第5章 狭义相对论基础习题解答
狭义相对论习题和答案
作业6狭义相对论基础研究:惯性系中得物理规律;惯性系间物理规律得变换。
揭示:时间、空间与运动得关系.知识点一:爱因斯坦相对性原理与光速不变K 相对性原理:物理规律对所有惯性系都就是一样得,不存在任何一个特殊(如“绝对静止”)惯性系。
2s 光速不变原理:任何惯性系中,光在真空中得速率都相等。
(A )1(基础训练1)、宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行,某一时刻飞船头部得宇航员 向飞船尾部发出一个光讯号，经过K 飞船上得钟)时间后，被尾部得接收器收到,则由此可知飞船得固 有长度为(c 表示真空中光速)(A) c ・t (B) V/ (C) (D)【解答】飞船得固有长度为飞船上得宇航员测得得长度，即为°知识点二:洛伦兹变换由牛顿得绝对时空观=> 伽利略变换，由爱因斯坦相对论时空观=> 洛仑兹变换。
(1) 在相对论中，时、空密切联系在一起(在X 得式子中含有t,t 式中含X)。
(2) 当u « c 时，洛仑兹变换=> 伽利略变换。
(3) 若UAC , P 式等将无意义1(自测与提髙5)、地而上得观察者测得两艘宇宙飞船相对于地而以速度v = 0. 90c 逆向飞行.其中一 艘飞船测得另一艘飞船速度得大小【解答】知识点三:时间膨胀(1) 固有时间:相对事件发生地静止得参照系中所观测得时间。
(2) 运动时间:相对事件发生地运动得参照系中所观测得时间。
(B )1 (基础训练2)、在某地发生两件事,静止位于该地得甲测得时间间隔为4 s,若相对于甲作匀速直线 运动得乙测得时间间隔为5 s,则乙相对于甲得运动速度就是(c 表示真空中光速)(A) (4/5) c. (B) (3/5) c ・ (C) (2/5) c ・ (D) ("5)c.【解答】飞行•当两飞船即将相遇时飞船在自己得天窗处相隔2s 发射两颗信号弹•在飞船得观测者测得两颗信 号弹相隔得时间间隔为多少？° 【解答】以地而为K 系，飞船A 为/T 系，以正东为x 轴正向侧飞船B 相对于飞船A 得相对速度-0.6c-0.8c0.8c 1一一^（一0・6。
第5章--狭义相对论(时空观)
L0 = u
的棒， 例2 有一固有长度为 L0 的棒，在S系中沿 x 轴放置。另存在一 ´ 系中沿 轴放置。另存在一S´ 相对S 轴正方向运动。 当棒在S系中沿轴以 系中沿轴以v 系，以 u 相对 系沿 x 轴正方向运动。求：当棒在 系中沿轴以 运动时， 运动时，从S´系中测得该棒的长度为多少？ ´系中测得该棒的长度为多少？ 系中以v 运动时， 解：当棒在 S 系中以 运动时，在 S´系看其速度为 ´
(原长 原长) 原长
l0
o x1
x2
x
o'
x'
S’系中 观测者必须同时测 x1 、2 , 系中: 观测者必须同 同时测 ′ x′
′ ′ ′ ′ t1 = t2 = t′ 得 l′ = x2 − x1 = ?
x2 =
−
x = 1
x′ + ut′ 1 1− β
2
′ x2 + ut′ 1− β 2
1− β 2
可见S认为 的钟慢了， 也认为S的钟慢了 的钟慢了. 可见 认为S’的钟慢了，而S’也认为 的钟慢了 认为
时间延缓在研究介子的寿命时，得到了直接的验证。 时间延缓在研究介子的寿命时，得到了直接的验证。
静止的介子平均寿命为 2.6×10−8 s , 在高能加速器中 过的距离， 过的距离，并不是 Lπ = 0.75c × 2.6 ×10−8 = 5.85m , 而是 8.5± 0.6m 。 介子获得了0.75c 的速度， 的速度， 介子获得了 实验测得 π 介子衰变前通 π
5.3 狭义相对论的时空观
一、同时性的相对性
S’系
′ ′ A(x1, t1)
′ ′ B(x2 , t2 )
′ ′ t2 = t1
′ ′ x2 ≠ x1
狭义相对论作业习题及解答.doc
4-7.某飞船自地球出发，相对地球以速率v=0.30c匀速飞向月球，在地球测得该旅程的距离为Zo=3.84xl()8m, 在地球测得该旅程的时间间隔为多少？在飞船测得该旅程的距离Z=?利用此距离求出：在飞船测得该旅程的时间间隔为多少？解：取地球为K惯性系、飞船为K，惯性系。
在地球测得该旅程的时间间隔为：Az = L Q/V M4.27(S)在地球地球测得的£o=3.84xlO8 (m),为地球〜月球的固有距离。
则在飞船测得该旅程的距离为在飞船观测，地球与月球共同以速率v=0.30c匀速运行，先是地球、随后是月球掠过飞船，则在飞船测得该旅程的时间间隔为：Ar = Z/v^4.07(s)说明：显然，飞船测自身旅程的时间间隔宜为固有时，在地球测得该旅程的&为观测时。
△t与显然满足狭义相对论时间膨胀效应，即4-8.在K惯性系测两个同时发生相距Im的事件(该两事件皆在X、X，轴)。
在K，惯性系测该两事件间距为2m, 问：在K，惯性系测该两事件发生的时间间隔为多少？解：在K系测两事件相距Ax=lm;同时发生则&=0.在K，系测两事件相距Ax，=2m;两事件发生的时间间隔为由洛伦兹变换，有Ax —M A/A X 1 Ax' ~ V3-/ = = -/ —/ = — 2 u —Jl-("/c)2 Jl-(“/c)2Jl-("/c)2 Ax 24-10.测得不稳定粒子广介子的固有寿命平均值TO=2.6X1O8S,(1)当它相对某实验室以0.80c的速度运动时，所测的平均寿命z应是多少?(2)在实验室测该介子在衰变前运行距离L应是多少？解：取花+介子、实验室为K，和K惯性系,沿该介子运行方向取为X、X，轴，在K，系中观测：也，=宣=2.6*10%, Ax，=0在K系中观测：也与皆为待求量。
由时间膨胀效应关系式，有T = M MI Jl-(v/c)2 =T J J1-(0.80C/C)2| 1~。
狭义相对论题目及其解答3
狭义相对论题目及其解答31.质量为M 的静止粒子衰变为两个粒子1m 和2m ，求粒子1m 的动量和能量。
解：由动量能量守恒定律0P P 21=+，p p p 21==⇒， W=W 1+W 2=M 0c 2 4212211c m c p W += 4222222c m c p W += 可得[][]221222121)m m (M )m m (M2Mc p --+-=)m m (M 2Mc E 2221221--= 2.已知某粒子m 衰变成两个质量为1m 和2m ，动量为1p 和2p （两者方向 夹角θ）的两个粒子，求该粒子的质量m 。
解：由能量动量守恒：设衰变前静质量M 0，运动速度为v ，222211200c m c m c m γγγ+=0021v m p p γ=+ 可得到v )r m r m (cos p p p p 2211212221+=-+θ注意到421221c m c R W +='，422222c m c R W +='，可以得到θcos p p c2c W 2W m m m 212421222120-''++=()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++=θcos p p p c m p c m c 2m m 212242221421222213.（1）设E 和p 是粒子体系在实验室参考系∑系中的总能量和总动量（其动量与x 方向夹角为θ）。
证明在另一参考系∑'系（相对∑系以速度v 沿x 轴运动）中的粒子体系总能量和总动量满足：()c /E p p x x βγ-=， ()x cp E E βγ-='，()cp /E cos sin tg βθγθθ-='（2）某光源发出的光束在两个惯性系中与x 夹角分别为θ和θ'证明 θββθθcos 1cos cos --='γθβθθ)cos (1sin sin -='（3）考虑在∑系立体角φθd dcos d =Ω的光束，证明在变换到另一惯性系∑'系时，立体角变为()22cos -1d d θβγΩ=Ω'解：（1）⎪⎭⎫⎝⎛=ωμc i ,p p对洛仑兹变换：r r p a p μμ='()c /E p p x x βγ-='()x cp E E βγ-='()cp /E cos sin p p tg yx βθγθθ-=''='（2）由⎪⎭⎫⎝⎛ωc i ,k 变换式：()⎪⎩⎪⎨⎧'-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='x 2x x k v c v k k ωγωωγ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=''='='⇒ωθγωθγθωθ22c v cos c wc v kcos cos ccos k 又⎪⎭⎫ ⎝⎛-=''c v cos cos θγωθω⎪⎭⎫⎝⎛-='θωωγωcos c v可得：θθθcos cv1c v cos cos --=' γθβθθ)cos (1sin sin -='（3）由上面推导：()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--='θθθθθθβθβθθd sin c v c v cos d sin -cos -1cos -11d sin -2()()22cos -1-1d sin θββθθ-=θϕe e e r⨯= 垂直于x 轴运动，ϕ∴不受影响，()()()2222222cos -1d d cos -1-1d d sin cos -1c v -1d d sin d γθβθββϕθθθβϕθθΩ=Ω=='''=Ω'4.考虑一个质量为1m 和能量为1E 的粒子射向另一质量为2m 的静止粒子体系，通常在高能物理中，选择质心参考系有许多方便之处，在该参考系中，总动量为零。
狭义相对论基础习题解答
狭义相对论基础习题解答一 选择题1.判断下面几种说法是否正确 ( ) (1) 所有惯性系对物理定律都是等价的。
(2) 在真空中，光速与光的频率和光源的运动无关。
(3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向传播的速度都相同。
A. 只有 (1) (2) 正确B. 只有 (1) (3) 正确C. 只有 (2) (3) 正确D. 三种说法都正确解：答案选D 。
2. (1)对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？(2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？关于上述两个问题的正确答案是：( )A. (1) 同时， (2) 不同时B. (1) 不同时， (2) 同时C. (1) 同时， (2) 同时D. (1)不同时， (2) 不同时 解：答案选A 。
3．在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？( )（1） 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速.（2） 质量、长度、时间的测量结果都随物体与观察者的相对运动状态而改变 （3） 在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的.（4） 惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些。
A. (1)，(3)，(4)B.(1)，(2)，(4)C.(1)，(2)，(3)D.(2)，(3)，(4) 解：同时是相对的。
答案选B 。
4. 一宇宙飞船相对地球以0.8c 的速度飞行，一光脉冲从船尾传到船头。
飞船上的观察者测得飞船长为90m ，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和到达船头两个事件的空间间隔为 ( )A. 90mB. 54mC. 270mD. 150m 解：x ′=90m, u =0.8c ,8790/(310)310s t -'∆=⨯=⨯2()/1(/)270m x x u t u c ''∆=∆+∆-=。
狭义相对论习题、答案与解法(2010.11.22)
狭义相对论习题、答案与解答一． 选择题 1. 有下列几种说法：（1） 真空中，光速与光的频率、光源的运动、观察者的运动无关； （2） 在所有惯性系中光在真空中沿任何方向的传播速率都相同； （3） 所有惯性系对物理基本规律都是等价的。
请在以下选择中选出正确的答案（C ）A 、 只有（1）、（2）正确；B 、 只有（1）、（3）正确；C 、 只有（2）、（3）正确；D 、 3种说法都不正确。
2.（1）对某观察者来说，发生在某惯性系同一地点、同一时刻两个事件，对于相对该惯性系做匀速直线运动的其他惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？（2）在某惯性系不同地点、同一时刻的两个事件，它们在其他惯性系中是否同时发生？（A ）A 、（1）同时，（2）不同时；B 、（1）不同时，（2）同时；C 、（1）同时，（2）同时；D 、（1）不同时，（2）不同时。
参考答案：（1） ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∆=∆-∆-∆='∆001222x t c v x c v t t 0='∆t（2） ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≠'∆='∆-''∆+'∆=∆001222x t c v x cv t t 2221c v x c v t -'∆=∆3．K 系中沿x 轴方向相距3m 远的两处同时发生两事件，在K '系中上述两事件相距5m 远，则两惯性系间的相对速度为（A ） A 、c )54( ； B 、c )53(； C 、c )52(； D 、c )51(。
参考答案：221cv vt x x --=' 221cv t v x x -∆-∆='∆ c c x x c v 54531122=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛'∆∆-=4.两个惯性系K 和K '，沿x x '轴方向作相对运动，相对速度为v ，设在K '系中某点先后发生两个事件，用固定于该系的钟测出两事件的时间间隔为0t ∆，而用固定在K 系的钟测出这两个事件的时间间隔为t ∆。
狭义相对论基础练习题及答案
狭义相对论基础练习题一、填空1、一速度为U的宇宙飞船沿X轴的正方向飞行，飞船头尾各有一个脉冲光源在工作，处于船尾的观察者测得船头光源发出的光脉冲的传播速度大小为________________________；处于船头的观察者测得船尾光源发出的光脉冲的传播速度大小为________________________。
2、一门宽为a，今有一固有长度为L0（L>a）的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动。
若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为________________________。
3、在地球上进行的一场足球赛持续的时间为90秒，在以速率为0.8cυ=飞行的飞船上观测，这场球赛的持续时间为_______________________。
4、狭义相对论的两条基本原理中，相对性原理说的是_________________________________________；光速不变原理说的是_________________________________________。
5、当粒子的动能等于它静止能量时，它的运动速度为_______________________；当粒子的动量等于非相对论动量的2倍时，它的运动速度为______________________。
6、观察者甲以4c/5的速度（c为真空中光速）相对于静止的观察者乙运动，若甲携带一长度为L,截面积为S，质量为m的棒，这根棒安放在运动方向上，则甲携带测得此棒的密度为_____________________；乙测得此棒的密度为_______________。
7、一米尺静止在'K系，且与'X轴的夹角为30，'K系相对于K系的X轴的正向的运动速度为0.8c,则K系中测得的米尺的长度为L=___________；他与X轴的夹角为θ=___________。
8、某加速器将电子加速到能量Ｅ＝２×１０６eV时，该电子的动能Ｅk＝_______________________eV。
狭义相对论习题、答案与解法(2010.11.22)
狭义相对论习题、答案与解答一． 选择题 1. 有下列几种说法：（1） 真空中，光速与光的频率、光源的运动、观察者的运动无关； （2） 在所有惯性系中光在真空中沿任何方向的传播速率都相同； （3） 所有惯性系对物理基本规律都是等价的。
请在以下选择中选出正确的答案（C ）A 、 只有（1）、（2）正确；B 、 只有（1）、（3）正确；C 、 只有（2）、（3）正确；D 、 3种说法都不正确。
2.（1）对某观察者来说，发生在某惯性系同一地点、同一时刻两个事件，对于相对该惯性系做匀速直线运动的其他惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？（2）在某惯性系不同地点、同一时刻的两个事件，它们在其他惯性系中是否同时发生？（A ）A 、（1）同时，（2）不同时；B 、（1）不同时，（2）同时；C 、（1）同时，（2）同时；D 、（1）不同时，（2）不同时。
参考答案：（1） ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∆=∆-∆-∆='∆001222x t c v x c v t t 0='∆t（2） ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≠'∆='∆-''∆+'∆=∆001222x t c v x cv t t 2221c v x c v t -'∆=∆3．K 系中沿x 轴方向相距3m 远的两处同时发生两事件，在K '系中上述两事件相距5m 远，则两惯性系间的相对速度为（A ） A 、c )54( ； B 、c )53(； C 、c )52(； D 、c )51(。
参考答案：221cv vt x x --=' 221cv t v x x -∆-∆='∆ c c x x c v 54531122=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛'∆∆-=4.两个惯性系K 和K '，沿x x '轴方向作相对运动，相对速度为v ，设在K '系中某点先后发生两个事件，用固定于该系的钟测出两事件的时间间隔为0t ∆，而用固定在K 系的钟测出这两个事件的时间间隔为t ∆。
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第5章 狭义相对论基础
5-1 设K′系以1.8×108m/s 的速度相对于K 系沿x 轴正向运动，某事件在K′系中的时空坐标为（3×108m ，0m ，0m ，2s ）。
试求该事件在K 系中的时空坐标。
解 根据洛仑兹变换
2 x y y z z ux t t ⎧
⎪
⎪⎪⎪'=⎪
'⎨=⎪
'⎪'+⎪⎪⎪⎩
计算得该事件在K 系中的时空坐标（8.25×108m ，0m ，0m ，3.25s ）。
5-2 在惯性系K 中，有两个事件同时发生在x 轴上相距3
1.010m ⨯处，从惯性系K ′观测到这两个
事件相距3
2.010
m ⨯，试问从K ′测到此两事件的时间间隔是多少？
解 根据洛仑兹变换，有
(1) (2)
u x
t x t ∆∆-
''∆∆
依题设条件，31.010x =⨯Δ m ，0s t ∆=，3
'，由(1)解得
u = 代入(2) 26 57710s u x
t .-∆-
'∆-⨯ 负号表示在K '系中观测，'
22()x x 处的事件先发生。
5-3 在正负电子对撞机中，电子和正电子以0.9c υ=的速率相向运动，两者的相对速率是多少？
解 取地球为K 系，电子为K '系，并沿x 轴负方向运动，正电子为研究对象，根据洛仑兹速度变换
公式，有
1x x x u 'u
c υυυ-=
-
09(09)
099409(09)1.c .c .c .c .c c --=
=--
5-4 一光源在K ′系的原点'O 发出一光线，其传播方向在''y x 平面内且与'x 轴夹角为'θ。
试求在K 系中测得的此光线的传播方向，并证明在K 系中此光线的速度仍是c 。
解 已知'cos x
c υθ'=，'sin y c υθ'=。
根据洛仑兹速度变换，有
2''1x x x u u c υυυ+=+cos cos 1c u u c θθ'+=
'
+
，1y x υ
+1c +在K 系中与x 轴的夹角为
arctan y x υθ=而光的速度为
c υ
==
5-5 若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半，宇宙飞船相对于该惯性系的速率是多少？
解
根据相对论的长度收缩效应，l l =有
u =
5-6 一根直杆位于K 系中Oxy 平面。
在K 系中观察,其静止长度为0l ,与x 轴的夹角为θ,试求它在K ′系中的长度和它与'x 轴的夹角。
解 设在K 系中，直杆两端的坐标分别为（0,0）和()00cos ,sin l l θθ。
由于长度收缩发生在运动方
向，且0cos x l θ∆=为x 方向的固有长度 所以
0cos x l '∆= 0sin y l θ'∆= 在K'系中，直杆的长度为
l l 直杆与'x 轴的夹角为 1222arctan =arctan tan 1/y u x c θθ-⎡⎤'⎛⎫∆'=-⎢⎥ ⎪'∆⎢⎥⎝⎭⎣⎦
5-7 设K′系以恒定速率相对于K 系沿x （x ′）轴运动。
在惯性系K 中观察到两个事件发生在同一地点，其时间间隔为4.0s ，从另一惯性系K′中观察到这两个事件的时间间隔为6.0s ，试问K′系相对于K 系的速度为多少？
解 由题意知在K 系中的时间间隔为固有时，即0
4.0s τ=而 6.0s τ=，根据时间延缓效应的关
系式τ，可得K ′系相对于K 系的速度为
21/20[1()]3
u c c ττ=-=
5-8 某人测得一静止棒长为0l ，质量为0m ，于是求得此棒的线密度为00/m l ρ=。
(1)假定此棒
以速度υ在棒长方向运动，此人再测棒的线密度应为多少？(2)若棒在垂直长度方向运动，它的线密度又为多少？
解 (1)棒以速度υ在棒长方向运动，此时 棒长
l
l =
质量
m 线密度为 022
0(1/)
m m l l c ρυ==
- (2)
若棒在垂直长度方向运动，棒的长度不变，它的线密度为
ρ 5-9 匀质细棒静止时质量为0m ,长度为0l ,当它沿棒长方向作高速的匀速直线运动时,测得它的长为l ,则该棒所具有的动能k E 是多少?
解
由题意0l l
所以
2
2000
1(1)k l E
m c m c l ⎛⎫⎪==-⎪⎭
5-10 一个被加速的电子，其能量为93.010eV ⨯，试求该电子的速率。
解 根据相对论能量公式
2
E
得
0999999985.c υ== 5-11 如果将电子从0.8c 加速到0.9c ，需要对它作多少功？该电子的质量增加多少？ 解 根据相对论质量与能量关系，有
2
2
2
210c W m c mc m ⎛⎫
=-=
31161459111091051410(J)32110 eV ...--=⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯ 电子的质量增加量为
210m m m m ⎛⎫∆=-=
31319111057110 (kg)
..--=⨯⨯=⨯。