典型环节与开环系统的频率特性
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自动控制原理 第5章 频率法_2-1
1 2
)
(5-28)
M (w )
0.2 0.5
1
0.9
0
Mr
wr
wn w c
w
振荡环节的幅频特性
2 2
1 Tw 1 2 2 2 1 T w 2
这是一个标准圆方程，其圆心坐标是 1 ,0 ， 2 半径为 1 。且当ω 由 0 时， G( jw ) 由 0 90 ， 2 说明惯性环节的频率特性在 G( jw ) 平面上是实轴下 方半个圆周。
20
1 T
和
(w ) 45
0
的交点为
工程上常用简便的作图法来得到L(w曲线，方法如下：
w
1 T
L(w ) 20 lg
1 T w
2
2
0 (dB)
即当频率很低时， L(w可用零分贝线近似； 低频渐近线
w
1 T
L(w ) 20 lg
1 T w
2
2
20 lg wT (dB)
当 w 10 时，20 lg G( j10) 20 lg 10 20(dB)
。
8
设 w'
10w
'
，则有
(5-36)
dB L(w )
60
20 lg w 20 lg 10w 20 20 lg w
可见，积分环节的对数幅频特 性是一条在w=1（弧度/秒）处 穿过零分贝线（w轴），斜率为 -20dB/dec的直线。 几何 意义 积分环节的相频特性是
(1) 幅相曲线 振荡环节的传递函数为： ( s) G
1 T w j 2Tw 1
2 2
典型环节与开环系统的频率特性
第五章 线性系统的频域分析法
6.一阶微分环节和二阶微分环节
dr (t ) G s ＝Ts +1 c(t ) T r (t ) dt
C(s) G s ＝ T 2 s 2 + 2 Ts 1 R(s)
2 d r (t ) dr (t ) 2 c(t ) T 2 T r (t ) 2 dt dt
传函典型环节表达式
第五章 线性系统的频域分析法
二 典型环节极坐标(Nyquist)图的绘制
1.放大环节（比例环节）
传递函数：G(s) K 频率特性： G( j) [G(s)]s j K Ke j 0 K j0
A( ) K ( ) 0
Im
放大环节的极坐标图是复 平面实轴上的一个点，它 到原点的距离为K。
第五章 线性系统的频域分析法
G(j0) 1 0
1 1 G j 45 2 T
G(j) 0 -90
不难看出，随着频率 ω=0→∞ 变化，惯性环节的幅值 逐步衰减，最终趋于 0 。相位的绝对值越来越大，但 最终不会大于90°，其极坐标图为一个半圆。
Im
s
实际微分环节实现电路
第五章 线性系统的频域分析法
4.积分环节
1 1 G s ＝ c t r t dt Ti s Ti 特点：输入消失后输出仍具有记忆功能。
dt
0
t
实例：电动机角速度与角度间的关系，物体行驶距离 与物体速度间的关系，模拟计算机中的积分器等。
特点：含一个储能元件，对突变的输入不能立即跟 随，输出无振荡。
0.63
第五章 线性系统的频域分析法
3.微分(超前)环节
自动控制原理 开环系统的频率特性—典型环节非最小相
频率特性
G
j
1
2 n2
j2
n
幅频特性
A G j
1
2 n2
2
2
n
2
不变！
相频特性
2
G
j
arctan
1
n 2
n2
A
1
2 n2
2
2
n
2
2
arctan
1
n 2
n2
2
arctan
1
n 2
n2
2
180 arctan
n
2 n2
1
0 A 1, 0
1 n
第四象限
不变！
0 ~ 90
Ts 1 频率特性 G j Tj 1
L 20 lg A 20 lg 1 T 22 180 arctanT
不变！
180 ~ 90
上页
L dB
40
20
3dB
0
0.1
12
180
0.5s 1
90 0 90
0.5s 1 0.5s 1
20
10
100
上页
7
11/22/2013
4，振荡环节
Gs
n2 s2 2ns n2
s2
1 n2 2
n s 1
频率特性
G
j
1
2 n2
1 j2
n
幅频特性
A G j
1
1
2 n2
2
2
n
2
不变！
相频特性
2
G
j
arctan
1
n 2Biblioteka n2A 11
5-2(2) 开环系统的频率特性
分子分母同乘以 1
•
K [(an 1bm1 2 1) (bm1 an 1 )( j )] 2 [a n2 1 2 1] 2型系统， 2
K (an 1bm1 2 1) U ( ) 2 (an2 1 2 1)
1
2
1
3
2
所以，开环频率特性为：
G ( j ) A( ) e j ( ) G1 ( j ) G2 ( j ) G3 ( j )
A1 ( ) A2 ( ) A3 ( ) e j ( ) ( ) ( )
1 2 3
开环幅频特性 开环相频特性
第五章 线性系统的频域分析法
第二节 典型环节与开环系统的 频率特性
5-2-2 开环系统频率特性的绘制
项目 内 容
教 学 目 的 数坐标图的绘制方法。
掌握控制系统的概略极坐标图和渐近线形式的对
教 学 重 点 标图的绘制。
控制系统的概略极坐标图和渐近线形式的对数坐
教 学 难 点 渐近线形式的对数坐标图幅频特性的绘制。
i 1
n
对数幅频特性和相频特性都符合叠加原则。
K 例题2：设系统的开环传递函数 G( s) H ( s) sT1 s 1T2 s 1
（T1 ＞T2 ＞ 0，K ＞ 0），试绘制系统开环对数频率特性曲线。 解： 因为系统的开环频率特性为：G( j ) 1）对数幅频特性
K j ( jT1 1)( jT2 1)
0
lim G ( j ) K0
lim G ( j ) 0 180
曲线与坐标轴的交点
可由G（jω）=0分别求得曲线与实轴或虚轴的交点:（也可能不存在 交点，而有渐近线的情形，如本例和P201例5的情况）
自动控制原理 第五章(第一次课)
autocumt@
18
中国矿业大学信电学院 常俊林
ω =1
1 12 + 2 2 e
(− tg
−1 1 2
)j
= 0 . 45 e
− 26 .6 o
c ss (t ) = 2 ⋅ 0 .45 sin t + 30 o − 26 .6 o = 0 .9 sin t + 3 .4 o
autocumt@ 13
(
)
(
)
中国矿业大学信电学院 常俊林
c(t ) = b1e
− s1t
+ ... + bn e
− sn t
+c1e
− jωt
+ c2e
jωt
css (t ) = c1e
− jωt
+ c2 e
jωt
其中: 其中
c1 = C ( s)( s + jω ) s = − jω
Aω = G ( s) ⋅ ( s + j ω ) s = − jω ( s + jω )( s − jω )
[ a (ω ) c (ω ) + b (ω ) d (ω )] + j[ b (ω ) c (ω ) − a (ω ) d (ω )] = c 2 (ω ) + d 2 (ω )
autocumt@ 9 中国矿业大学信电学院 常俊林
5-1 频率特性
b(ω )c(ω ) − a(ω )d (ω ) ϕ (ω ) = arctg a(ω )c(ω ) + b(ω )d (ω )
自ห้องสมุดไป่ตู้控制原理
r (t ) = 2 sin(t + 30 )
自动控制原理 第五章 第一讲 典型环节和开环频率特性
对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：对数幅相图的横坐标表示对数相频 对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：对数幅相图的横坐标表示对数相频 尼柯尔斯曲线）： 特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。 特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。
5.2 典型环节和开环频率特性
• 典型环节 • 典型环节的频率特性 • 最小相角系统和非最小相角系统
L(ω ) = −20 lg 1 + ω 2T 2
ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈-20lgωT =-20(lgω-lg1/T)
(dB) 20 0 0.1 1/T -20 (o) 90 0 0.1 -90 1 10 ω 1 20dB/dec 10 ω -20dB/dec
幅频特性相同， 幅频特性相同，但相频特性符号相反 。 •最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对 最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应， 数幅频曲线就能写出系统的传递函数 。 L(dB)
L(dB) 20 10 -20 ω L(dB) -20 100 50 -40 ω -40 -20 ω 2 ω1 ωc ω -40
典型环节
•比例环节：G（s）= K 比例环节： （ ） •惯性环节： G（s）= 1/(Ts+1)，式中T>0 惯性环节： （ ） ，式中 •一阶微分环节： G（s）= (Ts+1)，式中 一阶微分环节： （ ） ，式中T>0 •积分环节： G（s）= 1/s 积分环节： （ ） 微分环节： （ ） •微分环节： G（s）= s •振荡环节： G（s）= 1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]; 振荡环节： （ ） 式中ω ， 式中 n>0，0<ζ<1 二阶微分环节： （ ） •二阶微分环节： G（s）= (s/ωn)2+2ζs/ωn+1; 式中ω ， 式中 n>0，0<ζ<1
胡寿松《自动控制原理》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第5~6章)【圣才出品】
第5章线性系统的频域分析法5.1复习笔记本章考点：幅相特性曲线、伯德图的绘制，奈奎斯特稳定判据，稳定裕度计算。
一、频率特性1．定义幅频特性：稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比A（ω）。
相频特性：稳态响应与正弦输入信号的相位差φ（ω）。
频率特性：幅频特性和相频特性在复平面上构成的一个完整向量G（jω）＝A（ω）e jφ（ω）。
2．频率特性的几何表示法（重点）（1）幅相频率特性曲线（幅相曲线或极坐标图），横坐标为开环频率特性的实部，纵坐标为虚部， 为参变量。
（2）对数频率特性曲线（伯德图），由对数幅频特性曲线、对数幅相频特性曲线两幅图组成：①对数幅频特性曲线的纵坐标表示L（ω）＝20lgA（ω），单位是分贝，记作dB；②对数相频特性曲线的纵坐标为φ（ω），单位为度“°”。
（3）对数幅相曲线（尼科尔斯图），横坐标表示频率特性的相角φ（ω），纵坐标表示频率特性的幅值的分贝数L（ω）＝20lgA（ω）。
二、典型环节与开环系统的频率特性1．典型环节的频率特性一些主要典型环节的频率特性曲线总结如表5-1-1所示。
表5-1-1典型环节频率特性曲线总结2．开环幅相曲线绘制步骤（1）确定开环幅相曲线的起点（ω＝0＋）和终点（ω＝∞），确定幅值变化与相角变化。
（2）计算开环幅相曲线与实轴的交点。
令Im[G（jωx）H（jωx）]＝0或φ（ωx）＝∠G（jωx）H（jωx）＝kπ（k＝0，±1，…）称ωx为穿越频率，而开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为Re[G（jωx）H（jωx）]＝G（jωx）H（jωx）。
（3）分析开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）。
3．开环对数频率特性曲线绘制步骤（1）开环传递函数典型环节分解并确定一阶环节、二阶环节的交接频率；（2）绘制低频段渐近特性线：在ω＜ωmin频段内，直线斜率为－20vdB/dec；（3）作ω≥ωmin频段渐近特性线，交接频率点处斜率变化表如表5-1-2所示。
典型环节与系统频率特性
2．积分环节
<1>
G(s)= s1
A(ω )=ω1
G(ωj
)=
1 jω
φ (ω )=-90o
奈氏图
∞
Im 0
Re
<2> 伯德图 对数幅频特性：
ω=0 L(ω ) dB
20 -20dB/dec
L(ω )=20lgA(ω )=-20lgω
0 0.1 -20
1
10 ω
ω=1 L(ω )=-20lg1=0dB φ (ω )
节串联而成的：
幅频特性:
开积环分G(增环s)益节= sKυΠjΠ=ni=1υ-m1((τTjiss++11))系n时>统间m的常A阶数(ω次)=ωKυΠjΠi1=n=m-υ1
1+(ωτ i )2 1+(ω Tj )2
的个数
相频特性:
φ
(ω )=υ- 90o+
∑m tg-ω1 τ
i =1
i
∑nυ- tg-ω1
Im
1 0
L(ω ) dB
20 0
φ (ω )
0 -100 -200 -300
ω=0 Re
ω ω
第二节 典型环节与系统的频率特性
8．非最小相位环节
最小相位环节: 开环传递函数中没有s右半平面上
的极点和零点. 非最小相位环节:
开环传递函数中含有s右半平面上 的极点或零点.
最小相位环节对数幅频特性与对数相 频特性之间存在着唯一的对应关系.对非最 小相位环节来说,不存在这种关系.
第五章 频率特性法
第二节 典型环节与系统频率特性
频率特性法是一种图解分析法,它 是通过系统的频率特性来分析系统的性 能,因而可避免繁杂的求解运算.与其他 方法比较,它具有一些明显的优点.
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起点终点和交点
起点G(s) 10
终 点G(s)
60 s2
交点：G(j 6)
0 j4.9
起点
180
终点
: :
分子分母保留最低次方 分子分母保留最高次方
60 G(j) (6 2 ) j5
若 Re[GH] 0有解,则与虚轴相交
若 Im[GH] 0有解,则与实轴相交
开环幅相曲线的绘制例2 (P198)
非最小相角环节相角小结(P193)
G(s)
名 称 ＝0 ＝
G(s)=k (k<0)
不稳定的 比例环节
恒定-180o
G(s)= -Ts+1
不稳定的 一阶微分
0o ~ -90o
1 G(s)= -Ts+1
不稳定的 惯性环节
G(s) T2s2 2Ts 1
不稳定的 二阶微分
0o ~ +90o 0o ~ -180o
jIm[G(jω)]
G(s)=s
4
3
G(j) j
2
1
这是一个正的纯虚矢量
0
Re[G(jω)]
从0 ~ 变化时，各矢量的角度均为 90o
矢量的模随着ω的增大而增大
积分环节的幅相曲线(P192)
jIm[G(jω)]
G(s)=
1
s
0
G(j) 1 ＝ j 1
j
Re[G(jω)]
这是一个负的纯虚矢量
从0＋ ~ 变化时，各矢量的角度均为－90o
Tω>1时，实部为负，矢量在第二象限
从0 ~ 时，矢量的角度从0o ~ 90o ~ 180o
振荡环节G(jω)分析(P194)0 1
G(s)
s2
n2 2ns n2
T2s2
1 2Ts
1
1
2T
G(j) (1 T22 )2 42T22 arctg 1 T22
G(j0) 10o G(j) 0 180o
10(s 1) GH
s2 (2s 1)
起 点GH
10 s2
,
180
终 点GH 5 ,0 180 s2
10(j 1) G(j)H(j) 2(j2 1)
1时GH 20 2(3 j) 3 j
jIm[GH]
0 Re[GH]
10(2 1) G(j)H(j) 2[(22 11
G(j) 1 j0.5 1
A() 0.252 1
() tg10.5
0 0.5 1 2 4 5 8 20
A() 1 0.97 0.89 0.71 0.45 0.37 0.24 0.1
() 0° -14.5 ° -26.6 ° -45 ° -63.4 ° -68.2 ° -76 ° -84 °
令 dA() 0, 得 d
G( jn )
G(j 1 ) T
1 2
90o
r n 1 22
A(r ) Am 2
1 1 2
(0 0.707)
振荡环节G(jω)曲线(P194) （Nyquist曲线）
j
1 0
r n 1 22
A(r ) 2
1 1 2
1 A(n ) 2
典型环节相角小结(补充) ＝0 ＝
G(s)=k G(s)=s
比例环节 微分环节
sj d
dt
G(s) 1 积分环节
s
G((ss))=TTs+s 1 1 一阶微分
0
GG((ss))
11 TTss1
惯性环节
不稳定的…
G(s) T22s22 2TTss11 二阶微分
1 G(s) T2s2 2Ts 1
振荡环节
微分环节的幅相曲线(P192)
G(s)=s
微分环节
恒定正90o
G(s)=
1
s
积分环节
恒定负90o
G(s)=Ts+1 一阶微分 0o ~ +90o
G(s)=
1 Ts+1
惯性环节
0o ~ -90o
G(s) T2s2 2Ts 1二阶微分 0o ~ 90o ~ 180o
Gs)
T2s2
1 2Ts
振荡环节
1
0o ~ -90o ~ -180o
开环幅相曲线的绘制例3 (P198)
GH
2(s2
5s s3
4)
起 点GH
8 s3
270
起点终点和交点
jIm[GH]
终 点GH 2 s
0 90
2.5 0
Re[GH]
交 点G(j)H(j) 2[(4 2 ) j5] j3
G(j2)H(j2) 2.5
开环幅相曲线的绘制例4 (P198)
j Im[G(jω)] 0
Re[G(jω)] 1
二阶微分的幅相曲线(P194)
G(s) T2s2 2Ts 1
jIm[G(jω)]
G(j 1 ) j2 T
0
G(j) (1 T22 ) j2T
1 Re[G(jω)]
矢量的虚部始终为正
Tω<1时，实部为正，矢量在第一象限 Tω＝1时，实部为零，矢量在正虚轴上
矢量的模随着ω的增大而减小
一阶微分的幅相曲线(P192)
jIm[G(jω)]
G(s)= Ts+1
4
3
G(j) jT＋1
2
1
这是一个实部衡为1
01
虚部随ω增大而增大的矢量
Re[G(jω)]
矢量的角度从0o ~ 90o 变化
矢量的模随着ω的增大从1变化到无穷
惯性环节G(jω)
(P192)
G(s)
=
封面
制作人南京航空航天大学王凤如 xwfr01@
5-2目录
1、典型环节 2、典型环节的频率特性 3、开环幅相曲线 4、开环对数频率特性曲线 5、延迟环节和延迟系统 6、传递函数的频域实验确定（实验课讲）
典型环节(192页)
G(s)=k G(s)=s
比例环节 微分环节
sd
(s)
1
Ts d1t
s G(s) 1 s G(s)=Ts+1
积分环节 一阶微分
一1阶系统 dt
1 (s) T2s2 2Ts 1
G(s) 1 惯性环节 Ts 1
欠阻尼二阶系统
G(s) T2s2 2Ts 1 二阶微分
1 Gs) T2s2 2Ts 1
振荡环节
典型环节零极点分布图(补充)
GH 10 s(s 5)
起点终点和交点
起 点G(s)
2 s
90起点 : 分子分母保留最低次方
终 点G(s)
10 s2
0 180
终点: 分子分母保留最高次方
交点：无jI交m[G点(j)] 若 Re[GH] 0有解, 则与虚轴相交
10
G(j) 02 Rje5[G(j)] 若 Im[ GH] 0有解, 则与实轴相交
1
不稳定的
G(s) T2s2 2Ts 1 振荡环节
0o ~ +180o
延迟环节(P204)
G(s) eTs
G(j) e jT
-1
A() 1
() T
j I m[G( j)]
0
1 Re[G(j)]
与其它环节串联时只影 响角度不影响模
开环幅相曲线的绘制例1 (P198)
G(s)
60
(s 2)(s 3)