4.5-2系统开环对数幅频特性的简便画法.
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4第三节系统对数频率特性的绘制
m1 −1 m2 −1
2ζ lTlω −ν − ∑ tg T pω − ∑ tg 2 2 p =1 1 − Tl ω 2 l =1 π π ϕ (0) = −ν , ϕ (∞) = −(n − m) 。n = ν + n1 + 2n2 , m = m1 + 2m2 且有： 2 2 由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方 法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。
G1 ( s ) =
1+ s 1 + 10 s
G1 ( s ) =
1− s 1 + 10 s
最小相位系统
非最小相位系统
对于最小相位系统，幅值特性和相位特性之间具有唯一对应 关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部 频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定，反之亦然；但是这 个结论对于非最小相位系统不成立。 非最小相位系统情况可能发生在两种不同的条件下。一是 当系统中包含一个或多个非最小相位环节；另一种情况可能发 生在系统存在不稳定的内部小回路。 一般来说，右半平面有零点时，其相位滞后更大，闭环系 统更难稳定。因此，在实际系统中，应尽量避免出现非最小相 位环节。
[解]：1、k = 10 −3 ,20 log k = −60;ν = 2; ω1 =
1 1 ω3 = = 8, ω 4 = = 20, 0.125 0.05
2、低频渐进线斜率为 − 20ν = −40dB ，过（1，-60）点。 3、高频渐进线斜率为 ：− 20 × (n − m) = −60 4、画出波德图如下
ϕ (ω )
− 45o
− 90o − 135o
1 T1
1 T2
− 20 − 40 − 60 − 80
−40
2ζ lTlω −ν − ∑ tg T pω − ∑ tg 2 2 p =1 1 − Tl ω 2 l =1 π π ϕ (0) = −ν , ϕ (∞) = −(n − m) 。n = ν + n1 + 2n2 , m = m1 + 2m2 且有： 2 2 由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方 法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。
G1 ( s ) =
1+ s 1 + 10 s
G1 ( s ) =
1− s 1 + 10 s
最小相位系统
非最小相位系统
对于最小相位系统，幅值特性和相位特性之间具有唯一对应 关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部 频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定，反之亦然；但是这 个结论对于非最小相位系统不成立。 非最小相位系统情况可能发生在两种不同的条件下。一是 当系统中包含一个或多个非最小相位环节；另一种情况可能发 生在系统存在不稳定的内部小回路。 一般来说，右半平面有零点时，其相位滞后更大，闭环系 统更难稳定。因此，在实际系统中，应尽量避免出现非最小相 位环节。
[解]：1、k = 10 −3 ,20 log k = −60;ν = 2; ω1 =
1 1 ω3 = = 8, ω 4 = = 20, 0.125 0.05
2、低频渐进线斜率为 − 20ν = −40dB ，过（1，-60）点。 3、高频渐进线斜率为 ：− 20 × (n − m) = −60 4、画出波德图如下
ϕ (ω )
− 45o
− 90o − 135o
1 T1
1 T2
− 20 − 40 − 60 − 80
−40
自动控制理论-19开环对数频率特性曲线的绘制
针转一圈时，在F(s)平面上，ΓF曲线从B点开始绕原点 反时针转一圈。
定理如下：
•如果封闭曲线 s 内有Z个F(s)的 零点，有P个F(s)的极点，则s依 s 顺时针转一圈时，在F(s)平面上， F(s)曲线绕原点反时针转的圈数R为P 和Z之差，即R＝P－Z
•若R为负,表示F(s)曲线绕原点顺时针转过 的圈数。
例 已知单位负反馈系统如图所示，试做出 系统的开环伯德图。
解：作L():
(1) G s 40 40 / 4 10 K
s(s 4)
s
1 4
s
1
s
1 4
s
1
s(Ts 1)
因此， 开环增益 K=10
转折频率
1
1 T
4 (1/ s)
20lg K 20 dB
L()/dB
40
-20 dB/dec
辅助函数F(s)具有如下特点： ①其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。 ②其零点的个数与极点的个数相同。 ③辅助函数与系统开环传递函数只差常数1。
1.辐角原理（柯西）
设S为复变量，F(S)为S的有理分式函数，对于S平面上任一变
量点，通过复变函数F(S)的映射关系，在F(S)平面上可确定关于变
量的象。
反馈控制系统
开环传递函数
GsH s
M1sM 2 s N1sN2 s
闭环传递函数
(s)
1
Gs GsH s
M1sN2 s N1sN2 s M1sM 2 s
令 Fs 1 GsH s
N1sN2 s M1sM 2 s N1sN2 s
将F(s)写成零、极点形式，有
n
s zi
F s i1 n s pi i 1
定理如下：
•如果封闭曲线 s 内有Z个F(s)的 零点，有P个F(s)的极点，则s依 s 顺时针转一圈时，在F(s)平面上， F(s)曲线绕原点反时针转的圈数R为P 和Z之差，即R＝P－Z
•若R为负,表示F(s)曲线绕原点顺时针转过 的圈数。
例 已知单位负反馈系统如图所示，试做出 系统的开环伯德图。
解：作L():
(1) G s 40 40 / 4 10 K
s(s 4)
s
1 4
s
1
s
1 4
s
1
s(Ts 1)
因此， 开环增益 K=10
转折频率
1
1 T
4 (1/ s)
20lg K 20 dB
L()/dB
40
-20 dB/dec
辅助函数F(s)具有如下特点： ①其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。 ②其零点的个数与极点的个数相同。 ③辅助函数与系统开环传递函数只差常数1。
1.辐角原理（柯西）
设S为复变量，F(S)为S的有理分式函数，对于S平面上任一变
量点，通过复变函数F(S)的映射关系，在F(S)平面上可确定关于变
量的象。
反馈控制系统
开环传递函数
GsH s
M1sM 2 s N1sN2 s
闭环传递函数
(s)
1
Gs GsH s
M1sN2 s N1sN2 s M1sM 2 s
令 Fs 1 GsH s
N1sN2 s M1sM 2 s N1sN2 s
将F(s)写成零、极点形式，有
n
s zi
F s i1 n s pi i 1
5-2 典型环节的频率特性
K T 2 s 2 + 2ξTs + 1
0
ωr
对应频率特性 G( jω) 的起点为
G( j0) = K , ∠G( j0) = 0
(ω = 0 )
振荡环节的频率响应
阻尼比较小时，会产生谐振，谐振峰值 M r ( M 幅频特性的极值方程解出。
r
> 1) 和谐振频率 ω r 由
d d 2 2 2 1 − T ω + 4ξ 2T 2ω 2 = 0 G( jω ) = dω dω
∠G( jω ) = 0
频率特性如图所示。
°
Im
由图可看出放大环节的幅频特 性为常数K，相频特性等于零度， 它们都与频率无关。理想的放大环 节能够无失真和无滞后地复现输入 信号。
0
ω =0→∞
.
K
Re
放大环节的频率响应
（二） 积分环节
积分环节的传递函数为 其对应的频率特性是
1 G (s) = s
100
90o 45o 0 -45o -90o 0.01 0.1 1 10 100
ω
用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节）
的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰； （2） 幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相 加运算，可简化计算；
G ( jω ) = G1 ( jω )G2 ( jω ) LGn ( jω ) G ( jω ) = G1 ( jω ) ⋅ G2 ( jω ) L Gn ( jω ) L(ω ) = 20 lg G ( jω ) = 20 lg G1 ( jω ) + 20 lg G2 ( jω ) + L + 20 lg Gn ( jω )
第四节开环系统频率
当 趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差 常值就越大。
系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。 因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在 稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察 对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
静态位置误差常数的确定
R(s) + -
E(s)
G(s)
C(s)
假设系统的开环传递函数为
10
cf2_dB=9.5424251
0
-10
-40dB/dec
-20
-30 -40
10-1
G(s)
15
(s 1)(0.2s 1)
cf3_dB=-30.4575749
100
101
图5-22 某一0型系统对数幅值曲线
静态速度误差常数的确定
图5-23为一个1型系统对 数幅值曲线的例子。
斜率为 20dB / dec的起始线段/或其延长线，与 1
绘制步骤概括如下:
（1）将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘 积形式,确定各环节的转折频率（如果有的话）,并 将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标纸上。
(2) 绘制L()的低频段渐近线；a.如为0型系统,低频 段平行于频率轴,高度为20lgK;b.如为I型以上系统, 则低频段（或其延长线）在=1处的幅值也为 20lgK,斜率为-20 dB/dec
除比例、积分和微分环节外， 其他典型环节的频率特性在起 点处有Gi(j0＋) H(j0+) =1·ej0+。 故与系统的类型有关，见右图 所示。一般有
频率特性的低频段形状
幅相特性曲线的起点有以下结论：
起点处的幅值：
起点处的相角： 有时需要求取幅相特性的低频渐近线 （2）终点(即高频段)，此时频率特性的幅值与
系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。 因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在 稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察 对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
静态位置误差常数的确定
R(s) + -
E(s)
G(s)
C(s)
假设系统的开环传递函数为
10
cf2_dB=9.5424251
0
-10
-40dB/dec
-20
-30 -40
10-1
G(s)
15
(s 1)(0.2s 1)
cf3_dB=-30.4575749
100
101
图5-22 某一0型系统对数幅值曲线
静态速度误差常数的确定
图5-23为一个1型系统对 数幅值曲线的例子。
斜率为 20dB / dec的起始线段/或其延长线，与 1
绘制步骤概括如下:
（1）将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘 积形式,确定各环节的转折频率（如果有的话）,并 将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标纸上。
(2) 绘制L()的低频段渐近线；a.如为0型系统,低频 段平行于频率轴,高度为20lgK;b.如为I型以上系统, 则低频段（或其延长线）在=1处的幅值也为 20lgK,斜率为-20 dB/dec
除比例、积分和微分环节外， 其他典型环节的频率特性在起 点处有Gi(j0＋) H(j0+) =1·ej0+。 故与系统的类型有关，见右图 所示。一般有
频率特性的低频段形状
幅相特性曲线的起点有以下结论：
起点处的幅值：
起点处的相角： 有时需要求取幅相特性的低频渐近线 （2）终点(即高频段)，此时频率特性的幅值与
4第四节开环系统频率特性的绘制
第四节 开环系统频率特性的绘制
本节主要内容
开环系统极坐标频率特性的绘制（奈氏图） 开环系统对数坐标频率特性的绘制（波德图） 非最小相位系统的频率特性
一、开环系统极坐标频率特性的绘制（绘制奈氏图） 开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成， 或是一个有理分式，不论那种形式，都可由下面的方法绘制。 [绘制方法]：
2 p 1 l 1
kຫໍສະໝຸດ e j m1
2
(
i 1
2 2
1 ( i ) e
2
jtg 1 i
) ( (1 k ) (2 k k ) e
2 2 2 2 k 1
m2
jtg 1
2 k k 1 k 2 2
)
p 1
n1
1 1 Tp
e
10 [例5-3]系统开环特性为： k (s) G (0.25s 1)(0.25s 2 0.4s 1)
试画出波德图。
[解]：1、该系统是0型系统，所以 0, k 10, T1 0.25, T2 0.5
则， 1
1 1 4, 2 2,20log k 20dB T1 T2
1
n2
1
k , T1 T2 ，试 [例]：开环系统传递函数为：G( s) s(1 T1s)(1 T2 s) 画出该系统的波德图。
[解]：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环 节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。
20
1 T1 1 T2
( )
45 90
, G(0)
0
显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特 性与n-m有关。
本节主要内容
开环系统极坐标频率特性的绘制（奈氏图） 开环系统对数坐标频率特性的绘制（波德图） 非最小相位系统的频率特性
一、开环系统极坐标频率特性的绘制（绘制奈氏图） 开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成， 或是一个有理分式，不论那种形式，都可由下面的方法绘制。 [绘制方法]：
2 p 1 l 1
kຫໍສະໝຸດ e j m1
2
(
i 1
2 2
1 ( i ) e
2
jtg 1 i
) ( (1 k ) (2 k k ) e
2 2 2 2 k 1
m2
jtg 1
2 k k 1 k 2 2
)
p 1
n1
1 1 Tp
e
10 [例5-3]系统开环特性为： k (s) G (0.25s 1)(0.25s 2 0.4s 1)
试画出波德图。
[解]：1、该系统是0型系统，所以 0, k 10, T1 0.25, T2 0.5
则， 1
1 1 4, 2 2,20log k 20dB T1 T2
1
n2
1
k , T1 T2 ，试 [例]：开环系统传递函数为：G( s) s(1 T1s)(1 T2 s) 画出该系统的波德图。
[解]：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环 节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。
20
1 T1 1 T2
( )
45 90
, G(0)
0
显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特 性与n-m有关。
5-2(2) 开环系统的频率特性
分子分母同乘以 1
•
K [(an 1bm1 2 1) (bm1 an 1 )( j )] 2 [a n2 1 2 1] 2型系统， 2
K (an 1bm1 2 1) U ( ) 2 (an2 1 2 1)
1
2
1
3
2
所以，开环频率特性为：
G ( j ) A( ) e j ( ) G1 ( j ) G2 ( j ) G3 ( j )
A1 ( ) A2 ( ) A3 ( ) e j ( ) ( ) ( )
1 2 3
开环幅频特性 开环相频特性
第五章 线性系统的频域分析法
第二节 典型环节与开环系统的 频率特性
5-2-2 开环系统频率特性的绘制
项目 内 容
教 学 目 的 数坐标图的绘制方法。
掌握控制系统的概略极坐标图和渐近线形式的对
教 学 重 点 标图的绘制。
控制系统的概略极坐标图和渐近线形式的对数坐
教 学 难 点 渐近线形式的对数坐标图幅频特性的绘制。
i 1
n
对数幅频特性和相频特性都符合叠加原则。
K 例题2：设系统的开环传递函数 G( s) H ( s) sT1 s 1T2 s 1
（T1 ＞T2 ＞ 0，K ＞ 0），试绘制系统开环对数频率特性曲线。 解： 因为系统的开环频率特性为：G( j ) 1）对数幅频特性
K j ( jT1 1)( jT2 1)
0
lim G ( j ) K0
lim G ( j ) 0 180
曲线与坐标轴的交点
可由G（jω）=0分别求得曲线与实轴或虚轴的交点:（也可能不存在 交点，而有渐近线的情形，如本例和P201例5的情况）
开环幅相频率特性曲线和对数相频特性曲线的完整画法
开环幅相频率特性曲线和对数相频特性曲线的完整画法一般情况下，以X轴为频率，Y轴为幅度和相位，将开环幅相特性曲
线画成两条曲线，分别为幅度特性曲线和相位特性曲线。
1.幅度特性曲线：以频率（角频率）为X轴，以幅度为Y轴，表示系
统输出信号与输入信号之间的幅度比值或增益。
曲线上沿频率增加时，增
益也会增大，但是增大的幅度会减小，因此，在此曲线上，增益逐渐降低，形成一个弓形曲线。
2.相位特性曲线：以频率（角频率）为X轴，以相位为Y轴，表示系
统输出信号与输入信号之间的相位差。
曲线上沿频率增加时，相位差也会
逐渐增大，相位曲线与幅度曲线的关系是一种折线图，但相位差的增加是
随着频率的函数变化。
对数相频特性曲线:
以对数频率（角对数频率）为X轴，以幅度为Y轴，表示系统输出信
号与输入信号之间的幅度比值或增益。
曲线上沿频率增加时，增益也会增大，但是增大的幅度会减小，因此，在此曲线上，增益也会逐渐减小，形
成一个弓形曲线。
4.5-2系统开环对数幅频特性的简便画法.
因两点纵坐标相同， 另取点： (30, −139.4°)， 绘制相频特性曲线如图 4 所示。
图 4 相频特性曲线
注：因选点的精度和曲线绘制软件功能原因，各曲线仅作示意变化趋势用。
环节，则斜率便降低−20��/���。若有�个积分环节，则在ω = 1处的斜率便为
③ 在半对数坐标纸上， 找到横坐标为ω = 1、 纵坐标为�(ω) = 20��� 的点， ④ 计算各典型环节的交接频率， 将各交接频率按由低到高的顺序进行排列， 并按下列原则依次改变�(ω)的斜率： 过改点作斜率为−20���/��� 的斜线。其中�为积分环节的数目。
系统开环对数幅频特性的简便画法
从典型环节的对数幅频特性可见，在低频段，惯性、振荡和比例微分等环节 的低频渐近线，均为零分贝线。因此，对数幅频特性�(ω)的低频段主要取决于 过零点，因此，在ω = 1处，对数幅频特性的高度仅取决于比例环节，即
比例环节和积分环节（理想微分环节一般很少出现） ，而在ω = 1处，积分环节为 �(ω)|��� = 20��� 。此时的斜率，则主要取决于积分环节的多少，每多一个积分 −20���/��� 。往后若遇到惯性环节，经交接频率，�(ω)的斜率便−20��/���； 遇到振荡环节，过交接频率，则斜率便−40��/���；若遇到比例微分环节，过 交接频率，则斜率+20��/���。 由此得串联环节渐近对数幅频特性绘制步骤： ① 分析系统是由哪些典型环节串联而成的，将各典型环节的传递函数都转 换为标准形式，如有分母，则常数项为 1。 ② 根据比例环节的� 值，计算20��� 。
积分环节： �� (�) = −180° ②
比例微分环节： �� (�) = ������0.1�③ 惯性环节：�� (�) = −������0.02�④ 经四条曲线绘出后， �(�) = �� (�) + �� (�) + �� (�) + �� (�)，故可知特
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若过惯性环节的交接频率，斜率减去20��/��� ； 若过振荡环节的交接频率，斜率减去40��/��� 。
若过比例微分环节的交接频率，斜率增加20��/��� ；
⑤ 如果需要，可对渐近线进行修正，以获得较精确的对数幅频特性曲线。
如图 1 所示为某含比例积分（PI）调节器的随动系统，由图可知，其开环传 递函数为： �(�) = 5 0.15 20 5 ∙ 0.15 ∙ 20 0.1� + 1 0.1� + 1 ∙ ∙ = ∙ � 0.02� + 1 � 0.1 � (0.02� + 1) 0.1� 1 1 ∙ (0.1� + 1) = 150 ∙ � ∙ � 0.02� + 1
环节，则斜率便降低−20��/���。若有�个积分环节，则在ω = 1处的斜率便为
③ 在半对数坐标纸上， 找到横坐标为ω = 1、 纵坐标为�(ω) = 20��� 的点， ④ 计算各典型环节的交接频率， 将各交接频率按由低到高的顺序进行排列， 并按下列原则依次改变�(ω)的斜率： 过改点作斜率为−20���/��� 的斜线。其中�为积分环节的数目。
系统开环对数幅频特性的简便画法
从典型环节的对数幅频特性可见，在低频段，惯性、振荡和比例微分等环节 的低频渐近线，均为零分贝线。因此，对数幅频特性�(ω)的低频段主要取决于 过零点，因此，在ω = 1处，对数幅频特性的高度仅取决于比例环节，即
比例环节和积分环节（理想微分环节一般很少出现） ，而在ω = 1处，积分环节为 �(ω)|��� = 20��� 。此时的斜率，则主要取决于积分环节的多少，每多一个积分 −20���/��� 。往后若遇到惯性环节，经交接频率，�(ω)的斜率便−20��/���； 遇到振荡环节，过交接频率，则斜率便−40��/���；若遇到比例微分环节，过 交接频率，则斜率+20��/���。 由此得串联环节渐近对数幅频特性绘制步骤： ① 分析系统是由哪些典型环节串联而成的，将各典型环节的传递函数都转 换为标准形式，如有分母，则常数项为 1。 ② 根据比例环节的� 值，计算20��� 。
积分环节： �� (�) = −180° ②
比例微分环节： �� (�) = ������0.1�③ 惯性环节：�� (�) = −������0.02�④ 经四条曲线绘出后， �(�) = �� (�) + �� (�) + �� (�) + �� (�)，故可知特
殊点： (0, −180°)、(10, −146.3°)、(50, −146.3°)、(∞, −180°)
标注特殊点：�10,45°�和(50, −45°)
�� = 50���/�，并在交接频率点绘垂直辅助线。 如图 2 所示。
图 2 辅助线
图 3 幅频特性曲线
4）幅频特性曲线绘制 过点 (1,43.5��)绘制斜率为−40���/��� 斜线[可将−40���/��� 斜线平移过
点 (1,43.5��)]，与横坐标为 10���/� 的垂直线相交后，直线斜率变为−20���/
�
比例环节： �� (�) = 0 ，水平直线①
高频渐近线�(�) = +90°，在� = �.� = 10���/�处，�(�) = 45°
�
比例微分环节： �� (�) = ������0.1� ，曲线③，其低频渐近线�(�) = 0，
频渐近线�(�) = −90°，在� = �.�� = 50���/�处，�(�) = −45°
因两点纵坐标相同， 另取点： (30, −139.4°)， 绘制相频特性曲线如图 4 所示。
图 4 相频特性曲线
注：因选点的精度和曲线绘制软件功能原因，各曲线仅作示意变化趋势用。
�
20��� = 20��150 = 43.5��
2）对数相频特性
： �� = = 50���/�，斜率降低20��/��� 惯性环节交接频率： �.��
比例微分环节交接频率：�� = �.� = 10���/�，斜率增加20��/���
�
2 � (−20��/���) = 40 ������
两个积分环节： �� (�) = −180° ，水平直线②
��� [可将 −20���/��� 斜线平移交与 −40���/��� 斜线和 10���/� 的垂直线的交 绘制方法参照前述平移方式。幅频特性曲线如图 3 所示。 5）相频特性曲线绘制 比例环节： �� (�) = 0 ①
点]，再与横坐标为50���/�的垂直线相交后，直线斜率重新变为−40���/��� ，
图 1 某随动系统框图
由上式可见，系统开环由一个比例环节、两个积分环节、一个惯性环节、一 个比例微分环节串联组成。利用简便画图法进行波特图的绘制。 1）对数幅频特性 分析表达式可知，比例环节�� (�) = 150，因此，�(�)在� = 1处的高度为： 两个积分环节，因此，�(�)低频段的斜率为：
惯性环节：�� (�) = −������0.02�，曲线④，其低频渐近线�(�) = 0，高
3）辅助绘制 ①在幅频特性曲线坐标上标注特殊点： (1,43.5��)，在相频特性曲线坐标上 ②标注比例微分环节交接频率： �� = 10���/� ；惯性环节交接频率： ③绘制两条辅助线：−20���/��� 斜率辅助线和−40���/��� 斜率辅助线。