(完整版)和差积商的变化规律
运算定律 和差积商的变化 规律
名称定义字母表示加法交换律几个数相加，任意交换加数的位置，它们的和不变。
a+b=b+a加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，再同第三个数相加；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。
(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律几个数相乘，任意交换因数的位置，它们的积不变。
ab=ba乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变。
(ab)c=a(bc)乘法分配律☆两个数的和同第三个数相乘，可以把和里的每个加数分别同第三个数相乘，再把两个积相加，结果不变。
☆两个数的差同第三个数相乘，可以把被减数和减数分别同第三个数相乘，再把两个积相减，结果不变。
(a+b)c=ac+bc(a-b)c=ac-bc乘法分配律逆运算☆一个数分别乘以两个数，然后把所得的积相加,等于这个数乘以这两个数的和，结果不变。
☆一个数分别乘以两个数，然后把所得的积相减，等于这个数乘以这两个数的差，结果不变。
ac+bc=(a+b)cac-bc=(a-b)cac+c=(a+1)cac-c=(a-1)c减法运算的性质☆一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和，结果不变。
☆一个数减去两个数的和，等于这个数连续减去这两个数，结果不变。
a-b-c=a-(b+c)a-(b+c)=a-b-c除法运算的性质☆一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积，结果不变。
☆一个数除以两个数的积，等于这个数连续除以这两个数，结果不变。
a÷b÷c=a÷(bc)a÷(bc)=a÷b÷c运算定律和差积商的变换规律名称文字叙述字母表示和的变化规律☆若一个加数增加(或减少)一个数，另一个加数不变，则它们的和也增加(或减少)同一个数。
☆若一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，则它们的和不变若a+b=c则(a+d)+b=c+d(a-d)+b=c-d，(a+d)+(b-d)=c☆当减数不变，被减数增加(或减少)，差也若a-b=c则(a+d)-b=c+d差的变化规律增加(或减少)相同的数☆当被减数不变，减数增加(或减少)，差反而减少(或增加)相同的数☆若被减数和减数同时增加(或都减少)相同的数，差不变(a-d)-b=c-d a-(b+d)=c-da-(b-d)=c+d (a+d)-(b+d)=c (a-d)-(b-d)=c (a＞b+d)积的变化规律☆当一个因数不变，另一个因数扩大(或缩小)若干倍，它们的积也扩大(或缩小)同样的倍数☆若一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，它们的积不变若ab=c则(an)b=cn (a÷n)b=c÷n，(an)(b÷n)=c(a÷n)(bn)=c商的变化规律(整除时)☆当除数不变，被除数扩大(或缩小)，商也随着扩大(或缩小)同样的倍数☆当被除数不变，除数扩大(或缩小)，商反而缩小(或扩大)同样的倍数。
小学数学四则运算的变化规则(和差积商变化规律)
四则运算的变化规则一、加法的变化规则(1)加法公式：加数+ 加数= 和加数= 和—另一个加数(2)加法的变化规则有：（一）如果一个加数增加几，另一个加数不变，那么和也增加几。
例如：13+5=18（13+2）+5=18+2题型1小丽在做一道加法题，一个加数十位上的4看作了7，个位上的5看作了2，算得的和是87。
正确的和是多少？一个加数十位4——7，个位5——2 增加 72-45=27另一个加数不变正确的和增加27即正确的和+27=87 => 正确的和=87-27=60（二）如果一个加数减少几，另一个加数不变，那么和也减少几。
例如：28+16=44（28-12）+16=44-12题型1小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1，把个位上的8错写成0，所得的和是285。
正确的和是多少？一个加数十位7——1，个位8——0 减少 78-10=68另一个加数不变正确的和减少68即正确的和-68=285 => 正确的和=285+68=353题型2两个数相加，一个加数减少29，另一个加数不变，和将有什么变化？一个加数减少29另一个加数不变和减少29题型3两个数相加，和是100，一个加数减少48，另一个加数不变，现在和是多少？一个加数减少48另一个加数不变和减少48即现在的和=100-48=52（三）如果一个加数增加几，另一个加数减少同样的几，那么和不变。
例如：112+23=135（112+3）+（23-3）=135题型1：两个加数的和是378，其中一个加数增加245，另一个加数减少245，现在这两个加数的和是（378 ）。
题型2：一个加数增加6，要使和保持不变，另一个加数应（减少6 ）。
（四）如果一个加数增加几，另一个加数增加另一个几，那么和增加了（几+另一个几）。
例如：35+48=83（35+12）+（48+5）=83+（12+5）题型1：小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8，把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是532。
四年级奥数和差积商的变化规律
第 9 讲和、差、积、商变化规律一、知识要点二、精讲精练【例题 1】两个数相加，一个加数增加 9，另一个加数减少 9，和是否发生变化？练习 1：1.两个数相加，一个数减 8，另一个数加 8，和是否变化？2.两个数相加，一个数加3.另一个数也加 3.和起什么变化？【例题 2】两个数相加，如果一个加数增加 10，要使和增加 6，那么另一个加数应有什么变化？练习 2：1.两个数相加，如果一个加数增加 8，要使和增加 15，另一个加数应有什么变化？2.两个数相加，如果一个加数增加 8，要使和减少 15，另一个加数应有什么变化？【例题 3】两数相减，如果被减数增加 8，减数也增加 8，差是否起变化？练习 3：1.两数相减，被减数减少 6，减数也减少 6，差是否起变化？2.两数相减，被减数增加 12.减数减少 12.差起什么变化？【例题 4】两数相乘，如果一个因数扩大 8 倍，另一个因数缩小 2 倍，积将有什么变化？练习 4：1.两数相乘，如果一个因数缩小 4 倍，另一个因数扩大 4 倍，和是否起变化？2.两数相乘，如果一个因数扩大 3 倍，另一个因数缩小 12 倍，积将有什么变化？【例题 5】两数相除，如果被除数扩大 4 倍，除数缩小 2 倍，商将怎样变化？练习 5：1.两数相除，被除数扩大 30 倍，除数缩小 5 倍，商将怎样变化？2.两数相除，被除数缩小 12 倍，除数缩小 2 倍，商将怎样变化？【例题 6】两数相减，被减数减少 8，要使差减少 12.减数应有什么变化？练习6：1.两数相减，如果被减数增加 6，要使差增加 15，减数应有什么变化？2.两数相减，如果被减数增加 20，要使差减少 12.减数应有什么变化？【例题7】两个数相除，商是 8，余数是 20，如果被除数和除数同时扩大 10 倍，商是多少？余数是多少？练习7：1.两数相除，商是 6，余数是 30，如果被除数和除数同时扩大 10 倍，商是多少？余数是多少？2.两个数相除，商是 9，余数是 3。
和差积商的变化规律ppt课件
• ④如果除数缩小几倍，被除数不变，那么它们的 商反而扩大相同的倍数。
• 例 56÷4=14
•
56÷（4÷2）=28
• 它们的商14反而扩大2倍，变为28.
商 的变化规律
• ⑤如果被除数和除数都同时扩大相同的倍数，那 么它们的商不变。
• 例 150÷30=5
•
（150×2）÷（30×2）=5
• ⑥如果被除数和除数都同时缩小相同的倍数，那 么它们的商不变。
• 例 48÷4=12
•
（48×2）÷4=24
• ②如果被除数缩小几倍，除数不变，那么 它们的商也缩小相同的倍数。
• 例 48÷4=12
•
（48÷2）÷4=6
商的变化规律
• ③如果除数扩大几倍，被除数不变，那么它们的 商反而缩小相同的倍数。
• 例 56÷4=14
•
56÷（4×2）=7
• 它们的商14反而缩小2倍，变为7.
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• 例 50×4=200
•
（50×2）×（4÷2）=200
• ④如果一个因数扩大a倍，另一个因数扩大b倍， 那么它们的积就扩大a×b倍。
• 例 50×2=100
• （50×4）×（2×5）=2000
• 它们的积扩大4×5=20倍。
商的变化规律
• ①如果被除数扩大几倍，除数不变，那么 它们的商也扩大相同的倍数。
Байду номын сангаас
• 例 150 ÷30=5
•
（150÷2）÷（30 ÷ 2）=5
• 被除数150和除数30都缩小2倍，它们的商不变， 仍是5.
四年级上册数学思维拓展题：和差积商变化规律
四年级上册数学思维拓展题：和差积商变化规律和的变化规律：如果一个加数增加（或减少）一个数（不为0），另一个加数不变，则它们的和也增加（或减少）同一个数。
如果一个加数增加一个数（不为0）,另一个加数减少同一个数，和不变。
差的变化规律：如果一个被减数增加（或减少）一个数（不为0），减数不变，则差增加（或减少）同一个数。
如果一个被减数和减数同时增加（或减少）一个数（不为0），差不变。
如果被减数不变，一个减数增加（或减少）一个数（不为0），差也减少（或增加）同一个数。
积的变化规律：1．一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，积也扩大（或缩小）相同的倍数。
2．一个因数扩大（或缩小）若干倍，而另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，它们的积不变。
3．一个因数乘以（或除以）a，另一个因数乘以（或除以）b，积就乘以（或除以）ab的积。
商的变化规律：1．被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，商也扩大（或缩小）同样的倍数。
2．被除数不变，除数扩大（或缩小）若干倍，商反而缩小（或扩大）相同的倍数。
3．被除数乘以a，除数除以b，商就乘以ab的积。
4．被除数除以a，除数乘以b，商就除以ab的积。
参考答案：1、两个数相加，如果一个加数减少9，要使和增加9，另一个加数应该有什么变化？解题思路：一个加数减少9，假设另一个加数不变，和就减少了9；题目要求和增加9，所以另一个加数应该增加9+9=18。
2、两个数相减，如果被减数减少10，减数也减少10，差是否有变化？解题思路：被减数减少10，假设减数不变，差就减少10；假设被减数不变，减数减少10，和就增加10；差先减少10，再增加10，所以无变化。
3、被减数、减数、差相加得2076，差是减数的一半。
如果被减数不变，差增加42，减数应该变成多少？解题思路：减数与差的和即是被减数，2076里有2个被减数，被减数等于2076÷2=1038。
差是减数的一半，也就是说减数是差的2倍，差应该为1038÷（2+1）=346，减数为346×2=692。
和、差、积、商变化规律
(a≥b且a≥m，b>m)。
例如：
500-200=300→(500+100)-(200+100）=300，
500-200=300→(500-100)-(200-100)=300
积的变化规律：
积的变化规律
字母表示及举例
如果一个因数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，另一个因数不变，那么它们的积也相应地扩大到
或(a÷n)÷b=c÷n
(a、c都是n的倍数）。
例如：
40÷5=8→ (40×5）÷5=8×5
或（40÷4)÷5=8÷4
如果被除数不变，除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，那么它们的商反而缩小到原来的几分之一或扩大到原来的几倍
用字母表示：
a÷b=c→ a÷(b×n)=c÷n
(a是b×n的倍数）
或a÷(b÷n)=c×n
(b是n的倍数）
例如：
120÷20=6→120÷(20×3）=6÷3
或120÷(20÷2)=6×2
商不变的性质：
在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。这个性质
通常被称为“商不变的性质”。
用字母表示：如果a÷b=c→ (a×n)÷(b×n)=c（n≠0)，
减少）同一个数
字母表示：
a-b=c →(a+m)-b=c+m，
(a-m)-b=c-m(a≥m)。
例如：
100-60=40→(100+50) -60=40+50，
100-60=40→(100-10）-60=40-10
如果被减数不变，减数增加（或减
少）一个数，那么它们的差反而减
少（或增加）同一个数
四年级积商的变化规律5条
四年级积商的变化规律5条一、积的变化规律。
1. 一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。
- 例如：在算式3×5 = 15中，如果3不变，5变为5×2 = 10，那么积就变为3×10=30，15×2 = 30，积也乘了2。
- 在实际解决问题时，比如一个长方形的长不变，宽扩大到原来的3倍，根据长方形面积公式S =长×宽，面积也会扩大到原来的3倍。
2. 一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也除以几。
- 例如：4×6 = 24，如果4不变，6变为6÷2 = 3，那么积就变为4×3 = 12，24÷2=12，积也除以了2。
- 假设每箱苹果的个数不变，箱数减少为原来的一半，那么苹果的总个数也会减少为原来的一半。
3. 两个因数同时乘一个数（0除外），积乘这个数的平方。
- 例如：2×3 = 6，如果2变为2×2 = 4，3变为3×2 = 6，那么新的积为4×6 = 24，而6×2^2=6×4 = 24。
- 在计算长方形面积时，如果长和宽都扩大到原来的2倍，那么面积就会扩大到原来的2×2 = 4倍。
4. 两个因数同时除以一个数（0除外），积除以这个数的平方。
- 例如：12×8 = 96，如果12变为12÷2 = 6，8变为8÷2 = 4，新的积为6×4 = 24，而96÷2^2 = 96÷4 = 24。
- 像把一个长方形的长和宽都缩小为原来的一半，面积就会缩小为原来的(1)/(4)。
二、商的变化规律。
1. 被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以几。
- 例如：12÷3 = 4，如果被除数12不变，除数3变为3×2 = 6，那么商变为12÷6 = 2，4÷2 = 2，商除以了2。
四年级数学下册积、商的变化规律
四年级数学下册积、商的变化规律一、积的变化规律：一个因数不变.另一个因数乘或除以几（0除外）积也要乘或除以相同的数。
二、商的变化规律：1、除数不变.被除数乘几.商也乘几.被除数除以几.商也除以几。
2、被除数不变.除数乘几（0除外）.商反而要除以几。
被除数不变.除数除以几（0除外）.商反而要乘几。
3、被除数和除数都乘一个相同的数.商不变。
被除数和除数都除以一个相同的数.商也不变。
4、在有余数的除法里.如果被除数和除数同时扩大和缩小相同的倍数（0除外）.商不变.余数也随着扩大和缩小相同的倍数。
入门题：1、两个数相乘（积不为0）.一个因数不变.另一个因数扩大到原来的3倍.积应该怎样变化？2、两个数相乘（积不为0）.一个因数除以3.另一个因数不变.积应该怎样变化？3、两个数相乘（积不为0）.一个因数扩大到原来的6倍 .另一个因数扩大到原来的3倍.积应该怎样变化？4、两个数相乘（积不为0）.一个因数乘6.另一个因数除以3.积应该怎样变化？5、两个数相除（商不为0）.如果被除数扩大到原来的6倍.除数不变.商应该怎样变化？6、两个数相除（商不为0）.如果被除数不变.除数扩大到原来的2倍.商应该怎样变化？7、两个数相除（商不为0）.如果被除数除以6.除数不变.商应该怎样变化？8、两个数相除（商不为0）.如果被除数扩大到原来的6倍.除数扩大到原来的2倍.商应该怎样变化？9、两个数相除（商不为0）.如果被除数扩大到原来的3倍.除数缩小到原来的3倍.商应该怎样变化？10、两个数相除（商不为0）.如果除数扩大到原来的3倍.要使商缩小到原来的3倍。
被除数应该怎样变化？练习题：1、两个数相乘.积是96.如果一个因数要除以4.另一个因数要乘3。
那么积是多少？2、两个数相乘（积不为0）.一个因数要乘了6.另一个因数也乘了6.那么积应该怎样变化？3、两个数相除（商不为0）.如果被除数乘3.除数乘15.商应该怎样变化？4、两个数相除.商是4.余数是10。
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和、差、积、商的变化规律（一）
知识点拨
和、差的规律见下表（m≠0）
精讲精练
【例题1】两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？
【思路】一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。
【练习1】
1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？
2.两个数相加，一个数加
3.另一个数也加3.和起什么变化？
3.两个数相加，一个数减6，另一个数减2. 和起什么变化？
【例题2】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？
【思路】一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。
现在要使和增加6，那么另一个加数应减少10－6=4。
【练习2】
1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？
2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？
3.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？
【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？
【思路】被减数增加8，假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。
两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。
【练习3】
1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？
2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？
3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？
【例题4】两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？
【思路】如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变，积将扩大8倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。
积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大了8÷2=4倍。
【练习4】
1.两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，和是否起变化？
2.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？
3.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化？
【例题5】两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
【思路】如果被除数扩大4倍，除数不变，商就扩大4倍；如果被除数不变，除数缩小2倍，商就扩大2倍。
商先扩大4倍，接着又扩大2倍，商将扩大4×2=8倍。
【练习5】
1.两数相除，被除数扩大30倍，除数缩小5倍，商将怎样变化？
2.两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
3.两数相除，除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化？
和、差、积、商的变化规律（二）
知识点拨
我们学习了和、差、积、商的变化规律，我们利用这些规律来解决一些较简单的问题。
精讲精练
【例题1】两数相减，被减数减少8，要使差减少12.减数应有什么变化？
【思路】被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12.减数应增加12－8=4。
【练习1】
1.两数相减，如果被减数增加6，要使差增加15，减数应有什么变化？
2.两数相减，如果被减数增加20，要使差减少12.减数应有什么变化？
3.两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有什么变化？
【例题2】两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？
【思路】两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。
所以商是8，余数是20×10=200。
【练习2】
1.两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？
2.两个数相除，商是9，余数是3。
如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少？余数是多少？
3.两个数相除，商是8，余数是600。
如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少？余数是多少？
【例题3】两数相乘，积是48。
如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？
【思路】一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。
所以最后的积是48×2÷3=32。
【练习3】
1.两数相乘，积是20。
如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小4倍，那么积是多少？
2.两数相除，商是19。
如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？
3.两数相除，商是27。
如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少？
【例题4】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一个加数十位上的3错误地写成8，所得的和是1996。
原来两个数相加的正确答案是多少？
【思路】根据题意，一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来增加了6；另一个加数十位上的3写成8，增加了50。
这样，所得的结果就比原来增加了6+50=56。
所以，原来两数相加的正确答案是：1996－（6＋56）=1940。
【练习4】
1.小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8，把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是532。
正确的和是多少？
2.小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1.把个位上的8错写成0，所得的和是285。
正确的和是多少？
3.小亮在计算加法时，把一个加数个位上的5错写成3.把另一个加数十位上的3
错写成8，所得的和是650。
正确的和是多少？
【例题5】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的6错写成0，这样算得差是189。
正确的差是多少？
【思路】根据题意，被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位上的6写成0，因此减少60。
这样错写的被减数比原来减少了60－2=58。
因为减数不变，根据差的变化规律，正确的差要比错误的差多50。
正确的差是：189＋58=247。
【练习5】
1.小军在做题时，把被减数个位上的3错写成8，把十位上的0错写成6，这样算得的差是198。
正确的差是多少？
2.小刚在做题时，把减数个位上的9错写成6，把十位上的3错写成8，这样算得的差是268。
正确的差是多少？
3.小红在做题时，把被减数十位上的0错写成8，把减数个位上的8错写成3.这样算得的差是632。
正确的差是多少？。