开环系统频率特性曲线的绘制方法

开环系统频率特性曲线的绘制方法(一) 已知系统开环传递函数G k (s )，绘制Nyquist 曲线（开环幅相曲线） 一、ω：0＋→＋∞1、由已知的G k (s )求()()k k s j G j G s ωω==，A (ω)，φ(ω) ，P (ω)，Q (ω)；1121122211221211221211211222112212112212222222(1)[(1)2](1)[(1)2]()()(1)[(1)2](1)[(1)2]m m m m j k j k k k j k j kk k k vn n n n i l i l lli l i l l lj T j j T j k G j j j T j j T j ωωωωωξωξωωωωωωωωωωωξωξωωωω+-+---=+-+---∏∏∏∏∏∏∏∏ （1）式中：分子多项式中最小相位环节的阶次和为111212m m m =+，分子多项式中非最小相位环节的阶次和为212222m m m =+， 分母多项式中最小相位环节的阶次和为111212n n n v =++， 分母多项式中非最小相位环节的阶次和为212222n n n =+，分子多项式阶次之和为12m m m =+，分母多项式阶次之和为12n n n =+。

注：式中仅包含教材p192所列5种非最小相位环节，不包含形如1Ts -、1、22121nns s ξωω+-、2221nns s ξωω+-等非最小相位环节。

2、求N 氏曲线的起点当ω→0＋时，（1）式可近似为：0lim ()()k vk G j j ωωω+→→（2）于是，N 氏曲线的起点取决于开环放大系数k 和系统的型v 。

① 当0v =时，N 氏曲线起始于实轴上的一点（k ，0）或（－k ，0）； ② 当0v >时，N 氏曲线起始于无穷远点：0k >时，沿着角度()v πϕω=-⨯起始于无穷远点；0k <时，沿着角度()2v πϕωπ=--⨯起始于无穷远点。

③ 当0v <时，N 氏曲线起始于原点：0k >时，沿着角度()v πϕω=⨯起始于原点；0k <时，沿着角度()2v πϕωπ=-+⨯起始于原点。

3、求N 氏曲线的终点当ω→＋∞时，（1）式中各环节的相角分别为：(1)j T ω+环节的相频特性：112T tg ωπ-→，(1)j T ω-环节的相频特性：1()()1()2Q T tg P ωπ---→-+， 22[(1)2]nnj ωωξωω-+环节的相频特性：1122122()()()11n n n nQ tg tg P ωξξωωπωωωωω--+=→---， 22[(1)2]n n j ωωξωω--环节的相频特性：1122122()()()11n n n nQ tg tg P ωξξωωπωωωωω-----=→----， 1()v j ω环节的相频特性：2v π-⨯，K 环节的相频特性：0, ()00,()k k ϕωϕωπ>→⎧⎨<→-⎩。

于是，当ω→＋∞时，① n m =，lim ()k G j k ωω→+∞→，N 氏曲线终止于实轴上的一点（k ，0）或（－k ，0）② n m >，N 氏曲线终止于原点；③ n m <，N 氏曲线终止于无穷远点。

其终点的相频特性为：1121122211211222121212121212()()()22()()2222 =2222[()()], 02 =[()()], 02k m m m m v n n n n k m m n n m m n n k m m n n k ππϕωππππππππππππππ=⨯+⨯+⨯-+⨯--⨯-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯-⨯+⨯⎧---⨯>⎨---⨯-<的相角＋的相角＋⎪⎪⎩ （3)特殊地，当开环系统为最小相位系统时，有：0k >，122212220m m n n ====，则分子的阶次为111212m m m m ==+，分母的阶次为111212n n n n v ==++。

① n m =，N 氏曲线终止于实轴上的一点（k ，0）；② n m >，N 氏曲线沿着角度()()n m πϕω=--⨯终止于原点；③ n m <，N 氏曲线沿着角度()()2m n πϕω=-⨯终止于无穷远点。

4、求ω：0＋→＋∞中的一些特色点：如N 氏曲线与实轴或虚轴的交点；极值点等等。

5、若开环系统存在等幅振荡环节，即开环频率特性（1）式中具有形如21(1)nωω-的因子时（无论最小相位系统还是非最小相位系统），N 氏曲线在ωn 处有无穷远间断点（A(ω)→∞），即N 氏曲线为由ω：0＋→ωn-和ω：ωn ＋→＋∞两段曲线所组成。

221()(1)nG j ωωω=-环节在n ωω=处的相频特性为：12122122(0)0()0()10lim ()(0)01()()1nnn n n n Q tg P tg Q tg P ωωωωϕωωπωωω---→-+⎧-=⎪+-⎪⎪=-=⎨⎪--=--⎪-⎪⎩设当n ωω=时，（1）式中除21(1)nωω-环节外，G 1(j ω)不含n j ωω=±的开环极点，也即：11111222122(), ()()()()()()[()], (1)(1)n n n k n n n nG j A G j G j G j ωωϕωωωωωϕωωωωϕωπωωωωωω→-+∞∠→⎧∠====⎨∞∠-→⎩-- （4）二、ω：－∞→0－因为幅频特性是关于ω的偶函数，而相频特性是关于ω的奇函数，所以ω：－∞→0－的幅相曲线与ω：0＋→＋∞的幅相曲线关于实轴成镜像对称。

三、ω： 0－→0＋对于（1）式，当ω→0－时，有：0lim ()()k vk G j j ωωω-→→- ① 当0v =时，N 氏曲线为实轴上的一点（k ，0）或（－k ，0）； ② 当0v >时，N 氏曲线起始于无穷远点：0k >时，沿着角度()v πϕω=⨯起始于无穷远点；0k <时，沿着角度()2v πϕωπ=-+⨯起始于无穷远点。

③ 当0v <时，N 氏曲线起始于原点：0k >时，沿着角度()v πϕω=-⨯起始于原点；0k <时，沿着角度()2v πϕωπ=--⨯起始于原点。

于是，对于（1）式系统：1、 当0v =，ω从0－→0＋的N 氏曲线为实轴上同一点（k ，0）或（－k ，0）；2、 当0v >，0k >时，ω从0－→0＋的N 氏曲线为半径为∞、角度从2v π⨯→2v π-⨯的1242v v ⨯=个圆。

0k <时，ω从0－→0＋的N 氏曲线为半径为∞、角度从2v ππ-+⨯→2v ππ--⨯的1242v v ⨯=个圆。

3、当0v <，0k >时，ω从0－→0＋的N 氏曲线分别沿角度2v π-⨯、2v π⨯趋于原点。

0k <时，ω从0－→0＋的N 氏曲线分别沿角度v ππ--⨯、v ππ-+⨯趋于原点。

(二) 已知系统开环传递函数G k (s )，绘制Bode 图（开环对数频率特性曲线） 一、迭加法1、由已知的G k (s )求()()k k s j G j G s ωω==，A (ω)，φ(ω)；()k G j ω如（1）式所示，()A ω= （4）11221111()20lg ()20lg 20lg m n j i m n k l L A k v ωωω======-⨯++∑∑∑∑ （5）12112112221122112212121121121121121111122111111112111222()111122 2111k k m m m m jk j kj k j k k kl l n n n i l i li l i l T T k tgtgtg tg T T v tg tg tg tg ωωξξωωωωϕωωωωωωωξξωωωωπωω----====----===--=+++-----⨯-----∑∑∑∑∑∑∑的相角+222222121nl lωω=-∑ （6）2、在对数坐标上，先作出各基本因子对应的典型环节的对数幅频特性和相频特性；再逐点相加，即可得到系统的开环对数频率特性曲线。

二、实用法（以分段直线近似代替实际曲线）实际绘制Bode 曲线时，可不必分别画出各环节的特性曲线再相加，而是按以下步骤一次完成（用分段直线近似代替实际曲线） 1、 确定k 值，v 值和各个交接频率根据（1）式，将各转折频率（交接频率）：111j j T ω=， 1k ω， 221j j T ω=， 2k ω，111i i T ω=， 1l ω， 221i i T ω=，2l ω按从小到大的顺序依次标注在频率轴上。

2、 绘制系统对数幅频特性的低频渐近线 00()lim 20lg ()lim 20lg lim 20lg20lg 20lg ()vvk kL A k v j ωωωωωωωω→→→====-低 （7）（7）式为斜率等于20/vdB dec -⋅，过当1ω=、()20lg L k ω=一点（即过点（1，20k lg ））的直线方程； 或为斜率等于20/vdB dec -⋅，过()0L ω=低、1v k ω=一点（即过点（1vk ，0））的直线方程。

3、 以低频渐近线作为近似分段直线的第一段，从低频段开始，沿频率增大的方向，每遇到一个交接频率改变一次分段直线的斜率当遇到111j j T ω=、221j j T ω=时，斜率变化为dec dB /20+； 当遇到1k ω、2k ω时，斜率变化为dec dB /40+；当遇到111i i T ω=、221i i T ω=时，斜率变化为dec dB /20-； 当遇到1l ω、2l ω时，斜率变化为dec dB /40-；依次绘出分段直线，即可获得系统开环对数幅频特性曲线的近似表示。

也可利用典型环节修正的方法对分段直线进行误差修正，得到准确的对数幅频特性曲线。

修正时应考虑相邻各环节的互相影响。

4、 分段直线的最后一段是开环对数幅频特性的高频渐近线斜率为：dec dB m n /)(20--；该斜率用来验证1～3步绘制曲线的正确与否。

5、 对数相频特性也可利用典型环节的各对数相频特性曲线相加得到；或者直接利用相频特性表达式（6）进行计算。

（三）已知系统的Bode 图（开环对数频率特性曲线），求系统开环传递函数 1. 假设系统为最小相位系统。

2. 根据已知的对数幅频特性曲线（或其渐近线），确定其传递函数。

121222112211(1)(12)()()(1)(12)m m j k j k k k n n v i l i l l l k j T j G j j j T j ωωωξωωωωωωωξωω====+-+=+-+∏∏∏∏，12122221122211(1)(21)()(1)(21)m mj k j k k kn nvi l i l l lk T s s s G s s T s s s ωωξωωωωξωω====+++=+++∏∏∏∏ 式中各环节转折频率及相应的时间常数等参数可从已知的对数幅频特性曲线（渐近线）上直接确定，而系统的型v 和开环放大系数k 均由对数幅频特性曲线的低频段来确定：()lim 20lglim 20lg20lg 20lg ()vvk kL k v j ωωωωωω→→===-低① 如果开环对数幅频特性曲线的低频段是平行于ω轴的水平线（如下图），则系统为0型系统（0v =）klg 20设水平线高度为x , 则20lg 020lg x k ω=-*，可确定开环放大系数2010xk =② 如果开环对数幅频特性曲线的低频段是斜率为20/dB dec -的直线，则系统为1型系统（1v =）()20lg 20lg L k ωω=-低a. 设开环对数幅频特性曲线的低频渐近线或其延长线与dB 0线交点的频率为c ω， 则c k ω=，（此时()0,20lg 20lg c c L k ωω==）b. 设开环对数幅频特性曲线的低频渐近线或其延长线与1ω=垂直线交点上的幅值为x ,则2010xk =（此时(1),20lg 20lg120lg L x x k k ==-=）③ 如果开环对数幅频特性曲线的低频段是斜率为40/dB dec -的直线，则系统为2型系统（2v =）()20lg 40lg L k ωω=-低a. 设开环对数幅频特性曲线的低频渐近线或其延长线与dB 0线交点的频率为c ω， 则2c k ω=，（此时()0,20lg 40lg c c L k ωω==）b. 设开环对数幅频特性曲线的低频渐近线或其延长线与1ω=垂直线交点上的幅值为x ,则2010x k =（此时(1),20lg 40lg120lg L x x k k ==-=）3. 求出相频特性的表达式，并作出相频特性曲线。