积商的变化规律(学习资料)
积商的变化规律积大小比较
积的变化规律
两个数相乘，一个因数不变,另一个因数乘(或除以)几,积也乘(或除以)几。
商变化的规律
商变化的规律：除数不变，被除数扩大(或缩小)几倍,商就扩大(或缩小)几倍；被除数不变,除数扩大(或缩小)几倍,商反而缩小(或扩大)几倍。
比较积与第一个因数的大小方法：
1、看第二个因数如果第二个因数大于1，积大于第一个因数；
2、看第二个因数如果第二个因数等于1，积等于第一个因数。
3、看第二个因数如果第二个因数小于1，积小于第一个因数；
商和被除数的大小关系
在小数除法中，（被除数不为0时）
当除数小于1时，被除数小于商
当除数等于1时，被除数=商
当除数大于1时，被除数大于商。
四年级。积和商的变化规律
四年级。
积和商的变化规律第1讲：计算与规律本讲的研究目标是掌握乘法和除法的变化规律，以及快速确定积和商的位数。
一、积的变化规律1.两个数相乘，如果一个因数扩大或缩小若干倍（除非为0），那么积也会扩大或缩小相同的倍数。
2.两个数相乘，如果一个因数乘（或除以）一个数（除非为0），而另一个因数同时乘（或除以）相同的数，它们的积不变。
判断题：1.两个非零因数相乘，一个因数乘2，另一个因数除以2，积不变。
（错误）2.如果让“480×52”的第一因数除以5，第二个因数不变，则积不变。
（正确）3.两个非零数相乘，把这两个数同时扩大到它们原来的10倍，积不变。
（正确）4.在一个乘法算式中，要使积不变，一个乘数扩大10倍，另一个乘数扩大到原来的100倍。
（正确）5.几个数相乘，改变它们原来的运算顺序，它们的积不变。
（正确）6.两个非零数相乘，一个乘数扩大10倍，另一个乘数缩小5倍，积扩大到原来的50倍。
7.两个非零数相乘，一个乘数扩大3倍，另一个乘数缩小12倍，积缩小到原来的1/4.二、商的变化规律1.如果没有余数，则在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（除非为0），商反而要除以（或乘以）相同的数。
除数不变，被除数乘以（或除以）几（除非为0），商也要乘以（或除以）相同的数。
2.如果有余数，则在有余数的除法中，被除数和除数都缩小（或都扩大）相同的倍数（除非为0），商不变，但余数也随着缩小（或扩大）相同的倍数。
举例：已知A÷B=30，如果A除以6，B不变，则商是5.判断题：1.320÷40的结果与算式（320×5）÷（40×2）的结果相等。
（正确）2.如果a÷b=8······5，如果a和b都乘100，那么商是800，余数是500.（错误）1.两个数相乘，一个因数扩大3倍，另一个因数扩大4倍，那么积会扩大12倍。
积、商的变化规律(含答案)-
积、商的变化规律同学们好，在上一讲我们研究了和、差的变化规律，今天这一讲我们来研究，积、商的变化规律。
请同学们填出下表，说出什么发生了变化，积、商有没有发生变化，如果有变化是怎样变的，你能从中得出什么结论吗？规律：两个因数相乘，被乘数乘以（或除以）一个不为0的数，乘数不变，积也乘以（或除以）同一个数。
两个因数相乘，被乘数不变，乘数乘以（或除以）一个不为0的数，积也乘以（或除以）同一个数。
两个因数相乘，被乘数乘以（或除以）一个不为0的数，乘数同时除以（或乘以）同一个数，积不变。
规律：在除法里被除数乘以（或除以）一个不为0的数，除数不变，商也乘以（或除以）同一个数。
被除数不变，除数乘以（或除以）一个不为0的数，商反而除以（或乘以）同一个数。
被除数乘以（或除以）一个不为0的数，除数同时乘以（或除以）相同的一个数，商不变。
例1. 2584⨯=⨯⨯÷=⨯=()()254844100212100分析与解答：根据积的变化规律，一个因数扩大多少倍，另一个因数反而缩小相同的倍数，积不变的规律，使25×4，使84÷4，转化为100×21，这就很快计算出结果是2100。
例2. 12588⨯=⨯⨯÷=⨯=()()125888810001111000例3. 2250125÷=⨯÷⨯=÷=()()22508125818000100018分析与解答：根据商的变化规律，被除数和除数同时乘以或除以一个数（不为0）商不变的规律，可以使2250×8，使125×8，转化为18000÷1000，这样就能很快算出结果是18。
【模拟试题】（答题时间：45分钟）（一）尝试体验 1. 填一填1272244⨯⨯⨯⨯⨯⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪=÷÷÷÷÷⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪=()()()()()()()()()()()()()()()()()() 完成上面两组题后，每组后面的4个题与第一算式比较各部分是怎样变化的，才保证了使它们的和、差、积、商没发生变化？ 2. 利用积、商变化规律，计算下面各题。
四年级 积和商的变化规律
第1讲计算与规律1. 掌握乘法中积的位数快速确定方法和积的变化规律；2. 掌握除法中商的位数快速确定方法和商的变化规律。
一. 积的变化规律1. 积的变化规律：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大或缩小若干倍（0除外），积也扩大或缩小相同的倍数。
2. 积不变的规律：两个数相乘，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数同时乘（或除以）相同的数，它们的积不变。
判断对错两个因数（均不为0)相乘，一个因数乘2，另一个因数除以2，积不变。
（）1.如果让“48052⨯”的第一因数除以5，第二个因数不变，则积()A．不变B．乘以5 C．除以52.两个数相乘（非零数），把这两个数同时扩大到它们原来的10倍，积()A．不变B．扩大到原来的100倍C．不确定D．扩大到原来的10倍3.在一个乘法算式中，要使积不变，一个乘数扩大10倍，另一个乘数()A．扩大10倍B．缩小10倍C．扩大100倍D．不变4.在1508012000⨯=中，其中一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数缩小10倍，积不变。
（判断对错）5.几个数相乘，改变它们原来的运算顺序，它们的积不变。
（判断对错）6. 两个数相乘（非零数），一个乘数扩大10倍，另一个乘数缩小5倍，积（）7. 两个数相乘（非零数），一个乘数扩大3倍，另一个乘数缩小12倍，积（）二．商的变化规律1. 没有余数（1）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）相同的数。
（2）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘以（或除以）相同的数。
简便记法：商与除数的变化方向相反，商与被除数的变化相同。
2. 有余数有余数的除法里，被除数和除数都缩小（或都扩大）相同的倍数(0除外），商不变，但余数也随着缩小（或扩大）相同的倍数。
已知30÷=，如果A除以6，B不变，则商是；如果A不变，B乘6，则A B商是。
1. 32040÷的结果与算式()的结果相等。
商不变和积不变的规律
商不变和积不变的规律积的变化规律有三条：1.一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）多少倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。
2.一个因数扩大（或缩小）多少倍，而另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，它们的积不变。
3.一个因数乘以（或除以）a，另一个因数乘以（或除以）b，积就乘以（或除以）ab的积。
积不变的规律在乘法中：一个乘数扩大多少倍，另一个乘数缩小相同的倍数，积不变。
例如：2.3×5=23×0.5商的变化规律有三条：1.被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数（0除外），商不变。
2.被除数不变，除数扩大多少倍，商反而缩小相同的倍数。
除数缩小多少倍，商反而扩大相同的倍数。
3.除数不变，被除数扩大多少倍，商扩大相同的倍数。
被除数缩小多少倍，商缩小相同的倍数。
商不变的规律在除法中：被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数（0除外），商不变。
例如：1.8÷0.3=18÷3例题1：根据32×16=512，直接写出下面各式的积。
320×160=（）320×1600=（）32×160=（）1600×160=（）16×8=（）0.32×16=（）答案：320×160=（51200 ）解析：两个因数同时扩大10倍，积扩大10×10=100倍。
320×1600=（512000 ）解析：积扩大10×100=1000倍。
32×160=（ 5120 ）解析：积扩大10倍。
1600×160=（ 256000 ）解析：32扩大50倍，16扩大10倍，积扩大50×10=500倍。
16×8=（ 128）解析：32缩小2倍，16缩小2倍，积缩小2×2=4倍。
0.32×16=（ 5.12 ）解析：32缩小100倍，积缩小100倍。
积的变化规律和商的变化规律
积的变化规律和商的变化规律
积的变化规律是指在进行乘法运算时，两个数相乘得到的结果的变化规律。
一般来说，在进行乘法运算时，随着被乘数或乘数的增加，积也会相应地增加。
例如，5乘以2得到10，而
10乘以2得到20，可以看出乘数增加一倍，积也增加一倍。
商的变化规律是指在进行除法运算时，被除数除以除数得到的商的变化规律。
一般来说，在进行除法运算时，如果被除数保持不变，而除数增加，商会相应地减少。
例如，10除以2得
到5，而10除以5得到2，可以看出除数增加一倍，商减少一倍。
需要注意的是，这里所讨论的变化规律是在其他因素保持不变的情况下观察的。
在实际运算中，还可能存在其他因素的影响，导致变化规律不完全符合上述描述。
四年级上册数学《积、商的变化规律+必考题》
积、商的变化规律+必考题积的变化规律有三条：1、一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）多少倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。
2、一个因数扩大（或缩小）多少倍，而另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，它们的积不变。
3、一个因数乘以（或除以）a，另一个因数乘以（或除以）b，积就乘以（或除以）ab的积。
商的变化规律有三条：1、被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数（0除外），商不变。
2、被除数不变，除数扩大多少倍，商反而缩小相同的倍数。
除数缩小多少倍，商反而扩大相同的倍数。
3、除数不变，被除数扩大多少倍，商扩大相同的倍数。
被除数缩小多少倍，商缩小相同的倍数。
必考题：1、三位数除以两位数的算式口73÷58，如果商是两位数，那么口里最小填（6），如果商是一位数，口里可以有（5）种不同的填法。
2、一辆汽车8小时行驶了500千米，照这样计算，这辆汽车40小时能行驶（2500）千米。
积、商的变化规律+必考题3、一个除法算式的被除数和除数都乘3后，商是36，那么原来的商是（36）4、两个数的商是6，如果被除数不变，除数除以6，那么商应是（36）。
5、两个数的积是40，如果一个因数扩大10倍，另一个因数扩大5倍，那么积应该是（2000）。
6、根据32×16=512，直接写出下面各式的积。
320×160=（51200 ）320×1600=（512000）32×160=（5120）1600×160=（256000）16×8=（128）0.32×16=（ 5.12）7、根据5376÷56=96，直接写出下面各式的商。
537600÷56=（9600）5376÷112=（48 ）2688÷28=（96）268800÷56=（4800）5376÷14=（38）5376÷5600=（0.96 ）积、商的变化规律+必考题8、判断对错。
积、商的变化规律
积、商的变化规律◎吴俤仙积、商的变化规律是“三位数乘两位数”“除数是两位数的除法”中的重要知识点。
这两个规律貌似实异，变化规律也有着本质上的区别。
一、积、商不变规律1.两个数相乘，一个因数乘一个数（0除外），另一个因数除以相同的数，积的大小不变。
这叫作积不变规律。
a×b=c，（a×n）×（b÷n）=c（n≠0）。
如：75×25=1875，（75×5）×（25÷5）=1875。
2.两个数相除，被除数和除数同时乘或者除以相同的数（0除外），商的大小不变。
这叫作商不变规律。
a÷b=c，（a×n）÷（b×n）=c或（a÷n）÷（b÷n）=c（n≠0）。
如：725÷25=29，（725×2）÷（25×2）=29或（725÷5）÷（25÷5）=29。
二、积、商变化规律1.两个数相乘，一个因数乘或除以一个数（0除外），另一个因数不变，积乘或除以相同的数。
a×b=c，（a×n）×b=c×n或（a÷n）×b=c÷n（n≠0）。
如：32×16=512，（32×2）×16=512×2=1024或（32÷2）×16=512÷2=256。
2.两个数相除，被除数乘或除以一个数（0除外），除数不变，商乘或除以相同的数。
a÷b=c，（a×n）÷b=c×n或（a÷n）÷b=c÷n（n≠0）。
如：672÷12=56，（672×4）÷12=56×4=224或（672÷4）÷12=56÷4 =14。
积商变化规律
和、差、积、商的变化规律1、和的变化规律（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。
用字母表示：a+b= c→(a+m)+b=c+m或(a-m)+b=c-m(2)如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。
用字母表示：a+b=c→(a+m)+(b-m)=c2、差的变化规律（1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么它们的差也增加（或减少）一个数。
用字母表示：a-b= c→（a+ m）- b= c+ m或a- b= c→（a- m）- b = c- m（2）如果被减数不变，减数增加（或减少）一个数，那么它们差反而减少（或增加）同一个数。
用字母表示：a- b= c→a-（b+ m）= c- m或a-（b- m）= c+ m（3）如果被减数和减数都增加（或减少）同一个数，那么它们的差不变。
用字母表示：a- b= c→（a+ m）-（b+ m）= c或（a- m）-（b- m）= c3、积的变化规律（1）一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，积不变。
用字母表示：a×b=c→（a×m）×（b÷m）=c或（a÷m）×（b×m）=c（2）一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，积也扩大（或缩小）相同的倍数。
用字母表示：a×b=c→（a×m）×b=c×m或（a÷m）×b=c÷m4、商的变化规律（1）商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
用字母表示：a÷b=c→（a×m）÷（b×m）=c或（a÷m）÷（b÷m）=c（2）除数不变，被除数扩大（或缩小）若干倍，商也扩大（或缩小）相同的倍数。
积的变化规律与商的变化规律课件
积与商的拓展知识比较
乘法和除法都是基本的四则运 算之一，它们之间存在密切的 联系。乘法可以看作是重复相 加的过程，而除法可以看作是 重复相减的过程。
在乘法中，交换律和结合律非 常重要，它们允许我们在不改 变结果的前提下改变乘法的顺 序。而在除法中，基本的运算 性质允许我们简化除法表达式 。
在数学中，乘法和除法都有逆 元和零元的概念。对于乘法， 逆元是它的倒数，而零元是0 。对于除法，逆元是它的倒数 ，而零元是1。这些概念在解 决数学问题时非常有用。
面积和体积计算
在建筑、装修等领域，需要使用乘法来计算面积和 体积。
除法在日常生活中的应用
80%
分配
在分配物品或资源时，除法用于 计算每个人或每个部分应得的数 量。
100%
速度和效率
在计算速度、效率等指标时，除 法也是必不可少的。
80%
成本计算
在商业和财务领域，除法用于计 算成本、利润等。
积与商在数学建模中的应用
积的变化规律与商的变化规律 课件
目
CONTENCT
录
• 积的变化规律 • 商的变化规律 • 积与商的应用 • 积与商的证明方法 • 积与商的拓展知识
01
积的变化规律
乘法交换律
乘法交换律是指两个数相乘，交换因 数的位置，积不变。
乘法交换律是基本的数学运算规则之 一，它表明无论因数的顺序如何，它 们的积都是相同的。例如，2乘以3等 于3乘以2。
除法的性质
除法具有交换律、结合律和分配律等基本性质，这些性质在数学 中有着广泛的应用。
商的运算性质
商的加法性质
如果a除以b得到商c，那么(a+d) 除以b也等于c+d/b，其中d是任 意实数。
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五年级上积商的变化规律
一、积的变化规律
1、两个因数，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积就扩大（或缩小）相同的倍数。
（0除外）。
2、两个因数同时扩大（或缩小）几倍（0除外）积就扩大（或缩小）它们的乘积倍。
3、两个因数，一个扩大几倍，另一个缩小相同的倍数，（0除外）积不变。
4、两个因数，一个扩大，另一个缩小，（倍数不相同，0除外），积扩大（或缩小它们的商倍）
例1：给出乘法算式：1.3×4.8=6.24 根据算式写出得数
方法：1
0.13 × 4.8 = 0.642
缩小10倍不变缩小10倍
方法：2
根据预算定律
1.3×4.8=6.24可知13×48=624；所以0.13×4.8的积里面应有3位小数，因此是0.624
二、商的变化规律
1、被除数不变，除数扩大（或缩小几倍），商就缩小（或扩大）几倍。
（注意商和除数的变化是相反的。
）（0除外）
2、除数不变，被除数扩大（或缩小）几倍，商就扩大（或缩小）相同的倍数）（注意商和被除数的变化是相同的。
）（0除外）
3、被除数和除数同时扩大扩缩小相同的倍数（0除外）商不变。
4、被除数扩大，除数缩小，商就扩大乘积倍。
5、被除数缩小，除数扩大，商就缩小乘积倍。
6、被除数、除数同时扩大或缩小不相同的倍数（0除外），商就变化它们的商倍
注意：4---6的规律不用硬背，只是前两个规律的分步应用。
例2：给出除法算式：6.24÷4.8=1.3 根据算式写出得数
方法：1
624 ÷0.48 = 1300
扩大100倍缩小10倍
商扩大100倍商扩大10倍扩大100×10倍
方法2：
可利用除法算式，
1300
0 . 48 ）624 48）62400
移动小数点变成将商的最高位写上，其余数字同上面的商相同，
数位不足的用0占位。
相应的练习
1、根据35×49=1715，在下面的（）填上合适的数。
17.15=（）×（）=（）×（）
1.715=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）
2、两数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积是否起变化？
3、两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积会有什么变化？
4、两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商怎样变化？
5、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商会怎样变化？
6、小科在计算除法时，把除数末尾的0漏写了，结果得到的商是70，正确的商应该是多少？
7、芳芳在计算乘法时，把一个因数末尾多写了1个0，结果得到800，正确的积是应该是多少？
8、两数相除，商是8，余数是10，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？
9、两数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？
一个因数 另一个因数 积 ×10 不变 不变 ÷10 ×2 ×2 不变 ÷5 ×2 ×3 ×2 ×10 ×5 ÷5 ÷3
不变
二、根据第一题的答案填空
1、160×40=6400
2、 160÷32=5
3、如果A ÷B=500 （ ）×40=640 （ ）÷8=5 （A ×2）÷B=( ) 160×（ ）=64000 80÷（ ）=5 A ÷(B ×5)=( ) 80×（ ）=1600 （ ）÷96=5 (A ÷10)÷B=( ) （ ）×80=6400 320÷（ ）=5 A ÷(B ÷2)=( ) （ ）×200=64000 （ ）÷3200=5
3、如果甲数乘以乙数是240，
4、如果A ×B=800，
（1）甲数不变，乙数乘以4，积是 。
那么（A ×6）×（B ÷6）=（ ） （2）甲数除以2，乙数不变，积是 。
那么（A ÷ ）×（B × ）=800 （3）甲数乘以3，乙数乘以2，积是 。
如果A ÷B=800
被除数 除数 商 ×5 ×5 ÷6 ÷6 ×2 不变 不变 ×9 ÷5 不变 不变 ÷30 ×4 ÷4 ÷7
×2。