分解素因数(难点)
初中数学专题3.2 素因数分析
3.2素因数分析只能被1和它本身整除的正整数叫做素数，素数是数论中最简单、最重要的一类数，许多问题从正整数的素因数出发分析显得自然、简单、直接.下面的一些性质在素因数分析处理数论问题时经常用到：1.最小的素数是2，它也是唯一的偶素数2.任意一个大于1的正整数的最小正因数是素数.3.若p 为素数，a ，b 为整数，且p ∣ab ，则p ∣a 或p ∣b.4.素数有无穷多个.例1 已知a 、b 、c 是不同的素数，且满足2000=+a c ab b ，试求a 、b 、c 的值【解】由题意知34522000)1(⨯==+c a a b ，所以2=a 或5=a（1）若2=a ，则3739993⨯==c b b ，所以3=b ，37=c ；（2）若5=a ，则1973399⨯⨯==c b b ，无解所以2=a ，3=b ,37=c例2 试问：当n 为何正整数时，323能够整除131620--+n n n ？【分析】对于指数为字母的式子，多用同余来研究，但是323本身比较大，直接模323操作较复杂，利用整除的性质，考虑用323的素因数作模来研究【解】由于1917323⨯=，所以当n 为偶数时，)19(mod 01331131620≡--+=--+n n n n n ，)17(mod 01313131620≡--+≡--+n n n n n n ，此时323整除131620--+n n n当n 为奇数时，201313131620-≡---≡--+n n n n n )17(mod ，所以此时323不整除131620--+n n n综上所述，n 为偶数时，323整除131620--+n n n【说明】本例利用了整除的一个性质：若a ，b 互素，且a ∣c ,b ∣c ,ab ∣c例3从1，2，3，……2012中，选出若干个数，使其中的任意三个数是最小公倍数均所选的数中，试问：最多可以选多少个不同的数？【解】设共取出k 个数，它们是1≤1a ＜2a ＜……k a ≤2012，由题意[i a ，j a ,]k a ≤k a ,又根据最小公倍数定义：[i a ，j a ,]k a ≥k a ,所以[i a ，j a ,]k a k a =，即i a ∣k a ，j a ∣k a 因此，1a ，……,k a 都是k a 的正因数.反过来，当k a 取定后，如果取出k a 的所有正因数，那么这些数中任意三个数的最小公倍数仍为k a 的正因数，在所选的数中，从而，只需找到1，2，……，2012中正因数个数最多的那个正数数m ，即可确定k 的最大值从m 的不同素因数的个数出发去讨论d (m )（它表示m 的正因数的个数）如果m 只有一个素因数，那么d (m )≤11（因为满足x 2≤2012的最大正整数10=x ）; 如果m 恰有两个不同素因数，为使d (m )最大，可设x x m 32⋅=，分别就1=y ，2，3，……计算，可知3632⋅=m 时，d (m )=28最大；如果m 恰有三个不同素因数，同上可设z 532⋅⋅=x x m ，分别就1=z ，2，3……计算，可知53225⋅⋅=m 时，d (m )=36最大；如果m 恰有四个不同素因数，可设s x y x m 7532⋅⋅⋅=，就1=s ，2，……计算，可知 75324⨯⨯⨯=m 时，d (m )=40为最大.综上可知，最多可以选出40个数满足条件.例4 求所有的正整数n 和素数p ，使得23653-+=-n p p n【解】移项后作因式分解，得)1()2()1(52+=+-p p n n注意到：1(-n ，1)2-=+n n （，1)3=或3.如果1(-n ，1)2=+n ，那么由p 为素数可知5p ∣2)1(-n 或5p ∣2+n ，前者要求3p ∣1-n ，此时有32)1(p n >-,故321=+>+n p1-+n ≥33p +，不能成立；后者要求2+n ≥5p ，知1-n ≥35-p ≥324-p ≥)32(44-+p 134+=p ，导致1)1(2+>-p n ，亦不能成立.如果1(-n ，3)2=+n ，那么由上面的计论可知3=p （否则，将有5p ∣2)1(-n 或5p ∣2+n ），此时，可设m n 31=-，则)1(32+=+m n ，进而，43)1(22⨯=+m m ，知3=m 综上可知，所求的n （，10()=p ，)3例5 设n 为正整数.证明：存在正整数a ，b ，使得b a n -=,并且a ，b 的不同素因数的个数相同.【证明】我们用)(x π表示正整数x 的不同素因数的个数，如果n 为偶数，那么取n a 2=,n b =,则)()()(n b a πππ==，并有b a n -=，命题成立； 如果n 为奇数，设p 是不能整除n 的最小奇素数，那么1-p 所有奇素因数都是n 的素因数，从而取pn a =，n p b )1(-=，则b a n -=,而)(1)()(n b a πππ+==（注意：1-p 为偶数，故)(1)(n b ππ+=），命题亦成立【注】这里取“最小”的方法在数论中经常用到【例6】设n 是一个大于2的正整数，证明：在数n 与n !之间至少有一个整数为素数.【证明】设1p ，2p ，……m p 是所有不超过n 的素数，由n >2，知2，3都在1p ，2p ，……m p 中出现，考虑数1p M =……1-m p ，可知M ≥2×3－1=5，而M 的素因数q 不能是1p ，2p ，……m p 的数，因些p >n ，M ≤432⋅⋅……1!1-=-⋅n n ，故!n q <所以，在n 与n !之间存在一个整数为素数【注】由此题的结论可推出素数有无穷多个练3.21求所有不超过100的恰好3个正整数因子的正整数的乘积，并证明所有这样的数都是完全平方数2设≥2，且当1=j ，2……，[]k n 时，都有j ∣n ，求证：k k p n 2<,这里k p 2表示第2k 个素数 3证明：每个正整数n 都能表示成为两个素因子个数相同的正整数之差.4证明：形如)3(mod 2≡p 的素数有无穷多个5证明：存在无穷多个正整数n ,使得14+n 的最大素因子大于2n。
分解素因数(教师版)
例1、自然数N是一个两位数，它是一个素数，而且N的个位数字与十位数字都是素数，这样的自然数有多少个？解：这样的自然数有4个：23，37，53，73．例2、两个素数之和为39，求这两个素数的乘积是多少.解：因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。
例3、如果a，b均为素数，且3741+=______.+=，则a ba b解：根据题意a，b中必然有一个偶素数2，，当2b=，当2b=时不符合题意，所a=时，5以257+=+=.a b例4、用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成素数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个素数.解：要使素数个数最多，我们尽量组成一位的素数，有2、3、5、7均为一位素数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是素数的数字未用．有1、4、8、9可以组成素数41、89，而6可以与7组合成素数67．所以这9个数字最多可以组成6个素数。
例5、7个连续素数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？解：因为7个素数的和是偶数，所以这7个素数不可能都是奇数.我们知道是偶数的素数只有2，因此这7个素数中必有一个是2.又因为2是最小的素数，并且这7个连续素数是从大到小排列的，所以2g=.其他6个数从大到小依次是17、13、11、7、5、3.这样7d=.例6、将60拆成10个素数之和，要求最大的素数尽可能小，那么其中最大的素数是多少解：最大的素数必大于5，否则10个素数之和将不大于50，又60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即8个7与2个2的和为60，故其中最大的素数是7．例7、在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是素数，那么这个长方体的体积是多少?解：如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209．ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19．当a=11时，c+b=19，当两个素数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶素数2，则c+b=2+17; 当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9，b为9不是素数，所以不满足题意．所以它们的乘积为11×2×17=374．例8、甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数？。
六年级秋季班-第2讲：分解素因数
模块一：素数、合数与分解素因数分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求2个整数或者是3个整数的最大公因数或最小公倍数，以及利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．1、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；（3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数．2、 分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数． 分解素因数 知识结构知识精讲 内容分析3、 口算法分解素因数例如：728922233=⨯=⨯⨯⨯⨯．4、 短除法分解素因数形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．【例1】 在1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247中，_________________________是素数，合数有______个．【例2】 将84分解素因数：_______________________，84的素因数为______________．【例3】 最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和是______．【例4】 将100写成两个素数的和：100 = ______ + ______，共有______对．【例5】 下列说法中正确的个数有（ ）个（1）两个连续素数的乘积一定是奇数；（2）两个素数的和一定是偶数；（3）相邻的两个正整数的乘积一定是合数；（4）一个合数至少有三个因数；（5）任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式．A ．0B ．1C ．2D ．3【例6】 如果三个连续自然数的乘积是210，则这三个数分别是_____________．【例7】 两个素数的和为21，那么这两个素数的积是______．【例8】 已知41176a b =（a 、b 都为正整数），则a 的最小值为______． 例题解析35 5 7【例9】 面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？1、 公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．2、 最大公因数几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．3、 两个数互素如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．4、 求最大公因数求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．【例10】36和54的公因数有_____________．【例11】126和630的最大公因数是________________．【例12】 在下列各组数中，互素的有（ ）组 （1）3和5；（2）6和9；（3）4和9；（4）14和17；（5）18和1．A ．1B ．2C ．3D ．4例题解析知识精讲 模块二：公因数和最大公因数【例13】下列说法正确的是（）A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数B．两个不同的素数一定互素C．如果1是两个整数的公因数，则这两个数一定互素D．若5能被a整除，又是b的最小倍数，则a和b的最大公因数是5【例14】三个数16、24和30的公因数有______．【例15】有a、b、c、d四个正整数，已知a、b的最大公因数是60，c、d的最大公因数是48，那么a、b、c、d这四个数的最大公因数是______．【例16】一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种______棵树．【例17】一个长方体，它的上面和正面面积之和是209平方分米，长、宽、高都是素数，则这个长方体的表面积是______．【例18】求42897与18644的最大公因数．（拓展：辗转相除法）1、公倍数与最小公倍数公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数； 最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数． 2、求两个数的最小公倍数求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数； 如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．3、求三个数的最小公倍数求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取各自剩余的素因数，所有这些素因数的积．为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．【例19】已知23357A =⨯⨯⨯⨯，22557B =⨯⨯⨯⨯，则A 与B 的最小公倍数是______．【例20】已知两个合数互素，且它们的最小公倍数为72，则这两个数为______．【例21】 下列说法中正确的个数为（ ）个 （1）若三个正整数只有公因数1，则这三个数两两互素；（2）若3m n ÷=，则两个正整数m 、n 的最小公倍数是m ；（3）互素的两个数没有公因数；（4）能同时被6、8整除的数一定能被48整除；（5）若a b c ÷=（a 、b 、c 都是正整数），则a 与b 的最大公因数是c ．A ．0B ．1C ．2D ． 3模块三：公倍数与最小公倍数 例题解析知识精讲【例22】两个正整数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个数是48，则另一个数是______．【例23】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）187和442；（2）36、84和39．【例24】某校外出活动，如果9人一组，则多5人；如果15人一组，则少4人，已知学生人数在130至140人，则该年级的学生有______人．【例25】能被5、6、9整除的最大三位数是______，最小四位数是______．A B是24的倍数，则A+B的最大值为多少？【例26】已知四位数20【例27】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．已知第一群猴子猴四十几只，那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？【例28】一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，则这个数最小是多少？【例29】某校有皮球若干个，如果平均分给10个班，则余下9个；如果平均分给12个班，则余下11个；如果平均分给15个班，则余下14个，学校至少有几个皮球？【例30】甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？随堂检测【习题1】在1~100这100个整数中，有25个素数，则合数有______个．【习题2】下列选项中分解素因数正确的是（）A．17117=⨯B．1802259=⨯⨯⨯C．3362233729=⨯⨯⨯=D．362233=⨯⨯⨯【习题3】已知a和b都是小于10的合数，两位数ab是一个素数，这样的两位数是______．【习题4】在小于10的正整数中，两个互素的合数有____________．【习题5】三个数38、66、94分别除以自然数n，所得的余数都是3，则n = ______．【习题6】已知甲数比乙数大6，比丙数小72，三数之和是120，求三数的最小公倍数及最大公因数．【习题7】如果16个梨和19个苹果平均分给若干个小朋友，则多2个梨，缺2个苹果，那么共有______个小朋友．【习题8】一个两位数，用它去除391和40，所得余数相同，用它去除283和23，所得余数也相同，求这个两位数．【习题9】共青森林公园有一条小路，在小路两旁每隔3米种一棵树（路的两端都有树），一共种了66棵，现在要改成每隔4米一棵，问几棵小树不要移动？新挖树坑多少个？【习题10】甲、乙、丙三个数，甲与乙的最大公因数是12，甲与丙的最大公因数是15，而三个数的最小公倍数是120，求甲、乙、丙三个数．课后作业【作业1】2431是三个素数的乘积，这三个素数是____________．【作业2】108的素因数有____________________．【作业3】两个素数的和是99，则这两个素数的乘积是______．【作业4】以下说法正确的有（）个（1）任何一个奇数都是素数；（2）除2以外的偶数都是合数；（3）两个素数的积一定是合数；（4）任何一个素数加上1都是偶数；（5）两个连续的偶数一定互素；（6）两个连续正整数一定互素．A．1 B．2 C．3 D．4【作业5】两个数的最小公倍数是180，最大公因数是3，这样的两个数为____________．【作业6】24的所有因数中，互素的数共有______对．【作业7】已知M a b c（a、b、c都是素数），那么M的因数中是合数的有_________．【作业8】把一块长7.2cm，宽6cm，厚0.36dm的木料锯成尽可能大，且大小、性质完全相同的正方体木块，锯后不能有剩余，至少能锯成多少块？【作业9】一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用78瓶，平均每2人饮用1瓶A饮料，每3人饮用1瓶B饮料，每4人饮用1瓶C饮料，问参加会餐的人数是多少人？【作业10】已知两个正整数的差是16，它们的最大公因数和最小公倍数之和是88，求：这两个正整数．。
上海市青浦区金泽中学沪教版(五四学制)六年级数学上册教案1.4(2)素数、合数与分解素因数
用树枝分解法将60分解素因数
用短除法将64分解素因数
归纳：短除法分解素因数的步骤：
1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除
2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续下去，直到得到的商是素数为止
3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式
分解素因数的方法：树枝分解法和短除法
课题
1.4(2)素数、合数与分解素因数
课型
新授课
教
、理解素因数及分解素因数的概念，掌握分解素因数的几种方法，熟练掌握用短除法分解素因数。
2、经历概念的形成过程，培养学生的分析与推理能力。
3、通过各种方式，激发学生的交流、对话意识，积极探索的精神，树立学好数学的自信心。
活动三：当堂检测
1、下列分解素因数正确的是……（）
(A)42＝2×21 (B)48＝1×2×2×2×2×3
(C)24＝4×6 (D)62＝2×31
2、分解素因数：
72、51、84、
42、81、40
教师巡视，对个别学生加以指导，对学生的展示加以评价
课堂上独立完成当堂检测
展示作业
活动四、融会贯通
学完本节课后，你有哪些收获？你还有哪些疑问？
引导学生讨论：
素数都能写成几个素数相乘的形式吗？
合数都能写成几个素数相乘的形式吗？
谈谈你对概念的理解
小组讨论
（每个合数都可以写成几个素数相乘的形式）
素因数：既是合数的因数又是素数
分解素因数：一定是写成素因数连乘的形式
反思：素因数与分解素因数是后续学习短除法求最大公因数与最小公倍数的基础，是非常重要的，但是对于学生而言，素因数与分解素因数的概念比较抽象，是个难点，课堂教学中，要关注个别学生的学习。另外树枝分解法和短除法的书写规范一定要注意强调，尤其是短除法的书写格式更要强调规范：用最小的素因数试除，短除号要不断的向里缩进，短除号里面的数字要数位对齐。最终除到商为素数为止。
第6讲：分解素因数
第1章第6讲：分解素因数本节主讲内容：（1）素因数的概念；（2）分解素因数的方法；一：分解素因数例题：6，28和60可以写成哪几个素数相乘的形式？解析：解决这类问题，我们可以采用“树枝分解法”，如下图所示：所以：6=2×328=2×2×760=2×3×2×5=2×2×3×5从这个例题中，我们可以看出：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，并且这几个素数都是这个合数的因数，因此我们称它们为这个合数的素因数。
在数学中，把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫作分解素因数。
练习1：因为12=2×2×3，所以12的素因数有：A.2B.2和3C.3D.2、2和3练习2：28的素因数有：A.4B.2和7C.2、2和7D.4和7练习3：把32分解素因数正确的是：A.32=2×2×2×4B.32=1×32C.32=2×2×2×2×2D.32=1×2×2×2×2×2二：分解素因数的方法把一个合数分解素因数除了可以使用“树枝分解法”以外，我们还可以使用“短除法”。
看下面的例题：例题：把48，35，60分解素因数。
所以：48=2×2×2×2×3；35=5×7；60=2×2×3×5用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式；注：除了以上两种方法外，也可以采用口算的方法进行分解素因数，例如：72=8×9=2×4×3×3=2×2×2×3×3特别注意的是，在分解素因数时，分解到最后必须保证每个因数都是素数。
分解素数第二讲
分解素数第⼆讲第⼆讲分解素因数教学⽬标1、素数、合数与分解素因数2、公因数与最⼤公因数3、公倍数与最⼩公倍数重点难点1、理解因数、倍数、公约数和公倍数等的相关概念，2、掌握有关⽅法，会求质因数，公因数和公倍数，来解决实际问题3、掌握分解素因数的⼏种⽅法，熟练掌握⽤短除法分解素因数。
4、通过学习，进⼀步加深对整数的认识，理解整数的多种分类⽅法的异同，体现分类思想。
知识框架⼀、素数和合数素数、合数的概念：⼀个正整数，如果只有1和它本⾝这两个因数，这样的数叫做素数，也叫作质数，如果除了1和它本⾝以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
举例常见的素数：合数：1既不是素数，也不是合数。
这样，正整数⼜可以分为。
判断下列说法是否正确：（1）⼀个合数⾄少有3个因数；（2）所有的奇数都是素数；（3）所有的偶数都是合数（4）在正整数中，除了素数都是合数。
⼆、分解素因数分解素因数：每个合数都可以写成⼏个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把⼀个合数⽤素因数相乘的形式表⽰出来，叫做分解素因数。
既不是素数也不是合数的正整数是1.分解素因数常⽤的⽅法有：树枝分解法、短除法、⼝算法等例1：将6、28、60分解素因数说明：先将该合数分解成两个因数之积，再将其中的合数分解，⼀直分到不能再分为⽌。
例2：把48、35、60分解素因数（⽤短除法）例3：1）89和189 分别是素数，还是合数？如果是合数，把它分解素因数2）89 和189 各有多少个因数？把他们都写出来。
例4、有91个苹果，分给⼗⼏个⼈，若每⼈分得苹果的个数都相同，那么每个⼈分得苹果多少个？⽤短除法分解素因数的步骤如下：1、先⽤⼀个能整除这个合数的素数（通常从最⼩的开始）去除2、得出的商如果是合数，再按照上⾯的⽅法继续除下去，直到得出的商是素数为⽌3、然后把各个除数和最后的商按从⼩到⼤的顺序写成连乘的形式。
分解素因数与分解因数有何相同点和不同点？总结：1. ⼏个数共有的因数叫做公因数，其中最⼤的⼀个公因数，叫做这⼏个数的最⼤公因数。
分解素因数知识整理
分解素因数知识整理
素因数分解是指将一个合数分解成若干个素数相乘的形式。
例如，12可以分解为2*2*3，其素因数为2和3。
素因数分解的方法
•试除法：从2开始，依次试除合数，直到找到一个能整除合数的素数。
然后，将合数除以这个素数，得到一个新的合数。
再从2开始试除新的合数，直到无法再整除。
•短除法：将合数不断分解成两个因数，其中一个因数是素数。
例如，12可以分解为4*3，4可以分解为2*2，3是素数，因此12可以分解为2*2*3。
•唯一分解定理：任何一个合数都可以唯一地分解成若干个素数相乘的形式。
素因数分解的应用
•求最大公因数和最小公倍数：两个数的最大公因数是它们所有相同素因数的乘积，最小公倍数是它们所有素因数的最高次幂的乘积。
•化简分数：将分数的分母分解成素因数，然后将分母中的公因数与分子中的公因数约去。
•解一元一次方程：将方程两边同时分解成素因数，然后将相同的素因数消去。
一些常见的素因数分解技巧
•利用2、3、5的性质：2是唯一一个偶数素数，3是唯一一个能整除所有3的倍数的素数，5是唯一一个末尾数字为5的素数。
•利用平方数和立方数的性质：平方数的素因数分解形式为a^2，立方数的素因数分解形式为a^3。
•利用互质数的性质：两个互质数的素因数没有相同的素因数。
练习题
1.分解下列合数的素因数：
o12
o24
o36
o48
o60
2.求下列分数的最大公因数和最小公倍数：
o12/18
o15/20
o24/36
3.解下列一元一次方程：o2x=12
o3x=15
o5x=25。
分解素因数108
分解素因数108
108是一个数值，我们可以通过把108分解成质数和质因数的乘积来简单表示。
素因数分解法是一种分解数学，它是把大数字分解为小数字的技术。
其原理是将大数字分解为一组质数因子的乘积，每一个因子都是一个质数。
在数学中，质数是指只能够被1和其本身整除的数，108恰好是3的3次方乘以2的2次方，这样
我们形成了两个质数3和2。
因此，108可以写成如下的素因数分解：
108 = 3 × 3 × 2 × 2 = (3 × 2) × (3 × 2)
108被分解后，即3和2均为质数，我们可以将108形象地表达为：由3和2
两个质数组成，它们组合而成的乘方结果就是108。
所以，108的质因数分解就是
3和2，即3 × 2 × 2 × 2。
素因数分解通常被用作另一种表示大数字的方法，它有助于数学学习者建立起更好的理解和掌握的过程，也提供了一种有用的工具来帮助数学学习者解决各种乘除等乘方问题。
综上所述，素因数分解可以很容易地分解出大数字，比如108，它被分解后即
可得到它的质因数为3和2。
使用素因数分解不仅可以帮助数学学习者掌握数学问题，而且也提供了一种非常有用的方法来分解大数字。
分解素因数的方法
分解素因数的方法分解素因数是将一个数分解成素数的乘积的过程。
在数学中，素数是指只能被1和自身整除的数，例如2、3、5、7等。
分解素因数是一个重要的数论问题，可以用来解决许多与数的性质和因子相关的问题。
要分解一个数的素因数，可以使用质因数分解的方法。
首先，我们可以从最小的素数2开始尝试是否能整除给定的数。
如果能整除，那么就将给定的数除以该素数，并将该素数记录下来，作为一个素因数。
然后继续尝试用相同的素数去除以所得的商，直到该商不能再被该素数整除为止。
如果一个数不能被2整除，在尝试其他素数之前可以直接排除所有偶数，因为它们一定会包含2这个素因数。
同样地，如果一个数不能被3整除，那么可以排除所有3的倍数。
这样可以有效地减少计算量，提高分解素因数的效率。
具体的分解素因数的方法如下：1. 将给定的数表示出来，通常用一个大写字母N来表示。
2. 从最小的素数2开始，尝试是否能整除N。
如果能整除，就将N除以2，并记录下2作为一个素因数。
3. 如果N不能被2整除，再尝试3。
同理，如果能整除，将N除以3，并记录下3作为一个素因数。
4. 继续尝试5、7、11、13等素数，直到所得的商不能再被尝试的素数整除为止。
5. 最后得到的N一定是一个素数，也是最后一个素因数。
举个例子来说明一下，假设我们要分解素因数的数为120。
首先，从最小的素因数2开始尝试，发现120可以整除2。
将120除以2得到60，并将2记录下来。
接下来，再尝试2，发现60仍然能整除2。
将60除以2得到30，并将2再次记录下来。
继续尝试2，发现30仍然能整除2。
将30除以2得到15，并将2记录下来。
此时再试图用2除以15时，发现不能整除。
于是，我们再尝试3。
发现15可以被3整除，将15除以3得到5，并将3记录下来。
此时再试图用3除以5时，发现不能整除。
最后得到的商5是一个素数，也是最后一个素因数。
综上所述，分解素因数的方法是将给定的数从最小的素数开始不断尝试，如果能整除就将素因数记录下来并将商继续进行尝试，直到不能再整除为止。
上海市六年级(上)数学同步讲义 第3讲 (难)分解素因数(二)(解析版)
分解素因数（二）内容分析分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解公倍数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公倍数在实际问题中的综合运用．通过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．知识结构模块一：公倍数与最小公倍数知识精讲1、公倍数与最小公倍数公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．2、最小公倍数的求法求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．例题解析【例1】用短除法求18和24的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6；72．【解析】 2 18 243 9 123 4∴18与24的最大公因数是2×3=6；最小公倍数是2×3×3×4=72．【总结】本题考察了用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例2】用分解素因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6；360．【解析】因为24=2×2×2×3，90=2×3×3×5；所以18与24的最大公因数是2×36；最小公倍数是2×2×2×3×3×5=360．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例3】求下列各组数的最小公倍数．（1）8和15；（2）9和45；（3）19和21．【难度】★【答案】（1）8和15的最大公因数是1；8和15的最小公倍数是120；2/ 15（2）9和45的最大公因数是9；9和45的最小公倍数是45； （3）19和21的最大公因数是1；19和21的最小公倍数是399． 【解析】（1）（3）互素的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；（2） 成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了求两个特殊关系的数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例4】若2235m =⨯⨯⨯，2337n =⨯⨯⨯，则m 、n 的最小公倍数为___________． 【难度】★ 【答案】1260【解析】m 、n 的最小公倍数是：（2×3）×2×5×3×7=1260． 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例5】求10，12和15的最小公倍数． 【答案】60【解析】 2 10 12 15 3 5 6 15 5 5 2 5 1 2 1∴10、12、15的最小公倍数是：2×3×5×1×2×1=60． 【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例6】已知三个连续奇数的和是15，那么这三个奇数的最小公倍数是多少？ 【答案】105【解析】设三个数为22n n n -+，，． 则：2215n n n -+++=解得：5n =，这三个数是：3，5，7． ∴3、5、7的最小公倍数是：3×5×7=105． 【总结】本题考察了求三个数的最小公倍数的方法．4 / 15【例7】两个数的积是144，它们的最小公倍数是36，这两个数各是多少？ 【答案】4和36．【解析】由已知得：这两个数的最大公因数是4；设这两个数是4a ，4b (a 、b 互素)，则44144a b ⨯=．所以9ab =．因为a 、b 互素，所以a =1×4=4，b =9×4=36． 即这两个数是9、36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例8】甲、乙两户人家相邻而居，甲每6天去超市购物一次，乙每7天去同一家超市 购物一次，元旦这一天两户人家都去这家超市购物，再经过多少天他们又会在同一天都去超市？【答案】42天【解析】6与7的最小公倍数是42．答：再经过42天他们又会在同一天都去超市． 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例9】幼儿园一个班买书，如买35本，平均分给每个小朋友差一本；如买56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如买69本，平均分给每个小朋友则差3本．这个班的小朋友最多有几人？师生总结1、求最小公倍数的方法有哪些？2、求两个数和三个数的最小公倍数的方法有什么不同？【难度】★★★ 【答案】18人【解析】35+1=36，56-2=54，69+3=72，而36、54、72的最大公因数是18． 答：这个班的小朋友最多有18人． 【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．1、 两数的最大公因数与最小公倍数的关系已知数a 和数b ，两数的最大公因数为m ，最小公倍数为n ，则：a b m n ⨯=⨯【例10】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）48和18；（2）27和81．【难度】★【答案】（1）48，18的最大公因数是6，最小公倍数是144； （2）27，81的最大公因数是27，最小公倍数是81． 【解析】（1）一般求两数的最大公因数和最小公倍数，用短除法，（2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数．例题解析知识精讲模块二：最大公因数与最小公倍数综合6 / 15【总结】本题考察了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例11】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）4、8和12；（2）15、75和90．【难度】★【答案】（1）4，8，12的最大公因数是4，最小公倍数是24； （2）15，75，90的最大公因数是15，最小公倍数是450． 【解析】均用短除法或分解素因数法等可求得；【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例12】如果甲数235=⨯⨯，乙数237=⨯⨯，那么甲数与乙数的最大公因数是________， 最小公倍数是_________． 【难度】★【答案】6， 210；【解析】最大公因数是：2×3=6；最小公倍数是：（2×3）×5×7=210． 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例13】已知甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，甲数是6，乙数是多少？ 【答案】15【解析】 设另一个数是x ， 则：6 x =3×30 解得：x =15 答：乙数是15．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例14】判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”，并说明理由． （1）两个数的公倍数的个数是有限的． ( ) （2）30是15和10的最小公倍数．()（3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数．( )（4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大．( )【答案】（1）×；（2）√；（3）√；（4）√．【解析】（1）错误，两个数的倍数就是这两个数最小公倍数的倍数，有无限个；（2）正确；（3）正确；（4）正确；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例15】两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？【答案】另一个数是36．【解析】设另一个数是x，则：28x=4×252．解得：x=36．答：乙数是36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积【例16】已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？【答案】120或66．【解析】设这两个数是6a，6b(a、b互素)，则：6ab=144∴ab=24=1×24=3×8；当a=1，b=24，这两个数是6、144，和为：6+144=120；当a=3，b=8，这两个数是18、48，和为：18+48=66；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例17】两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？【答案】20和28【解析】设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则：4ab=140．8 / 15∴ab =35=1×35=5×7，∵小数不能整除大数 ∴a =5，b =7，这两个数是20、28．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例18】张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张．如果已知x 、y 、z 的最小公倍数为60，x 和y 的最大公因数为4，y 和z 的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？ 【难度】★★★ 【答案】20或4．【解析】设4123x a y b z c ===，，（a ，b ，c 为素数），则12abc =60． 所以abc =5=1×1×5．（1）a =5，这三个数是20，12，3； （2）b =5，这三个数是4，60，3； （3）c =5，这三个数是4，12，151； 答：张三发出的新年贺卡为20张或4张．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【习题1】如果数a 能被数b 整除，则a 和b 的最大公约数是______，最小公倍数是______． 【难度】★ 【答案】b ， a ．【解析】两个数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数； 【总结】本题考察了成倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题2】自然数b 的最小倍数__________它的最大约数．（填大于、小于或等于）随堂检测【难度】★【答案】等于【解析】自然数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身，所以相等；【总结】本题考察了因数和倍数的相关概念；【习题3】11和15的最大公因数是________，最小公倍数是________．【难度】★【答案】1；165．【解析】互素的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；【总结】本题考察了互素的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题4】求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．【答案】最大公因数是180，最小公倍数是83160．【解析】因为2520=2×2×2×3×3×5×7；5940=2×2×3×3×3×5×11；所以2520与5940的最大公因数是：2×2×3×3×5=180；最小公倍数是：（2×2×3×3×5）×2×7×3×11=83160．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个较大数的最大公因数和最小公倍数．【习题5】一个电子原钟，每整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯，已知中午12时整，它既响铃又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时候？【答案】15:00【解析】因为60与9的最小公倍数是180，而180分钟=3小时，12+3=15．答：那么下一次既响铃又亮灯在15:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题6】已知两个互素的数的最小公倍数是33，求这两个数的和．【答案】34或14【解析】因为33=1×33=3×11．（1）这两个数可能是1和33，此时和为34；（2）这两个数可能是3和11，此时和为14；【总结】本题考察了互素的两个数的最小公倍数的求法．【习题7】在上海火车站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔5分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，至少再过多少时间它们又同时发车？【答案】15分钟【解析】3与5的最小公倍数是15．答：至少再过15分钟它们又同时发车．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题8】用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每个花束里红花朵数相同，黄花朵数也相同，每个花束里至少有几朵花？【答案】7朵【解析】因为96与72的最大公因数是24，所以（96+72）÷24=7朵．答：每个花束里至少有7朵花．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【习题9】若一块长方形绿地，长120米，宽30米，要在它的四周和四个角种树，且每相邻两棵树之间的距离相等，那么最少需要种多少棵树？【答案】10棵【解析】120与30的最大公因数是30，2（120+30）÷30=10棵．答：最少需要种10棵树．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．10/ 15【习题10】被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是多少？【难度】★★★【答案】8572【解析】由题意可知：这个自然数加8是10、11、12、13的公倍数；又10、11、12、13这四个数的最小公倍数是8580，所以8580-8=8572．答：这个自然数最小是8572．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题11】一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，那么这筐苹果最少应有多少个？【难度】★★★【答案】60个【解析】2、3、4、5这四个数的最小公倍数是60．答：这筐苹果最少应有60个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题12】小明7月和8月参加了钢琴和美术的培训，两项培训都是从7月1日开始，钢琴课每上一次休息4天，美术课每上一次休息6天，请问整个暑假中有几天是两项培训在同一天进行的？【难度】★★★【答案】12天【解析】4与6的最下公倍数是12，31×2÷12=5…2．答：整个暑假中有5天是两项培训在同一天进行的．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．课后作业【作业1】写出下列各组数的最小公倍数：12 / 151与299（ ） 12与36（ ） 12与13（ ） 13与52（ ） 10与14（ ） 21与49（ ） 6与15（）22与66（）25与35（）【难度】★【答案】299； 36； 156； 52； 70； 147； 30； 66； 175； 【解析】 略【作业2】已知甲数357A =⨯⨯⨯，乙数37A =⨯⨯，若甲、乙两数的最大公因数是42，求A的值． 【难度】★ 【答案】2【解析】由已知得：甲数和乙数的最大公因数是：3×7×A=42， 解得：A =2．【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数．【作业3】已知两个数的积是100，它们的最大公因数是5，试求这两个数的最小公倍数． 【答案】20【解析】 设这两个数的最小公倍数是x ， 则：5x =100 解得：x =20答：这两个数的最小公倍数是20．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【作业4】两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且这两个数的和是714，这两个数各是多少？【答案】这两个数是420和294．【解析】设这两个数是42a，42b(a、b互素)，则：42ab=2940，42（a+b）=714．∴ab=70，a+b=17∴a=7，b=10，这两个数是420、294．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【作业5】有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？【答案】42人【解析】433-13=420，260-8=252，而420与252的最大公因数是84．又学生人数在30～50之间，84=2×42．答：学生有42人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【作业6】若一个正整数加上3能被15和20整除，那么符合条件的数中最小的数是多少？【答案】57【解析】因为15与20的最小公倍数是60，所以60－3=57．答：符合条件的数中最小的数是57．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业7】一筐苹果有500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多一个，这筐苹果共有多少个？【答案】60个【解析】3、4、5的最小公倍数是60，而苹果有500多个，所以60×9=540个．答：这筐苹果共有540个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业8】一排电线杆每两根之间的距离是60米，现在要改为45米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不动？【难度】★★★【答案】180米【解析】60与45的最小公倍数是180．答：再过180米又有一根不动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业9】公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6:00三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最后一辆车是20:00．求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻．【难度】★★★【答案】19:20【解析】8、10、16这三个数的最小公倍数是80．（20-6）×60=840分钟840÷80=10…40分钟答：该总站最后一次三辆车同时发出的时刻是19:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业10】数23具有下列性质：被2除余1，被3除余2，被4除余3，求具有这种性质的最小三位数．【难度】★★★【答案】11【解析】由题意可知：这个自然数加1是2、3、4的公倍数；又2、3、4的最小公倍数是12．∴12-1=11答：这个自然数最小是11．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．14/ 15。
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分解素因数（难点）
武宁中学葛剑敏预备年级的学生，刚从小学升入初中，他们思维活跃，喜欢形象的事物，但他们的思维的严密性、成熟度还不够，因此要重视概念和算理的理解,注重运算的合理性和多样性，如六年级（上）在分解素因数这一节中就涉及公因数、最大公因数、最小公倍数等概念，以及素因数分解的方法。
素因素是指：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
如60=2×2×3×5中2、2、3、5都是60的素因数，而60=2×2×3×5是分解60这个合数。
分解素因数有“树枝分解法”、“口算法”、“机算法”和“短除法”，其中“短除法”是为求最大公因数、最小公倍数作准备，应熟练掌握。
公因数是指：几个数公有的因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
如求24和32的最大公因数：
方法1：这种方法是在理解算理的基础上求最大公因数；
24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；
32的因数有1、2、4、8、16、32；
24和32公有的因数：1、2、4、8；其中最大的一个公有的因数是8。
方法2：先分解素因数，再找公有的素因数；
24=2×2×2×3；32=2×2×2×2×2，
可以看出24和32全部公有的素因数是2、2、2，因此2×2×2=8就是24和32的最大公因数。
方法3：“短除法”
224 32
212 16
2 6 8
3 4
把两个短除竖式合并在一起，每次除时需用两数的公有素因数去除，直到两个商互素为止。
因此2×2×2=8就是24和32的最大公因数。
公倍数是指：几个整数的共有的倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
如求24和32的最小公倍数。
方法1：用求倍数的方法：
24的倍数有24、48、72、96、120…
32的倍数有32、64、96、128、160…
所以24和32的最小公倍数是96。
方法2：先分解素因数，再找公有的素因数只要取一个，再取各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是最小公倍数。
24=2×2×2×3；32=2×2×2×2×2，
24和32的最小公倍数是2×2×2×3×2×2=96
方法3：“短除法”
224 32
212 16
2 6 8
3 4
24和32的最小公倍数是2×2×2×3×4=96 。
这里特别要注意的是用“短除法”求最大公因数和最小公倍数的区别。
下面举些例子：
(1)把37、42、57、65、74、95、105、195分成两组，使它们的乘积相等。
(2)学生1430人参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数要在100至200之间，有哪几种方法？
题型分析：
如果能够恰当确定此题的解题思路，这两道题并不困难。
处理以上题时要注重学生对素数、合数、分解素因数意义的理解，注重引导学生在具体的讨论中体会，这样“智力游戏”题就真的可以在游戏中完成。
(1)题解答：
把八个数分成两组，要使两组数的乘积相等，也就是每组各因数所含有的素因数的情况相同。
先把各数分解素因数，再按素因数分成两组就可以了，没必要算出乘积是多少。
37是素数74=2×37
42=2×3×7 105=3×5×7
95=5×19 57=3×19
195=3×5×13 65=5×13
第一组：37、42、95、195
37×42×95×195=2×3×3×5×5×7×13×19×37 第二组：74、57、65、105
74×57×65×105=2×3×3×5×5×7×13×19×37
(2)题解答：
解这道题时要把1430分解素因数，1430=2×5×11×13。
在此基础上选择其中的若干素因数相乘，注意使乘积在100到200之间。
2×5×11=110 13个队，每队有110人。
2×5×13=130 11个队，每队有130人。
11×13=143 10个队，每队有143人。
（3）题：
观察右面图形，用边长多少厘米的正方形拼起来正好填满，正好
填满的最大正方形的边长是多少厘米？
分析：
这种类型的题看似复杂，表面上看好象条件不充分。
但若能仔细分析，从倍数和因数这部分知识入手还是很容易理解的。
这道题实际上就是求18和12的公因数和最大公因数。
需要注意的是这类问题同时含着有关最小公倍数的问题。
应该说这两方面的问题联系密切，理解了其一，另一类就会迎刃而解。
（3）题解答：
1.先求出18和12的公因数，再找到这两个数的最大公因数。
18和12的公因数有：1、2、3、6，它们的最大公因数是6。
2.问题答案：
分别可以用边长是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米的正方形
填满。
正好填满的最大的正方形的边长是6厘米。
3.问题延伸：
要想填满这个图形需要多少个边长6厘米的正方形？(18×12)÷(6×6)=6(个)。