2019-2020学年北京市西城区高三上学期期末数学试卷--带答案
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高三数学参考答案 2020.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C5．A 6．A 7．B 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1010 11．3 12．3 13．答案不唯一，如2211648x y -= 14．1232；5 注：第14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为1()2cos cos )2f x x x x =⋅-……………… 2分2cos cos x x x-112cos222x x -- ……………… 5分π1sin(2)62x =--， ……………… 7分 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………… 8分 （Ⅱ）因为π02x -≤≤，所以7πππ2666x ---≤≤． ……………… 9分 所以当ππ262x -=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值32-. ……………… 11分 当π7π266x -=-，即π2x =-时，()f x 取得最大值0． ……………… 13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ，……………… 1分由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，……………… 2分所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==. ……………… 3分（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 4分因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， ……………… 5分 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=， ……………… 6分 12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， ……………… 7分 22211(2)C ()525P X ==⨯=. ……………… 8分 所以随机变量X 的分布列为：……………… 9分 故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 10分 （Ⅲ）答案不唯一，言之有理即可.如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++， 乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++， ……………… 12分 因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市. …………… 13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱.连接1A C . 设11AC AC E =I ，则E 是1A C 的中点.B 1CD B AA 1C 1 E连接DE . 由D ，E 分别为BC 和1A C 的中点，得1//DE A B . ……………… 2分又因为DE ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，所以1//A B 平面1AC D . ……………… 4分 （Ⅱ）取11B C 的中点F ，连接DF .因为△ABC 为正三角形，且D 为BC 中点，所以AD BC ⊥.由D ，F 分别为BC 和11B C 的中点，得1//DF BB ，又因为1BB ⊥平面ABC ，所以DF ⊥平面ABC ，所以DF AD ⊥，DF BC ⊥. 分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，… 5分 则A ，1(1,2,0)C ，(1,0,0)C ，(0,0,0)D ，(1,0,0)B -，所以1(1,2,0)DC =u u u u r ，DA =u u u r ，(CA =-u u u r ，1(0,2,0)CC =u u u u r ， …… 6分 设平面1AC D 的法向量1111(,,)x y z =n ，由10DA ⋅=u u u r n ，110DC ⋅=u u u u r n ，得1110,20,x y =+=⎪⎩ 令11y =，得1(2,1,0)=-n . ……………… 8分 设平面1AC C 的法向量2222(,,)x y z =n ，由20CA ⋅=u u u r n ，120CC ⋅=u u u u r n ，得2220,20,x y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 令21z =，得2=n . ……………… 9分 设二面角1C AC D --的平面角为θ，则 1212|cos |||||||θ⋅==⋅n n n n ， 由图可得二面角1C AC D --为锐二面角，所以二面角1C AC D --. ……………… 10分 （Ⅲ）结论：直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 11分证明：因为(1,0,AB =-u u u r ，11//A B AB ，且11=A B AB ，所以11(1,0,A B =-u u u u r . ……………… 12分又因为平面1AC D 的法向量1(2,1,0)=-n ，且11120A B ⋅=≠u u u u r n ，所以11A B u u u u r 与1n 不垂直，所以11A B ⊄平面1AC D ，且11A B 与平面1AC D 不平行，故直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，得F，直线(l y k x =：（0k ≠）， ……………… 2分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(1,4y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y，得2222(41)(124)0k x x k +-+-=，…… 3分 显然0∆>，12x x +=， ……………… 4分 则点M的横坐标122M x x x +=， ……………… 5分因为22041M x k =>+， 所以点M 在y 轴的右侧. ……………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得点M的纵坐标(M M y k x ==. ……………… 7分即M .所以线段AB 的垂直平分线方程为：1(y x k +=-. ……… 8分令0x =，得2(0,)41D k +；令0y =，得22(,0)41C k +. ……………… 9分所以△ODC 的面积222127||||22(41)ODC k k S k ∆⋅=⋅⋅+， ……… 10分△CMF 的面积22213(1)|||22(41)CMF k k S k ∆+⋅=⋅⋅=+. …… 11分 因为△ODC 与△CMF 的面积相等，所以22222227||3(1)||2(41)2(41)k k k k k k ⋅+⋅=++，解得k =.所以当△ODC 与△CMF 的面积相等时，直线l 的斜率4k =±. ……… 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+, ……………… 2分 所以(0)1f =，(0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. …………… 4分 （Ⅱ）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+， 则(0)0f '=. … …………… 5分当0x >时，由e 10,0x x ->>，得()e 10x f x x '=-+>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………… 7分 当0x <时，由e 10,0x x -<<，得()e 10x f x x '=-+<，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减.综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. … 8分 （Ⅲ）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立. 设()e (1)xg x a x b =-+-， ……………… 9分则()e (1)x g x a '=-+.由()e (1)0x g x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）. ……………… 10分 随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-.由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤. …………… 12分 设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--.因为当10ex <<时，ln 10x -->； 当1e x >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减. 所以当1e x =时，max 11()()1e eh x h ==+. 所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11e a =-，2e b =时，b a -有最大值为11e+. …………… 14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）答案不唯一. 如{1,2,3,,100}A =L ； ……………… 3分 （Ⅱ）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈L 使得0x A ∈, ……………… 4分 令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈， ……………… 6分 由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾， 所以任意{101,102,,200}x ∈L ，x A ∉. ……………… 8分 （Ⅲ）设集合{201,202,,205}A I L 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<<L ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<L ，由（Ⅱ），得100100m a b -=≤. 假设100b m >-，则1000b m -+>.因为10010010055100b m m -+-+=<-≤，由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤， 所以由（Ⅱ）可得100100100m b m a a --++≤， 这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤， 又因为121001m a a a -<<<L ≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤. ……………… 10分 任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-L U U ， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤.若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈.故集合0A 符合题意， ……………… 12分 所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同， 故满足条件的集合A 有4216=个. ……………… 13分。
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数i1i =+（ ） （A ）1i 22+ （B ）1i 22- （C ）1i 22-+ （D ）1i 22--2．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ） （A ）2cos ρθ= （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=-3．已知向量(3,1)=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（ ） （A ）(3,1)- （B ）(1,3)-- （C ）(3,1)-- （D ）(1,3)-4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15-5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）（A ）[1,4] （B ）[1,5] （C ）4[,4]5（D ）4[,5]56．已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ） （A ）1a b >- （B ）1a b >+ （C ）||||a b > （D ）22a b >7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的 体积是（ ） （A ）8 （B ）83（C ）4 （D ）438．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：① 3(03)y x x =-+≤≤； ② 22(20)y x x =--≤≤； ③ 1(0)y x x=->．其中，Γ型曲线的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 函数21()log f x x=的定义域是______．10．若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0)，则实数k =______．11．如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线．若3PA BC =，则PBBC=______．12. 已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111na a a +++=L ______．13. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若25b =，4B π∠=， 5sin 5C =，则c = ；a = ．14. 有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知card()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅I ，且card()2A =，card()3B =.若集合X 满足A X M ⊆⊆，则集合X 的个数是_____；若集合Y 满足Y M ⊆，且A Y ⊄，B Y ⊄，则集合Y 的个数是_____.（用数字作答）三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈.（Ⅰ）求()f x 的零点； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X ，求X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．18.（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a L .如果数列12:,,,n n B b b b L 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-， 其中2,3,,k n =L ，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ；（Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n =L 项取出，构成数列:,,,i i i i a b c ΩL . 证明：i Ω是等差数列.北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2. B ；3. D ；4. C ；5. D ；6. A ；7. D ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.{|01x x <<，或1}x >； 10.18； 11.12；12.2，1(14)3n--； 13.6； 14.256，672.注：12、13、14题第一问2分，第二问3分；9题结论正确但表示形式非集合，扣1分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分） 解法一：（Ⅰ）解：令()0f x =，得 sin cos )0x x x ⋅+=， ………………1分所以sin 0x =，或tan x =. ………………3分 由 sin 0x =，π[,π]2x ∈，得πx =； ………………4分由 tan x =，π[,π]2x ∈，得5π6x =. ………………5分 综上，函数)(x f 的零点为5π6或π.（Ⅱ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-） ………………8分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………9分当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ； ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为12-+. ………………13分解法二：（Ⅰ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+（）………………3分 令()0f x =，得πsin(2)3x -=. ………………4分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………5分 所以，当π4π233x -=，或π5π233x -=时，()0f x =. ………………7分 即 5π6x =或πx =时，()0f x =. 综上，函数)(x f 的零点为5π6或π. ………………9分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f； ………………11分 当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f的最小值为1-+. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A ，则2()7P A =. ………………2分 所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率12325150C ()()77343P ==. ……5分 （Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为2,3,4. ………………7分2227C 1(2)C 21P X ===； 115227C C 10(3)C 21P X ===；2527C 10(4)C 21P X ===. ………………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11010242342121217EX =⨯+⨯+⨯=. ………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1A C ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是直三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点. 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线， 所以 1A B ∥OD ， ………………2分 因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以 1A B ∥平面1ADC . ………………4分（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直.如图建立空间直角坐标系xyz B -. ………………5分 设2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B .所以 (1,2,0)AD =-u u u r ，1(2,2,1)AC =-u u u u r设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0.n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩ 取1=y ，得)2,1,2(-=n . ………………7分易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)=v . ………………8分 由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v . ………………9分 所以二面角1C AD C --的余弦值为23. （Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E .因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤.所以 (0,2,1)AE λ=-u u u r ，1(1,0,1)DC =u u u u r. ………………11分因为AE 与1DC 成60︒角，所以1112AE DC AE DC ⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r . ………………12分即2112(2)12λ=-+⋅，解得1λ=，舍去3λ=. ………………13分 所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1DC 成60︒角. ………………14分 18.（本小题满分13分）因为椭圆C 的离心率为12， 所以22a c ==，2223b a c =-=. ………………3分故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ………………4分 （Ⅱ）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………………5分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . ………………7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834k x x k +=+. ………………8分所以 212324234x x k x k +==+，3323(1)34ky k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222k k x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k kk k y 4314320+=+=. ………………10分当0k <时，34k k +≤-；当0k >时，34k k+≥.所以0012y -≤<，或0012y <≤. ………………12分综上，0y 的取值范围是[1212-. ………………13分19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. ………………2分依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. ………………3分 经检验，13a =时，符合题意. ………………4分 （Ⅱ）解：① 当0=a 时，()x f x '=.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-. 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞. …6分 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分 当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. …8分 ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ……9分 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-； 当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. ………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. ………………11分当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-， 由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意. ………………12分 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………………3分 （Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()ii i n b a a a =+--. ………………4分① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立；② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()kk k n b a a a =+--.当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]k k k k n a a a a a +=+-+-- 11(1)()k k k k n a a a a a +=+---- 111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()ii i n b a a a =+--. ………………7分设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()i i i i i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n =L .由于n 为偶数，所以11(1)()nn n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()i ii i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n =L .因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分 证法二： 因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n L 这2n个式子都乘以1-，相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+L L 即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-=L ，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分（Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i i x y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+=L 即可. ……10分由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()ii i n y x x x =+--，1(1)()i i i n z y y y =+--11(1)()(1)()i i i n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i n i n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()i i i n n x x x x x =+--+-- 12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2ii i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列，所以i Ω是等差数列. ………………13分 证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-=L ， 所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--=L .所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分 对于数列n A 及其“衍生数列”n B ， 因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n -L 这12n -个式子都乘以1-， 相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++L L 即112n n n n b a a a a a =-+=-.设数列n B 的“衍生数列”为n C ， 因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e L 也成等差数列.Ω是等差数列.即1Ω成等差数列. ………………13分所以i。
2019-2020学年西城区高三上学期期末数学试卷及答案
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高三数学参考答案 2020.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C5．A 6．A 7．B 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1010 11．3 12．3 13．答案不唯一，如2211648x y -= 14．1232；5 注：第14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为1()2cos cos )2f x x x x =⋅-……………… 2分2cos cos x x x-112cos222x x -- ……………… 5分π1sin(2)62x =--， ……………… 7分 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………… 8分 （Ⅱ）因为π02x -≤≤，所以7πππ2666x ---≤≤． ……………… 9分 所以当ππ262x -=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值32-. ……………… 11分 当π7π266x -=-，即π2x =-时，()f x 取得最大值0． ……………… 13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ，……………… 1分由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，……………… 2分所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==. ……………… 3分（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 4分因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， ……………… 5分 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=， ……………… 6分 12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， ……………… 7分 22211(2)C ()525P X ==⨯=. ……………… 8分 所以随机变量X 的分布列为：……………… 9分 故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 10分 （Ⅲ）答案不唯一，言之有理即可.如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++， 乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++， ……………… 12分 因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市. …………… 13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱.连接1A C . 设11AC AC E =I ，则E 是1A C 的中点.B 1CD B AA 1C 1 E连接DE . 由D ，E 分别为BC 和1A C 的中点，得1//DE A B . ……………… 2分又因为DE ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，所以1//A B 平面1AC D . ……………… 4分 （Ⅱ）取11B C 的中点F ，连接DF .因为△ABC 为正三角形，且D 为BC 中点，所以AD BC ⊥.由D ，F 分别为BC 和11B C 的中点，得1//DF BB ，又因为1BB ⊥平面ABC ，所以DF ⊥平面ABC ，所以DF AD ⊥，DF BC ⊥. 分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，… 5分 则A ，1(1,2,0)C ，(1,0,0)C ，(0,0,0)D ，(1,0,0)B -，所以1(1,2,0)DC =u u u u r ，DA =u u u r ，(CA =-u u u r ，1(0,2,0)CC =u u u u r ， …… 6分 设平面1AC D 的法向量1111(,,)x y z =n ，由10DA ⋅=u u u r n ，110DC ⋅=u u u u r n ，得1110,20,x y =+=⎪⎩ 令11y =，得1(2,1,0)=-n . ……………… 8分 设平面1AC C 的法向量2222(,,)x y z =n ，由20CA ⋅=u u u r n ，120CC ⋅=u u u u r n ，得2220,20,x y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 令21z =，得2=n . ……………… 9分 设二面角1C AC D --的平面角为θ，则 1212|cos |||||||θ⋅==⋅n n n n ， 由图可得二面角1C AC D --为锐二面角，所以二面角1C AC D --. ……………… 10分 （Ⅲ）结论：直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 11分证明：因为(1,0,AB =-u u u r ，11//A B AB ，且11=A B AB ，所以11(1,0,A B =-u u u u r . ……………… 12分又因为平面1AC D 的法向量1(2,1,0)=-n ，且11120A B ⋅=≠u u u u r n ，所以11A B u u u u r 与1n 不垂直，所以11A B ⊄平面1AC D ，且11A B 与平面1AC D 不平行，故直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，得F，直线(l y k x =：（0k ≠）， ……………… 2分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(1,4y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y，得2222(41)(124)0k x x k +-+-=，…… 3分 显然0∆>，12x x +=， ……………… 4分 则点M的横坐标122M x x x +=， ……………… 5分因为22041M x k =>+， 所以点M 在y 轴的右侧. ……………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得点M的纵坐标(M M y k x ==. ……………… 7分即M .所以线段AB 的垂直平分线方程为：1(y x k +=-. ……… 8分令0x =，得2(0,)41D k +；令0y =，得22(,0)41C k +. ……………… 9分所以△ODC 的面积222127||||22(41)ODC k k S k ∆⋅=⋅⋅+， ……… 10分△CMF 的面积22213(1)|||22(41)CMF k k S k ∆+⋅=⋅⋅=+. …… 11分 因为△ODC 与△CMF 的面积相等，所以22222227||3(1)||2(41)2(41)k k k k k k ⋅+⋅=++，解得k =.所以当△ODC 与△CMF 的面积相等时，直线l 的斜率4k =±. ……… 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+, ……………… 2分 所以(0)1f =，(0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. …………… 4分 （Ⅱ）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+， 则(0)0f '=. … …………… 5分当0x >时，由e 10,0x x ->>，得()e 10x f x x '=-+>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………… 7分 当0x <时，由e 10,0x x -<<，得()e 10x f x x '=-+<，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减.综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. … 8分 （Ⅲ）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立. 设()e (1)xg x a x b =-+-， ……………… 9分则()e (1)x g x a '=-+.由()e (1)0x g x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）. ……………… 10分 随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-.由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤. …………… 12分 设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--.因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1ex >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减. 所以当1e x =时，max 11()()1e eh x h ==+. 所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11e a =-，2e b =时，b a -有最大值为11e+. …………… 14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）答案不唯一. 如{1,2,3,,100}A =L ； ……………… 3分 （Ⅱ）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈L 使得0x A ∈, ……………… 4分 令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈， ……………… 6分 由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾， 所以任意{101,102,,200}x ∈L ，x A ∉. ……………… 8分 （Ⅲ）设集合{201,202,,205}A I L 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<<L ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<L ，由（Ⅱ），得100100m a b -=≤. 假设100b m >-，则1000b m -+>.因为10010010055100b m m -+-+=<-≤，由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤， 所以由（Ⅱ）可得100100100m b m a a --++≤， 这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤， 又因为121001m a a a -<<<L ≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤. ……………… 10分 任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-L U U ， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤.若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈.故集合0A 符合题意， ……………… 12分 所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同， 故满足条件的集合A 有4216=个. ……………… 13分。
北京西城区高三期末数学试题答案
……………… 2 分 所以在样本中任取 1 个，这个出行人恰好不是青年人的概率 P(M ) 19 39 29 .
100 50 ……………… 3 分
（Ⅱ）由题意， X 的所有可能取值为：0，1，2.
……………… 4 分
因为在 2018 年从 A 市到 B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 1 人次，此人
(D)第 四 象 限
3.在△ABC 中,若a=6,A=60°,B=75°,则c=
(A)4
(B)2 2
(C)2 3
(D)2 6
4.设 x>y, 且 xy≠0, 则 下 列 不 等 式 中 一 定 成 立 的 是
(A)x1
1 >
y
(B)ln|x|>ln|y|
(C)2-x <2-y
(D)x2>y2
5.已知直线x+y+2=0与圆x2+y2+2x-2y+a=0有公共点,则实数a 的取值范围为
ABB1A1 是边长为2的正方形,D 为BC 的中点. (Ⅰ)求证:A1B∥平面 AC1D ; (Ⅱ)求二面角 C-AC1-D 的余弦值; (Ⅲ)试判断直线 A1B1 与平面 AC1D 的位置关系,并加以证明.
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18.(本 小 题 满 分 13 分 )
(B)必 要 而 不 充 分 条 件
(C)充 要 条 件
(D)既 不 充 分 也 不 必 要 条 件
7.紫 砂 壶 是 中 国 特 有 的 手 工 制 造 陶 土 工 艺 品 , 其 制 作 始 于 明 朝 正 德 年 间 .紫 砂 壶 的 壶 型 众
2019西城上期末高三数学理
北京市西城区2019 — 2019学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2019.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则AB =（ ）（A ）1(0,)2 （B ）(1,1)- （C ）1(,1)(,)2-∞-+∞ （D ）(,1)(0,)-∞-+∞ 2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ （D ）cos =ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b = ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ）（A ）416(,)55 （B ）4(,16)5 （C ）(1,16) （D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ）（A ）221 （B ）463 （C ）121 （D ）263二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____ 10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =，4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则BD = ；CD =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ． 若11a =，34a =，63k S =，则k =______．12．已知椭圆 22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上． 若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______． 13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______． 14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2xf x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 21cos 2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率． 18．（本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围． 19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值． 20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2019 — 2019学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2019.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6； 12； 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③． 注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）21cos 2B B =-， 所以 2cos 2sin B B B =．………………3分因为 0B <<π， 所以 sin 0B >， 从而 tan B =， ………………5分所以 π3B =． ………………6分解法二： 依题意得2cos 21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=，即 1sin(2)62B π+=． ………………3分因为 0B <<π， 所以 132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=．………………5分所以 π3B =． ………………6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BC B A =， ……………7分所以 sin sin BC BAC A⋅==． ………………8分因为 512C A B π=π--=， ………………9分所以 5sin sinsin()12464C πππ==+=， ………………11分所以 △ABC 的面积13sin 22S AC BC C =⋅=． ………………13分 解法二：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BC B A =， ……………7分所以 sin sin BC BAC A⋅==． ………………8分 根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， ………………9分化简为 2220AB AB --=，解得 1AB =+ ………………11分所以 △ABC 的面积13sin 22S AB BC B =⋅=． ………………13分 16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点． 因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． ………………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，所以⊥CD 平面PAD ． ………………7分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………8分 （Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分 设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ． 所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ． ………………12分所以 |||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分 解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //．设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---． 所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(． ………………12分所以|||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1分元件B 为正品的概率约为4029631004++=． ………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分 433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:………………8分3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………9分 （ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以 4n =，或5n =． ………………11分 设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………13分 18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………1分② 当0b >时，222()()b x f x x b -'=+． ………………3分令()0f x '=，得1x =2x =()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．………………5分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．………………7分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈． ………………9分 设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分 则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤．所以，b 的取值范围是1(0,]4． ………………13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． ………………4分 从而128y y =-． ………………5分 （Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ………………7分 设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ， 整理得 2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分 同理可得 244y y =-． ………………11分 故112121223412444k y y y y y yk y y y y ++===--+-+． ………………13分 由（Ⅰ）得122k k =，为定值． ………………14分 20．（本小题满分13分）………………3分 （Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分 证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤， 所以1()r A ，2()r A ，，9()r A ，1()c A ，2()c A ，，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-．令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ① 另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分 （Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅． ③ ………………10分注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤． 下面考虑1()r A ，2()r A ，，()n r A ，1()c A ，2()c A ，，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -， 所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分 对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n =，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ． 即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤，其余1ij a =．所以 12()()()1k r A r A r A ====-，12()()()1k c A c A c A ====-．所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=．……………13分。
2019年北京市西城区高三第一学期期末数学(理)试题(含答案)
高考数学精品复习资料2019.5北京市西城区20xx — 第一学期期末试卷高三数学（理科） 20xx.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B =（ ）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ） （A ）4 （B（C ）3（D2．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（ ） （A ）1- （B ）i -（C ）1（D ）i4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）34 （B ）45（C ）56（D ）16． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b << （D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ） （A ）116- （B ） 18-（C ） 14-（D ） 05．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ） （A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-8. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形 （含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = _____．10．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++=______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）1侧(左)视图13． 如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y=+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=，[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；P（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ， O 为坐甲组 乙组 891 a822 F BCEAHD标原点.（Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.北京市西城区20xx —第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准20xx.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B5．A 6．C 7．A 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．410．125511．12．2413．1214．(1,1)π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x xωω=->的最小正周期为π，所以2||ωπ=π，解得2ω=．………………3分由()fα=2α=即cos22α=，………………4分所以π22π4kα=±，k∈Z.因为[π,π]α∈-，所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ………………6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分1sin 222x x =πsin(2)3x =+， ………………10分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． ………………12分 所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a =，共有10种可能. ……………… 5分由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同， 所以当2,3,4,,9a =时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 7分 （Ⅲ）解：当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种， 它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， ……………… 9分则这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有取值为0,1,2,3,4. ……………… 10分 因此2(0)9P X ==，2(1)9P X ==，1(2)3P X ==，1(3)9P X ==，1(4)9P X ==. ……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥. ……………… 1分 因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以 ED ⊥平面ABCD ， ……………… 2分 又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. ……………… 3分 因为 EDBD D =，所以 AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分 （Ⅱ）解：设ACBD O =，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点， 所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ， 由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……………… 5分因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，BF =所以 (0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F，C，13()22H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF的法向量AC =. …………7分 设直线DH 与平面BDEF 所成角为α， 由33()22DH =， 得32sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⨯⋅=<>===所以直线DH 与平面BDEF ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13(,)222BH =-，(2,0,0)DB =. 设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n………………10分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n .………………11分 由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-， 则00(01(3)1cos ,232ED ED ED⋅⨯+⨯+⨯-<>===-⨯n n n . ………………13分由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e x f x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分 令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：)……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x ax x -=，显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分 当0x ≠时，方程可化简为e x ax -=.设函数()ex aF x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分 因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程ex ax -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分 令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. ……………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分 同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. ……………… 8分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-. ……………… 9分 同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =-.………………10分 联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-， 所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. ………………11分 因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离5d ==，所以OD ≥42(,)55D --时等号成立． ………………13分由3125y k k =-=-，得k =.所以当k =OD………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =， 得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<. ……………… 1分所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==. ……………… 2分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 4分因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分 由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分 因为 201220142[2,3)a a q =∈， 所以 20122223qa >≥， 所以 2012213q<<，即 120122()13q <<. ……………… 8分 （Ⅲ）证明：（充分性）因为1a N *Î，q N *Î，所以11n n a a q N -*=?，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立. 因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 9分（必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =. 由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， ………………10分所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分 假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1.因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N Î，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r +整除.又因为111211k k k k a p a a qr++++==，且p 与r 的最大公约数为1.所以2k a Z +Ï，这与n a N *Î（n N *Î）矛盾. 所以q *∈N .因此1a N *Î，q *∈N . ……………13分。
2019年北京市西城区第一学期高三数学(理科)期末试卷(含答案)
高考数学精品复习资料2019.5北京市西城区20xx — 第一学期期末试卷高三数学（理科） 20xx.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B =（ ）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ） （A ）4（B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（ ） （A ）1-（B ）i -（C ）1（D ）i6． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b <<（D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ） （A ）116-（B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形 （含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = _____．5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ） （A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-110．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++=______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示， 那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13． 如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y=+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=，[π,π]α∈-，求α的值；侧(左)视图（Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；甲组乙组 890 1 a822 F BCEAHD（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐标原点.（Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.北京市西城区20xx — 第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准20xx.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4 10．125511． 12．24 13．1 214．(1,1) π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以 2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()2f α=22α=，即 cos 22α=， ……………… 4分 所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-，所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分1sin 2222x x =+ πsin(2)3x =+， ………………10分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． ………………12分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a =，共有10种可能. (5)分由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同， 所以当2,3,4,,9a =时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 7分（Ⅲ）解：当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种， 它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， ……………… 9分则这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有取值为0,1,2,3,4. ……………… 10分 因此2(0)9P X ==，2(1)9P X ==，1(2)3P X ==，1(3)9P X ==，1(4)9P X ==. ……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥. ……………… 1分因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以 ED ⊥平面ABCD ， ……………… 2分 又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. ……………… 3分因为 EDBD D =，所以 AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分 （Ⅱ）解：设ACBD O =，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BDEF 的中点， 所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ， 由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……………… 5分因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，BF =所以(0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F，C，13()22H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF的法向量(0,AC =. …………7分 设直线DH 与平面BDEF 所成角为α， 由33(,)222DH =， 得32sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⨯⋅=<>===，所以直线DH 与平面BDEF . ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13()22BH =-，(2,0,0)DB =. 设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n………………10分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n .………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-， 则1cos ,2ED ED ED⋅<>===-n n n . (13)分由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e xf x x a '=++． (2)分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下： (5)分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2ex ax x -=， 显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分 当0x ≠时，方程可化简为e x ax -=.设函数()ex aF x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程ex ax -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分 令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. ……………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. (8)分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-. (9)分同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =-.………………10分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-， 所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. (11)分因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==所以OD 42(,)55D --时等号成立． ………………13分 由3125y k k =-=-，得k =.所以当15k ±=OD有最小值5. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =， 得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<. .................. 1分 所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==. (2)分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ (3)分（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 4分 因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分 由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分 因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥， 所以 2012213q<<，即 120122()13q <<. ……………… 8分 （Ⅲ）证明：（充分性）因为 1a N *Î，q N *Î，所以 11n n a a qN -*=?，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立. 因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 9分（必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =.由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， ………………10分所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N Î，使得1a 能被kr 整除，而不能被1k r +整除.又因为111211k k k k a p a a qr++++==，且p 与r 的最大公约数为1.所以2k a Z +Ï，这与n a N *Î（n N *Î）矛盾.所以q *∈N .因此1a N *Î，q *∈N . ……………13分。
北京市西城区2019~2020学年度第一学期期末考试高三数学试题(含答案解析)
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页.共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上•在试 卷上作答无效。
第I 卷(选择题共40分)-S 选择题：本大题共8小题■每小题5分.共40分•在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 设集合Λ = {x ∖r<a}. B = {—3,0∙l ∙5}・若集合A∩B 有且仅有2个元索.则实数α 的取值范围为(A) (-3,+∞)(B) (0> 1](C) [l ∙+α□)2. 若复数Z = 注.则在复平面内N 对应的点位于I-TI(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限3. 在厶ABC 中.若 α=6, A=60o, 3 = 75°,则 C =(A) 4(B) 2√2(C) 2√3(D) 2^4. 设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是(A)丄>丄(B)InlJrl >ln∣y 丨(C) 2-工<2-，CD) j ∙2>^25. 已知直线T Jry Jr2=0与圆τ ÷j∕2+2jc~2y jra = 0有公共点，则实数"的取值范围为(A) ( — 8. θ](B) [θ∙+oo)(C) [0, 2)(D) (—8, 2)2020. I(D) Eb 5)(D)第四象限6・设三个向b. c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah ∖b∖, ICl为边长的三角形存在"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为(A)IOO cm5(B)200 cm3(C)300 cm3(D)400 cn√&已知函数∕Q)=√TTΓ+4 若存在区间O M].使得函数/Q)在区间DZ 上的值域为[α + l,6 + l],则实数〃的取值范围为(A) (-l,+oo) (B) (一 1. 0] (C) (一 +，+8) (D)( —斗，0]4 4第JI 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题■每小题5分，共3。
2019北京西城高三(上)期末数学(理)(教师版)
A．至多能剪成 19 块“ L ”形骨牌
B．至多能剪成 20 块“ L ”形骨牌
C．一定能剪成 21 块“ L ”形骨牌
D．前三个答案都不对
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9．（5 分）复数 z 满足方程1 − i z = i ，则 z = ．
10．（5 分）已知角 的终边经过点 (−3, 4) ，则 tan = ； cos( + ) = ．
= 8 ，则 a7
=
a52 a3
=
64 2
= 32 ，
故选： D ．
【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了运算和求解能力，属于基础题
3．【分析】由三视图可知：该几何体如图所示，PA ⊥ 底面 ABCD ，PA = 2 ，底面是一个直角梯形，其中 BC / / AD ，
AB ⊥ AD ， BC = AB = 1 ， AD = 2 ．即可得出．
4．（5 分）在极坐标系中，点 P(2, ) 到直线 cos = −1 的距离等于 (
)
2
A．1
B．2
C．3
D． 2
5．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,1) ，点 B 在圆 x2 + y2 = 4 上，则 | OA − OB | 的最大值为 ( )
A．3
B．1 + 2
C． 2 + 2
2
合计
100
（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；
（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为 120 元、90 元、60
元．一名顾客随机购买了乙企业销售的 2 件该食品，记其支付费用为 X 元，用频率估计概率，求 X 的分布列
(完整)2019届北京市西城区高三上学期期末考试数学(文)试卷(word版)
2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1•已知集合八孩风・氷吐£｝，利，那么B-1（）A. |舐；曲| B•卜:讥汗C•隐:胡 D.卜*|【答案】B2•下列函数中，既是偶函数又在区间（0, +R）上单调递增的是（）A.卜=/斗心.B.』=討C. ；：■2|：〔D.卜7注【答案】C3•—个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（）正（主靓图侧（左）视團俯视厨A. |制B. [.. ：]C.卜占：D.,【答案】Crx - y -F 3 > 04•设x, y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为（）I斗卜2丫王0A. B. |-.：；C. 1 D. 2【答案】A5.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B6•设数列{备:是等比数列，则“屯I』”是“{%：为递增数列”的()A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B7设，是不共线的两个平面向量，已知忙一:十QR — f.若P,Q, R三点共线，贝y实数k的值为( )小] 1A. 2B. - 2C. -D. --2 2【答案】D8设双曲线1的左焦点为F,右顶点为A.若在双曲线C上，有且只有3个不同的点P使得p'p'/1 成立，则入=( )A. ;B.C.D. 0【答案】D二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)9•复数z满足方程I - i ■ I,则旷_____________ .【答案】-1-i10. 以抛物线y2=8x的焦点为圆心，且与直线y=x相切的圆的方程为___________ .【答案】(x-2) 2+y 2=211. 能说明“设函数f (X)的定义域为R,若f (0) =0，则f (x)是奇函数”为假命题的一个函数是________________ .【答案】f (x) =x212. 在厶 ABC 中，a =3 , b 瑯，B =2A ，则 cos A =【答案】实数b 的取值范围是=sin (2x+ )13•设函数 e , x<0 -x 2 + x+-, x>0则 f [f ( 0)]=；若方程f (x ) = b 有且仅有3个不同的实数根，则【答(1). (2).14.在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告(时间如下，转场时间忽略不计)，并某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总 时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为 ___________ • 【答案】D三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)15.已知函数(n)若直线x =n 为函数f (x +a )图象的一条对称轴，求实数a 的值.案】1 x (I)百：(n) a==2cosx兀v'3 孑 21 .匣、百 sinx+ —cosx)-—2 2 2=sin xcosx+ cos X -要求听报告者••• T= n,(II )由(I)可知 f (x+a ) =sin (2x+2a+ p),Pl•••直线x=n为函数f (x+a )图象的一条对称轴，••• f (n + a)为f (x+a )的最大或最新值，即 f (n +a) =sin (2耳+ =sin (2a+=±1，1 1,k € z3 2_ 1…a= , k€ zb i ?UGr I —16.在各项均为正数的等比数列｛a n｝中，屯・寸，且a4+a5=6a3.(I)求数列｛a n｝的通项公式；(n)设数列｛log2a n｝的前n项和为S n,求S n的最小值.【答案】(I) a n=2 n-4(n) -6解：(I)各项均为正数的等比数列｛a n｝的公比设为q , q > 0 ,，且a4+a 5=6a 3,可得a1q= , a1q3+a 1q4=6a 1q2,解得q=2 , a1= —,Snt1则a n=a1q n-1= ?2n-1=2 n-4;8(n)设b n =log 2a n=log 22n-4=n-4 ,由1< n W4 时，b n W 0, n》5 时，b n > 0,可得S n的最小值为S3=S4=-3-2-1=-6 .17•为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下：质量指标值[15 , 20) [20 , 25) [25 , 30) [30 , 35) [35 , 40) [40 , 45]等级次品二等品存口寺口仃二等品二纶口一寺口仃次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表(如下面表, 其中a>0).[15 , 20) 2[20 , 25) 18[25 , 30) 48[30 , 35) 14[35 , 40) 16[40 , 45]2合计100(I)现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；(n)为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动•已知乙企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于［40, 45］的产品的概率；(川)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较.解：(I)由频率分布直方图得：(a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080 )x 5=1,解得a=0.008 ,•••甲企业的样本中次品的频率为( a+0.020 )X 5=0.14 ,故从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率为0.14 •(n)记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于［40 , 45］的产品”为事件M,记质量指标值在［15 , 20］内的2件产品的样本分别为A i, A，质量指标值在［40 , 45］内的确件产品样本分别为B1, B2,从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有 （A i ，A 2）,（ A i ，B i ）,（ A i ，B 2），（ A 2，B i ）,（ A ，B 2），（ B i ，B 2），而事件M 包含的结果有4种，分别为：（A i ，B i ），（ A i ，B 2），（ A 2，B i ），（ A 2，B 2）, •••这两件次品中恰有一件指标值属于[40 , 45]的产品的概率 P — .6 3（川）以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较， 由图表可知甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率， •认为乙企业产品的食品生产质量更高.【点睛】本题考查频率、频数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据 处理能力，考查数形结合思想，是基础题.i8•如图，在三棱柱 ABC-A i B i C i 中，侧面B i BCG 是正方形，M, N 分别是A i B i, AC 的中点，AB 丄平面BCM.（I ）求证：平面 B i BCC 丄平面A i ABB i ;（H ）求证：A i N//平面 BCM;【答案】（I ）详见解析（H ）详见解析（川）6种，分别为:求棱锥C i -BB i M 的体积.BCM，BC?平面「. AB••• AB n BB i=B，• BC丄平面A i ABB i，••• BC?平面B i BCC i，...平面B i BCC i 丄平面A i ABB i;(H)设BC中点为Q,连结NQ, MQ,••• M , N 分别是A1B1, AC 的中点，••• NQ// AB ,且NQ= " AB, 2T AB // A1B1，且AB=A i B i,「. NQ / A i M，且NQ=A i M ,•四边形A i MQN是平行四边形，• A i N / MQ,■/ MQ?平面BCM，A1N?•- A i N //平面BCM.(川)连结A i B,根据棱柱和棱锥的体积公式，得到三棱锥B-A i B i C i的体积*〜日尺=1.日小，5 =兰,••• M为A i B i的中点，•棱锥C i-BB i M的体积乞占严=.仝心说=i9.已知椭圆C：二+ 1=血〉Q啲离心率为土，左、右顶点分别为A, B,点M是椭圆C上异于A, B的苕2 2一点，直线AM与y轴交于点P.(I)若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；(H)设椭圆C的右焦点为F,点Q在y轴上，且/ PFQ=90°，求证:解：(I)由题意可得c2=a2-2,..e忑-e==,• a=2 , c=点，•••椭圆的方程为三+ =i ,设P (0 , m ),由点P在椭圆C的内部，得卫v m<J ,又T A (-2 , 0),又M为椭圆C上异于A , B的一点，<2…k AM €( — , 0), (0 ,(n)由题意F (|.J』，0),设Q ( 0 , y i) , M (X0 , y o),其中x o 工土2 ,y jQ直线AM的方程为y(x+2 ), AQ// BM.【答案】(I) (: , 0) ( 0,(n)详见解析•直线AM的斜率k AM= =0 + 2Xo + 22y I令x=0，得点P 的坐标为(0, ),h+q由/ PFQ=90。
北京市西城区19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)
北京市西城区19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={0,2}，B={−2,−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {0}B. {1,2}C. {0,2}D. {−2,−1,0，1，2}2.在复平面内，复数z=2i1+i所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在△ABC中，a=10，B=75°，C=45°，则c等于()A. B. C. D.4.已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是()A. a2<abB. 1a >1bC. |a|<|b|D. (12)a<(12)b5.若直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是()A. [−3,−1]B. [−1,3]C. (−∞,−3]∪[1,+∞)D. [−3,1]6.设a⃗，b⃗ 是两个向量，则“|a⃗+b⃗ |>|a⃗−b⃗ |”是“a⃗⋅b⃗ >0”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为()A. B. 18π C. 6π D. 3√3π8.函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a,b]⊆D，使得f(x)在[a,b]上的值域为[−b,−a]，那么称函数f(x)为对称函数．已知函数f(x)=√2−x−k是对称函数，则实数k的取值范围是()A. [2,94)B. (−∞,94)C. (2,94)D. (−∞,94]二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 在(1+2x)5的展开式中，x 2的系数等于______.(用数字作答)10. 已知向量a ⃗ =(4,2)，向量b ⃗ =(x,3)，且a ⃗ //b ⃗ ，则|b ⃗ |=_____．11. 已知{a n }是公差不为零的等差数列，同时a 9，a 1，a 5成等比数列，且a 1+3a 5+a 9=20，则a 13=______ ．12. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是______，侧面积为______．13. 双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为____________．14. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1=5.06x −0.15x 2和L 2=2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15. 已知函数f(x)=(2cos 2x −1)sin2x +12cos4x ．(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)当α∈(π2,π)时，若f(α)=√22，求α的值．16.高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展.据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次):老年人中年人青年人满意度乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满意)1212022015分(一般)2362490分(不满意)106344(1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率;(2)在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概率，求X的分布列和数学期望;(3)如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机⋅并说明理由．17.在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE>1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．(1)若AE=2，求证：AC//平面BDE；(2)若二面角A−DE−B为60°，求AE的长；(3)在(2)的条件下，求直线CD与平面BDE所成角．18.设椭圆C：x2+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．2(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．19.已知函数．(Ⅰ)当a=2时，求曲线在y=f(x)点(1,f(1))处的切线方程：(Ⅱ)若f(x)在区间[1,2]上单调递增，求a的取值范围；(Ⅲ)求f(x)在[1,e]上的最小值．20.集合A={x|−1<x<3,x∈Z}的子集有多少个？并写出所有的子集．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合的交集运算，由交集的定义求解即可．解：因为A={0,2}，B={−2,−1,0，1，2}，所以A∩B={0,2}．故选C．2.答案：A解析：解：∵z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，∴复数z所对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：D解析：本题考查正弦定理的运用，属于基础题．先利用三角形内角和定理求出A，再利用正弦定理求解即可．解：在△ABC中，a=10，B=75°，C=45°，则A=180°−75°−45°=60°，故由正弦定理可得asinA =csinC,c=asinCsinA=10×√22√32=10√63．故选D．4.答案：D解析：解：∵a >b >0， ∴(12)a <(12)b ．故选：D ．利用指数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．5.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，属基础题，利用直线与圆相交或相切的条件求解． 解：∵直线x −y +1=0与圆(x −a)2+y 2=2有公共点 ∴圆心到直线x −y +1=0的距离为√2≤√2 ∴|a +1|≤2 ∴−3≤a ≤1故选D ．6.答案：C解析：解：若|a ⃗ +b ⃗ |>|a ⃗ −b ⃗ |，则等价为|a ⃗ +b ⃗ |2>|a ⃗ −b ⃗ |2， 即|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b ⃗ >|a ⃗ |2+|b ⃗ |2−2a ⃗ ⋅b ⃗ ， 即4a ⃗ ⋅b ⃗ >0，则a ⃗ ⋅b ⃗ >0成立， 反之，也成立，即“|a ⃗ +b ⃗ |>|a ⃗ −b ⃗ |”是“a ⃗ ⋅b ⃗ >0”的充要条件， 故选：C ．根据向量数量积的定义和性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不向量数量积的应用是解决本题的关键．7.答案：A解析：本题考查了圆锥的体积，设圆锥底面的半径为r ，圆锥的高为h ，由题意得2πr =6π，解得r =3，所以ℎ=√62−32=3√3，从而得出结果． 解：设圆锥底面的半径为r ，圆锥的高为h ， 由题意得2πr =6π，解得r =3， ∴ℎ=√62−32=3√3，∴V 圆锥=13Sℎ=13×π×32×3√3=9√3π． 故选A ．8.答案：A解析：本题主要考查了函数的值域，单调性，f(x)在[a,b]上的值域为[−b,−a]，{√2−a −k =−a,√2−b −k =−b，即a 和b 是关于x 的方程√2−x +x =k 在(−∞,2]内的两个不同的实数根．利用换元法，结合范围得出结论．解：函数f(x)=√2−x −k 在(−∞,2]上是减函数，故满足条件①． 又f(x)在[a,b]上的值域为[−b,−a]，∴{√2−a −k =−a,√2−b −k =−b,∴a 和b 是关于x 的方程√2−x +x =k 在(−∞,2]内的两个不同的实数根． 令t =√2−x ，则x =2−t 2，t ≥0，∴关于t 的方程t 2−t +k −2=0在[0,+∞)上有两个不同的实数根， ∴{1−4(k −2)>0k −2≥0，解得2≤k <94，即实数k 的取值范围是[2,94). 故选A ．9.答案：40解析：解：由于(1+2x)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(2x)r，令r=2求得x2的系数等于C52×22=40，故答案为40．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．10.答案：3√5解析：本题主要考查了平面向量共线的充要条件，平面向量的坐标运算，向量的模，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．由向量的坐标，结合平行向量的条件，得到x 的值，从而得到向量的模长．解：向量a⃗=(4,2)，向量b⃗ =(x,3)，且a⃗//b⃗ ，则4×3−2x=0，解得x=6，所以b⃗ =(6,3)，所以|b⃗ |=√62+32=3√5，故答案为3√5．11.答案：28解析：本题考查等差数列的通项公式的运用、等比数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．解：设{a n}的公差为d(d≠0)，由a9，a1，a5成等比数列，可得a12=a9a5，即a12=(a1+8d)(a1+4d)，化为3a1+8d=0①，由a1+3a5+a9=20，可得5a5=20，即有a1+4d=4②，由①②可得a1=−8，d=3，a n=a1+(n−1)d=−8+3(n−1)=3n−11，n∈N∗，a13=3×13−11=28．故答案为28．12.答案：12；27解析：解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP=12AD⋅AP=6，S△ABP=12AB⋅AP=6，S△CDP=12CD⋅PD=152，S△CBP=12BC⋅BP=152．∴四棱锥的侧面积S=6+6+152+152=27.四棱锥的体积V=13S正方形ABCD⋅PA=13×32×4=12．故答案为12，27．几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算体积和四个侧面的面积．本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥的面积和体积计算，属于中档题．13.答案：y=±√2x解析：本题考查双曲线的渐近线方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．依据题意，求出a、c、b的值，再根据双曲线的焦点在x轴上，求出双曲线的渐近线方程．解：由2a=4，ca=√3，得a=2，c=2√3，b=2√2，所以渐近线方程为y=±√2x.故答案为y=±√2x.14.答案：45.6解析：先根据题意，设甲销售x辆，则乙销售(15−x)辆，再列出总利润S的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可．本题考查函数模型的构建，考查利用配方法求函数的最值，解题的关键是正确构建函数解析式．解：依题意，可设甲销售x(x≥0)辆，则乙销售(15−x)辆，∴总利润S=5.06x−0.15x2+2(15−x)=−0.15x2+3.06x+30=−0.15(x−10.2)2+45.606，根据二次函数图象和x∈N∗，可知当x=10时，获得最大利润S=−0.15×102+3.06×10+30=45.6万元．故答案为45.615.答案：解：(1)因为f(x)=(2cos2x−1)sin2x+12cos4x=1sin4x+1cos4x=√22sin(4x+π4)∴T=2π4=π2，函数的最大值为：√22．(2)∵f(x)=√22sin(4x+π4)，f(α)=√22，所以sin(4α+π4)=1，∴4α+π4=π2+2kπ，k∈Z，∴α=π16+kπ2，又∵α∈(π2, π)，∴α=916π．解析：本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用，两角和的正弦函数，三角函数的周期与最值的求法，以及角的求法，考查计算能力．(1)利用二倍角的正弦函数以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求f(x)的最小正周期，利用三角函数的最值求出函数的最大值；(2)通过α∈(π2, π)，且f(α)=√22，求出α的正弦值，然后求出角即可．16.答案：解：(1)设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率P(M)=19+39100=2950．(2)由题意，X 的所有可能取值为：0,1,2.因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人 为老年人概率是1575=15，所以P(X =0)=C 2×(1−15)2=1625， P(X =1)=C 21×15×(1−15)=825，P(X =2)=C 22×(15)2=125，所以随机变量X 的分布列为：故E(X)=0×1625+1×825+2×125=25． (3)答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下： 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：52×10+12×5+11×052+12+11=11615乘坐飞机的人满意度均值为：4×10+14×5+7×04+14+7=225因为11615>225，所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．解析：本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．(1)根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；(2)依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是1575=15，所以X ～B(2,15)即可求出X 的分布列和数学期望；(3)可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．17.答案：(1)证明：取AB 的中点M ，BC 的中点O ，BE 的中点N ，连接OM ，OD ，DN ，MN ，∵O ，M ，N 分别是BC ，AB ，BE 的中点， ∴OM//AC ，MN//AE ，MN =12AE =1， ∵BD =CD ，O 是BC 的中点，∴OD ⊥BC ， ∵平面BCD ⊥平面ABC ，平面BCD ∩平面ABC =BC ， ∴OD ⊥平面ABC ，又AE ⊥平面ABC ， ∴OD//AE ，∵△BCD 是等腰直角三角形，BC =2，∴OD =1， ∴OD//MN ，OD =MN ，∴四边形OMND 是平行四边形，∴DN//OM ， ∴DN//AC ，又DN ⊂平面BDE ，AC ⊄平面BDE ， ∴AC//平面BDE ．(2)解：∵△ABC 是等边三角形，∴OA ⊥BC ，以O 为原点，以OB ，OA ，OD 为坐标轴建立空间坐标系O −xyz ，如图， 则O(0,0，0)，D(0,0，1)，B(1,0，0)，设AE =m(m >0)，则E(0,√3,m)， ∴BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,m −1)， 设平面BDE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +z =0√3y +(m −1)z =0，令x =1可得m⃗⃗⃗ =(1,√3,1)，又平面ADE 的一个法向量为n ⃗ =(1,0，0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√(1−m)23+2，令√(1−m)23+2=cos60°=12，解得m =1+√6． ∴AE =1+√6．(3)CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，m⃗⃗⃗ =(1,−√2,1)， ∴cos <CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=CD ⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√2×2=√22， ∴直线CD 与平面BDE 所成角的正弦值为√22，故直线CD 与平面BDE 所成角为45°．解析：(1)取AB 的中点M ，BC 的中点O ，BE 的中点N ，证明四边形OMND 是平行四边形得出DN//OM ，又OM//AC 即可得出DN//AC ，于是AC//平面BDE ；(2)以O 为原点建立空间坐标系，设AE =m ，求出两平面的法向量，令法向量夹角余弦值的绝对值等于12计算m 的值即可；(3)计算CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面BDE 的法向量的夹角余弦值得出所求的线面角．本题考查线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．18.答案：解：(1)c =√2−1=1，∴F(1,0)， ∵l 与x 轴垂直， ∴直线l 的方程为x =1，由{x =1x 22+y 2=1，解得{x =1y =√22或{x =1y =−√22, ∴A 的坐标为(1,√22)或(1,−√22)，∴直线AM 的方程为y =−√22x +√2或y =√22x −√2；(2)当l 与x 轴重合时，∠OMA =∠OMB =0°，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA =∠OMB ， 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y =k(x −1)，k ≠0， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1<√2，x 2<√2，则k MA +k MB =y 1x 1−2+y2x 2−2，由y 1=kx 1−k ，y 2=kx 2−k ，得k MA +k MB =2kx 1x 2−3k(x 1 +x 2)+4k(x 1−2)(x 2−2)，将y =k(x −1)代入x 22+y 2=1，可得(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，则Δ>0，∴x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，∴2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k=12k 2+1(4k 3−4k −12k 3+8k 3+4k)=0， 从而k MA +k MB =0， 故MA ，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA =∠OMB ，综上，∠OMA =∠OMB ．解析：本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题． (1)先得到F 的坐标，再求出点A 的坐标，即可得解；(2)分三种情况讨论，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可证明．19.答案：解：(Ⅰ)当a =2时，，f (1)=12，f′(x )=2x −12x 2，∴f′(1)=32，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −12=32(x −1)， 即3x −2y −2=0． (Ⅱ)f′(x )=2ax−12x 2，∵f(x)在区间[1,2]上是单调递增函数， ∴f′(x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立，∴只需{2a −1≥04a −1≥0，解得a ≥12，所以，当a ≥12时，f(x)在区间[1,2]上是单调递增函数． (Ⅲ)f′(x )=2ax−12x 2，①当a ≤0时，f′(x )<0在x ∈[1,e]上恒成立， ∴f(x)在区间[1,e]上是单调递减函数， ∴f (x )min =f (e )=a +12e．②当0<a ≤12e 时，12a ≥e ，f′(x )≤0在x ∈[1,e]上恒成立， ∴f(x)在区间[1,e]上是单调递减函数， ∴f (x )min =f (e )=a +12e ．③当12e <a <12时，1<12a <e ，令f′(x )<0，解得1<x <12a ， 令f′(x )>0，解得12a <x <e ，∴f(x)在区间(1,12a )上单调递减函数，在区间(12a ,e)上单调递增函数，．④当a≥1时，f′(x)≥0在x∈[1,e]上恒成立，2∴f(x)在区间[1,e]上是单调递增函数，∴f(x)min=f(1)=1．2综上，．解析：本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性最值，属于较难题．(Ⅰ)利用导数求出切线斜率，即可求得切线方程;(Ⅱ)若f(x)在区间[1,2]上单调递增，则fˈ(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立，解得a≥1；2(Ⅲ)对a进行分类讨论求出函数的单调区间，即可求出最值．20.答案：8；ϕ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{1,2,3}．解析：A={0,1,2}，所以真子集共23=8个，分别是ϕ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}．。