《整式乘法》(第3课时)示范公开课教学设计【北师大版七年级数学下册】

第一章整式的乘除1.4整式的乘法第3课时教学设计一、教学目标1.在具体情境中了解多项式乘法的意义，会利用法则进行简单的多项式乘法运算．2.掌握多项式与多项式的乘法的法则的推导及综合运用．3.经历探索多项式与多项式乘法法则的过程，理解多项式与多项式相乘的运算算理，体会乘法分配律的作用及转化思想在解决问题过程中的应用，发展学生有条理的思考和语言表达能力．二、教学重点及难点重点：对单项式乘以多项式运算的算理的理解．难点：理解多项式与多项式相乘的运算算理．三、教学准备多媒体课件四、相关资源相关图片五、教学过程【复习回顾】1.单项式乘以单项式法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的一个因式．2.单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．设计意图：通过提问让学生回顾已学知识，为本节课的学习作铺垫．【探究新知】图1-1是一个长和宽分别为m ，n 的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a ，b ，所得长方形（图1-2）的面积可以怎样表示？1：长方形的长为（m +a ），宽为（n +b ），所以面积可以表示为)()m a n b ++（．2：长方形可以看做是由四个小长方形拼成的，四个小长方形的面积分别为mn ，mb ，an ，ab ，所以长方形的面积可以表示为mn mb an ab +++．3：长方形可以看做是由上下两个长方形组成的，上面的长方形面积为b （m +a ），下面的长方形面积为n （m +a ），这样长方形的面积就可以表示为n （m +a ）+ b （m +a ）．根据上节课单项式乘多项式的法则，结果等于nm na bm ba +++．4：长方形可以看做是由左右两个长方形组成的，左边的长方形面积为m （b +n ），右边的长方形面积为a （b +n ），这样长方形的面积就可以表示为m （b +n ）+ a （b +n ），根据上节课单项式乘多项式的法则，结果等于mb mn ab an +++． 总结并板书，由于求的是同一个长方形的面积，于是我们得到：)()m a n b ++（=()()n m a b m a +++=()()m b n a b n +++=mn mb an ab +++． 引导学生观察理解这个等式，式子的最左边是两个多项式相乘，最右边是相乘的结果．m mnan图1-1图1-2多项式与多项式乘法法则：:学科K ]多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表述为：设计意图：引导学生通过观察、实验、类比、归纳获得数学猜想． 在上一课时中，学生已经有了利用图形面积探究法则的经验，因此用不同方法计算同一图形面积猜想出多项式乘法法则并不困难，顺利引出新课．【典型例题】例1．（1）(1)(0.6)x x --； （2）(2)()x y x y +-；解： (1)(1-x ) (0．6-x )=1×0． 6-1×x -x ×0．6+x ×x =0．6-x -0．6x +x 2=0．6-1．6x +x 2； (2) (2x +y )(x -y )=2x ·x -2x ·y +y ·x -y ·y =2x 2-2xy +xy -y 2=2x 2-xy -y 2； 例2.计算以下各题：（1）35a b （＋）（＋）；（2）323x y x y （－）（＋）； （3）a b a b （－）（＋）；（4）22a b a ab b （－）（＋＋）． 解：（1）35a b （＋）（＋） ＝ab ＋5a ＋3b ＋15； （2）()()323x y x y -+ ＝6x 2＋9xy －2xy －3y 2 ＝6x 2＋7xy －3y 2 （3）a b a b （－）（＋） ＝a 2＋ab －ab －b 2 ＝a 2－b 2；（4）22a b a ab b （－）（＋＋）＝a 3＋a 2b ＋ab 2－a 2b －ab 2－b 3 ＝a 3－b 3．设计意图：多项式乘以多项式的具体应用，通过教师演示向学生提供严格的书写过程，培养学生严谨的思维训练．例3.先化简，再求值：()()()233164a a a a -+--其中a ＝217解： ()()()233164a a a a -+-- ＝6a 2＋2a －9a －3－6a 2＋24a ＝17a －3； 当a ＝217时，原式＝17×217－3＝－1． 例4.（1）（x －4）（x ＋8）＝x 2＋mx ＋n ，则m ，n 的值分别是（ ）．B A ．4，32 B ．4，－32 C ．－4，32 D ．－4，－32（2）一个三角形的底边长是2a ＋6b ，此底边上的高是4a －5b ，则这个三角形的面积是_______．4a 2＋7ab －15b 2．设计意图：多项式乘以多项式的灵活应用. 【随堂练习】1.（1）(3x －1)(4x ＋5)= ．212115x x +-； （2）(－4x －y )(－5x ＋2y )= ．222032x xy y -- （3）(x ＋3)(x ＋4)－(x －1)(x －2)= ．10x ＋10 （4）(y －1)(y －2)(y －3)= ．326116y y y -+- （5）当k = 时，多项式x －1与2－kx 的乘积不含一次项．－2 （6）若212a a ++=，则(5－a )(6＋a )= ．29设计意图：为学生提供演练机会，加强对多项式乘多项式法则的理解及掌握． 2.（1）计算(2a －3b )(2a ＋3b )的正确结果是（ ）．B A ．2249a b + B ．2249a b - C ．224129a ab b ++ D ．224129a ab b ++ （2）若(x ＋a )(x ＋b )=2x kx ab -+，则k 的值为（ ）．B A ．a ＋b B ．－a －b C ．a －b D ．b －a（3）计算22(23)(469)x y x xy y -++的正确结果是（ ）．C A ．2(23)x y - B ．2(23)x y + C ．33827x y - D ．33827x y +（4）2(3)()x px x q -+-的乘积中不含2x 项，则（ ）．CA．p=q B．p=±qC．p=－q D．无法确定3.计算下列各式（1）(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1)；（2）(3x＋2y)(2x＋3y)－(x－3y)(3x＋4y)．解：（1）(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1)（2）(3x＋2y)(2x＋3y)－(x－3y)(3x＋4y)4．先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1．分析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算．解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2．当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21．5．小明在进行两个多项式的乘法运算时（其中的一个多项式是b－1），把“乘以（b－1）”错看成“除以（b－1）”，结果得到（2a－b），请你帮小明算算，另一个多项式是多少？解：设所求的多项式是M，则M＝（2a－b）（b－1）＝2ab－2a－b2＋b．6．已知（x＋a）（x2－x＋c）的积中不含x2项和x项，求（x＋a）（x2－x＋c）的值是多少？解：∵（x＋a）（x2－x＋c）＝x3－x2＋cx＋ax2－ax＋ac＝x3＋（a－1）x2＋（c－a）x＋ac，又∵积中不含x2项和x项，∴a－1＝0，c－a＝0，解得a＝1，c＝1．又∵a＝c＝1，∴（x＋a）（x2－x＋c）＝x3＋1．7．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a bc d＝ad－bc，上述记号就叫做2阶行列式．若6 5 616 1 65x xx x+---＝－20，求x的值．解：先根据定义，将6 5 616 1 65x xx x+---转化为（6x＋5）（6x－5）－（6x－1）2＝－20，再进行化简．()() 225656 x x x x=++-+-()() 2222 694634912x xy xy y x xy xy y =+++-+--222261363512x xy y x xy y=++-++2231818x xy y=++去括号，得36x2－25－（36x2－12x＋1）＝－20，整理，得36x2－25－36x2＋12x－1＝－20．移项，合并同类项，得12x＝6．系数化为1，得x＝12．设计意图：熟练运用多项式乘以多项式法则进行运算，并进行综合运用.8.（1）计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23．（2）解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4．解：去括号后得x2－5x＋6＝x2＋10x＋9＋4，移项、合并同类项得－15x＝7，解得x＝715．设计意图：与方程相联系，提高运算能力.9．千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．分析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的差，可得答案．解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab(平方米)．当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63(平方米)，故绿化的面积是63平方米．设计意图：掌握长方形的面积公式和多项式乘多项式法则是解题的关键．六、课堂小结1．多项式乘法，将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘．2．运用法则时，要有序地逐项相乘，做到不重不漏．3．在计算含有多项式乘法的混合运算时，要注意运顺顺序，计算结果要化简．设计意图：通过归纳总结，使学生熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则，并能灵活地运用法则进行计算．七、板书设计。