D .144.给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件;②定义在[a, b]上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.35.已知点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为（）A.12D.1 6.函数2()sin f x x x x =-的图象大致为（）A. B. C. D.7.3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（）A.2ln2B.ln2C.2D.18.执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内可以填入的条件是（） A.4?k > B .5?k > C.6?k > D.7?k >9.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察而画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图所示，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（）A.13 B .110C.121D.125210.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（） A.2对B.3对C.4对D.5对11.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（） A.C.12.已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. 设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知A B C ，，为圆O 上三点，且2CO BA BC =-u u u r u u u r u u u r ，则BA BC ⋅=u u u r u u u r_____________.14.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为_____________.15.如图，点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，右焦点为()2,0F ，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线C 的方程为____________.16.已知在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC CD BC CD AB AD ⊥====，，，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin ()sin sin a A a b B c C ++=，ABC △的面积S abc =. （1）求角C 的大小；（2）求ABC △周长的取值范围.18.如图，在多面体ABCGDEF 中，AB AC AD ，，两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC DG EF ∥∥，且12AC EF DG ===，.（1）证明：CF ⊥平面BDG . （2）求二面角F BC A --的余弦值.19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推岀两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次，每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次，每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，如下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示准备购买的2台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更划算？20.已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点.（1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性；（2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N L L ，求证：[]ln (2)12n nn T +<-. （二）选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ=+. （1）写出曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若P Q ，分别为曲线12C C ，上的动点，求PQ 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2||36|f x x x =-++. （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值.1.答案 B命题意图本题考查解不等式与集合的运算. 解题分析不等式201x x +≤-，等价于()()210x x +-≤且10x -≠，解得21x -≤<，即集合{}|21A x x =-<„ ，函数2log [(2)(1)]y x x =-+的定义域为(2)(1)0x x -+>，解得12x -<<，即集合{|12}B x x =-<<，所以()1,1A B =-I .2答案B命题意图本题考查复数的运算及几何意义. 解题分析由222(1)111i i i z i i i +===-+--，知对应点的坐标为()1,1-，所以对应点在第二象限. 3.答案D命题意图本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.解题分由题意得211412246164a a d a S a d d =+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，则524414a =-+⨯=.4.答案 C命题意图本题考查命题及充分、必要条件. 解题分析对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域为[],a b ，所以5b =，所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确；对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③是错误的；故错误说法的个数为2. 5.答案 C命题意图本题考查线性规划及点到直线的距离公式.解题分析结合不等式，绘制可行域，如图.由0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2C ，点A 的位置如图所示，计算A 点到该区域的最小值，即计算点A 到直线260x y +-=的距离，所以min ||AB ==6.答案 A命题意图本题考查函数的奇偶性与单调性，函数导数的应用.解题分析()f x 为偶函数，排除选项B ；2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=，所以当0x >时，()()0f x xg x =>，且()f x 单调递增，故选A 项. 7.答案 A命题意图本题考查二项式定理及定积分.解题分析根据二项式3ax ⎛ ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4111111d d ln 2ln 2ax x x xx ===⎰⎰.8.答案 B命题意图本题考查程序框图.解题分析模拟执行如图所示的程序框图如下：1,1k S ==； 2,4k S ==； 3,11k S ==； 4,26k S ==； 5,57k S ==；6,120k S ==，此时满足条件5k >，输出120S =. 所以判断框内可以填入的条件是5?k >. 9.答案 C命题意图本题考查古典概型.解题分析现从这十个数中随机抽取4个数,基本事件总数140n C =，能成为两组包含的基本事件个数52m C =，则能成为两组的概率25410121C m P n C ===.10.答案 C命题意图本题考查三视图，线面垂直和面面垂直的判定.解题分析该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ，作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，又AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知PO AO OD ==，所以AP PD ⊥，又AP CD ⊥，所以AP ⊥平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.11.答案 C命题意图本题考查抛物线方程及过焦点的弦.解题分析由题意得22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩，则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又直线l 经过C 的焦点，则22b p-=，b p ∴=-. 由此解得2p =，所以抛物线方程为24y x =.设()00,M x y ，则204y x =， ()()()2222200000||444212MN x y x x x ∴=-+=-+=-+，故当02x =时，||MN取得最小值.12.答案 A命题意图本题考查数列的综合应用. 解题分析当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列， 11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭，依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.13.答案0命题意图本题考查平面向量的数量积.解题分析 11()22CO BA BC CA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴圆心O 为线段AC 的中点，因而90ABC ∠=︒，故0BA BC ⋅=u u u r u u u r .14.答案 ()1,2-命题意图本题考查三角函数的图象及解析式.解题分析函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示.(0)2sin 1f ϕ==Q ，56πϕ=Q .又5||2MN ==3πω∴=，即函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图象得5362x πππ+=，解得1x =-，故点M 的坐标为()1,2-. 五步导解解↔答15.答案 221x y -=命题意图本题考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程.解题分析由题意可得(),0A a ，又A 为线段OB 的中点，所以(2,0)B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,3P a b -，由题意和结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -，即||2AP a =，即2a =a b =，又c =222a b c +=，得1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=.16.答案 36π命题意图本题考查多面体与球.解题分析如图取BD 的中点E ，连接AE CE ，，则AE BD CE BD ⊥⊥，. Q 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AE ∴⊥平面BCD .又CEC Q 平面BCD ，AE CE ∴⊥.设ABD △的外接圆的圆心为O ，半径为r .AB AD ∴=， ∴圆心O 在AE 所在的直线上，22222()r BE OE BE r AE ∴=+=+-. Q在Rt BCD △中，BD =BE EC ∴==在Rt ABE △中，2AE ，()2282r r ∴=+-，解得，3,1r OE =∴=. Q在Rt OEC △中，3OC ==，3OA OB OC OD ∴====，∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球的半径3R =，∴球的体积34363V R ππ==.17.命题意图本题考查正、余弦定理及三角恒等变换.解题分析（1）由sin ()sin sin a A a b B c C ++=及正弦定理得222a b ab c ++=，又由余弦定理得1cos 2C =-，23C π∴=. （2）由1sin 2S abc ab C ==，可知2sin c C =，2sin ,2sin a A b B ∴==，ABC △的周长为1(sin sin sin )2a b c A B C ++=++1sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin sin 22A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 22A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，ABC ∴△周长的取值范围为⎝⎦.18.命题意图本题考查空间点线、面关系及线面垂直、二面角.解题分析（1）证明：因为AB AC AD ，，两两垂直，AC DG AB DE ∥，∥，所以DG AD DG DE ⊥⊥，，所以DG ⊥平面ABED ，因为AE ⊂平面ABED ，所以DG AE ⊥，因为四边形ABED 为正方形，所以AE BD ⊥，因为BD DG D =I ，所以AE ⊥平面BDG ，因为AC EF ∥所以四边形AEFC 为平行四边形，所以AE CF ∥，所以CF ⊥平面BDG .（2）由（1）知DE DG DA ，，互相垂直，故以D 为坐标原点，以DE DG DA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,1,2),(2,1,0)D A B C F ，所以(0,1,2),(2,1,0)FB CB =-=-u u u r u u u r.设(),,m a b c =u r 为平面BCF 的法向量，则2020m FB b c m CB a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，令1a =，则21b c ==，，所以()1,2,1m =u r.又因为AD ⊥平面ABC ，所以()0,0,2DA =u u u r为平面ABC 的一个法向量，所以()cos ,m DA ==u r u u u r 由图可知二面角F BC A --是钝角，所以二面角F BC A --的余弦值为. 19.命题意图本题考查离散型随机变量的期望和方差以及方案的确定. 解题分析（1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6111(0)1010100P X ==⨯=，111(1)210525P X ==⨯⨯=，11213(2)25551025P X ==⨯+⨯⨯=， 131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22317(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=， 236(5)251025P X ==⨯⨯=，339(6)1010100P X ==⨯=，X ∴的分布列为（2）所选延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为()117117697000900011000130001500010720100502525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为()267691000011000120001042010025100E Y =⨯+⨯+⨯=（元）()()12E Y E Y >Q ，∴该医院选择延保方案二较划算.20.命题意图本题考查椭圆有关的定值、定点问题.解题分析由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=，于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，从而1212423x x y y +=++=，故211,,332CM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线l 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222210m y my ++-=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以()()()()()210201************OA QB x x x x y y my my x my my x y y =⋅=--+=++-++++u u u r u u u r ()()()()()2222121200000022121121112122m m y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+=++ ()202002231212x m x x m --+-++，由023112x --=，得054x =，故此时点57,0,416Q QA QB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ； ②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 21.命题意图本题考查导数综合.解题分析（1）()f x 的定义域为()1,-+∞，()2ln(1)2f x x x '=+-.设()()212g x ln x x =+-. ∵2()1x g x x -'=+，∴当()1,0x ∈-时，()0g x '>；当,()0x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在()1,0-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 在0x =处取得最大值.又∵()00g =，∴对任意的1,()x ∈-+∞，()()00g x g ≤=恒成立，即对任意的1,()x ∈-+∞，都有()f x ' ()2120ln x x =+-≤恒成立，故()f x 在定义域()1,-+∞上是减函数.（2）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，∴()0f n <，即22(1)ln(1)2n n n n ++<+，两边同除以22(1)n +得ln(1)121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++，从而1231112334521222341234121n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⋅L L L ，所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎢⎥+⎣⎦. ① 下面证2ln(2)ln(1)(1)ln 2102n n n n +-+-++-<. 记()2ln(2)ln(1)(1)ln 212x h x x x x =+-+-++-，[1,)x ∈+∞， ∴2211111()ln 2ln 2ln 2221232223x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++. ∵2y x x=+在[2,)+∞上单调递减，而1111(2)ln 2(23ln 2)(2ln8)06233h '=-+=-=-<， ∴当[2,)x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[2,)+∞上单调递减，即[2,)x ∈+∞，()(2)2ln 4ln33ln 2ln 2ln30h x h =--=-<„，∴当2n …时，()0h n <.∵19(1)2ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-， ∴当*n ∈N 时，()0h n <，即2ln(2)ln(1)(1)ln 212n n n n +-+-+<-. ② 综合①②可得，[]ln (2)12n n n T +<-. 22.命题意图本题考查参数方程、极坐标方程的应用及两点间距离的求法.解题分析（1）曲线1C 的普通方程为22149x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为2245x y y +=+，即22(2)9x y +-=.（2）设P 点的坐标为(2cos ,3sin )θθ.2||333PQ PC +„，当sin 1θ=-时，max ||538PQ =+=.23.命题意图本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式.解题分析（1）44,2()|2||36|28,22,44,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-⎨⎪+>⎩剟当2x <-时，4434x x -≥-+，即8x ≤-；当22x -≤≤时，2834x x +≥-+，即45x ≥-，可得425x -≤≤；当2x >时，4434x x +≥-+，即0x ≥，可得2x >， ∴不等式的解集为4|8 5x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 . （2）根据函数44,2()28,22,44,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值(2)4f -=，可知4a =， 8,0,0m n m n ∴+=>>,11111111()11(22)8882n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=⋅++=⋅++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…> 当且仅当n m m n =，即4m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为12.。

全国100所名校单元测试示范卷数学卷

全国100所名校单元测试示范卷数学卷# 全国100所名校单元测试示范卷数学卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是正整数？- A. -3- B. 0- C. 5- D. -12. 如果$ a $和$ b $互为相反数，那么$ a + b $等于多少？ - A. 1- B. 0- C. -1- D. 不确定3. 圆的周长公式是$ C = 2\pi r $，如果半径$ r = 4 $，则周长$ C $是多少？- A. 8- B. 16- C. 32- D. 644. 一个数的平方根是2，这个数是多少？- A. 4- B. -4- C. 8- D. 165. 下列哪个表达式的结果不是整数？- A. $ 4 \div 2 $- B. $ 7 \mod 3 $- C. $ 9 - 4 $- D. $ 8 \times 1 $6. 一个直角三角形的两直角边分别为3和4，斜边的长度是多少？ - A. 5- B. 6- C. 7- D. 87. 若$ x $的相反数是-5，则$ x $等于多少？- A. 5- B. -5- C. 0- D. 18. 一个数的立方根是3，这个数是多少？- A. 9- B. 27- C. 81- D. 7299. 一个数的绝对值是5，这个数可能是多少？- A. 5- B. -5- C. 3- D. 710. 一个数的倒数是$ \frac{1}{4} $，这个数是多少？- A. 4- B. 1- C. 0.25- D. 0.5二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的平方是16，这个数可能是_________。

12. 如果$ a $和$ b $互为倒数，那么$ ab $等于_________。

13. 一个直角三角形的斜边长度是10，其中一个锐角的正弦值是0.6，那么这个锐角的对边长度是_________。

【试卷】2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学(包括答案、教师评分标准)

2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|22}x x -<≤C ．{|21}x x -<≤D ．{|22}x x -≤≤2．i 是虚数单位，2i1iz =-，则z =（）A ．1B ．2CD ．3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π4．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．下列命题中是真命题的是（）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解．A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④6．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>7．在ABC △中，sin 1,2C BC AB ===ABC △的面积为（）A ．2B ．32C ．4D8．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.3522.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（） A ．1.5倍 B ．2倍 C ．2.5倍D ．3.5倍9．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（） AB ．2C ．4D．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（） A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（）A ．23B ．12 C ．25D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．14．已知平面向量a 与b 的夹角为3π，1),1a b =-= ，则2a b -=．15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则 2m a += ．16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1FC在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）新高考取消文理科，实行“3+3”模式，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人，并把调查结果制成下表：年龄（岁） [15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75) 频数 5 15 10 10 5 5 了解4126521（1）把年龄在[15, 45)称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考不了解新高考总计中青年中老年总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（2）若从年龄在[55, 65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ≠=且137,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ππ∠=∠=，平面CDE ⊥平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DE EF BD ===．（1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．AE20．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--∈R ．（1）讨论函数()f x 的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为，离心率12e =，其右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求PQ MN的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin 13C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知()211f x x x =++-．（1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）设()9124g x x x =-+--，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集．2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）参考答案1．答案：B解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12}A x x x x x x x x=--=-+=-≤≤≤≤，{|21}B x x=-<≤，所以{|22}A B x x=-<≤．2．答案：C 解析：2i2i2i,1i1i1iz z=∴====---，公式：11121222,zzz z z zz z⋅=⋅=．3．答案：D 解析：因为70412212π≈，故选D．4．答案：B 解析：当0a≤时，1()f x axx=+在(2,)+∞上单调递减，当0a>时，1()f x axx=+在⎛⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭2，即14a≥．5．答案：A 解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故错误．当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确．6．答案：A解析：105445511551,1log log 2,log 2log 22a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．答案：A解析：234cos 12sin ,sin 255C C C =-=-∴=；1,a c ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，5b =，114sin 152225ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△． 8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21t t =-，作出函数2t y =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5⨯+⨯-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍． 9．答案：A 解析：因为当[0,2]x ∈π时，2555x πππω+ωπ+≤≤，由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点．则265x ππω+<π5≤，解得1229510ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，． 10．答案：C解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ≠，由24x y =，得2xy '=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =，所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩，得12123x t t y t t =+⎧⎨==-⎩，22121212222ABt t t tk t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4．解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=，则216480k ∆=-=，解得k =，当k =2120x -+=，解得x =故A ,同理可得(B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 11．答案：D解析：a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以333a ba b +=+=≥，故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313a b a b ca b a b a b +++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．答案：B 解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM并延长，交BC 于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则23BP BF GM FG ==， 12,233BP AQ BP ∴===，连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V --⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=∴=．13．答案：160- 解析：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为33361(2)160C x x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭． 14 解析：2,1a b == ，cos 13a b a bπ⋅=⋅=，所以222244164113a b a a b b -=-⋅+=-+= ，所以2a b -=15．答案：0解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ''=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-'=+=+=-=，当(0,1)x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=． 16．答案：2或43 解析：设直线倾斜角为α，则7tan cos 8αα==．P 在第一象限， 12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F =，则11212,22F P F F c F P c a ===-，由余弦定理得222244(22)788c c x a c +--=，整理得23840e e -+=，解得2e =或23e =（舍去）．250(221288)5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分（2）年龄在[55, 65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========．………………………9分所以X 的分布列为13()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………………………12分18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=⎧⎨+=+⎩ ，即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩，…………………………3分又因为0d ≠，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分（2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分所以11111111233412222(2)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．…………………………12分 19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD ⊂平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分（2）因为DE DC ⊥，平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =⊂平面CDE ，所以ED ⊥平面ABCD ．连接OF ，则EF OD ，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ，从而OF ⊥平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),((0,1,1)EF AF BF ===-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n EF y n AF z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取n = ，…………8分则cos ,n BF n BF n BF⋅==⋅BF则cos sin ,n BF θ== ，所以直线BF 与平面AEF ………………………………………………12分 20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-'>=-+=，…………………………………………1分 ①当0≤m 时，21()0mx f x x -'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；………………3分②当0m >时，令21()0mx f x x -'==，得x =，当x⎛∈ ⎝时，()0,()f x f x '<单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0,()f x f x '>单调递增，故()f x 在x=处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值．…………………………5分（2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号，所以当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；所以若要不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >．当01m <<1>，由（1）知，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，所以(1)0f f<=，不满足题意．……………………………………………………………………8分当1≥m 时，设21111()(1)ln 2x F x m x x x e-=---+，因为1,1≥m x >，所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e---><<-<-<，32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x e x x x x---+-+'=-++->-++-==>，所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以当(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，故存在1≥m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立．此时m 的最小值是1．…………12分21．解析：（1）由2b =b =，又由22222214c a b e a a -===，得2234a b =，则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分（2）由（1）知(1,0)F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1k ≠±，由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩，……………………………………5分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==∆=+>++，…………6分则2212(1)34k PQ k +==+，由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k +-，则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQk k k k k k MN k k k k ++++++=⋅==+++++，令87t k =+，则78t k -=，当0t =时，78k =-，78PQ MN =，当0t ≠时，22724322432197878722t k t k t t-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+-+，若0t >，则1977722t t +--，若0t <，则1977722≤t t+-2872432≤k k ++，即2872432k k ++，≤PQ MN ，且87PQ MN ≠．………………………………………………10分 ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-，则2242,37b PQ MN a ===，此时87PQ MN =∈⎣⎦．若设2l 的方程为1y x =-，则78PQMN =∈⎣⎦，综上可知，PQ MN的取值范围是⎣⎦．……………………………………………12分22．解析：（1）由122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=；由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 12ρθρθ=cos sin 20θρθ-+=，又由cos ,sin x y ρθρθ==，得曲线220C y -+=．…………………………………………5分（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )αα+，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()2cos 16d παα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．………………………………8分当且仅当52,6Z k k παπ=+∈时，()d α1-，此时P的直角坐标为(2．…………………………………………………………………………10分23．解析：（1）3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪--⎪⎩，…………………………………………1分当1≥x 时，39≤x ，得13≤≤x ；………………………………………………………………………2分当112x -<<时，29≤x +，解得7≤x ，故112x -<<；…………………………………………3分当12≤x -时，39≤x -，解得3≥x -，故132≤≤x --．……………………………………………4分综上，原不等式的解集为{|33}≤≤x x -．………………………………………………………………5分（2）36,1()91244,12≤x x g x x x x x +-⎧⎪=-+--=+-<<⎨⎪，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，10分2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|22}x x -<≤C ．{|21}x x -<≤D ．{|22}x x -≤≤1．答案：B解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12},{|21}A x x x x x x x x B x x =--=-+=-=-<≤≤≤≤≤，所以{|22}A B x x =-< ≤． 2．i 是虚数单位，2i1iz =-，则z =（）A ．1B ．2CD ．2．答案：C解析：2i 2i 2i ,1i 1i 1i z z =∴====--- ，公式：11121222,z z z z z z z z ⋅=⋅=． 3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π3．答案：D解析：因为70412212π≈，故选D ． 4．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4．答案：B解析：当0a ≤时，1()f x axx =+在(2,)+∞上单调递减，当0a >时，1()f x ax x =+在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭2，即14a ≥．5．下列命题中是真命题的是（）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解．A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④5．答案：A解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故错误．当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确．6．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．答案：A解析：105445511551,1log log 2,log 2log 22a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．在ABC △中，sin 1,2C BC AB ===ABC △的面积为（）A ．2B ．32C ．4D7．答案：A解析：234cos 12sin ,sin 255C C C =-=-∴=；1,a c ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，5b =，114sin 152225ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△． 8．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.352 2.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（） A ．1.5倍B ．2倍C ．2.5倍D ．3.5倍8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21t t =-，作出函数2t y =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5⨯+⨯-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍． 9．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．答案：A解析：因为当[0,2]x ∈π时，2555x πππω+ωπ+≤≤，由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点．则265x ππω+<π5≤，解得1229510ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，． 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（） AB ．2C ．4D．10．答案：C解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ≠，由24x y =，得2xy '=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =，所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩，得12123x t t y t t =+⎧⎨==-⎩，22121212222ABt t t tk t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4．解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=，则216480k ∆=-=，解得k =，当k =2120x -+=，解得x =故A ,同理可得(B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-11．答案：D解析：a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以333a ba b +=+=≥，故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313a b a b ca b a b a b +++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（） A ．23B ．12C ．25D ．1312．答案：B解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM 并延长，交BC于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则212,,2333BP BF BP AQ BP GM FG ==∴===，连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V --⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=∴=．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．13．答案：160-解析：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为33361(2)160C x x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭．14．已知平面向量a 与b的夹角为3π，1),1a b =-= ，则2a b -= ．14解析：2,1a b == ，cos 13a b a bπ⋅=⋅=，所以222244164113a b a a b b -=-⋅+=-+= ，所以2a b -=．15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则 2m a += ．15．答案：0解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ''=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-'=+=+=-=，当(0,1)x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=． 16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1FC在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ． 16．答案：2或43解析：设直线倾斜角为α，则7tan cos 8αα==．P 在第一象限， 12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F =，则11212,22F P F F c F P c a ===-，222频数 5 15 10 10 5 5 了解4126521（1）把年龄在[15, 45)称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考不了解新高考总计中青年中老年总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（2）若从年龄在[55, 65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 17．解析：（1）2×2列联表如图所示，了解新高考不了解新高考总计中青年 22 8 30 中老年 8 12 20 总计302050…………………………………………………………3分250(221288)5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分（2）年龄在[55, 65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========．………………………9分所以X 的分布列为13()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ≠=且137,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=⎧⎨+=+⎩ ，即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩，…………………………3分又因为0d ≠，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分（2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分所以11111111233412222(2)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．…………………………12分 19．（本小题满分12分）如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ππ∠=∠=，平面CDE ⊥平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DE EF BD ===．（1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．AE19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD ⊂平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分（2）因为DE DC ⊥，平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =⊂平面CDE ，所以ED ⊥平面ABCD ．连接OF ，则EF OD ，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ，从而OF ⊥平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),((0,1,1)EF AF BF ===-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n EF y n AF z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取n = ，…………8分则cos ,n BF n BF n BF⋅==⋅ 所以直线BF 与平面AEF12分20．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--∈R ．（1）讨论函数()f x 的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由． 20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-'>=-+=，…………………………………………1分 ①当0≤m 时，21()0mx f x x-'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；………………3分 ②当0m >时，令21()0mx f x x -'==，得x =，当x ⎛∈ ⎝时，()0,()f x f x '<单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0,()f x fx '>单调递增，故()f x在x =处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值．…………………………5分（2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号，所以当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；所以若要不等式111()x f x x e ->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >．当01m <<1>，由（1）知，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，所以(1)0f f<=，不满足题意．……………………………………………………………………8分当1≥m 时，设21111()(1)ln 2x F x m x x x e-=---+，因为1,1≥m x >，所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e ---><<-<-<， 32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x e x x x x---+-+'=-++->-++-==>，所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以当(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，故存在1≥m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立．此时m 的最小值是1．…………12分 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为，离心率12e =，其右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求PQMN 的取值范围．21．解析：（1）由2b =b =，又由22222214c a b e a a -===，得2234a b =，则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分（2）由（1）知(1,0)F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1k ≠±，由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩，……………………………………5分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==∆=+>++，…………6分则2212(1)34k PQ k +==+，由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k +-，则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQ k k k k k k MN k k k k ++++++=⋅==+++++，令87t k =+，则78t k -=，当0t =时，78k =-，78PQ MN =，当0t ≠时，22724322432197878722t k t k t t-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+-+，若0t >，则1977722t t +--，若0t <，则1977722≤t t+-2872432≤k k ++，即2872432k k ++，≤PQ MN ，且87PQ MN ≠．………………………………………………10分 ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-，则2242,37b PQ MN a ===，此时87PQ MN =∈⎣⎦．若设2l 的方程为1y x =-，则78PQMN =∈⎣⎦，综上可知，PQMN的取值范围是⎣⎦．……………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin 13C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．22．解析：（1）由122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=；由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 12ρθρθ=cos sin 20θρθ-+=，又由cos ,sin x y ρθρθ==，得曲线220C y -+=．…………………………………………5分（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )αα+，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()2cos 16d παα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．………………………………8分当且仅当52,6Z k k παπ=+∈时，()d α1-，此时P的直角坐标为(2．…………………………………………………………………………10分23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知()211f x x x =++-．（1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）设()9124g x x x =-+--，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集．23．解析：（1）3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪--⎪⎩，…………………………………………1分当1≥x 时，39≤x ，得13≤≤x ；………………………………………………………………………2分当112x -<<时，29≤x +，解得7≤x ，故112x -<<；…………………………………………3分当12≤x -时，39≤x -，解得3≥x -，故132≤≤x --．……………………………………………4分综上，原不等式的解集为{|33}≤≤x x -．………………………………………………………………5分（2）36,1()91244,12312,2≤≥x x g x x x x x x x +-⎧⎪=-+--=+-<<⎨⎪-+⎩，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，10分。

全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师5(理)

全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(五)第五单元函数的综合应用(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.a、b为实数,集合M={,1},N={a,0},f:x→2x表示把集合M中的元素x,映射到集合N 中为2x,则a+b等于A.-2B.0C.2D.±2解析:由于M中元素1能对应a,能对应0,所以=0,a=2,所以b=0,a=2,因此a+b=2.答案:C2.已知函数f(x)=--则f[f(-1)]等于A.B.2 C.1 D.-1解析:f[f(-1)]=f(1)=2.答案:B3.函数y=(a>1)的图象大致形状是解析:当x>0时,y=a x,因为a>1,所以是增函数,排除C、D,当x<0时,y=-a x,是减函数,所以排除A.答案:B4.设函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-2x+m(m为常数),则f(-2)等于A.-B.-1C.1D.3解析:因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即20+m=0,所以m=-1,所以当x≥0时,函数f(x)=2x-2x-1,所以f(-2)=-f(2)=-(4-4-1)=1.答案:C5.记min{a,b}为a,b两个数的较小者,max{a,b}为a,b两个数的较大者,f(x)=-则--·-的值为A.min{a,b}B.max{a,b}C.bD.a--=b.解析:(1)若a>b,则a-b>0,∴f(a-b)=1.∴原式=(2)若a<b,a-b<0,∴f(a-b)=-1.∴原式==a.--·-=min{a,b}.所以答案:A6.已知f(x+199)=4x2+4x+3(x∈R),那么函数f(x)的最小值为A.1B.2C.3D.5解析:求f(x)的解析式运算量较大,但这里我们注意到,y=f(x+199)与y=f(x),其图象仅是左右平移关系,它们取得的最大值和最小值是相同的,由y=4x2+4x+3=4(x+)2+2,所以f(x)的最小值即f(x+199)的最小值是2.答案:B7.函数f(x)是定义域为R的偶函数,又是以2为周期的周期函数.若f(x)在[-1,0]上是减函数,那么f(x)在[2,3]上是A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数解析:∵f(x)为[-1,0]上的减函数,且f(x)为R上的偶函数,∴f(x)在[0,1]上是增函数,又f(x)是以2为周期的函数,∴f(x)在[2,3]上的单调性与[0,1]上相同,即递增.答案:A8.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-π,π],且它们在x∈[0,π]上的图象如图所示,则不等式<0的解集为A.(-,)B.(,π)C.(-,)∪(,π)D.(-,0)∪(,π)解析:<0⇒f(x)与g(x)在同一区间内符号相反,由图可知当x∈(0,π)时,两者异号的区间为(,π),又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,∴它们在[-π,0]上的图象大致为如图所示,可知其异号的区间为(-,0),∴<0的解集为(-,0)∪(,π).答案:D9.已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线3x+y=0平行,若f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数t的取值范围是A.[-2,-1]B.(-2,-1)C.(-2,0)D.(-1,1)解析:由题可知---即---得∴f'(x)=3x2+6x,令f'(x)≤0,得-2≤x≤0,∵f(x)在区间[t,t+1]上递减,∴-得-2≤t≤-1.答案:A10.已知函数f(x)满足:①定义域为R;②对任意x∈R,有f(x+2)=2f(x);③当x∈[-1,1]时,f(x)=-|x|+1.则方程f(x)=log4|x|在区间[-4,4]内的解的个数是A.9B.6C.5D.4解析:∵f(x+2)=2f(x),∴f(4)=2f(2)=4f(0)=4,又log44<2,∴当0≤x≤4时,作出草图可知f(x)=log4|x|有3个解,又f(-2)=f(0)==log4|-2|,∴作出草图可知当-4≤x<0时,f(x)=log4|x|有2个解,∴在[-4,4]内解的个数是5个.答案:C11.2011年3月发生在日本的9级大地震虽然过去多年了,但它对日本的核电站的破坏却是持续的,其中有一种放射性元素铯137在其衰变过程中,假设近似满足:其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0-,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是-10ln2(太贝克/年),则M(60)等于A.5太贝克B.72ln2太贝克C.150ln2太贝克D.150太贝克解析:因为铯137含量的变化率为M'(t)=-M0-ln2,所以当t=30时,M'(30)=-M0-ln2=-ln2=-10ln2,所以M0=600,可解得M(60)=150.答案:D12.已知函数f(x)=ln x++ax,x∈(0,+∞)(a为实常数).若f(x)在[2,+∞)上是单调函数,则a的取值范围是A.(-∞,-]B.(-∞,-]∪[0,+∞)C.(-∞,0)∪[,+∞]D.(-∞,0)∪(,+∞)-,解析:f'(x)=-+a=当a≥0时,ax2+x-1在[2,+∞)上恒大于零,即f'(x)>0,符合要求.当a<0时,令g(x)=ax2+x-1,g(x)在[2,+∞)上只能恒小于零,解得a≤-,故Δ=1+4a≤0或-∴a的取值范围是(-∞,-]∪[0,+∞).答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.函数f(x)=log0.1|x-1|的定义域是.解析:∵|x-1|>0,∴x∈R且x≠1.答案:{x|x∈R且x≠1}14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(2)=1且对任意x∈R都有f(x+3)=f(x),则f(2014)=.解析:由f(x+3)=f(x)知,f(x)是以周期为3的周期函数.所以f(2014)=f(671×3+1)=f(1)=f(3-2)=f(-2)=f(2)=1.答案:115.若lg x+lg y=0,则2x·2y的最小值是.解析:lg xy=0,xy=1,x+y≥2=2,2x·2y=2x+y≥22=4.答案:416.抛物线y2=3x与圆x2+y2=4围成的封闭图形的面积是.解析:得或-如图,则抛物线y2=3x与AB围成的图形面积是S=2dx=2×=因为A的坐标是A(1,),所以∠AOx=,劣弧AB与弦AB围成的面积是π·22-×2=π-,所以抛物线与圆围成的封闭图形面积是+π-=π+.答案:π+三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)(1)已知f(+1)=x+2,求f(x),f(x+1),f(x2);(2)已知2f(x)+f()=10x,求f(x).解析:(1)设t=+1≥1,则=t-1(t≥1),x=(t-1)2,∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),∴f(x)=x2-1(x≥1),∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0),∴f(x2)=x4-1(x≤-1或x≥1).5分(2)由2f(x)+f()=10x,用代换x,则2f()+f(x)=1,两式联立消去f()得f(x)=×10x-×1.10分18.(本小题满分12分)某段高速公路全长240公里,两端收费站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的收费站之间修路面和等距离修建安全出口,经预算,修建一个安全出口的工程费用为400万元,铺设距离为x公里的相邻两安全出口之间道路费用为x2+x万元.设余下工程的总费用为y万元.(1)试将y表示成关于x的函数;(2)需要修建多少个安全出口才能使y最小,其最小值为多少万元?解析:(1)设需要修建k个安全出口,则(k+1)x=240,即k=-1.所以y=400k+(k+1)(x2+x)=400×(-1)+(x2+x)=+240x-160.因为x表示相邻两安全出口之间的距离,则0<x≤240.故y与x的函数关系是y=+240x-160(0<x≤240).6分(2)y=+240x-160≥2-160=9440.当且仅当=240x即x=20时取等号,此时k=-1=-1=11.故需要修建11个安全出口才能使y最小,最小值为9440万元.12分19.(本小题满分12分)设函数y=f(x)的定义域为R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f()=1,且当x>0时,f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断函数的奇偶性;(3)如果f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围.解析:(1)令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.3分(2)令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x),故函数是奇函数.6分(3)任取x1,x2∈R,x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0f(x1)<f(x2).故f(x)是R上的增函数.∵f()=1,∴f()=f(+)=f()+f()=2,∴f(x)+f(2+x)=f[x+(2+x)]=f(2x+2)<f(),又由y=f(x)是定义在R上的增函数,得2x+2<,解之得x<-.故x∈(-∞,-).12分20.(本小题满分12分)函数f(x)的图象是[-2,2]上连续不断的曲线,且满足2014f(-x)=,且在[0,2]上是增函数,若f(log2m)<f[log4(m+2)]成立,求实数m的取值范围.解析:∵2014f(-x)=,即201-=2014-f(x),可得f(-x)=-f(x).又因为函数的定义域[-2,2]关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数.由奇函数的性质可知,函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的,而已知函数f(x)在[0,2]上是单调递增的,所以函数f(x)在[-2,0]上也是单调递增的.故由f(log2m)<f[log4(m+2)],可得--6分由-2≤log2m≤2,解得≤m≤4.由-2≤log4(m+2)≤2,解得≤m+2≤16,即-≤m≤14.由log2m<log4(m+2),得log4m2<log4(m+2),故有解得0<m<2.综上所述,m的取值范围为[,2).12分21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(a+)ln x+-x(a>1).(1)试讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性;(2)当a∈[3,+∞)时,曲线y=f(x)总存在相异两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在点P、Q处的切线互相平行,求证x1+x2>.解析:(1)由已知x>0,f'(x)=--1=--=---.由f'(x)=0,得x1=,x2=a.因为a>1,所以0<<1,且a>.所以在区间(0,)上,f'(x)<0;在区间(,1)上,f'(x)>0.故f(x)在(0,)上单调递减,在(,1)上单调递增.6分(2)由题意可得,当a∈[3,+∞)时,f'(x1)=f'(x2)(x1,x2>0且x1≠x2).即--1=--1,所以a+=+=,a∈[3,+∞).因为x1,x2>0且x1≠x2,所以x1x2<()2恒成立,所以>,又x1+x2>0,所以a+=>,整理得x1+x2>.令g(a)=,因为a∈[3,+∞),所以g(a)在[3,+∞)上单调递减,所以g(a)=在[3,+∞)上的最大值为g(3)=,所以x1+x2>.12分22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x-ax(a∈R).(1)求f(x)的极值;(2)若f(x)≥x+b恒成立,求(a+1)b的最大值.解析:(1)f'(x)=e x-a,显然,当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)在R上单调递增,函数f(x)不存在极值.当a>0时,由f'(x)>0,得x>ln a,当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,所以x=ln a时,函数f(x)取得极小值,f(ln a)=a-aln a.4分(2)f(x)≥x+b恒成立,即e x-ax≥x+b,得e x-(a+1)x≥b.(i)若a+1<0,对任意实数b,x<0时,因为e x<1,-,所以e x-(a+1)x<1-(a+1)x,令1-(a+1)x<b,得x<因此,a+1<0,f(x)≥x+b不恒成立.(ii)若a+1=0,则(a+1)b=0.(iii)若a+1>0,设g(x)=e x-(a+1)x,则g'(x)=e x-(a+1),当x∈(-∞,ln(a+1))时,g'(x)<0,当x∈(ln(a+1),+∞)时,g'(x)>0,从而g(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减,在(ln(a+1),+∞)上单调递增,故g(x)有最小值,g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1),所以f(x)≥x+b恒成立等价于b≤a+1-(a+1)ln(a+1),因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),10分设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则h'(a)=(a+1)(1-2ln(a+1)),所以h(a)在(-1,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,故h(a)在a=-1处取得最大值h(-1)=,从而h(a)≤,即(a+1)b≤,所以(a+1)b的最大值是.12分。

2020届全国100所名校高考模拟金典卷(五)数学(理)试题及答案

绝密★启用前2020届全国100所名校高考模拟金典卷（五）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若(12)a i ti i +=+（i 为虚数单位，,a t R ∈），则t ai +等于（） A ．12i - B ．12i + C ．2i + D ．2i -答案：A根据复数乘法的运算法则，结合复数相等的定义进行求解即可. 解：因为(12)2a i ti i ti t +=⋅+=-，所以1,22t a a t =⎧⇒=-⎨=-⎩．所以12t ai i +=-．故选：A 点评：本题考查复数的乘法运算，考查了复数相等的定义，考查了数学运算能力． 2．已知集合{}{}22|log (32),|4A x y x B x x ==-=>，则RA B ⋃=（）A ．3|22x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭B ．{|2}x x <C ．3|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{|2}x x 答案：D根据对数型函数的定义域化简集合A 的表示，解一元二次不等式化简集合B 的表示，最后根据集合的补集和并集的定义，结合数轴进行求解即可. 解：因为{}{242B x xx x ==>或}2x <-，所以R {|22}B x x =-又因为{}23|log (32){|320}|,2A x y x x x x x ⎧⎫==-=->=<⎨⎬⎩⎭所以RA B ⋃={|2}x x .故选：D 点评：本题考查集合的补集与并集的定义，考查了数学运算能力，属于基础题.3．已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若(2)(6)0.15P P ξξ<=>=，则(24)P ξ≤<等于（）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 答案：B根据正态分布密度曲线的对称性可知，若(2)(6)P P ξξ<=>，函数的对称轴是4ξ=，所以(24)0.50.150.35P ξ≤<=-=，故选B.4．已知函数()f x 在R 上可导，则“0'()0f x =”是“0()f x 为函数()f x 的极值”的（） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C若()00f x '=，但0x 两侧没有变号，也不是极值点，()0f x 也不是函数()f x 的极值，反过来，若()0f x 是函数()f x 的极值，那0x 就是函数的极值点，即()00f x '=，所以()00f x '=是()0f x 是函数()f x 的极值的必要不充分条件，故选C.5．执行下面的程序框图，输出的S 为（）A ．17B ．27C ．47D ．67答案：A 解：考虑进入循环状态，根据程序框图可知，当i=1时，进入第一次循环，有2S 7=；当i=2时，进入第二次循环，有4S 7=；当i=3时，进入第三次循环，有1S 7=；当i=4时，进入第四次循环，有2S 7=；当i=5时，进入第五次循环，有4S 7=；当i=6时，进入第六次循环，有1S 7=；结束循环，输出1S 7=. 故选A ．6．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为78,26n S a a +=，则11S 为（） A ．66 B ．55C ．66-D ．55-答案：C根据等差数列的通项公式，结合等差数列的前n 项和公式、等差数列的下标性质进行求解即可. 解：()()781116226756a a a d a d a d a -=+-+=+==-， 1111161111662a a S a +=⨯==-．故选：C 点评：本题考查等差数列的下标性质，考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力．7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)，1,1,02⎛⎫⎪⎝⎭，按照如下图所示的方向绘制该四面体的三视图，则得到的正（主）视图可以为（）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)，1,1,02⎛⎫⎪⎝⎭，按照如下图所示的方向绘制该四面体的三视图，则得到的正（主）视图可以为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)，1,1,02⎛⎫⎪⎝⎭，按照如下图所示的方向绘制该四面体的三视图，则得到的正（主）视图可以为A ．B ．C ．D ．答案：D根据点的坐标在空间直角坐标系内画出满足条件的四面体，然后选出正（主）视图即可. 解：满足条件的四面体如左图，依题意投影到yOz 平面为正投影，所以正（主）视方向如图所示，所以得到正（主）视图效果如右图. 故选：D点评：本题考查三视图及空间点的坐标,考查了空间想象能力． 8．数()sin()f x A x ωϕ=+（其中,0,||2A πωϕ><）的图象如图所示，为了得到()3sin 3g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则只要将()f x 的图象上所有的点（）A ．向左平移6π个单位长度，纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍横坐标不变 C ．向右平移6π个单位长度，纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变 D ．向右平移3π个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变答案：D根据函数()f x 的最小值、对称中心、对称轴以及函数()f x 过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，可以求出()f x 的解析式，最后根据正弦型函数图象变换的性质进行求解即可.解：因为()f x 的最小值为1-，所以1A =，再由对称中心与对称轴的距离可得周期74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+．因为()f x 过点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得2,3k k πϕπ=+∈Z ．因为||2ϕπ<，所以3πϕ=，所以()sin 2,()3sin 233f x x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则需将()f x 向右平移3π个单位，即sin 2sin 23333f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，然后再将sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到()3sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选：D 点评：本题考查了通过正弦型三角函数的图象求解析式问题，考查了正弦型函数的图象变换性质，考查了数学运算能力．9．《九章算术》卷第五《商功》中，提到这样一种立体图形：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈（如图）．”对于这个立体图形，如果将上棱长缩短至1丈，那么它的体积为（）A ．92立方丈 B ．5立方丈 C ．4立方丈 D ．6立方丈答案：A根据题意可知该几何体分成一个直三棱柱，两个四棱锥，运用棱柱和棱锥的体积公式进行求解即可. 解：将该几何体分成一个直三棱柱，两个四棱锥，即119311(123)1232V =⨯⨯⨯+⨯-⨯=．故选：A 点评：本题考查数学文化及空间几何体的体积，考查了空间想象能力和数学运算能力． 10．已知抛物线2:4C y x =,过焦点F 3的直线与C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则MFN S ∆=（）A ．83B 83C ．163D ．33答案：B 解：设()()1122,,,P x y Q x y ，所以12121211222MFN S p y y y y y y ∆=⨯⨯-=⨯⨯-=-，直线方程是()31y x =-与抛物线方程联立，2314y y ⎛⎫=- ⎪⎭，整理为：234430y y --=，1212,43y y y y +==-，所以()2121212164163y y y y y y -=+-=+=833，故选B. 11．函数()222sin 33,144x x f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．答案：B()222sin 1x xf x x =+，它是33,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的奇函数，故D 错；又当30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥，故C 错；又()()()()223222sin cos 12sin '21x x x x x x xf x x++-=+，故'02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，选B. 点睛：判断函数的图像，不仅要从函数的奇偶性，还要看函数的一些局部性质，如局部点的切线的斜率的正负等.12．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是() A ．4a ≤ B ．46a -≤≤ C ．4a ≤或6a ≥ D ．6a ≥答案：D根据点到直线距离公式，转化34349x y a x y -++--为点P 到两条平行直线的距离之和来求解实数a 的取值范围解：依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去）故选：D.点评：本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 二、填空题13．已知()3,4a →=，(),1b x →=，若a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，则实数x 等于________．答案：7 解：∵()3,4a →=，(),1b x →=，∴()3,3a b x →→-=-又a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭∴()33120x ⨯-+= ∴7x = 故答案为714．设2521001210(32)x x a a x a x a x -+=++++，则1a 等于_________．答案：240-()()()55523212xx x x -+=--，所以含x项的系数是()()()()455411551212240C x C x x ⋅⋅-⋅-+-⋅⋅⋅-=-，所以1240a =-，故填：-240.15．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，24AB CD ==，60BAD ∠=，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD （包括端点C 、D ）有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是__________.答案：)1,+∞过C 作垂线与x 轴、双曲线分别相交于F 、E ，作出示意图，设双曲线方程为22221,(02)4x y a a a-=<<-，由题意只需E C y y ≥即可. 解：过C 作垂线与x 轴、双曲线分别相交于F 、E ，如图，设双曲线方程为22221,(02)4x y a a a-=<<-，由题意，只需E C y y ≥，即可，又由已知，4,2AB CD ==，所以1,BF CF ==C y ，当1x =时，222114y a a-=-，所以2221(4)(1)y a a =--，E y =，≥1a ≤-或1a ≥（舍），所以离心率12c e a a ==≥=+.故答案为：)1,+∞点评：本题考查求双曲线的离心率，考查学生的基本计算能力与逻辑推理能力，是一道中档题. 16．已知首项为4的数列{}n a 满足1141n n n n a a a a +++=+，若1234910S a a a a a a =+++，则S 的值为__________.答案：4由1141n n n n a a a a +++=+可得()()11113n n n n a a a a ++--=，令1nn na d a -=，则13n n d d +=-，所以数列{}n d 是周期为2的周期数列，进一步可得数列{}n a 是周期为2的周期数列，从而使问题得到解决. 解：由1141n n n n a a a a +++=+，整理得()()11113n n n n a a a a ++--=，即()()11113n n n n a a a a ++--=，令1n n n a d a -=，则13n n d d +=-，所以13n n d d +=-，213n n n d d d ++=-=，所以数列{}n d 是周期为2的周期数列，所以221n n a a ++-=1nna a -，化简得2n n a a +=，即数列{}n a 是周期为2的周期数列，由14a =得215a =，所以12349104545S a a a a a a =+++=⨯=. 故答案为：4 点评：本题主要考查数列的周期性，考查学生转化与化归的思想、数学运算求解能力，是一道有一定难度的压轴填空题.三、解答题17．已知锐角ABC 的角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，且32sin sin 32A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求角A ；（2）若角A 的平分线交BC 于点D ，且2AD ==，求a ．答案：（1）3A π=；（2（1）根据两角和的正弦公式，结合辅助角公式、特殊角的正弦值和正弦函数的图象进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合等腰三角形的性质、锐角的三角函数定义进行求解即可. 解：（1）因为212sin sin 2sin sin cos sin 322A A A A A A A A π⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11132cos 2sin 2222622A A A π⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，所以22,623A k A k k πππππ-=+⇒=+∈Z ，又02A π<<，得3A π=．（2）6BAD π∠=，由正弦定理得sin sin sin BD AD B BAD B =⇒=∠ 所以555,,4341261212B C CDA πππππππππ==--=∠=--=，所以52,2cos12AC AD DC AD π===⋅=所以a BD DC =+=点评：本题考查了正弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式的应用，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力.18．近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升.伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来.如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从80后和90后的员工中随机调查了100位，得到数据如下表：（1）根据调查的数据，是否有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；（2）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的80后、90后员工参加.80后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x ；90后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y ，求x y <的概率. 参考数据：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）.答案：（1）没有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，理由见解析（2）12（1）直接利用卡方公式计算即可；（2）“x y <”包含：“0x =，1y =”、“0x =，2y =”、“0x =，3y =”、“1x =，2y =”、“1x =，3y =”、“2x =，3y =”六个互斥事件，分别计算出6个互斥事件的概率，相加即可得到答案. 解：（1）2K 的观测值为()()()()()()221002020402060406040n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯4004001002.778 6.6355760000⨯⨯=≈<.所以没有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”.（2）“x y <”包含：“0x =，1y =”、“0x =，2y =”、“0x =，3y =”、“1x =，2y =”、“1x =，3y =”、“2x =，3y =”六个互斥事件.且()03123342336640,1400C C C C P x y C C ===⨯=，()032133423366120,2400C C C C P x y C C ===⨯=， ()03303342336640,3400C C C C P x y C C ===⨯=，()1221334233661081,2400C C C C P x y C C ===⨯=， ()123033423366361,3400C C C C P x y C C ===⨯=，()213033423366362,3400C C C C P x y C C ===⨯=，所以()4124108363620014004002P x y +++++<===.点评：本题考查独立性检验与独立事件、互斥事件的概率计算，考查学生的数学运算能力，逻辑推理能力，是一道容易题.19．已知在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，5SA SD ==，7SB =，点E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SF SC λ=，SA ∥平面BEF .（1）求实数λ的值；（2）求二面角S BE F --的正切值.答案：（1）13；（2）12（1）连接AC ，设AC BE G =，由线面平行的性质定理可得SA ∥FG ，再利用GEA GBC △∽△即可得到答案；（2）以EA ，EB ，ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，易知EA 为平面SEB 的一个法向量，再求出平面EFB 的法向量n ，利用公式cos ,m n m n m n⋅=计算即可. 解：（1）连接AC ，设ACBE G =，则平面SAC 平面EFB FG =，∵SA ∥平面BEF .，SA ∴∥FG ，GEA GBC ∽△△，12AG AE GC BC =∴=， 1123SF AG SF SC FC GC ∴==⇒=，13λ∴=. （2）5SA SD ==，SE AD ∴⊥，2SE =，又2AB AD ==，BE AD ⊥，60BAD ∠=︒，3BE ∴=222SE BE SB ∴+=，SE BE ∴⊥，又AD BE E =，SE ∴⊥平面ABCD ，以EA ，EB ，ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,3,0B，()0,0,2S ，易知EA 为平面SEB 的一个法向量，设()1,0,0m EA ==，设平面EFB 的法向量(),,n x y z =，则()(),,0,3,000n EB x y z y ⊥⇒⋅=⇒=，()(),,1,0,202n GF n AS x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=，令1z =，则2,0x y ==，所以()2,0,1n =，25cos ,m n m n m n⋅∴==，设二面角S BE F --的大小为θ，则25cos θ=，5sin θ=，所以1tan 2θ=，即所求二面角的正切值是12.点评：本题考查空间几何体及空间向量的应用，涉及到线面平行的性质定理，向量法求二面角的大小，考查学生的计算能力，是一道中档题.20．如图，椭圆22 22:1(0)x yC a ba b+=>>的右顶点为(2,0)A，左、右焦点分别为1F、2F，过点A且斜率为12的直线与y轴交于点P，与椭圆C交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点1F．（1）求点B的坐标；（2）过点P且斜率大于12的直线与椭圆交于,M N两点(||||)PM PN>，若:PAM PBNS Sλ=△△，求实数λ的取值范围．答案：（1）31,2⎛⎫--⎪⎝⎭；（2）(4,423)+（1）根据题意设出点B的坐标，代入椭圆方程中，再根据斜率公式，结合222a b c=+，进行求解即可；（2）根据已知面积之比，通过三角形面积公式可以得到2PM PNλ=-，设直线MN方程，与椭圆方程联立，根据MN斜率大于12，结合一元二次方程根与系数关系、平面向量共线坐标表示公式进行求解即可.解：（1）因为1BF x⊥轴，得到点2,bB ca⎛⎫--⎪⎝⎭，所以22222,21,3()21aabba a cca b c=⎧=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨+⎪⎪=⎩⎪=+⎩B的坐标为31,2⎛⎫--⎪⎝⎭．（2）因为1sin22(2)12sin2PAMPBNPA PM APMS PM PMS PN PNPB PN BPNλλλ⋅⋅∠===⇒=>⋅⋅∠△△，所以2PM PN λ=-．由（1）可知(0,1)P -，椭圆C 的方程是22143x y+=．设MN 方程为()()11221,,,,y kx M x y N x y =-，联立方程221,1,43y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx +--=，即得122122843(*)843k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩又()()1122,1,,1PM x y PN x y =+=+，有122x x λ=-，将122x x λ=-代入（）可得222(2)1643k k λλ-=+．因为12k >，有2221616(1,4)3434k k k =∈++，则2(2)14λλ-<<且24423λλ>⇒<<+．综上所述，实数λ的取值范围为(4,423)+．点评：本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，考查了数学运算能力.21．已知函数()()()ln 1f x x x x ax b =---，（,a b ∈R ，a ，b 为常数，e 为自然对数的底数）.（1）当1a =-时，讨论函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上极值点的个数；（2）当1a =，2b e =+时，对任意的()1,x ∈+∞都有()12xf x ke <成立，求正实数k的取值范围.答案：（1）证明见解析；（2）()2,+∞ （1）当1a =-时，()()'ln 121xfx x x b x =-+++-，记()()'g x f x b =-，利用导数研究()g x 在11,1e e ⎛⎫++⎪⎝⎭函数值的情况，将()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上极值点的个数转化为()g x b =-根的个数问题，分类讨论即可得到；（2）当1a =，2b e =+时，对任意的()1,x ∈+∞都有()12x f x k e<⋅，即()()22ln 12x x x x e x ke--++<，即()2ln 12x e x x e k x--++<⋅，记()()ln 12h x x x e =--++，()2x e x k xϕ=⋅，利用导数分别研究(),()h x x ϕ的最值，即可得到答案. 解：（1）当1a =-时，()()'ln 121xfx x x b x =-+++-，记()()'g x f x b =-，则()()()()''223211322,01211x x g x g x x x x x ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=-+==⇒=---，当131,2x e ⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()'0g x <，3,12x e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，所以当32x =时，()g x 取得极小值6ln 2-，又1212g e e e ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()1124g e e e+=++，()()'0f x g x b =⇔=-，当6ln 2b -≤-，即ln 26b ≥-时，()'0f x ≥，函数()f x 在区间11,1e e⎛⎫++ ⎪⎝⎭上无极值点；当26ln 22b e e -<-<++即22ln 26e b e---<<-时，'0f x 有两不同解，函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上有两个极值点；当21224e b e e e ++≤-<++即12242e b e e e---<≤---时，'0f x 有一解，函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上有一个极值点；当124b e e -≥++即124b e e ≤---时，()'0f x ≤，函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上无极值点.（2）当1a =，2b e =+时，对任意的()1,x ∈+∞都有()12x f x k e <⋅，即()()22ln 12x x x x e x ke --++<，即()2ln 12x e x x e k x--++<⋅记()()ln 12h x x x e =--++，()2x e x k xϕ=⋅，由()'12111x h x x x -=-=--，当12x <<时()'0h x >，当2x >时，()'0h x <，所以当2x =时，()h x 取得最大值，最大值为()2h e =，又()()222'221222x x xk e x e e x x k x x ϕ⋅--=⨯=，当12x <<时，()'0x ϕ<，当2x >时，()'0x ϕ>，所以当2x =时，()x ϕ取得最小值2ke ，所以只需要22kee k <⇒>，即正实数k 的取值范围是()2,+∞. 点评：本题考查函数与导数综合及不等式恒成立问题，考查学生的分类讨论的思想以及逻辑推理能力，是一道有一定难度的压轴题.22．已知直线l的参数方程为1x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为24cos sin 40ρρθθ--+=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求OA OB ⋅.答案：（1）直线l 的普通方程是y =，曲线C 的直角坐标方程是()(2223x y -+-=；（2）4 （1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将3πθ=代入曲线C 的极坐标方程得2540ρρ-+=，利用A B OA OB ρρ⋅=计算即可. 解：（1）由1x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数t ，得直线l的普通方程)1y x =-，即y =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入24cos sin 40ρρθθ--+=中，得22440x y x +--+=，即()(2223x y -+=，曲线C 的直角坐标方程是()(2223x y -+=（2）直线l 的极坐标方程是3πθ=，代入曲线C 的极坐标方程得2540ρρ-+=，故可得4A B ρρ⋅= 所以4A B OA OB ρρ⋅==.点评：本题考查直角坐标、极坐标、参数方程互化，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 23．已知()|23|,()|21|f x x g x x =+=-．（1）求不等式()()2f x g x <+的解集；（2）若存在x ∈R ，使得()(1)|32|f x g x a >++-成立，求实数a 的取值范围．答案：（1）(,0)-∞；（2）40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）根据绝对值的性质分类讨论求解不等式的解集；（2）利用绝对值的性质进行求解即可. 解：（1）不等式()()2f x g x <+等价于3,2(23)(21)2x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩或31,22(23)(21)2x x x ⎧-≤⎪⎨⎪++-<⎩或12(23)(21)2x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩，解得32x <-或302x -<，所以不等式()()2f x g x <+的解集是(,0)-∞．（2）()(1)|23||21||2321|2f x g x x x x x -+=+-++--=，|32|2a ∴-<，故实数a 的取值范围是40,3⎛⎫⎪⎝⎭．点评：本题考查了用分类讨论法求解绝对值不等式，考查了用绝对值的性质求解不等式能成立问题，考查了数学运算能力.。

全国100所名校单元测试示范卷

全国100所名校单元测试示范卷第一部分: 选择题1.下列选项中，哪个是正确的数学等式? A. 3 + 4 = 8 B.5 x 2 = 12 C. 10 - 9 = 3 D.6 ÷ 3 = 22.以下哪个数字是质数? A. 4 B. 8 C. 15 D. 233.一个矩形的长度是6cm，宽度是4cm。

计算其面积是多少？ A. 18cm² B. 24cm C. 12cm D. 10cm²4.下面哪个选项是大写字母“K”的摩尔斯电码? A. .-. B. -.. C. -.-. D. -.-5.以下哪个国家是世界上面积最大的国家? A. 俄罗斯B. 加拿大C. 美国D. 中国第二部分: 填空题1.我国的国旗共有__5__个金星。

2.人们常说“知识就是__力量__”。

3.在太阳系中，地球是__第三__颗最靠近太阳的行星。

4.一年有__365__天。

5.“三国演义”是__罗贯中__所写的一部古代小说。

第三部分: 解答题1.描述一下电的导体和绝缘体的区别。

答: 导体是那些可以允许电流通过的材料，而绝缘体则是不允许电流通过的材料。

导体通常是金属，它们具有自由电子，可以很容易地传导电流。

绝缘体一般是非金属物质，它们的电子结构使得电流难以通过。

因此，导体可以作为电路中的连接器，而绝缘体可以用来隔离电线，防止电流泄漏。

2.解释一下水的三态。

答: 水可以存在于三种不同的态：固态、液态和气态。

在固态下，水分子紧密排列在一起，并形成具有固定形状和体积的冰晶。

在液态下，水分子仍然紧密排列，但是不再保持固定形状，并且可以流动和改变体积。

在气态下，水分子之间的吸引力很小，它们以高速运动并分散在空气中。

改变水的温度和压力可以使其在不同的态之间转化。

3.解释一下什么是生态系统。

答: 生态系统是由生物群落和与其交互作用的物理环境组成的。

它包括生物、非生物因素以及它们之间的相互作用。

一个生态系统可以是非常小的，如一个水塘，也可以是非常大的，如一个森林。

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2019年4月全国100所名校单元测试示范卷数学（五）函数的综合应用（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）a、b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a，0}，f：x→2x表示把集合M中的元素x，映射到集合N中为2x，则a+b等于（）A．﹣2B．0C．2D．±22．（5分）已知函数f（x）＝则f[f（﹣1）]等于（）A．B．2C．1D．﹣13．（5分）函数y＝（a＞1）的图象大致形状是（）A．B．C．D．4．（5分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x﹣2x+m（m为常数），则f（﹣2）等于（）A．﹣B．﹣1C．1D．35．（5分）记min{a，b}为a，b两个数的较小者，max{a，b}为a，b两个数的较大者，f（x）＝则的值为（）A．min{a，b}B．max{a，b}C．b D．a6．（5分）已知f（x+199）＝4x2+4x+3（x∈R），那么函数f（x）的最小值为（）A．1B．2C．3D．57．（5分）函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数、若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，那么f（x）在[2，3]上是（）A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数8．（5分）已知y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，它们的定义域均为[﹣π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣，）B．（，π）C．（﹣，）∪（，π）D．（﹣，0）∪（，π）9．（5分）已知函数f（x）＝﹣mx3+nx2的图象在点（﹣1，2）处的切线恰好与直线3x+y＝0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣2，﹣1]D．[﹣2，+∞）10．（5分）已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，都有f（x+2）＝2f（x）；③当x∈[﹣1，1]时f（x）＝﹣|x|+1．则方程f（x）＝log4|x|在区间[﹣7，7]内的解个数是（）A．10B．9C．8D．1211．（5分）2011年3月发生在日本的9级大地震虽然过去多年了，但它对日本的核电站的破坏却是持续的，其中有一种放射性元素铯137在其衰变过程中，假设近似满足：其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）＝M0，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是﹣10ln2（太贝克/年），则M（60）等于（）A．5太贝克B．72ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克12．（5分）已知函数f（x）＝lnx++ax，x∈（0，+∞）（a为实常数）．若f（x）在[2，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．（﹣∞，0）∪[，+∞]D．（﹣∞，0）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．（5分）函数f（x）＝log0.1|x﹣1|的定义域是．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）＝1且对任意x∈R都有f（x+3）＝f （x），则f（2014）＝．15．（5分）若lgx+lgy＝0，则2x•2y的最小值是．16．（5分）抛物线y2＝3x与圆x2+y2＝4围成的封闭图形的面积是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）（1）已知f（+1）＝x+2，求f（x），f（x+1），f（x2）；（2）已知2f（x）+f（）＝10x，求f（x）．18．（12分）甲乙两地需修建一条240公里的高速公路，该段高速公路两端的收费站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的收费站之间修路面和等距离修建安全出口．经预算，修建一个安全出口的工程费用为400万元．铺设距离为x公里的相邻两安全出口之间的道路费用为x2+x万元．设余下工程的总费用为y万元．（1）试将y表示成关于x的函数；（2）需要修建多少个安全出口才能使y最小，其最小值为多少万元？19．（12分）设函数y＝f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）＝f（x）+f（y），f（）＝1，且当x＞0时，f（x）＜0．（1）求f（0）的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x的取值范围．20．（12分）函数f（x）的图象是[﹣2，2]上连续不断的曲线，且满足2014f（﹣x）＝，且在[0，2]上是增函数，若f（log2m）＜f[log4（m+2）]成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（a+）lnx+﹣x（a＞1）．（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a∈[3，+∞）时，曲线y＝f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2）），使得曲线y＝f（x）在点P，Q处的切线互相平行，求证：x1+x2＞．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax（a∈R）．（1）求f（x）的极值；（2）若f（x）≥x+b恒成立，求（a+1）b的最大值．2019年4月全国100所名校单元测试示范卷数学（五）函数的综合应用（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）a、b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a，0}，f：x→2x表示把集合M中的元素x，映射到集合N中为2x，则a+b等于（）A．﹣2B．0C．2D．±2【解答】解：由于M中元素1能对应a，能对应0，所以＝0，a＝2，所以b＝0，a＝2，因此a+b＝2．故选：C．2．（5分）已知函数f（x）＝则f[f（﹣1）]等于（）A．B．2C．1D．﹣1【解答】解：函数f（x）＝，则f[f（﹣1）]＝f[﹣（﹣1）3）]＝f（1）＝＝2．故选：B．3．（5分）函数y＝（a＞1）的图象大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：当x＞0时，y＝a x，因为a＞1，所以是增函数，排除C、D，当x＜0时，y＝﹣a x，是减函数，所以排除A．故选：B．4．（5分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x﹣2x+m（m为常数），则f（﹣2）等于（）A．﹣B．﹣1C．1D．3【解答】解：根据已知条件，f（0）＝0；∴1+m＝0；∴m＝﹣1；∴x≥0时，f（x）＝2x﹣2x﹣1；∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣（4﹣4﹣1）＝1．故选：C．5．（5分）记min{a，b}为a，b两个数的较小者，max{a，b}为a，b两个数的较大者，f（x）＝则的值为（）A．min{a，b}B．max{a，b}C．b D．a【解答】解：若a＞b，则a﹣b＞0，∴f（a﹣b）＝1．∴原式＝＝b．若a＜b，a﹣b＜0，∴f（a﹣b）＝﹣1．∴原式＝＝a．所以＝min{a，b}．故选：A．6．（5分）已知f（x+199）＝4x2+4x+3（x∈R），那么函数f（x）的最小值为（）A．1B．2C．3D．5【解答】解：求f（x）的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y＝f（x+199）与y＝f（x），其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由y＝4x2+4x+3＝4（x+）2+2，所以f（x）的最小值即f（x+199）的最小值是2．故选：B．7．（5分）函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数、若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，那么f（x）在[2，3]上是（）A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数【解答】解：∵偶函数f（x）在[﹣1，0]上是减函数，∴f（x）在[0，1]上是增函数．由周期为2知该函数在[2，3]上为增函数．故选：A．8．（5分）已知y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，它们的定义域均为[﹣π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣，）B．（，π）C．（﹣，）∪（，π）D．（﹣，0）∪（，π）【解答】解：＜0⇒f（x）与g（x）在同一区间内符号相反，由图可知当x∈（0，π）时，两者异号的区间为（，π），又f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，∴它们在[﹣π，0]上的图象大致为如图所示，可知其异号的区间为（﹣，0），∴＜0的解集为（﹣，0）∪（，π）．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）＝﹣mx3+nx2的图象在点（﹣1，2）处的切线恰好与直线3x+y＝0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣2，﹣1]D．[﹣2，+∞）【解答】解：∵f（x）＝﹣mx3+nx2，∴f′（x）＝﹣3mx2+2nx，∴f′（﹣1）＝﹣3m﹣2n，∵函数f（x）＝﹣mx3+nx2的图象在点（﹣1，2）处的切线恰好与直线3x+y＝0平行，∴，解得m＝﹣1，n＝3，∴f′（x）＝3x2+6x，令f′（x）＝3x2+6x≤0，解得﹣2≤x≤0，∴函数f（x）在[﹣2，0]上单调递减，∵f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，∴，解得﹣2≤t≤﹣1．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，都有f（x+2）＝2f（x）；③当x∈[﹣1，1]时f（x）＝﹣|x|+1．则方程f（x）＝log4|x|在区间[﹣7，7]内的解个数是（）A．10B．9C．8D．12【解答】解：令﹣3≤x≤﹣1则﹣1≤x+2≤1，∵f（x+2）＝2f（x），∴f（x）＝（1﹣|x+2|）（﹣3≤x≤﹣1）①令﹣5≤x≤﹣3则﹣1≤x+4≤1，f（x+4）＝1﹣|x+4|，又f（x+4）＝2f（x+2）＝4f（x），∴f（x）＝（1﹣|x+4|）（﹣5≤x≤﹣3）②则﹣7≤x≤﹣5时，f（x）＝（1﹣|x+6|）③当1≤x≤3时，﹣1≤x﹣2≤1，f（x﹣2）＝1﹣|x﹣2|又f（x﹣2）＝f（x），即f（x）＝2（1﹣|x﹣2|），同理3≤x≤5时，f（x）＝4（1﹣|x﹣4|）④当5≤x≤7时，f（x）＝8（1﹣|x﹣6|）⑤如图所示f（x）的图象，再画出y＝log4|x|的图象，观察得出交点数为8，即方程f（x）＝log4|x|在区间[﹣7，7]内的解个数是8．故选：C．11．（5分）2011年3月发生在日本的9级大地震虽然过去多年了，但它对日本的核电站的破坏却是持续的，其中有一种放射性元素铯137在其衰变过程中，假设近似满足：其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）＝M0，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是﹣10ln2（太贝克/年），则M（60）等于（）A．5太贝克B．72ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克【解答】解：因为M（t）＝M0，其中M0为t＝0时铯137的含量．铯137含量的变化率为M'（t）＝﹣M0ln2，所以当t＝30时，M'（30）＝﹣M0ln2＝﹣ln2＝﹣10ln2，所以M0＝600，可解得M（60）＝150．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝lnx++ax，x∈（0，+∞）（a为实常数）．若f（x）在[2，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．（﹣∞，0）∪[，+∞]D．（﹣∞，0）∪（，+∞）【解答】解：f′（x）＝﹣+a＝，当a≥0时，ax2+x﹣1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求．当a＜0时，令g（x）＝ax2+x﹣1，g（x）在[2，+∞）上只能恒小于零，故△＝1+4a≤0或解得a≤﹣，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．（5分）函数f（x）＝log0.1|x﹣1|的定义域是{x|x∈R且x≠1}．【解答】解：∵|x﹣1|＞0，∴x∈R且x≠1．故答案为：{x|x∈R且x≠1}．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）＝1且对任意x∈R都有f（x+3）＝f （x），则f（2014）＝1．【解答】解：由f（x+3）＝f（x）知，f（x）是以周期为3的周期函数．所以f（2014）＝f（671×3+1）＝f（1）＝f（3﹣2）＝f（﹣2）由于f（x）是定义在R上的偶函数，则有f（﹣2）＝f（2）＝1．故答案为：1．15．（5分）若lgx+lgy＝0，则2x•2y的最小值是4．【解答】解：∵lgx+lgy＝0，∴lgxy＝0，∴x＞0，y＞0，xy＝1，∴x+y＝2，∴2x•2y＝2x+y≥22＝4．当且仅当x＝y＝时取等号，∴2x•2y的最小值为4．故答案为：4．16．（5分）抛物线y2＝3x与圆x2+y2＝4围成的封闭图形的面积是π+．【解答】解：得或，如图，则抛物线y2＝3x与AB围成的图形面积是S＝2dx＝2×＝，因为A的坐标是A（1，），所以∠AOx＝，劣弧AB与弦AB围成的面积是π•22﹣×2＝π﹣，所以抛物线与圆围成的封闭图形面积是+π﹣＝π+．故答案为：π+．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）（1）已知f（+1）＝x+2，求f（x），f（x+1），f（x2）；（2）已知2f（x）+f（）＝10x，求f（x）．【解答】解：（1）设t＝+1≥1，则＝t﹣1（t≥1），即x＝（t﹣1）2，∴f（t）＝（t﹣1）2+2（t﹣1）＝t2﹣1（t≥1），∴f（x）＝x2﹣1（x≥1），∴f（x+1）＝（x+1）2﹣1＝x2+2x（x≥0），∴f（x2）＝x4﹣1（x≤﹣1或x≥1）．（2）由2f（x）+f（）＝10x，用代换x可得2f（）+f（x）＝1，两式联立消去f（）可得f（x）＝×10x﹣×118．（12分）甲乙两地需修建一条240公里的高速公路，该段高速公路两端的收费站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的收费站之间修路面和等距离修建安全出口．经预算，修建一个安全出口的工程费用为400万元．铺设距离为x公里的相邻两安全出口之间的道路费用为x2+x万元．设余下工程的总费用为y万元．（1）试将y表示成关于x的函数；（2）需要修建多少个安全出口才能使y最小，其最小值为多少万元？【解答】解：（1）设需要修建k个增压站，则（k+1）x＝240，即k＝﹣1．所以y＝400k+（k+1）（x2+x）＝．因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤240．故y与x的函数关系是y＝（0＜x≤240）．（2）y＝≥．当且仅当，即x＝20时取等号．此时，．故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9440万元．19．（12分）设函数y＝f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）＝f（x）+f（y），f（）＝1，且当x＞0时，f（x）＜0．（1）求f（0）的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x的取值范围．【解答】解：（1）令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），∴f（0）＝0（2）令y＝﹣x，得f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）是R上的奇函数（3）f（x）是R上的减函数，证明如下：任取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）＜0∴f（x1）＞f（x2）故f（x）是R上的减函数，令x＝y＝，∴f（）＝f（）+f（）＝2，∵f（x）+f（2+x）＜2，∴f（2+2x）＜f（），∴2+2x＞，解得x＞，故x的取值范围为（，+∞）20．（12分）函数f（x）的图象是[﹣2，2]上连续不断的曲线，且满足2014f（﹣x）＝，且在[0，2]上是增函数，若f（log2m）＜f[log4（m+2）]成立，求实数m的取值范围．【解答】解：∵2014f（﹣x）＝，即2014f（﹣x）＝2014﹣f（x），可得f（﹣x）＝﹣f （x）；又因为函数的定义域[﹣2，2]关于原点对称，所以函数f（x）为奇函数；由奇函数的性质可知，函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的；而已知函数f（x）在[0，2]上是单调递增的，所以函数f（x）在[﹣2，0]上也是单调递增的；故由f（log2m）＜f[log4（m+2）]，可得；由﹣2≤log2m≤2，解得≤m≤4；由﹣2≤log4（m+2）≤2，解得≤m+2≤16，即﹣≤m≤14；由log2m＜log4（m+2），得log4m2＜log4（m+2），解得0＜m＜2；得0＜m＜2；综上所述，m的取值范围为[，2）．21．（12分）已知函数f（x）＝（a+）lnx+﹣x（a＞1）．（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a∈[3，+∞）时，曲线y＝f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2）），使得曲线y＝f（x）在点P，Q处的切线互相平行，求证：x1+x2＞．【解答】解：（1）由已知，得x＞0，＝﹣．由f′（x）＝0，得．因为a＞1，所以0，且a．所以在区间（0，）上，f′（x）＜0；在区间（，1）上，f′（x）＞0．故f（x）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增．证明：（2）由题意可得，当a∈[3，+∞）时，f′（x1）＝f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）．即＝，所以a+＝，a∈[3，+∞）．因为x1，x2＞0，且x1≠x2，所以恒成立，所以，又x1+x2＞0，所以，整理得，令g（a）＝，因为a∈[3，+∞），所以a+单调递增，g（a）单调递减，所以g（a）在[3，+∞）上的最大值为g（3）＝，所以．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax（a∈R）．（1）求f（x）的极值；（2）若f（x）≥x+b恒成立，求（a+1）b的最大值．【解答】解：（1）由题意可得f'（x）＝e x﹣a，显然，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）不存在极值．当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞lna，当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，所以x＝lna时，函数f（x）取得极小值，f（lna）＝a﹣alna.4分（2）f（x）≥x+b恒成立，即e x﹣ax≥x+b，得e x﹣（a+1）x≥b．（i）若a+1＜0，对任意实数b，x＜0时，因为e x＜1，所以e x﹣（a+1）x＜1﹣（a+1）x，令1﹣（a+1）x＜b，得x＜，因此，a+1＜0，f（x）≥x+b不恒成立．（ii）若a+1＝0，则（a+1）b＝0．（iii）若a+1＞0，设g（x）＝e x﹣（a+1）x，则g'（x）＝e x﹣（a+1），当x∈（﹣∞，ln（a+1））时，g'（x）＜0，当x∈（ln（a+1），+∞）时，g'（x）＞0，从而g（x）在（﹣∞，ln（a+1））上单调递减，在（ln（a+1），+∞）上单调递增，故g（x）有最小值，g（ln（a+1））＝a+1﹣（a+1）ln（a+1），所以f（x）≥x+b恒成立等价于b≤a+1﹣（a+1）ln（a+1），因此（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），10分设h（a）＝（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），则h'（a）＝（a+1）（1﹣2ln（a+1）），所以h（a）在（﹣1，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，故h（a）在a＝﹣1处取得最大值h（﹣1）＝，从而h（a）≤，即（a+1）b≤，所以（a+1）b的最大值是.12分．。