11.3算法案例

思考4：你能根据辗转相除法的算法步骤画出它的 程序框图以及相应的程序语句吗?
开始 输入：m,n INPUT m,n r=1 r=m MOD n WHILE r<>0 r=m MOD n m=n m=n n=r n=r WEND PRINT m r=0? Y END 输出：m 结束
N
程序： INPUT “m，n=”;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
(an x n1 an1 x n2 a1 ) x a0

(( an x
n2
an1 x
n 3
a2 ) x a1 ) x a0
((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
f ( x) ((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
思考：辗转相除法与更相减损术有 什么区别和联系？
例3，求三个数319，377，116的最 大公约数（计算，不编程）
辗转相除法 更相减损术
1，4830与3289的最大公约数为_______ 2，用更相减损术求87与27的最大公约数时， 反复相减，直至求出最大公约数，需要进 行减法运算的次数是______ 3，用辗转相除法求87与27的最大公约数，需 要进行除法运算的次数是_____ 4，46，115，276的最大公约数是____
辗转相除法的理论基础:
定理： 已知m,n,r为正整数，若m=nq+r（0≤r<n）（即r=m MOD n）,则（m,n）=(n,r)。
分析：m=nq+r r=m-nq
…… ① …… ②
例1、求8251和6105的最大公约数。 解： （8251，6105） 8251=6105×1+2146 =（6105，2146） 6105=2146 ×2+1813 =（2146，1813） 2146=1813 ×1+333 =（1813，333） 1813=333 ×5+148 =（333，148） 333=148 ×2+37 =（148，37） 148=37 ×4 =37
新课讲解:
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 当x = 5的值的算法： 算法1： 因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906 算法2： ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
探究一,辗转相除法
思考1:在小学中我们是如何求出两个正整数 的最大公约数的呢?
算法案例之求最大公约数
例、求18与24的最大公约数：
解：2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 12 用公有质因数3除， 3 4 3和4互质不除了。 得：18和24最大公约数是：2×3＝6
短除法
求以下几组正整数的最大公约数。 (注：若整数m和n满足n整除m，则（m,n）=n。用（m,n）来表示 m和n的最大公约数。)
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即 然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v1 an x an1 v2 v1 x an2

v3 v2 x an3 vn vn1 x a0
最后的一 项是什么？
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
练习：用辗转相除法求下列两数的最大公约数： （1）（225，135） 45 （2）（98，196） 98 24 （3）（72，168） （4）（153，119） 17
思考3：辗转相除直到何时结束？ 主要运用的是哪种算法结构？
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤， 这实际上是一个循环结构 辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： ① 输入两个正整数m和n； ② 求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中； ③更新被除数和余数：m=n，n=r。 ④判断余数r是否为0：若余数为0则输出结果，否则转 向第②步继续循环执行。 如此循环，直到得到结果。
你从中看到了 怎样的规律？ 怎么用程序框 图来描述呢？
所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
开始
程序框图：
输入f(x)的系数： a0,a1,a2,a3,a4a5
输入x0
v 0 a n v k v k 1 x an k ( k 1,2, , n)
这是一个在秦九韶算法中 反复执行的步骤，因此可 用循环结构来实现。
探究二,更相减损术
<九章算术> “可半者半之,不可半者求其 等也，以等数约之。”
同理：a,b,c为正整数，若a-b=c，则（a,b）=(b,c)。 “更相减损术”（也是求两个正整数的最大公约数的算法） 步骤： 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。 若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较 小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所 得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公 约数。
7
所以，98和63的最大公约数等于7。
练习：用更相减损术求下列两数的最大公约数：
（1）（225，135） 45 （3）（72，168） 24
（2）（98，196） 98 （4）（153，119） 17
思考：更相减损直到何时结束？运用的是哪种算法结构？ 更相减损是一个反复执行直到减数等于差时停止的步骤， 这实际也是一个循环结构
讨论：你能根据更相减损术的算法步骤 画出其程序框图并写出程序语句吗?
INPUT m,n
开始
输入：m,n N m≠n? Y M>n? Y m=m-n
WHILE m<>n IF m>n THEN m=m-n
N
ELSE
n=n-m
n=n-m
END IF WEND
输出：m 结束
PRINT m END
区别： 计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主； 在计算次数上，辗转相除法计算次数相对较少，特别当 两个数大小差别较大时计算次数的区别较明显； 从结果输出的时候看，辗转相除法当余数为0时输出除 数，更相减损术当差和减数相等时输出差。 联系：都是求最大公约数的方法。因为做一次除法与做若干 次减法效果相同，商就是减法的次数，余数就是最后的 差，由此可知二者是完全统一的！
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
《数书九章》——秦九韶算法 设 f ( x) 是一个n 次的多项式
n n 1
这是怎样的 f ( x) an x an1 x a1 x a0 一种改写方 对该多项式按下面的方式进行改写： 式？最后的 结果是什么？ n n 1 f ( x) an x an1 x a1 x a0
例2、用更相减损术求98与63的最大公约数 （自己按照步骤求解） 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减。 （98，63） =（63，35） 98-63=35 63-35=28 =（35，28）
35-28=7
28-7=21 21-7=14 14-7=7
=（28，7）
=（21，7） =（14，7） =（7，7） =
n=1
v=a5
n=n+1 n≤5?
Y
v=vx0+a5-n
N
输出v
结束
思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来
吗？
(1)、算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x 的值. 第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1. 第三步：输入i次项的系数an. 第四步：v=vx+ai, i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第 三步；否则，输出多项式的值v。
算法1： 因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
算法2： ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
算 法 案 例
第二课时
探究三、秦九昭算法

思考1,在初中,我们是如何求一个多项式的 值的?
思考2,已知一个n 次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0当x=x0时，除 了用代入法求解外是否还有更好的方法呢？

探究：以f(x)=a5x5+a4x4+…+a1x+a0为例
秦九昭算法问题： 秦九昭（约1202~1261）是我国南宋时期享誉世界 的数学家，在他的代表作《数学九章》中介绍了 计算一个n次多项式值的算法，即“秦九韶算 法”。它的特点是：通过一次式的反复计算，逐 步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式， 只需做n次乘法和n次加法即可。 秦九韶算法是求一元多项式值的一种方法，现在它 仍是世界上多项式求值最先进的方法，这一成就 比西方同样的算法早五六百年，且该算法很容易 在计算机上实现！