椭圆及其标准方程(2)

D
x2 y 2 3. 椭圆 1 的焦距为2, 则m的值等于 C m 4
A.5 B. 3 C. 3或5 D .以上都不对
4.动点P到两个定点F1（-4，0）、F2（4，0）的距离 之和为8，则P点的轨迹为（ B ） A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确 定
x2 y 2 1所表示的椭圆绕原点旋转90度，所得轨 5.将 25 16 迹的方程是什么？ y 2 x2
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a
F1 0,- c ，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 a2-c2=b2 同 点 焦点位置的判断 哪个变量的分母大，焦点就在哪个轴上
类型一：椭圆的定义
x2 y 2 1.椭圆 25 16 1 上一点P到一个焦点的距离等于3， 则它到另一个焦点的距离是（ B ） A.5 B.7 C.8 D.2
2
2
x y (3) 1 10 15
(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知，
又c=2， ∴ b2=a2－c2＝10－4=6． 所以所求椭圆的标准方程为
（2）解 : 设椭圆的方程为Ax 2 By 2 1( A 0, B 0, 且A B), 1 A 15 , 3 A 4 B 1, 依题意可得 12 A B 1, B 1 . 5 x2 y 2 故所求的椭圆方程为 1. 15 5
F1 -c , 0，F2 c , 0
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a
F1 0,- c ，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 a2-c2=b2 同 点 焦点位置的判断 哪个变量的分母大，焦点就在哪个轴上
题型二 求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且
因为方程表示的曲线是焦点在y轴上 的椭圆，所以
x y 1 1 4 k
2
2
1
1 1 k 4
即：0<k<4
所以k的取值范围为0<k<4。
题型二：椭圆内有关三角形的问题
x2 y 2 例2、过 2 2 1a b 0的左焦点F1任做一条不与长轴 a b 重合的弦AB，F2为椭圆右焦点，则 ABF2的周长为 4a
x2 y 2 例3、椭圆 1上任意一点M到右焦点F2的距离为2， 25 9 N是MF2的中点，则 ON = 4
x y 例4、椭圆 1上一点P与两焦点F1、F2连线 49 24 互相垂直，求PF1F2的面积。
x y 例5、椭圆 1, P为椭圆上一点，F1、F2为椭圆 100 64 的两个焦点，F1PF2 =60 ，求F1PF2的面积。

2 2
2
2
变式：把上题中的F1PF2 =60 改为PF2 F1 =90 ， 再求F1PF2的面积。
题型三、轨 迹 问 题
例6.已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上
任意一点P向x轴作垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时， 线段PD中点M的轨迹是什么？ 解: 设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为 x0 , y0 则 x x , y 2 y y
求动圆圆心P的轨迹方程.
解:如图所示.由定圆C:x2+(y+2)2=36知,圆心C(0,-2),半径
r=6,设动圆圆心P(x,y),动圆半径为|PA|,由于圆P与圆C相内切,
∴|PC|=r-|PA|,
即|PA|+|PC|=r=6.
因此,动点P到两定点A(0,2)､C(0,-2)的距离之和为6, ∴P的轨迹是以A､C为焦点的椭圆,且2a=6,2c=4,即 a=3,c=2,∴b2=5.
C
F1
F2
D
x2 y2 1 ，则 (2)已知椭圆的方程为： 4 5 2 a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐 1 5 (0,-1)、(0,1) 标为：___________焦距等于__________;曲 2 线上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到 另一个焦点F2的距离等于_________，则 2 5 3 F1PF2的周长为___________ 2 52
3 5 椭圆经过点（ ， ）. 2 2
(2)求中心在原点, 焦点在坐标轴上, 且经过A( 3, 2)和B(2 3,1) 两点的椭圆的标准方程.
( 3, 2),( 6,1)
2 2
(3).椭圆经过点(2, 3)且与椭圆9 x 2 4 y 2 36有共同的焦点。
x y (2) 1. 15 51. Nhomakorabea点三角形
例1、填空：
x2 y2 1 ，则 (1)已知椭圆的方程为： 25 16 a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标 5 4 3 (3,0)、(-3,0) 为：____________焦距等于______;若CD为过 6 20 左焦点F1的弦，则 F2CD的周长为________
2．2
椭圆及其标准方程（2）
高二数学组
复习回顾
定 义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y P y F2 x
O
不 同 点
图
形
F1
O
P
x
F2
F1
标准方程 焦点坐标
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 -c , 0，F2 c , 0
答： 25 16 1
5.对于方程mx2 ny 2 1 满足什么条件时，它表示椭圆？
m>0,n>0, 且m≠n
复习回顾
定 义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y P y F2 x
O
不 同 点
图
形
F1
O
P
x
F2
F1
标准方程 焦点坐标
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
应用举例
2 2
x y 1.方程 1表示焦点在x轴上的椭圆， a 3 则a的范围为( a>3 )。
2 2
x y 2.方程 1表示焦点在y轴上的椭圆， b 9 则b的范围为( 0<b<9 )。
例4：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是 焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。 解：由 4x2+ky2=1,可得
6 2 2 练习椭圆经过点( , 3)和点( . ,1); 3 3
y2 x2 1 9
说明： (1)如果明确焦点在 x 轴上，那么设所求的椭圆方程为 x2 y 2 ＋ ＝1(a＞b＞0)． a2 b2 如果明确焦点在 y 轴上，那么设所求的椭圆方程为 y2 x 2 ＋ ＝1(a＞b＞0)． a2 b2 (2)如果中心在原点， 但焦点的位置不能明确是在 x 轴上 还是在 y 轴上， 那么方程可以设为 mx2＋ny2＝1(m＞0， n＞0， m≠n)，进而求解．
相关 点法
P( x0 , y0 )在圆x 2 y 2 4上 x y 4
2 0 2 0
P M
将x0 x , 得 即
y0 2 y代入上述方程
o
D
2
x
x2 4 y 2 4 x2 y2 1 4
所以，点M的轨迹是一个椭圆.
例7、已知动圆与定圆C:x2+y2+4y-32=0内切且过定点A(0,2),
x2 y 2 ∴所求动圆圆心P的轨迹方程为 1. 5 9
例8、已知两个定圆C1：x 2 y 1, C2 : x 2 y 2 81,
2 2 2
一动圆C与圆C1外切，与圆C2内切，求动圆圆心的轨迹。
x2 y2 答案： 1 25 21