2020浙教版八年级数学下册：矩形 矩形的性质 专题练习题 含答案
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浙教版数学八年级下册
第5章特殊平行四边形5．1矩形矩形的性质专题练习题
1．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB＝2，则C′D的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在矩形ABCD中，点O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为30 cm，则AB的长为( )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
3．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标是__________________________．
4．如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，连结AF，DE交于点O.求证：
(1)△ABF≌△DCE；
(2)△AOD是等腰三角形．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是( )
A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD
6．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是( )
A．2 B．4 C．2 3 D．4 3
7．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1，3)，则对角线BD的长等于( )
A.7 B．2 2 C．2 3 D.10
8．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连结CE，已知△CDE的周长为24 cm，则矩形ABCD的周长是____cm.
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC＝2，则点B的坐标是__________
10．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD＝BE；
(2)若∠DBC＝30°，BO＝4，求四边形ABED的面积．
11．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在边EF上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( )
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．3S1＝2S2
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( )
A．12 B．10 C．8 D．6
13．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶3，且AC＝10，则DE 的长度是( )
A．3 B．5 C．5 2 D.52 2
14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，则图中五个小矩形的周长之和为____．15．如图，矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，E是边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F，G.则PF＋PG的长为____cm.
16．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
17．在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF＝DC. 18．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，若∠EAO＝15°，求∠BOE的度数．
答案：
1. B
2. C
3. (23＋1，2)
4. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠ABF＝∠DCE＝90°，又∵BE＝CF，∴BE ＋EF＝CF＋EF，∴BF＝CE，∴△ABF≌△DCE(SAS)(2)∵△ABF≌△DCE，∴∠DEF＝∠AFE，又∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠AFE，∠ODA＝∠DEF，∴∠OAD＝∠ODA，∴△AOD 是等腰三角形
5. D
6. B
7. D
8. 48
9. (2，23)
10. 解：(1)∵AB∥CD，BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC＝BE，又∵BD＝AC，∴BD＝BE(2)S四边形ABED＝24 3
11. B
12. B
13. D
14. 14
15. 3
16. 解：易证△BEF≌△CDE，∴BE＝CD＝AB，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE
＝45°，从而∠BAE＝1
2∠BAD，∴AE平分∠BAD
17. 解：连结DE，∵AE＝AD＝CD，∴∠ADE＝∠DEF，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ADE，∴∠DEF＝∠DEC，又∵∠DFE＝∠DCE＝90°，DE＝DE，∴△DEF≌△DEC，∴DF＝DC 18. 解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，从而∠OAB＝45°＋15°＝60°，易证OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝AB，易证△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB，∴OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO，又∵∠OBE＝90°－60°＝30°，∴∠BOE＝75°。
浙教版八年级下册5.1矩形(提高)巩固练习题
矩形（提高）巩固练习一.选择题1. （ 2020 ﹒淮南模拟）在一张长为8cm, 宽为6cm 的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm 的等腰三角形，等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点 A 重合，其余的两个顶点都在矩形的边上．这个等腰三角形剪法有（）A．1 B ．2 C．3 D．42. （ 2019 秋﹒海港区期末）如图：用一张长为一个三角形，按裁剪线长度所标的数据（单位：4cm, 宽3cm 的长方形纸片，过两个顶点剪cm ）不可能实现的是（）3. （2019 春?青浦区期末）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 到点E，使AE＝AB，联结ED ，EC，AC，添加一个条件，能使四边形ACDE 成为矩形的是（）A ．AC＝CD B．AB=AD C ．AD=AE D ．BC=CE4. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕, 折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上, 那么∠ EMF的度数是（）A.85 °B.90 °C.95 °D.100°5．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ ABC＝∠ CDA＝90°，BE⊥ AD于点E，且四边形ABCD 的面积为8，则BE＝（）C．A.2B.3C. 2 2D. 2 3 6. 矩形的面积为120 cm2，周长为46 cm ，则它的对角线长为（）A.15 cmB.16 cmC.17 cmD.18 cm二.填空题7．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A 角翻折，使点A 落在BC上的A1 处，则∠ EA1B＝ ________ °.8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长 ______ ．9. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形对角线AC长为 _______________ cm．10. （2019·黄冈）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，DC=3DE=3a ，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P 处，则FP= ______________ .11. （2019?南漳县模拟）矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为．12. 如图所示，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△ AFD的周长为9，△ ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为 _______________ .三.解答题13．（2019?铁力市二模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF ⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠ PFE=∠ BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？14. 已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥ AC于E，DF⊥ AC于F，点O既是AC的中点，又是EF 的中点．（1）求证：△ BOE≌△ DOF；1（2）若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．15. 已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ ED．求证：AE 平分∠ BAD．16. （ 2019 秋﹒开江县期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，点G 在边BC 的延长线上，CE平分∠ BCD, CF平分∠ GCD, EF∥BC交CD于点O．（1）求证：OE＝OF ；（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF 是矩形．答案与解析】一.选择题1. 【答案】C；2. 【答案】D ；3. 【答案】 D ；【解析】添加一个条件 BC ＝ CE.理由：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴ AB ∥CD 且 AB=CD ， ∵AE=AB ，∴AE ∥CD 且 AE=CD ，∴四边形 DEAC 为平行四边形， ∵ BC=EC ， AE=AB ，∴∠ EAC=90°，∴平行四边形 ACDE 是矩形 .4. 【答案】 B ；111【解析】∠ EMF ＝∠EMB ′＋∠ FMB ′＝∠BMC ′＋ ∠CMC ′＝ ×180°＝90° .2225．【答案】C ；【解析】过点 C 做 BE 垂线，垂足为 F ，易证△ BAE ≌△ CBF ，所以 BF ＝ AE ， BE ＝ CF ，所以289 17.二. 填空题7．【答案】 60°；【解析】 AD ＝ A 1D ＝2CD ，所以∠ CA 1D ＝30°，∠ EA 1B ＝60°则 MF=DC=3a ，由题意可得： CE=2a ， 由折叠可得： PE=CE=2a =2DE ，∠EPF=∠C=90°，BE 28， BE 2 2 .23, ab 120, 解得 a 22b 2 289 ，所以对角线为8. 【答案】136解析】设 AE ＝CE ＝ x ，DE ＝ 3 x ， x 23x22，x13 69. 【答案】 8；【解析】由矩形的性质可知△ AOB 是等边三角形，AC ＝2AO ＝ 2AB ＝ 8 cm ．10. 【答案】 2 3a ；解析】作 FM ⊥AD 于 M ，如图所示：6.AE ×BE ＋BE ×（ BE －AE ） 解析】设边长为 a 、b ，则 a b3a∴∠ DPE=30°，∴∠ MPF=60°，∠ MFP=30°，∴ FP= 2 2 3a.311. 【答案】30 或10 ；【解析】∵ AE平分∠ DAB，∴∠ DAE=∠ EAB，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC，∴∠ DEA=∠ BEA，∴∠ EAB=∠ BEA，∴AB=BE，①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x，∵矩形ABCD的面积为36，∴x?4x=36，解得：x=3 （舍负），即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3，∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD×=2（3+12）=30；②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x，∵矩形ABCD的面积为36，∴3x?4x=36，解得：x= （舍负），即AD=BC=4x=4 ，AB=CD=x= ，∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD×=2（4 + ）=10 ；故答案为：30 或10 ．12. 【答案】12；【解析】设BE＝EF＝x ，CE＝b ，CF＝a ，DF＝y，则x b y y a 9, x a b 3，3 3 12.解得y 3 ，矩形ABCD的周长＝2 y a x b 2三.解答题13. 【解析】解：①正确，连接PC，可得PC=EF，PC=PA，∴ AP=EF；②正确；延长AP，交EF于点N，则∠ EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE，可得AP⊥ EF；③正确；∠ PFE=∠ PCE=∠BAP；④错误，PD= PF= CE；⑤正确，PB2+PD2=2PA2．所以正确的有4 个：①②③⑤ .14. 【解析】（1）证明：∵ BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠ BEO＝∠ DFO＝90°，∵点O是EF 的中点，∴OE＝OF，又∵∠ DOF＝∠ BOE，∴△ BOE≌△ DOF（ASA）；（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：∵△ BOE≌△ DOF，∴ OB＝OD，又∵ OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，11∵ OA＝BD，OA＝AC，22∴ BD＝AC，∴ Y ABCD是矩形．15. 【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ B＝∠ C＝∠ BAD＝90°，AB＝CD，∴∠ BEF＋∠ BFE＝90°．∵EF⊥ED，∴∠ BEF＋∠ CED＝90°．∴∠ BFE＝∠ CED．又∵ EF＝ED，∴△ EBF≌△ DCE．∴BE＝CD．∴BE＝AB．∴∠ BAE＝∠ BEA＝45°．∴∠ EAD＝45°．∴∠ BAE＝∠ EAD．∴ AE平分∠ BAD．16.【解答】证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF 平分∠ GCD , ∴∠ BCE＝∠ DCE , ∠ DCF ＝∠ GCF, ∵EF∥BC,∴∠ BCE＝∠ FEC, ∠ EFC＝∠ GCF, ∴∠DCE＝∠FEC,∠EFC＝∠ DCF, ∴OE＝OC,OF ＝OC，∴OE＝OF；（2 ）∵点O 为CD 的中点，∴OD＝OC，又OE＝OF ，∴四边形DECF 是平行四边形，∵CE 平分∠ BCD、CF 平分∠ GCD,11∴∠ DCE＝2∠BCD, ∠DCF＝2∠DCG1∴∠ DCE ＋∠ DCF ＝2( ∠BCD＋∠ DCG) ＝90°,即∠ ECF ＝90°, ∴四边形DECF 是矩形．【点评】本题主要考查平行线的性质及矩形的判定，证得OE＝OF，得出四边形DECF 是平行四边形是解题的关键，注意角平分线的应用．。
浙教版八年级下《5.1矩形》同步练习(2)含答案 (初中 数学试卷)
5.1 矩形2一．选择题1. 下列关于矩形的说法，正确的是（ ）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直且平分D.矩形的对角线相等且互相平分2. 下列各组条件中，能判定四边形ABCD 为矩形的是（ ）A.∠A+∠B=90° B ．AB∥CD，AB=CD ，AC=BD C.AB∥CD，AD=BC ，AC=BD D ．AC=BD ，∠A=90°3. 顺次连接四边形ABCD 的四条边的中点，得到一个矩形，那么（ ）A ．AC=BDB ．AC⊥BDC ．AB=CD D ．AB⊥CD4. 如图1，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC ．AB 于点D ．F ，BE⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．45.（2015呼和浩特）如图2，矩形纸片ABCD ，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )A. 12B. 98C. 2D. 4二．填空题6．（2014•娄底）如图3，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）．7. 如图4，四边形ABCD 中，对角线AC⊥BD，E ．F ．G ．H 分别是各边的中点，若AC=4cm ，BD=6cm ，则四边形EFGH 的面积是 cm 2．图1 图2 图 3图4 图58. 如图5所示，工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB=CD，EF=GH．（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是_________，根据的数学道理是_________ ．（3）将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④，说明窗框合格，这时窗框是_________ ，根据的数学道理是_______ ．9. 如图6 在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，P E⊥MC，PF⊥MB，当AB．BC满足条件时，四边形PEMF为矩形．10. 如图7，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是．图6 图7 图8三．解答题11. （2014•四川巴中）如图8，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．12. 如图，在△ABC中，D是AB的中点．E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB=CF；（2）如果AC=BC．试判断四边彤BDCF的形状．并证明你的结论．13. 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E．F．G．H分别是OA．OB．OC．OD上的点，且AE=BF=CG=DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E．F．G．H分别是OA．OB．OC．OD的中点，DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD的面积．5.1矩形21.D2.B3.B4.A5.C6.略7.68.略9. AB=BC 10.11.（1）EH=FH （2）BH=EH 12.（1）略 (2)矩形 13.（1）略（2）16cm2．。
浙教版八年级下测试题5.1 第1课时 矩形的性质
第5章特殊平行四边形第1课时矩形的性质1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(A) A．对角线相等B．对角相等C．对边相等D．对角线互相平分【解析】矩形的对角线相等，故选A.2．[2013·宜昌]如图5－1－1，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(C)图5－1－1A．8 B．6C．4 D．23．若矩形的对角线长为4 cm，一条边长为2 cm，则此矩形的面积为(B) A．8 3 cm2B．4 3 cm2C．2 3 cm2D．8 cm2【解析】矩形的另一边长为42－22＝23，其面积为2×23＝43(cm2)．4．如图5－1－2所示，矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BCO的周长差为4，则AB的长是(C)图5－1－2A ．12B ．22C ．16D ．26【解析】 ∵2(AB ＋BC )＝56，∴AB ＋BC ＝28①. ①又(AO ＋OB ＋AB )－(OB ＋OC ＋BC )＝4，OA ＝OC ，∴AB －BC ＝4②. ①＋②，得2AB ＝32， ∴AB ＝16.选C.5．[2012·南通]如图5－1－3所示，矩形ABCD 的对角线AC ＝8 cm ，∠AOD ＝120°，则AB 的长为( D )图5－1－3A. 3 cm B ．2 cm C ．2 3 cmD ．4 cm【解析】在矩形ABCD 中，AO ＝BO ＝12AC ＝4 cm ， ∵∠AOD ＝120°，∴∠AOB ＝180°－120°＝60°， ∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝AO ＝4 cm.6．[2013·邵阳 ]如图5－1－4所示，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上一点，且AD ＝DE ，连结BE 交CD 于点O ，连结AO ，下列结论不正确的是 ( A )图5－1－4A ．△AOB ≌△BOC B ．△BOC ≌△EOD C ．△AOD ≌△EODD ．△AOD ≌△BOC【解析】 ∵AD ＝DE ，DO ∥AB ，∴OD 为△ABE 的中位线，∴OD ＝OC ，∵在Rt △AOD 和Rt △EOD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝DE ，OD ＝OD ，∴Rt △AOD ≌Rt △EOD (HL )；∵在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，OD ＝OC ，∴Rt △AOD ≌Rt △BOC (HL )；∵△AOD≌△EOD，∴△BOC≌△EOD，故B、C、D均正确．故选A. 7．[2012·枣庄]如图5－1－5所示，矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为(D)图5－1－5A．14 B．16C．20 D．28【解析】根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，即可得出答案．∵AC＝10，BC＝8，∴AB＝AC2－BC2＝102－82＝6，∴图中五个小矩形的周长之和为：6＋8＋6＋8＝28.8．在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，若AB＝OB＝4，则矩形ABCD的面积为【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝12AC，OB＝12BD，AC＝BD，∴OA＝OB＝AB＝4，∴BD＝8，∴AD＝BD2－AB2＝82－42＝43，∴S矩形ABCD ＝AB·AD＝4×43＝16 3.9．如图5－1－6，在矩形ABCD中，M是CD的中点．求证：∠MAB＝∠MBA.图5－1－6证明：∵在矩形ABCD中，M是CD的中点，∴DM＝CM，AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，∴△ADM≌△BCM.∴MA＝MB.∴∠MAB＝∠MBA.10．如图5－1－7所示，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一个动点，矩形的两条边AB ，BC 的长分别为3和4，那么点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是( A )图5－1－7A.125B.65C.245D ．不确定11．[2013·桂林]如图5－1－8，在矩形ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE ＝CF ，连结AF ，DE 交于点O .求证：图5－1－8(1)△ABF ≌△DCE ； (2)△AOD 是等腰三角形．证明：(1)在矩形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝DC ，∵BE ＝CF ，BF ＝BC －FC ，CE ＝BC －BE ，∴BF ＝CE .在△ABF 和△DCE 中，⎩⎨⎧AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，BF ＝CE ，∴△ABF ≌△DCE (SAS )．(2)∵△ABF ≌△DCE ，∴∠BAF ＝∠EDC .∵∠DAF ＝90°－∠BAF ，∠EDA ＝90°－∠EDC ， ∴∠DAF ＝∠EDA ， ∴△AOD 是等腰三角形．12．如图5－1－9所示，E ，F 分别是矩形ABCD 的对角线AC 和BD 上的点，且AE ＝DF .求证：BE ＝CF .图5－1－9证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，AB ＝CD .∵AE ＝DF ，∴OE ＝OF .在△BOE 与△COF 中，∵⎩⎨⎧OB ＝OC ，∠BOE ＝∠COF ，OE ＝OF ，∴△BOE ≌△COF ，∴BE ＝CF .13．[2012·茂名]如图5－1－10所示，已知矩形ABCD 中，F 是BC 上一点，且AF ＝BC ，DE ⊥AF ，垂足是E ，连结DF . 求证：(1)△ABF ≌△DEA ； (2)DF 是∠EDC 的平分线．图5－1－10证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AFB .∵DE ⊥AF ， ∴∠DEA ＝∠B ＝90°.∵AF ＝BC ，∴AF ＝AD ，∴△ABF ≌△DEA . (2)由(1)知△ABF ≌△DEA ，∴DE ＝AB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，DC ＝AB ，∴DC ＝DE .∵DF ＝DF ，∴Rt △DEF ≌Rt △DCF ，∴∠EDF ＝∠CDF ，∴DF 是∠EDC 的平分线．14．把一张矩形ABCD 纸片按如图5－1－11所示方式折叠，使点A 与点E 重合，点C 与点F 重合(E ，F 两点均在BD 上)，折痕分别为BH ，DG .图5－1－11(1)求证：△BHE ≌△DGF ；(2)若AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，求线段FG 的长．解：(1)证明：在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∠A ＝∠C ＝90°，由翻折得∠A ＝∠HEB ，∠C ＝∠GFD ，BE ＝AB ，DF ＝CD ，∠ABD ＝2∠HBE ＝∠CDB ＝2∠GDF ，∴∠HBE ＝∠GDF ，BE ＝DF .在△BHE 和△DGF 中，⎩⎨⎧∠HBE ＝∠GDF ，∠BEH ＝∠DFG ，BE ＝DF ，∴△BHE ≌△DGF .(2)设FG ＝x ，则CG ＝x ，BG ＝8－x . 在Rt △BCD 中，∠C ＝90°， ∴BD ＝BC 2＋CD 2＝82＋62＝10，∴BF ＝BD －CD ＝10－6＝4.在△BFG 中，∠BFG ＝90°，BG 2＝BF 2＋FG 2，则(8－x )2＝42＋x 2，解得x ＝3， ∴线段FG 的长为3 cm.。
浙教版八年级下册数学-矩形-练习(含解析)
浙教版八年级下册数学矩形练习一、选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A．对角线相等B．对角相等C．对边相等D．对角线互相平分2．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（ ）A．矩形的对角线相等B．矩形的四个角是直角C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形3．如图，在矩形ABCD中，AO=5，CD=6，则AD的长为（ ）A．5B．6C．7D．84．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA=1：2，且DE=23，则AC的长度是（ ）A．25B．2C．8D．5335．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，B的对应点为E，AE与CD相交于点F.若∠FCE=40°，则∠CAB的度数为（ ）A．15°B．20°C．25°D．40°6．如图，在▱ ABCD中，有下列条件：①AC=BD.②∠1+∠3=90°.③OB= 1AC.④∠1=∠2.其中能判定2▱ ABCD是矩形的有（ ）A．①B．①②③C．②③④D．①②③④7．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=6，点P为平面内一点，且BP=2，点Q为CD上一个动点，则AQ+PQ的最小值为（ ）A．11B．52−2C．103−2D．138．已知，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E是线段AB上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，过F作FG⊥CD于点G，连接EF，取EF的中点H，连接DH，AH．点E在运动过程中，下列结论：①△ADE≌△GDF；②当点H和点G互相重合时，AE=6；③∠GFH=∠ADE；④32≤AH≤72．正确的有（ ）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题9．如图，已知▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个矩形．你添加的条件是__．10．已知矩形的面积是43，其中一边长为6，则对角线长为 ．11．如图．将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知BE＝3，CD＝8．则BF的长是 ．12．如图，已知矩形ABCD，AB=9，AD=4，E为CD边上一点，CE=6，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为 时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．三、解答题13．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，点F在边AD上，BE=DF，求证：四边形AECF是矩形.14．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证∶AO=CO（2）若∠OCD=30∘，AB=3，求△AOC的面积．15．如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P 为边BC上一动点，PG⊥AC 于点G，PH⊥AB 于点H.（1）求证：四边形AGPH 是矩形.（2）在点P 的运动过程中，GH 的长是否存在最小值? 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】A【解析】【分析】矩形是一个特殊的平行四边形，因此平行四边形的性质矩形都具有，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有，据此即可得到结果。
《5.1矩形》同步提升训练2020-2021学年浙教版八年级数学下册
2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.1矩形》同步提升训练（附答案）1．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，对角线AC的长度为（）A．12B．6.5C．13D．102．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）A．4B．4C．3D．53．矩形和菱形都具有的性质是（）A．有一组邻边相等B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直4．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．两组对角分别相等5．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF，AF．若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．不能确定6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）A．10B．11C．12D．137．矩形ABCD的两条对角线的一个夹角为120°，两条对角线的长度之和为24cm，则这个矩形的一条短边的长为（）cm．A．6B．12C．24D．488．如图，矩形ABCD由两直角边之比皆为1：2的三对直角三角形纸片甲、乙、丙拼接而成它们之间互不重叠也无缝隙，则的值为（）A．B．C．D．9．如图，点E为矩形ABCD的边BC上的点，DF⊥AE于点F，且DF＝AB，下列结论不正确的是（）A．DE平分∠AEC B．△ADE为等腰三角形C．AF＝AB D．AE＝BE+EF10．如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3时，则AD的值为（）A．2B．3C．4D．611．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E是BC边上一点，作点B关于AE的对称点F，P为CF中点，则DP的最小值为（）A．4﹣4B．C．2﹣2D．2﹣212．如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，EB平分∠AEC，∠DCE＝45°，则AE长（）A．B．2﹣2C．2﹣D．213．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（2，5），则A，C两点间的距离是（）A．B．3C．D．514．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD 的长为（）A．5B．C．D．15．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为（）A．16cm2B．8cm2C．16cm2D．32cm216．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE ＝10，则AB的长为（）A．4.2B．4.5C．5.2D．5.517．如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，4）18．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．10B．12C．16D．1819．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长是（）A．14B．19C．18D．1620．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．B．C．1D．1.521．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，从以下四个条件：①OA＝OC，OB＝OD；②AB∥CD，AD＝BC；③AB＝BC；④AB⊥BC中选两个，能推出四边形ABCD是矩形的是（）A．①②B．②③C．①④D．①③22．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量一组对角是否都为直角C．测量对角线长是否相等D．测量3个角是否为直角23．在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．1.2B．1.25C．2.4D．2.525．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是P A、PB、AB 的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（）A．AD＝3B．AD＝4C．AD＝5D．AD＝626．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若E、F分别为AO，AD的中点，若AC＝24，则EF的长为．27．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE＝3∠EAB，则∠EAC的度数为．28．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，则DE的长为．29．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．30．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为．31．如图，在矩形ABCD中，AC＝5，AE平分∠DAC交CD于E，CF平分∠ACD交AE于点F，且EF：AF＝1：2，则CF＝．32．在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E，若DE＝2，则AD的长为．33．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点BP的长度为．34．如图，长方形ABCD中，AD＝20，AB＝8，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，AP的长为．35．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点P为线段AD垂直平分线上一点，且PD＝5，则BP的长是．参考答案1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝12，∵AD＝5，∴在Rt△ADC中，AC＝＝＝＝13，故选：C．2．解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，即△OAB为等腰三角形，又∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形．故AB＝BO＝4，∴DC＝AB＝4．故选：B．3．解：矩形的性质是：①矩形的四个角度数直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，所以矩形和菱形都具有的性质是对角线互相平分，故选：B．4．解：矩形的性质是：①矩形的四个角度数直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，所以矩形矩形而菱形不具有的性质是对角线相等，故选：A．5．解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝3，AB＝2，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，∵点E是CD的中点，FC＝2BF，∴CE＝DE＝1，BF＝1，CF＝2，∴AB＝CF＝2，CE＝BF＝1，在△ABF和△FCE中，，∴△ABF≌△FCE（SAS），∴AF＝EF，∠BAF＝∠CFE，∵∠B＝90°，∴∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠CFE+∠AFB＝90°，∴∠AFE＝180°﹣（∠CFE+∠AFB）＝180°﹣9°＝90°，∴△AFE是等腰直角三角形，∴∠AEF＝45°，故选：B．6．解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，∵P A⊥BE，∴P A是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE＝＝13．∴PC+PB的最小值为13．故选：D．7．解：如图所示，∵四边形ABCD是矩形，两条对角线的长度之和为24cm，∴AC＝BD＝12cm，OA＝OB＝AC＝6cm，由题意可知，∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6cm．故选：A．8．解：如图所示设丙的短直角边为x，乙的短直角边为y，则HG＝2x，DG＝2x+y，CG＝DG＝，∵BF＝DH＝y，FG＝EH＝x，∴CF＝2BF＝2y，CF＝CG+FG＝+x，∴2y＝+x，∴x＝y，∵AB＝DC＝＝＝＝，AD ＝＝＝y，∴＝＝．故选：C．9．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD，∵DF＝AB，∴DF＝CD，∵DF⊥AE，∴∠DF A＝∠DFE＝90°，在Rt△DEF和Rt△DEC中，，∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），∴∠FED＝∠CED，∴DE平分∠AEC；故A正确；∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，在△ABE和△AFD中，，∴△ABE≌△DF A（AAS），∴AE＝AD，∴△ADE为等腰三角形；故B正确；∵△ABE≌△DF A，∴不存在AF＝AB，∵△ABE≌△DF A，∴BE＝F A，∴AE＝AF+EF＝BE+EF．故D正确．故选：C．10．解：如图，当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．．且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，.∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，设AB＝2t，则AD＝t，∵E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝t，∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝t，∴BP1＝t＝3，∴t＝3．11．解：连接AC、BD交于点O，连接AF，OP，∵四边形ABCD是矩形，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8，∴点O为AC的中点，BD＝＝4，又∵点P是CF的中点，∴OP是△CAF的中位线，∵点B关于AE的对称点F，AB＝4，∴AF＝4，∴OP＝2，∵BD＝4，∴OD＝2，∵OP+DP＞OD，OP＝2，OD＝2，∴当点P在OD上时，DP取得最小值，此时DP＝OD﹣OP＝2﹣2，故选：D．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，∠A＝∠D＝∠DCB＝90°，∵∠DCE＝45°，∴DE＝DC＝2，∴EC＝2，∵∠DCE＝45°，∴∠DEC＝45°，∵EB平分∠AEC，∴∠BEC＝∠AEB＝∠AEC＝，∴∠EBC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠BEC＝∠EBC，∴BC＝CE＝2，∴AD＝BC＝2，∴AE＝AD﹣DE＝2﹣2，故选：B．13．解：如图，连接AC，OB，∵四边形AOCB是矩形，∴AC＝OB，∵点B的坐标是（2，5），点O（0，0），∴OB＝＝，∴A，C两点间的距离为，故选：C．14．解：∵矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，又∵AB＝3，∠ABC＝90°，∴BC＝＝，∴AD＝BC＝，故选：D．15．解：∵F是BC中点，∠BEC＝90°，∴EF＝BF＝FC，BC＝2EF＝2×4＝8cm，∵∠ECD＝30°，∴∠BCE＝90°﹣∠EBC＝90°﹣30°＝60°，∴△CEF是等边三角形，过点E作EG⊥CF于G，则EG＝EF＝×4＝2cm，∴矩形的面积＝8×2＝16cm2．故选：C．16．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠1＝∠E．又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠E．∴BE＝BD．∵AE＝10，∴BD＝BE＝10﹣AB．在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．∴AB＝4.2．故选：A．17．解：过C作CE⊥y轴于E，过A作AF⊥y轴于F，∴∠CEO＝∠AFB＝90°，∵四边形ABCO是矩形，∴AB＝OC，AB∥OC，∴∠ABF＝∠COE，∴△OCE≌△ABF（AAS），同理△BCE≌△OAF，∴CE＝AF，OE＝BF，BE＝OF，∵A（2，1），B（0，5），∴AF＝CE＝2，BE＝OF＝1，OB＝5，∴OE＝4，∴点C的坐标是（﹣2，4）；故选：D．18．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∵MP＝AE＝2∴S△DFP＝S△PBE＝×2×6＝6，∴S阴＝6+6＝12，故选：B．19．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°，∴AC＝＝10，∵AO＝OC，∴BO＝AC＝5，∵AO＝OC，AM＝MD＝4，∴OM＝CD＝3，∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．20．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝2，CD＝AB＝，OA＝OC＝AC，∴AC＝＝，∴OA＝，∵OE⊥AC，∴∠AOE＝90°，∴∠AOE＝∠ADC，又∵∠OAE＝∠DAC，∴AE＝1.5；故选：D．21．解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，再由AB∥CD，AD＝BC无法判断四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、由②AB∥CD，AD＝BC；③AB＝BC无法判断四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；C∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；D、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；22．解：A、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形；B、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状；C、测量对角线长是否相等，不能判定形状；D、测量3个角是否为直角，若四边形中三个角都为直角，能判定矩形；故选：D．23．四边形AECF是矩形；证明：连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC＝BC，E是AB的中点，∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．故选：B．24．解：连接AP，如图：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，当AP⊥BC时，AP最短，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∵△ABC的面积＝×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4，故选：C．25．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°，∵M、N、E分别是P A、PB、AB的中点，∴ME、NE是△ABP的中位线，∴ME∥BP，NE∥AP，∴四边形PMEN是平行四边形，当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，设DP＝x，CP＝10﹣x，由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2，∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102，AD2+x2﹣10x＝0，①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0，x＝1或x＝9，符合题意；②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0，x＝2或x＝8，符合题意；③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0，x＝5，符合题意；④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解；故选：D．26．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝24，OA＝OB＝OD＝OB＝12，∵E、F分别为AO，AD的中点，∴EF＝OD＝6，故答案为：6．27．解：∵四边形ABCD是矩形，AC、BD是矩形的对角线且相交于O，∴OA＝OB，∴∠BAC＝∠ABD，∵∠DAE＝3∠BAE，∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°．∵在矩形ABCD，∠DAE+∠ADB＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠DAE＝67.5°，即∠BAC＝∠ABD＝67.5°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝67.5°﹣22.5°＝45°，故答案为：45°．28．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝10，∵S△ADC＝×AD×CD＝×AC×DE，∴DE＝＝，故答案为：．29．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝6，∠BCD＝90°，∵E为CD的中点，∵PQ⊥BC，∴PQ∥DC，∴PQ＝4．故答案为：4．30．解：如图，取BC中点O，连接OE，OF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠DCB＝90°，∵点F是CD中点，点O是BC的中点，∴CF＝，CO＝2，∴OF＝＝，∵点O是Rt△BCE的斜边BC的中点，∴OE＝OC＝2，∵根据三角形三边关系可得：OE+OF≥EF，∴当点O，点E，点F共线时，EF最大值为OE+OF＝2+＝．故答案为：．31．解：作FG⊥AC于点G，作FM⊥CD于点M，作FN⊥AD于点N，∵CF平分∠ACD交AE于点F，且EF：AF＝1：2，∴CE：CA＝1：2，∵AC＝5，∴CE＝，∵AE平分∠DAC，CF平分∠ACD，∴FG＝FM＝FN，∵FM⊥CD，AD⊥CD，EF：AF＝1：2，设FM＝x，则AD＝3x，同理可得，△ANF∽△AED，则DE＝x，∴CD＝x，∵∠D＝90°，AD＝3x，AC＝5，∴（x）2+（3x）2＝52，解得x1＝1，x2＝（舍去），∴FM＝1，CM＝×1﹣1＝3，又∵∠CMF＝90°，∴CF＝＝，故答案为：．32．解：如图1，当点E在AD上时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝3，∵DE＝2，∴AD＝AE+DE＝3+2＝5；如图2，当点E在AD的延长线上时，同理AE＝3，∴AD＝AE﹣DE＝3﹣2＝1．故答案为：5或1．33．解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7），∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，∵D（5，0），∴OD＝5，∵点P是边AB的一点，∴OD＝DP＝5，∵AD＝3，∴P A＝＝4，∴PB＝3故答案为：3．34．解：∵四边形ABCD为矩形，AD＝20，∴BQ＝10，①当BP＝PQ时，过P作PM⊥BQ，交BQ于点M，如图1所示：则BM＝MQ＝5，且四边形ABMP为矩形，∴AP＝BM＝5，②当BQ＝BP时，则BP＝10，在Rt△ABP中，AB＝8，由勾股定理可求得AP＝6，③当PQ＝BQ时，以点Q为圆心，BQ为半径作圆，于AD交于R、S两点，如图2所示：过Q作QN⊥RS，交RS于点N，则可知RN＝SN，在Rt△RNQ中，可求得RN＝SN＝6，则AR＝4，AS＝16，即R、S为满足条件的P点的位置，∴AP＝4或16，综上可知AP为4或5或6或16，故答案为：4或5或6或16．35．解：如图，∵点P在线段AD垂直平分线MN上，∴MN⊥AD，DM＝AD＝4，MN＝AB＝4，①点P在矩形外，则P1M＝＝3，∴P1N＝7，∴P1B＝＝，②点P在矩形内，同理P2M＝3，∴P2N＝1，∴P2B＝＝，故答案为：或．。
八年级数学(下)《矩形》测试题(含答案)
八年级数学（下）《矩形》测试题（含答案）一、选择题(每小题4分,共12分)1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上,一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案,其中正确的是( )A.测量对角线是否相等B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否都为直角D.测量其中三个角是否都为直角2.▱ABCD中,AC交BD于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )A.AB=ADB.OA=OBC.AC=BDD.DC⊥BC3.如图,△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是( )A.2B.C.4D.3二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC,连接AE,BF.当∠ACB为度时,四边形ABFE为矩形.5.(2013·呼和浩特中考)如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为.6.如图,将矩形纸ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3cm,EF=4cm,则边AD的长是cm.三、解答题(共26分)7.(8分)已知:如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,点O既是AC的中点,又是EF的中点.(1)求证:△BOE≌△DOF.(2)若OA=BD,则四边形ABCD是什么特殊四边形?说明理由.8.(8分)(2013·新疆中考)如图,▱ABCD中,点O是AC与BD的交点,过点O的直线与BA,DC的延长线分别交于点E,F.(1)求证:△AOE≌△COF.(2)请连接EC,AF,则EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是矩形,并说明理由.【拓展延伸】9.(10分)如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的邻补角的平分线于点F,连接AE,AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF 是矩形?并证明你的结论.答案解析1.【解析】选D.根据矩形的判定,三个角都为直角的四边形是矩形.故选D.2.【解析】选A.根据矩形的判定定理(有一个角是直角的平行四边形是矩形)可得:DC⊥BC可证四边形ABCD是矩形.故D选项能判定四边形ABCD为矩形;矩形的对角线相等且相互平分,OA=OB,AC=BD 可证四边形ABCD为矩形,故B,C选项能判定四边形ABCD为矩形;AB=AD时,可证四边形ABCD的四条边都相等,不能证四边形ABCD为矩形.3.【解析】选A.∵DE是AC的垂直平分线,F是AB的中点,∴DF∥BC,∴∠C=90°,又易知∠CDE=∠BED=90°,∴四边形BCDE是矩形.∵∠A=30°,∠C=90°,BC=2,∴AB=4,∴AC==2.∴DC=.∴四边形BCDE的面积为2×=2.4.【解析】如果四边形ABFE为矩形,根据矩形的性质,那么AF=BE,AC=BC,又因为AC=AB,那么三角形ABC是等边三角形,所以∠ACB=60°.答案:605.【解析】∵点E,F分别为四边形ABCD的边AD,AB的中点,∴EF∥BD,且EF=BD=3.同理求得GH∥BD,且GH=BD=3,EH∥AC∥GF,且EH=GF=AC=4, ∴四边形EFGH为平行四边形.又∵AC⊥BD,∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形.∴四边形EFGH的面积=EF·EH=3×4=12,即四边形EFGH的面积是12.答案:126.【解析】∵∠HEM=∠AEH,∠BEF=∠FEM,∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=×180°=90°,同理可得:∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°,∴四边形EFGH为矩形.∴EH=FG,HG=EF,∠EHA=∠GFC,又∠A=∠C=90°,∴△AEH≌△CGF,∴AH=CF,∴BF=HD.∵AD=AH+HD=HM+MF=HF,HF===5,∴AD=5cm.答案:57.【解析】(1)∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠BEO=∠DFO=90°.又∵∠EOB=∠FOD,OE=OF,∴△BOE≌△DOF(ASA).(2)四边形ABCD是矩形.∵△BOE≌△DOF,∴OB=OD.又∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵OA=BD,OA=AC,∴BD=AC,∴▱ABCD是矩形.8.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC,AB∥CD.∴∠E=∠F.又∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF.(2)连接EC,AF,则EF与AC满足EF=AC时,四边形AECF是矩形. 理由如下:由(1)可知△AOE≌△COF,∴OE=OF,∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形,∵EF=AC,∴四边形AECF是矩形.9.【解析】当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形.证明:∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2.又∵MN∥BC,∴∠1=∠3.∴∠3=∠2,∴EO=CO.同理,FO=CO.∴EO=FO.又OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.方法一:又∵∠1=∠2,∠4=∠5,∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,∴∠2+∠4=90°.∴平行四边形AECF是矩形.方法二:∵EO=CO,FO=CO,OA=CO,∴EO=CO=FO=OA,即AC=EF.∴平行四边形AECF是矩形.。
2020—2021年人教版初中数学八年级下册矩形的性质与判定例题+同步练习及答案(精品试题).docx
第02课矩形的性质与判定同步练习题【例1】如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE＝AD,DF⊥AE,垂足为F.求证：DF＝DC.【例2】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4,AD=8,求MD的长．【例3】如图,已知在△ABC中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E、F,连接EF,M为EF的中点．(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．【例4】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E，F分别在边AD,BC 上,且DE＝CF,连接OE,OF.求证:OE＝OF.【例5】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN 交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证:OE＝OF；(2)若CE＝12,CF＝5,求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由．课堂同步练习一、选择题：1、如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E，使DE＝AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A.AB＝BEB.DE⊥DCC.∠ADB＝90° D.CE⊥DE第1题图第2题图第4题图2、如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则DC的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10c m3、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是矩形，则该四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于（）A.50°B.55°C.60°D.65°5、如图.矩形ABCD中.E在AD上.且EF⊥EC.EF=EC.DE=2.矩形的周长为16.则AE的长是（）A.3B.4C.5D.7第5题图第6题图第7题图6、如图,E是矩形ABCD中BC边的中点,将△ABE沿AE折叠到△AFE,F在矩形ABCD内部,延长AF交DC于G点,若∠AEB＝55°,则∠DAF＝( )A.40°B.35°C.20°D.15°7、如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点重合,若AB=2,BC=3,则△FCB′与△B′DG的面积之比为( )A.9：4B.3：2C.4：3D.16：98、如图,矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,则DE长为( )A.3B.4C.5D.6第8题图第9题图9、如图,在矩形ABCD中,AB＝2,BC＝4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC 于点E、O,连接CE，则CE的长为( )A.3B.3.5C.2.5D.2.810、如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下列结论：△ODC是等边三角形;②BC=2AB;③∠AOE=135°;④S△AOE=S△COE.其中正确的结论的个数有( )A.1B.2C.3D.4第10题图第11题图第12题图11、在矩形ABCD中,点A关于∠B的角平分线的对称点为E,点E关于∠C的角平分线的对称点为F,若AD=,AB=3,则S△ADF=（）A.2B.3C.3D.12、如图,在矩形ABCD中,O为AC中点,EF过O点,且EF⊥AC分别交DC于F,交AB于E,点G是AE中点,且∠AOG＝30°.①DC＝3OG；②OG＝BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE ＝S矩形ABCD.则结论正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题:13、若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为cm．14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4 cm，则四边形CODE的周长为。
春八年级数学下册5.1矩形同步练习(新版)浙教版【含解析】
5.1矩形一、选择题1.甲、乙、丙、丁四位同学拿尺子检测一个窗框是否为矩形，他们各自做了如下检测，然后都说窗框是矩形，你认为正确的是()A.甲量得窗框两组对边分别相等B.乙测得窗框的对角线长相等C.丙测得窗框的一组邻边相等D.丁测得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等2.矩形具有而平行四边形不一定具有的特征是()A.四个角都是直角B.对边相等C.对角相等D.对角线互相平分3.如图，四边形ABCD 和四边形AEF C 是两个矩形，点B 在EF 边上．若矩形ABCD 和矩形AEF C 的面积分别是S 1，S 2，则S 1，S 2的大小关系是()A.S 1<S 2 B.S 1>S 2 C.S 1=S 2 D.3S 1=2S 24.如图，矩形ABCD 的对角线AC =8cm ，∠AOD =120◦，则AB 的长为()A.√3cmB.2cmC.2√3cmD.4cm5.数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是()A.测量对角线是否相等B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否都为直角D.测量三个角是否为直角6.已知一个矩形相邻两边的长是方程x 2−8x +7=0的两根，则该矩形的周长和面积分别为()A.8，7B.8，14C.16，7D.16，147.已知：线段AB ，BC ，∠ABC =90◦．求作：矩形ABCD ．甲：(1)以点C 为圆心，AB 长为半径画弧．(2)以点A 为圆心，BC 长为半径画弧．(3)两弧在BC 上方交于点D ，连接AD ，CD ，则四边形ABCD 即为所求（如图x ）．乙：(1)连接AC ，作线段AC 的垂直平分线，交AC 于点M ．(2)连接BM 并延长，在延长线上取一点D ，使MD =MB ，连接AD ，CD ，则四边形ABCD 即为所求（如图y ）．对于两人的作业，下列说法正确的是()A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对8.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对边相等B.对角相等C.对角互补D.对角线互相平分二、填空题9.为了检查自己家新装修的房门是否为矩形，小明用手中仅有的一根较长的绳子，先测得了门的两组对边是相等的，则他还需测量．10.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AB =OA ，则当∠AOB =时，平行四边形ABCD 是矩形．11.如图，将矩形纸片ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EF GH ．若EH =3cm ，EF =4cm ，则边AD 的长是cm ．12.已知矩形ABCD 的周长为52cm ，对角线AC 和BD 相交于点O ，且△OCD 和△OAD 的周长之差是10cm ，则矩形的面积为．13.如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AF E ，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若CG GB =1k ，则ADAB=．（用含k 的代数式表示）14.如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的BC 边和CD 边上的点，且S △ABE =3，S △ECF =8，S △ADF =5，则矩形ABCD 的面积为．三、解答题15.如图，已知四边形ABCD 中，∠A =∠C =90◦，且AD =BC ，求证：四边形ABCD 是矩形．16.在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF =BE ，连接AF ，BF ．(1)求证：四边形BF DE 是矩形；(2)若CF =3，BF =4，DF =5，求证：AF 平分∠DAB ．17.阅读下面材料：如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．如图1所示，平行四边形ABEF 即为△ABC 的“友好平行四边形”．请解决下列问题：(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的”友好矩形”；(2)若△ABC 是钝角三角形，则△ABC 显然只有一个“友好矩形”，若△ABC 是直角三角形，其“友好矩形”有个；(3)若△ABC 是锐角三角形，且AB <AC <BC ，如图2，请画出△ABC 的所有“友好矩形”；指出其中周长最小的“友好矩形”并说明理由．18.如图，平行四边形ABCD 中．点E ，F 在直线AC 上（点E 在F 左侧），BE DF ．(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)若AB ⊥AC ，AB =4，BC =2√13，当四边形BEDF 为矩形时，求线段AE的长．19.如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，AE =CF ，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于点O ，且BE =BF ，∠BEF =2∠BAC ．(1)求证：OE =OF ；(2)若BC =2√3，求AB 的长．20.阅读、操作与探究：小亮发现一种方法，可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式（如4:6的最简形式为2:3）为两个连续自然数的比，(1)具体操作如下：如图1，Rt △ABC 中，BC ，AC ，AB 的长分别为3，4，5，先以点B 为圆心，线段BA 的长为半径画弧，交CB 的延长线于点D ，再过D ，A 两点分别作AC ，CD 的平行线，交于点E ．得到矩形ACDE ，则矩形ACDE 的邻边比为．请仿照小亮的方法解决下列问题：(2)如图2，已知Rt △F GH 中，GH :GF :F H =5:12:13，请你在图2中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比，并写出这个比值；(3)若已知直角三角形的三边比为(2n +1):(2n 2+2n ):(2n 2+2n +1)（n 为正整数），则所画矩形（邻边比的最简形式为两个连续自然数的比）的邻边比为．5.1矩形—答案一、选择题12345678DACDDCAC二、填空题9.对角线是否相等10.60◦11.512.144cm 2解析：由△OCD 和△OAD 的周长之差为10cm ，得CD −AD =10cm .又因为该矩形的周长是52cm ，所以CD +AD =26cm ，所以CD =18cm ，AD =8cm ，所以S 矩形=8×18=144(cm2).13.√k +12解析：连接EG ．Rt △ECG Rt △EF G (HL )，∴CG =F G ．设CG =a ，∵CG GB =1k ，∴GB =ka ．∴BC =CG +BG =a +ka =a (k +1)．在矩形ABCD 中，AD =BC =a (k +1)，∴AF =a (k +1)．AG =AF +F G =a (k +1)+a =a (k +2)，在Rt △ABG 中，AB =√AG 2−BG 2=2a √k +1，∴AD AB =√k+12．14.30解析：过F 点作F H ⊥AB 垂足为H ，过E 点作EG ⊥AD 垂足为G ，F H 和EG 交于点M ．S △ABE =3，即12AB ·BE =3；S △ECF =8，即12EC ·CF =8；S △ADF =5，即12AD ·DF =5，则BE ·(DF +CF )=6，······x (BE +EC )·DF =10，······yy −x 得DF ·EC =4+BE ·CF ，······zx +y 得2(6−BE ·CF )+BE ·CF +EC ·DF =16，······{由12EC ·CF =8可知，EC ·CF =16，则BE ·F C =4，BE ·DF =2，即四边形AHMG 的面积为2．则S 矩形ABCD =S 矩形ABEG +S 矩形ECF M +S 矩形AHF D −S 矩形AHMG =30.三、解答题15.如图，连接BD ．∵∠A =∠C =90◦，∴△BAD 和△BCD 均为直角三角形．又AD =BC ，BD =BD ，∴Rt △ABD Rt △CDB ．∴∠ADB =∠CBD ，∴AD BC ，∴ABCD 是平行四边形．又∠A =90◦，∴四边形ABCD 是矩形．16.(1)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC AB ，即DF BE ，∵DF BE ，∴四边形DEBF 为平行四边形．∵DE ⊥AB ，即∠DEB =90◦．∴四边形DEBF 为矩形．(2)∵四边形DEBF 为矩形．∴∠BF C =90◦，∵CF =3，BF =4，∴BC =√32+42=5，∴AD =BC =5，∴AD =DF =5，∴∠DAF =∠DF A ．∵∠DF A =∠F AB ，∴∠DAF =∠F AB ，即AF 平分∠DAB ．17.(1)三角形的一边与矩形的一边重合，三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上．(2)2(3)画图：周长最小的“友好矩形”是矩形ABHK ．理由如下：易知这三个矩形的面积都等于△ABC 的面积的一半，所以这三个矩形的面积相等，令其为S ．设矩形BCDE ，矩形CAF G ，矩形ABHK 的周长分别为L 1，L 2，L 3，△ABC 的边长BC =a ，CA =b ，AB =c ，（c <b <a ），则L 1=2Sa +2a ，L 2=2Sb +2b ，L 3=2S c+2c ，∴L 1−L 2=Ä2Sa +2a ä−Ä2Sb+2b ä=2(a −b )·ab −Sab，而ab >S ，a >b ，∴L 1−L 2>0，即L 1>L 2．同理可证L 2>L 3．18.(1)连接BD ，交AC 于点O ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB =OD ．由BE DF ，得∠BEO =∠DF O ，而∠EOB =∠DOF ，∴△BEO △DF O ，∴BE =DF ，又BE DF ，∴BEDF 是平行四边形．(2)∵AB ⊥AC ，AB =4，BC =2√13，∴AC =6，∴AO =3，∴Rt △BAO 中，OB =5．∵四边形BEDF 是矩形，∴OE =OB =5．∴点E 在OA 的延长线上，且AE =2．19.(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ．∴∠=∠OCF ，∠OEA =∠OF C ．又AE =CF ，∴△AEO △CF O （ASA ）．∴OE=OF ．(2)连接BO ．∵OE =OF ，BE =BF ，∴BO ⊥EF ，且∠EBO =∠F BO ．∴∠BOF =90◦．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BCF =90◦．又∠BEF =2∠BAC ，∠BEF =∠BAC +∠EOA ，∴∠BAC =∠EOA ．∴AE =OE ．∵AE =CF ，OE =OF ，∴OF =CF ．又BF =BF ，∴Rt △BOF Rt △BCF (HL )．∴∠OBF =∠CBF ．∴∠CBF =∠F BO =∠OBE ．∵∠ABC =90◦，∴∠OBE =30◦．∴∠BEO =60◦．∴∠BAC =30◦．在Rt △BAC 中，∵∠BAC =30◦，∴AC =2BC =4√3．∴AB =√AC 2−BC 2=6．20.(1)1:2解析：根据题意得：AC =4，CD =CB +BD =3+5=8，则矩形ACDE 的邻边比为1:2；(2)根据题意画出矩形，如图所示.矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比为F G :GN =12:(5+13)=12:18=2:3；(3)根据题意得：(2n 2+2n ):(2n +1+2n 2+2n +1)=2n (n +1):2(n +1)2=n :(n +1)．。
浙教版八年级下测试题5.1 第2课时 矩形的判定
第2课时矩形的判定1．下列命题中正确的是(D) A．对角线相等的四边形是矩形B．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的四边形是矩形D．内角都相等的四边形是矩形【解析】内角都相等的四边形即每个内角都等于90°.故选D.2．下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是(C) A．测量两条对角线，是否相等B．测量两条对角线，是否互相平分C．用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角D．用曲尺测量对角线，是否互相垂直3．在四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线且AC＝BD.如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是矩形，那么这个条件是(B) A．AB＝BC B．AC与BD互相平分C．AC⊥BD D．AB⊥BD【解析】添加AC与BD互相平分，则四边形ABCD是平行四边形．当AC ＝BD时，平行四边形ABCD是矩形．4．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是(D) A．一般平行四边形B．一般四边形C．对角线垂直的四边形D．矩形5．[2012·盐城]如图5－1－12所示，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是__答案不唯一，如∠A＝90°__(填上你认为正确的一个答案即可)．图5－1－126．在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB∥CD，请你添上一个条件：__AB＝CD或AD∥BC等__，使得四边形ABCD是矩形．7．如图5－1－13所示，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOD是正三角形，AD＝4，则这个平行四边形的面积是．图5－1－138．如图5－1－14所示，在▱ABCD中，M是BC的中点，∠MAD＝∠MDA.求证：四边形ABCD是矩形．图5－1－14证明：∵∠MAD＝∠MDA，∴AM＝DM.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.又BM＝CM，∴△ABM≌△DCM，∴∠B＝∠C.∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．9．如图5－1－15所示，延长等腰△ABC的腰BA至点D，使DA＝BA，延长腰CA至点E，使AE＝CA，连结CD，DE，EB.求证：四边形BCDE是矩形．图5－1－15证明：∵DA＝BA，AE＝CA，∴四边形BCDE是平行四边形．又DA＝BA，AE＝CA，AB＝AC，∴BD＝CE.∴平行四边形BCDE是矩形．10．如图5－1－16所示，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，∠1＝∠2.图5－1－16(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠BOC＝120°，AB＝4 cm，求四边形ABCD的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵∠1＝∠2，∴OB＝OC，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∠BOC＝120°，AB＝4，∴∠1＝∠2＝30°，BC＝43，∴S＝AB·BC＝16 3 cm2.四边形ABCD11．[2012·吉林]如图5－1－17所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连结AD，EC.图5－1－17(1)求证：△ADC ≌△ECD ；(2)若BD ＝CD ，求证：四边形ADCE 是矩形．证明：(1)∵四边形ABDE 为平行四边形，∴AB ∥DE ，AB ＝DE ，∴∠B ＝∠EDC .又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACD ，∴DE ＝AC ，∠ACD ＝∠EDC .在△ADC 与△ECD 中，⎩⎨⎧AC ＝DE ，∠ACD ＝∠EDC ，DC ＝CD ，∴△ADC ≌△ECD (SAS )．(2)由(1)可知△ADC ≌△ECD ，∴AD ＝CE ，∠ADC ＝∠ECD .∵AB ＝AC ，∴当BD ＝CD 时，AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠ECD ＝90°，∴AD ∥CE ，∴四边形ADCE 是矩形．12．[2013·南通]如图5－1－18，AB ＝AC ，AD ＝AE ，DE ＝BC ，且∠BAD ＝∠CAE .求证：四边形BCDE 是矩形．图5－1－18证明：∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD －∠BAC ＝∠CAE －∠BAC .∴∠BAE ＝∠CAD .在△BAE 和△CAD 中，∵⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ，AB ＝AC ，∴△BAE ≌△CAD (SAS )，∴∠BEA ＝∠CDA ，BE ＝CD .∵DE ＝BC ，∴四边形BCDE是平行四边形，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE.∵∠BEA＝∠CDA，∴∠BED＝∠CDE.∵四边形BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∴∠CDE＋∠BED＝180°，∴∠BED＝∠CDE＝90°，∴四边形BCDE是矩形．13．[2013·白银]如图5－1－19，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连结BF.图5－1－19(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠F AE＝∠CDE，又E是AD的中点，∴AE＝DE.∴△AFE≌△DCE.∴AF＝CD.又AF＝BD，∴BD＝CD.(2)△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∵AF∥BD，且AF＝BD，∴四边形AFBD 是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形．14．[2013·张家界]如图5－1－20，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O 作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.图5－1－20(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．第14题答图解：(1)证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF；(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°，∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝122＋52＝13，∴OC＝12EF＝6.5；(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．。
八下第5章特殊平行四边形5-1矩形5-1-1矩形的概念与性质习题新版浙教版
10 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC的延长线上，且 CE＝BD，连结AE交BD于F，如果∠E＝20°，那么 ∠AFB的度数为____6_0_°__.
【点拨】
连结AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝
12AC，OB＝OD＝
1 2
BD，AC＝BD，
∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
D. 4
【点拨】
∵四边形 ABCD 是矩形，AB＝5，AD＝12， ∴∠C＝90°，CD＝AB＝5，BC＝AD＝12， ∴BD＝ CB2＋CD2＝13.过点 E 作 EH⊥BD 于点 H， ∴∠DHE＝90°. ∵DE 平分∠BDC，∴EH＝EC.
【点拨】
在 Rt△ CDE 与 Rt△HDE 中，DCEE＝＝HDEE，， ∴Rt△ CDE≌Rt△ HDE(HL)，∴DH＝CD＝5， ∴BH＝8，设 BE＝x，∴EH＝CE＝12－x. ∵BE2＝BH2＋EH2，∴x2＝82＋(12－x)2， 解得 x＝236，∴线段 BE 的长为236.
4 平行四边形没有而矩形具有的性质是( A )
A. 对角线相等
B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分
D. 对角相等
5 【2023·宁波模拟】如图，点E在矩形ABCD边BC的 延长线上，连结AC，DE，BE＝AC，若∠E＝70°， 则∠ACB的度数是( A ) A. 40° B. 50° C. 70° D. 30°
【点拨】 又∵AE＝BF，∴Rt△ AME≌Rt△ BNF(HL)， ∴ME＝FN. 设 ME＝FN＝x， 在 Rt△ AMB 和 Rt△ BNA 中，AABM＝＝BBAN，， ∴Rt△ AMB≌Rt△ BNA(HL)，∴BM＝AN， ∴BE－ME＝AF＋FN，即 3－x＝1＋x， 解得 x＝1，∴ME＝1，BM＝2.