§6.6 能量谱和功率谱
功率谱
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析),所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。有两个重要区别： 1。功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机的频域序列） 2。功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
而Hz的单位是1/s,经过换算得到加速度功率谱密度的单位是m^2/s^3.
同理，如果是位移功率谱密度，它的单位就是m^2*s,
如果是弯矩功率谱密度，单位就是(N*m)^2*s
位移功率谱——m^2*s
速度功率谱——m^2/s
加速度功率谱——m^2/s^3
解释
在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。
功率谱和能量谱的关系
功率谱和能量谱的关系
功率谱和能量谱是两种不同的谱分析方法。
功率谱（Power Spectrum）是指信号在不同频率上的功率分布。
它描述了信号的频域特征，表
示信号在不同频段上的功率大小。
功率谱是对信号进行谱分析的主要方法之一，常用的谱分析工具包括傅里叶变换和自相关函数等。
能量谱（Energy Spectrum）是指信号在不同频率上的能量分布。
它描述了信号的频域特征，表
示信号在不同频段上的能量大小。
能量谱是功率谱的一种特殊形式，它不考虑信号的持续时间，仅考虑信号的幅度信息。
在能量谱中，低频和高频的能量大小对结果影响较大，但是无法判断信号在不同频段上的功率大小。
因此，功率谱和能量谱之间存在一定的关系。
功率谱是能量谱的平方，即功率谱可以通过能量谱计算得到。
但是能量谱不能通过功率谱计算得到，因为能量谱不考虑信号的持续时间，无法确定功率大小。
功率谱密度与能量谱密度
∫ ∫ ( ) ( ) ∞ −∞
•
dt （求面积）因为对功率信号变得无意义，所以改成了
1 lim T →∞ T
T 2 • dt
−T 2
（求平均）。
1 这个改动实际上只是差一个系数 T 。如果是周期为 Ts 周期信号，求平均操作可以只在一个
∫ ∫ lim 1 T 2 (•) dt = 1 Ts 2 (•) dt
(2)3dB 带宽：指从功率谱的峰点下降到一半时的频带范围。若 0 频处功率谱密度最高，则
带宽 B 是
Ps Ps
(B) (0)
=
1 2
的解。
(3)等效矩形带宽：若信号的功率谱密度的面积和一个同高的矩形相同，此矩形频谱的带宽
∫∞ −∞
Ps
(
f
)
df
就是该信号的等效矩形带宽。若 0 频处功率谱密度最高，则带宽 B 是 2Ps (0) 。
3. 带宽
带宽是衡量信号频带宽度的一个量，它表示我们通过测量仪器可以感受到的频率范围，通常 带宽只按正频率部分计算。我们对带宽有多种定义。
(1)信号主要能量所占带宽：指这个频带范围内集中了信号的绝大部分能量。带宽 B 是
B
∫−B
Ps
(
f
)
df
∫∞ P ( f ) df −∞
=β
的解，其中
β 是所规定的比例，典型值如 90%、99%等。
∫∞ −∞
s
*
(t
)
s
(
t
+
τ
)
dτ
∫ R (τ ) ≅ lim 1 ∞ s ∗(t ) s (t +τ )dt
对功率信号：
T T →∞
−∞
功率谱密度和能量谱密度等概念
1、数学期望（统计平均值） 随机过程 (t) 的数学期望定义为
E[ (t)] xf1(x,t)dx
（2.4-5）
并记为 E[ (t)] a(t) 。随机过程的数学期望是时间的函 数。
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
对于离散随机变量，其概率密度函数为
n
0
f (x) i1 Pi (x xi )
x xi x xi
（2.3-8）
《通信原理课件》
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均匀分布的概率密度函数的曲线如图2-2所示。
图2-2 均匀分布的概率密度函数
《通信原理课件》
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《通信原理课件》
信号的傅里叶变换具有一些重要的特性，灵活运用这 些特性可较快地求出许多复杂信号的频谱密度函数，或从 谱密度函数中求出原信号，因此掌握这些特性是非常有益 的。其中较为重要且经常用到的一些性质和傅里叶变换对 见附录二。
下面讨论周期信号的傅里叶变换。
《通信原理课件》
2.1.2周期信号与非周期信号
周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号。 周期信号满足下列条件
f (t) f (t nT),n 0, 1, 2. 3,L , t
（2.1-1）
式中，为的周期，是满足式（2.1-1）条件的最小时 段。非周期信号是不具有重复性的信号。
5、R(0) R() 2 [方差， (t)的交流功率]（2.5-9）
由上述性质可知，用自相关函数几乎可以表述的主要 特征，因而上述性质有明显的实用价值。
§6.7信号通过线性系统的自相关函数能量谱和功率谱分析
h(t) r(t) H (jw ) R (jw )
时域
r(t) h(t)* e(t)
频域 R(jw ) H(jw ) E(jw )
假定e(t)是能量有限信号，
e(t)的能量谱密度为
(w ) e
r(t)的能量谱密度为
r (w )
e(w ) E(jw ) 2
r (w ) R(jw ) 2
显然
物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与|H(jw)|2
的乘积。
返回
二．信号经线性系统的自相关函数
由 r (w ) H (jw ) 2e (w ) Sr (w ) H (jw ) 2 Se (w )
得 r (w ) H (jw )H *(jw )e (w )
Sr (w ) H (jw )H *(jw )Se (w )
§6.7 信号通过线性系统的自相关 函数、能量谱和功率谱分析
前面，从
时域
频域 中研究了
S域
激励 响应 系统
三者的关系
现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功 率谱所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。
一、能量谱和功率谱分析 二、信号经线性系统的自相关函数
返回
一．能量谱和功率谱分析
e(t ) E(jw )
所以响应r(t)的自相关函数
Rr ( ) Re ( ) h(t) h*( t)
N ( )
1
( ) 1 t
e RC u t
1
e
1 RC
t
u(
t
)
RC
RC
N
1 t
e RC
2RC
求响应r(t)的自相关函数的另一种方法
由
Rr
功率谱和功率谱密度的区别,相干时间与相干带宽
功率谱和功率谱密度的区别,相⼲时间与相⼲带宽谱让⼈联想到的Fourier变换，是⼀个时间平均（time average）概念，对能量就是能量谱，对功率就是功率谱。
功率谱密度就是信号⾃相关函数的傅⾥叶变换。
功率谱的概念是针对功率有限信号的，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变化情况。
保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两点需要注意：1. 功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是⼀个确定函数；⽽频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于⼀个随机过程⽽⾔，频谱也是⼀个“随机过程”。
（随机的频域序列）2. 功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的⼆阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于⼆阶矩是否存在并且⼆阶矩的Fourier变换收敛；⽽频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
频谱分析：对动态信号在频率域内进⾏分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅⾥叶级数和傅⾥叶积分为基础的。
功率谱密度：功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。
这⾥功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表⽰抽象的信号被定义为信号数值的平⽅，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。
由于平均值不为零的信号不是平⽅可积的，所以在这种情况下就没有傅⾥叶变换。
维纳-⾟钦定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了⼀个简单的替换⽅法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号⾃相关函数的傅⾥叶变换。
信号的功率谱密度当且仅当信号是⼴义的平稳过程的时候才存在。
如果信号不是平稳过程，那么⾃相关函数⼀定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使⽤类似的技术估计时变谱密度。
信号分析3功率谱和能量谱
7 页
X
2 T
Lim
T 2
FT ( jw) T 则
2
dw
定义 : 功率谱 ( w) Lim 1 P 2
FT ( jw) T
( w)dw
功率谱表示单位频带内信号功率随频率的变化情况,功 率谱曲线所覆盖的面积在数值上等于信号的总功率 X
第
作业: 3-30 3-32 3-42
X
第
三功率信号的功率谱
ET
6 页
对功率有限信号 f (t ), 如截取一个周期 f T (t ), 其能量为:
f T2 (t )dt
T 2 T 2
f 2 (t ) d t
信号f (t )的平均功率表示为 : 1 P Lim T T
T 2 T 2
1 f (t ) d t 2
5 页
E G ( )d
1 G ( ) F 2 ( j ) 2
说明：
表示单位频率下的信号能量。 1)能量是整个频域范围内能量谱曲线下的面积 2)能量谱只取决于信号的幅频特性,而与相位无关. 通过能量谱曲线可以了解信号能量在频域 中的分布情况，以便正确选择电路和系统的通 频带，充分利用信号的能量。
E 况下的具体体现; 能量既可在时域中计算，也可在频域中计算，且只与 幅频谱有关，而与相频谱无关.时域和频域能量守恒. X
1
F ( j )d
2
0
F ( j )d
2
频域法
第
能量谱:
不同频率下信号的实际振幅为无穷小,能 量实际也为无穷小,为描述不同频率下能量的 分布情况,引入能量密度频谱函数G(w),
信号与系统-能量谱和功率谱
的电流，v (t )为一．能量信号和功率信号定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比，则在整个时间域内，实信号天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University一般周期信号为功率信号；天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University二．相关系数与相关函数天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University最小，则有是能量有限的实信号。
天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University由柯西－施瓦尔茨不等式，得(2⎡⎰∞t f 的相关特性相关系数天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University三．相关与卷积的比较卷积表达式：(,相关性最强R )ω[f F 相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University判断下面的信号是功率信号还是能量信号。
天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University例()(E t cos =对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有)⎤天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University周期信号自相关函数仍为周期信号天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University])(τF R =天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical Universityωπ(⎰∞∞-F⎪⎫≤T t ωπ(21F ⎰∞∞-R (τ)cos(1t ω的自相关函数和功率谱为功率信号)(t f 天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一功率谱为:。
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求余弦信号f )=Ecos( 求余弦信号f(t)=Ecos(ω1t) 的自相关函数和功率谱。 的自相关函数和功率谱。
f(t)为功率信号,所以自相关函数为: 为功率信号,所以自相关函数为:
1 T 2 Rτ) =lim ∫ T f (t)f (t −τ)dt ( T→ T − ∞ 2
2 E T o 1 =lim ∫2 c s( 1t)⋅c s[ω (t −τ)]dt T o ω T→ T − ∞ 2
E =lim T→ T ∞
2
∫
T 2 T − 2
c s( 1t)[c s( 1t)⋅c s( 1 ) o ω o ω o ωτ
( 1 ( 1 +sinωt)⋅sinωτ)]dt
2 E o ωτ = c s( 1 ) 2
一、能量谱 二、功率谱
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一、能量谱
由相关定理知 所以
[ ( F Rτ)] = F(ω)
2
1 ∞ 2 jω Rτ) = ∫ F ω e τ d ( ) ( ω 2 −∞ π 1 ∞ 2 R0 = ∫ F ω d () ( ) ω 2 −∞ π
又能量有限信号的自相关函数是
Rτ) =∫ f (t) f *(t −τ)dt (
∞ − ∞
∞
R0 =∫ f (t) dt ()
2 ∞ −
有下列关系
2 ∞ 1 ∞ 2 ( ) ω − ( R0 =∫ f (t) dt= ∫ F ω d =∫ ∞ F f ) d f () − ∞ 2 −∞ π
∞
2
2 ∞ 1 ∞ 2 ( ) ω − ( R0 =∫ f (t) dt= ∫ F ω d =∫ ∞ F f ) d f () − ∞ 2 −∞ π 为实数, 若f(t)为实数,上式可写成 ∞ 1 ∞ 2 2 ( ) ω R0 =∫ f (t)dt = ∫ F ω d () − ∞ − ∞ 2 π
§6.6 能量谱和功率谱
频谱是在频域中描述信号特征的方法之一，它反应 频谱是在频域中描述信号特征的方法之一， 了信号所含分量的幅度和相位随频率的分布情况。 了信号所含分量的幅度和相位随频率的分布情况。 除此之外，也可以用能量谱或功率谱来描述信号。 除此之外，也可以用能量谱或功率谱来描述信号。 功率谱来描述信号 能量谱和功率谱是表示信号的能量和功率密度在 功率谱是表示信号的能量和功率密度在频域中 能量谱和功率谱是表示信号的能量和功率密度在频域中 随频率的变化情况，它对研究信号的能量（ 功率） 随频率的变化情况，它对研究信号的能量（或功率）的 分布，决定信号所占有的频带等问题有着重要的作用。 分布，决定信号所占有的频带等问题有着重要的作用。 特别对于随机信号，不能用确定的时间函数表示， 特别对于随机信号，不能用确定的时间函数表示， 当然也无法用频谱来表示 在这种情况下，往往用功率 频谱来表示。 当然也无法用频谱来表示。在这种情况下，往往用功率 来描述它的频域特性。 谱来描述它的频域特性。
求功率谱
因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数 功率谱为 是一对傅里叶变换,所以功率谱 是一对傅里叶变换,所以功率谱为:
S ω =F Rτ)] ( ) [ (
=∫ Rτ)e−jωτ d ( τ
∞ − ∞
Eπ [δ(ω−ω )+δ(ω+ω )] = 1 1 2
2
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例6-6-2
白噪声， 白噪声，其功率谱密度为SN(ω) = N, −∞<ω<∞ 求自相关函数。 求自相关函数。
F( ) Tω ( ) lim 定义 S ω =T→ ∞ T 的功率密度函数( 为f(t)的功率密度函数(功率谱） 的功率密度函数 功率谱） 2 1 ∞ Rτ) = ∫ F ω ejωτ d ( ) ω 利用相关定理有： 利用相关定理有： ( 2 −∞ π
2
2 1 ∞ ( Rτ) = ∫ F ω ejωτ d ( ) ω 2 −∞ π
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利用维纳-欣钦关系式， 利用维纳-欣钦关系式，得自相关函数
R (τ) = N (τ) δ N
由于白噪声的功率谱密度为常数， 由于白噪声的功率谱密度为常数，所以白噪 声的自相关函数为冲激函数 冲激函数， 声的自相关函数为冲激函数，表明白噪声在各时 刻的取值杂乱无章，没有任何相关性。 刻的取值杂乱无章，没有任何相关性。 对于 τ ≠ 0 的所有时刻，RN (τ ) 都取零值，仅在 τ = 0 的所有时刻， 都取零值， 时为强度等于N的冲激。 时为强度等于N的冲激。
二、功率谱
若f(t)是功率有限信号 T f (t) t ≤ 2 令 fT(t) = [ F fT(t)] =F (ω) T T 0 t > 2 平均功率为 则f(t)的平均功率为： 2 T FT (ω ) 1 2 2 1 ∞ p = lim ∫ T f (t )dt = ∫− ∞ Tlim∞ T d ω → T →∞ T − 2π 2
∞
2
( =∫ F f ) d f ……帕塞瓦尔方程 ……帕塞瓦尔方程 − ∞
∞
2
定义
ε(ω) = F(ω)
所以有
2
……能量谱密度（能谱） ……能量谱密度（能谱） 能量谱密度
ε(ω =F Rτ)] ) [ (
Rτ) =F−1[ε( )] ( ω
所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。 所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。 返回
1 ∞ 可以得到： 两端乘以 并取 T→ 可以得到： T
1 ∞ Rτ) = ∫ S ωejωτ d ( ( ) ω 2 −∞ π ∞ S ω =∫ Rτ)e−jωτ d ( ) ( τ
− ∞
即:
S(ω)=F[R(τ)] )=F R(τ)= F-1[S(ω)]
功率有限信号的功率谱函数与自相关函数 是一对傅里叶变换。 是一对傅里叶变换。 例 6-6-1 例 6-6-2 返回