分数阶混沌程序MATLAB
caputo分数阶微分方程求解 matlab 概述及解释说明
caputo分数阶微分方程求解matlab 概述及解释说明1. 引言1.1 概述在科学和工程领域中，微分方程是一种常见的数学模型，用于描述物质或现象之间的相互关系。
传统的微分方程主要基于整数阶导数进行建模和求解。
然而，许多现实中的问题不能仅用整数阶微分方程来完全描述，因此引入了分数阶微积分的概念。
Caputo分数阶微积分是世界上最早发表的一种分数阶导数定义方法之一，它在描述长尾动力学、非平衡统计物理、带记忆材料等领域具有广泛应用。
使用Caputo分数阶微积分可以更准确地对现实世界中各种复杂过程进行建模和仿真。
1.2 文章结构本文将首先介绍Caputo分数阶微积分的基本概念和定义，然后重点关注Caputo分数阶微分方程及其特性。
接下来，我们将详细探讨MATLAB在求解Caputo分数阶微分方程中所起到的关键作用，并提供实际示例以说明其应用方法和步骤。
随后，我们将选择一个具体的Caputo分数阶微分方程案例进行研究和求解，并通过结果及讨论来评估算法的效率。
最后，我们将对本文进行总结，并提出现有问题和未来工作方向的展望。
1.3 目的本文的主要目的是介绍Caputo分数阶微分方程在MATLAB中的求解方法，并通过案例研究和讨论来验证其有效性和实用性。
通过本文的阐述，读者将能够理解Caputo分数阶微积分的基本概念、MATLAB在求解Caputo分数阶微分方程中所采用的方法以及其应用领域。
此外，本文还旨在鼓励读者进一步研究该领域并探索新的解决方案。
2. Caputo分数阶微分方程概述：2.1 分数阶微积分简介分数阶微积分是传统整数阶微积分的推广，它引入了非整数阶导数和非整数阶积分的概念。
与整数阶微积分不同，分数阶导数和积分可以表现出一种记忆性的特点，使得在描述复杂自然现象、非线性动力学系统、多尺度问题等方面具有更好的适用性。
2.2 Caputo分数阶导数定义与性质Caputo导数是一种常用的描述物理过程中记忆效应的方法。
基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟(教学版)
z
20 0 20
50 40 30
z
20 10 0 -20 -10 x 0 10
z
20 10 0 -20 -10 0 y 10 20
4.初值敏感性： 保持初值 x0 和 y0 不变，即 x0＝y0＝1，改变 z0 为 1.001，千分之一的变化会引起系统 行为的显著改变，如下图所示：
y
Rossler 方 程 X-Z平 面 相 图 (较 短 时 间 后 ) 50 40 30
6. 吸引子: 指相空间的这样的一个点集 s (或一个子空间) , 对 s 邻域的几乎任意一 点, 当 t 时所有轨迹线均趋于 s, 吸引子是稳定的不动点。 7. 奇异吸引子: 又称混沌吸引子, 指相空间中具有分数维的吸引子的集合。 该吸引集 由永不重复自身的一系列点组成, 并且无论如何也不表现出任何周期性。 混沌轨道就运行在 其吸引子集中。 8. 分叉和分叉点: 又称分岔或分支。 指在某个或者某组参数发生变化时, 长时间动力 学运动的类型也发生变化。 这个参数值(或这组参数值)称为分叉点, 在分叉点处参数的微小 变化会产生不同性质的动力学特性, 故系统在分叉点处是结构不稳定的。 9. 周期解: 对于系统 xn 1 f ( xn ) , 当 n 时,若存在 xn i xn , 则称该系 统有周期 i 解 。不动点可以看作是周期为 1 的解, 因为它满足 xn 1 xn 。 10. 初值敏感性： 对初始条件的敏感依赖是混沌的基本特征， 也有人用它来定义混沌： 混沌系统是其终极状态极端敏感地依赖于系统的初始状态的系统。 敏感依赖性的一个严重后 果就在于，使得系统的长期行为变得不可预见。
引言． 混沌探秘
混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科 学和社会科学的几乎每一个分支。1972 年 12 月 29 日，美国麻省理工学院教授、混沌学开 创人之一 E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第 139 次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文， 提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷 风，并由此提出了天气的不可准确预报性。为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！ “混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌 则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。 混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的 海洋中。一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的 烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就 是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。一面旗帜在风中飘扬， 一 片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为 伴。
分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件
第61卷 第6期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .62023年11月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )N o v 2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022435分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件毛北行,王东晓(郑州航空工业管理学院数学学院,郑州450046)摘要:设计4种形式简单的滑模面及控制输入,研究分数阶大气混沌系统的滑模同步,得到分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件,并通过数值仿真对结论进行验证.结果表明,分数阶大气混沌系统一定条件下主从系统可取得滑模同步.关键词:大气混沌;分数阶;滑模;同步中图分类号:O 482.4 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)06-1448-09F o u r S u f f i c i e n t C o n d i t i o n s f o r S l i d i n g M o d e S yn c h r o n i z a t i o no f F r a c t i o n a l -O r d e rA t m o s p h e r i cC h a o t i c S ys t e m s MA OB e i x i n g ,WA N G D o n gx i a o (C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s ,Z h e n g z h o uU n i v e r s i t y o f A e r o n a u t i c s ,Z h e n gz h o u 450046,C h i n a )A b s t r a c t :W ed e s i g n e df o u rs i m p l ef o r m so fs l i d i n g m o d es u r f a c e sa n dc o n t r o l i n pu t s ,s t u d i e dt h e s l i d i n g m o d es y n c h r o n i z a t i o n o ft h ef r a c t i o n a l -o r d e ra t m o s p h e r i cc h a o t i cs y s t e m s ,o b t a i n e df o u r s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rs l i d i n g m o d es y n c h r o n i z a t i o n o ft h ef r a c t i o n a l -o r d e ra t m o s p h e r i cc h a o t i c s y s t e m s ,a n d v e r i f i e dt h ec o n c l u s i o n st h r o u g h n u m e r i c a ls i m u l a t i o n .T h er e s u l t ss h o w t h a tt h e m a s t e r -s l a v es y s t e m o ft h ef r a c t i o n a l -o r d e ra t m o s p h e r i cc h a o t i cs y s t e m sc a na c h i e v es l i d i n g m o d e s yn c h r o n i z a t i o nu n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s .K e y w o r d s :a t m o s p h e r i c c h a o s ;f r a c t i o n a l -o r d e r ;s l i d i n g m o d e ;s y n c h r o n i z a t i o n 收稿日期:2022-11-10.第一作者简介:毛北行(1976 ),男,汉族,硕士,教授,从事混沌同步的研究,E -m a i l :b x m a o 329@163.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11801528;41906003).1 引言与预备知识目前混沌研究已取得较多的结果[1-5],由于大多数实际系统均需用分数阶微分描述,且分数阶系统大量存在于工程实际中,因此随着分数阶微积分的引入,分数阶系统的滑模同步控制已引起人们广泛关注[6-8],其研究结果在生物㊁化学㊁医疗卫生㊁通讯和物理等领域应用广泛[9-12].滑模方法因其良好的鲁棒性能,被迅速引入到混沌系统同步控制中[13-14],并在气象学和天气预测中应用广泛.如文献[15]研究了大气混沌系统的系统仿真及动力学行为;文献[16]研究了分数阶大气混沌系统的比例积分滑模同步;文献[17]研究了分数阶不确定大气系统的自适应滑模同步,但设计的滑模面及控制量形式较复杂且不易实现.基于此,本文设计4种形式简单的滑模面及控制输入,得到分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件.定义1[18-19] C a pu t o 分数阶微分定义为D q t x (t )=1Γ(n -q )ʏtt 0(t -τ)n -q -1x (n )(τ)d τ, n -1<q <n ɪℤ+. 分数阶大气混沌系统[16-17]可描述为D q t x =α(y -x )+γw ,D q t y =c x -x z -y ,D q tz =x y -βz ,D qt w =-x -αw ìîíïïïïïï.(1) 当α=1,β=0.7,γ=1.5,c =26,q =0.947时,系统(1)的吸引子和混沌吸引子分别如图1和图2所示.图1 系统(1)的吸引子F i g .1 A t t r a c t o r s o f s ys t e m (1)图2 系统(1)的混沌吸引子F i g .2 C h a o t i c a t t r a c t o r o f s ys t e m (1) 定义从系统为D q t x 1=α(y 1-x 1)+γw 1+u 1(t ),D q t y 1=c x 1-x 1z 1-y 1,D qt z 1=x 1y1-βz 1+u 2(t ),D q t w 1=-x 1-αw 1ìîíïïïïïï,(2) 主从系统的同步误差为e 1=x 1-x ,e 2=y1-y ,e 3=z 1-z ,e 4=w 1-w ,则有D q t e 1=α(e 2-e 1)+γe 4+u 1(t ),D q t e 2=c e 1+x z -x 1z 1-e 2,D q t e 3=x 1y 1-x y -βe 3+u 2(t ),D qt e 4=-e 1-αe 4ìîíïïïï.(3) 引理1[18-19] 若x (t )连续可微,则有12D q t x 2(t )ɤx (t )T D q t x (t ),∀q ɪ(0,1).9441 第6期 毛北行,等:分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件引理2[19] 设V (t )=12(z 21(t )+z 22(t )),若存在常数k >0,使得D q t V (t )ɤ-k z 21(t ),则z 21(t )ɤ2V (0)E q ,1(-2k t q ),从而l i m t ңɕz 1(t ) =0.2 主要结果定理1 构造滑模面s (t )=e 3+e 1,控制量u 1=-βe 1-α(e 2-e 1)-γe 4,u 2=x y -x 1y 1,则系统(1)和系统(2)滑模同步.证明:当在滑模面上运动时,满足s =0,即有e 3=-e 1.代入式(3)第3个方程可得e 3ң0,从而e 1ң0,代入式(3)第2个方程可得x z -x 1z 1=(x z -x 1z )+(x 1z -x 1z 1)=-x e 3-z e 1ң0,方程变为D q t e 2=-e 2,即e 2ң0.因此式(3)第4个方程可写为D q t e 4=-αe 4,即e 4ң0.当不在滑模面上运动时,构造V (t )=12s 2,根据引理1求分数阶导数可得D q t V ɤs D q t s =s (D q t e 3+D q t e 1)=s [x 1y 1-x y -βe 3+u 2(t )+α(e 2-e 1)+γe 4+u 1(t )]ɤ-βs (e 3+e 1)=-βs 2<0,从而得s (t )ң0.定理2 构造滑模面s (t )=e 4-e 1,控制量u 1=-(γ+1)e 1-αe 4-α(e 2-e 1),u 2=x y -x 1y1,则系统(1)和系统(2)滑模同步.证明:当在滑模面上运动时,满足s =0,即有e 4=e 1.代入式(3)第4个方程可得D q t e 4=-(1+α)e 4,所以e 4ң0,从而e 1ң0,将控制器u 2(t )代入式(3)第3个方程可得D q t e 3=-βe 3,即e 3ң0.代入式(3)第2个方程可得x z -x 1z 1=-x e 3-z e 1ң0,方程变为D qt e 2=-e 2,即e 2ң0.当不在滑模面上运动时,构造V (t )=12s 2,根据引理1求分数阶导数可得D q t V ɤs D q t s =s (D q t e 4-D q t e 1)=s [-e 1-αe 4-α(e 2-e 1)-γe 4-u 1(t )]ɤ-γs 2<0,从而得s (t )ң0.以式(1)为主系统,设计从系统为D q t x 1=α(y 1-x 1)+γw 1+Δf 1(y )+d 1(t )+u 1(t ),D q t y 1=c x 1-x 1z 1-y 1,D q t z 1=x 1y 1-βz 1+Δf 2(y )+d 2(t )+u 2(t ),D q t w 1=-x 1-αw 1ìîíïïïïïï,(4)其中Δf i (y )为不确定项,y (t )=(x 1,y1,z 1,w 1)T,d i (t )为系统外部扰动,u i (t )为控制输入,定义e 1=x 1-x ,e 2=y 1-y ,e 3=z 1-z ,e 4=w 1-w ,得到误差系统D q t e 1=α(e 2-e 1)+γe 4+Δf 1(y )+d 1(t )+u 1(t ),D q t e 2=c e 1+x z -x 1z 1-e 2,D q t e 3=x 1y 1-x y -βe 3+Δf 2(y )+d 2(t )+u 2(t ),D q t e 4=-e 1-αe 4ìîíïïïïïï.(5) 假设1 Δf i (y (t ))ɤm i ,d i (t )ɤn i (i =1,2),其中m i ,n i >0为未知参数.假设2 Δf 2(y )+d 2(t )ɤβe3.定理3 在假设1和假设2成立下,构造滑模面s (t )=e 3+e 1,控制量u 1=-βe 1-α(e 2-e 1)-γe 4-(^m 1+^n 1+η1)s , u 2=x y -x 1y 1-(^m 2+^n 2+η2)s .若s >1,构造自适应律0541 吉林大学学报(理学版) 第61卷D q t ^m i =s 2,^m i (0)=^m i 0,D q t ^n i =s 2,^n i (0)=^n i 0{;(6)若0ɤs ɤ1,构造自适应律D q t ^m i =1,^m i (0)=^m i 0,D q t ^n i =1,^n i (0)=^n i 0{,(7)其中^m i 和^n i 分别为m i 和n i 的估计值,ηi >0,则主从系统(1)和(4)取得自适应滑模同步.证明:当在滑模面上运动时,满足s =0,即有e 3=-e 1,代入式(5)第3个方程可得D q t e 3=-βe 3+Δf 2(y )+d 2(t )-(^m 2+^n 2+η2)s ,由于s =0,因此方程变为D q t e 3=-βe 3+Δf 2(y )+d 2(t ).由假设2可得e 3ң0,即e 1ң0.代入式(5)第2个方程可得x z -x 1z 1=(x z -x 1z )+(x 1z -x 1z 1)=-x e 3-z e 1ң0,方程变为D q t e 2=-e 2,即e 2ң0.因此式(5)第4个方程可写为D q t e 4=-αe 4⇒e 4ң0.当不在滑模面上运动时,若s >1,其自适应律为式(6),构造V (t )=12s 2+12ð2i =1(^m i -m i )2+12ð2i =1(^n i -n i )2,求分数阶导数可得D qtV ɤs D qts +ð2i =1(^m i -m i )s 2+ð2i =1(^n i -n i )s 2=s (D qt e 3+D q t e 1)+ð2i =1(^m i -m i )s 2+ð2i =1(^n i -n i )s 2=s -β(e 3+e 1)+ð2i =1{Δf i (y )+d i (t )+u i (t [])}+ð2i =1(^m i -m i )s 2+ð2i =1(^n i -n i )s 2ɤð2i =1(m i+n i )s 2-ð2i =1(^m i +^n i +ηi )s 2+ð2i =1(^m i -m i )s 2+ð2i =1(^n i-n i)s 2-βs2=-(η1+η2+β)s 2<0,由引理2可得s (t )ң0.若0ɤs ɤ1,其自适应律为式(7),构造V (t )=12s 2+12ð2i =1(s ^m i -m i )2+12ð2i =1(s ^n i -n i )2,求分数阶导数可得D qtV ɤs D q ts +ð2i =1(s ^m i -m i )s +ð2i =1(s ^n i -n i )s =s (D qt e 3+D q t e 1)+ð2i =1(s ^m i -m i )s +ð2i =1(s ^n i -n i )s =s -β(e 3+e 1)+ð2i =1{Δf i (y )+d i (t )+u i (t [])}+ð2i =1(s ^m i-m i )s +ð2i =1(s ^n i -n i )s ɤð2i =1(m i +n i )s -ð2i =1(^m i +^n i +ηi )s 2+ð2i =1(s ^m i -m i )s +1541 第6期 毛北行,等:分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件ð2i =1(s ^n i-n i )s -βs 2=-(η1+η2+β)s 2<0,由引理2可得s (t )ң0.定理4 在假设1和假设2成立下,构造滑模面s (t )=e 4-e 1,控制量u 1=-(γ+1)e 1-αe 4-α(e 2-e 1)+(^m 1+^n 1+η1)s , u 2=x y -x 1y 1.若s >1,构造自适应律D q t ^m 1=s 2,^m 1(0)=^m 10,D q t ^n 1=s 2,^n 1(0)=^n 10{;(8)若0ɤs ɤ1,构造自适应律D q t ^m 1=1,^m 1(0)=^m 10,D q t ^n 1=1,^n 1(0)=^n 10{,(9)其中^m 1和^n 1分别为m 1和n 1的估计值,η1>0,则主从系统(1)和(4)取得自适应滑模同步.证明:当在滑模面上运动时,满足s =0,即有e 4=e 1,代入式(5)第4个方程可得D q t e 4=-(1+α)e 4,所以e 4ң0,从而e 1ң0.将控制器u 2(t )代入式(5)第3个方程可得D q t e 3=-βe 3+Δf 2(y )+d 2(t ).由假设2可得e 3ң0,代入式(5)第2个方程可得x z -x 1z 1=-x e 3-z e 1ң0,方程变为D q t e 2=-e 2,因此e 2ң0.当不在滑模面上运动时,若s >1,其自适应律为式(8),构造V (t )=12s 2+12(^m 1-m 1)2+12(^n 1-n 1)2,求分数阶导数可得D q t V ɤs D q t s +(^m 1-m 1)s 2+(^n 1-n 1)s 2=s [-e 1-αe 4-α(e 2-e 1)-γe 4-Δf 1(y )-d 1(t )-u 1(t )]+(^m 1-m 1)s 2+(^n 1-n 1)s 2ɤ-γs (e 4-e 1)+(m 1+n 1)s 2+(^m 1-m 1)s 2+(^n 1-n 1)s 2-(^m 1+^n 1+η1)s 2=-(γ+η1)s 2<0.由引理2可得s (t )ң0.若0ɤs ɤ1,其自适应律为式(9),构造V (t )=12s 2+12(s ^m 1-m 1)2+12(s ^n 1-n 1)2,求分数阶导数可得D q t V ɤs D q t s +(s ^m 1-m 1)s +(s ^n 1-n 1)s =s [-e 1-αe 4-α(e 2-e 1)-γe 4-Δf 1(y )-d 1(t )-u 1(t )]+(s ^m 1-m 1)s +(s ^n 1-n 1)s ɤ-γs (e 4-e 1)+(m 1+n 1)s +(s ^m 1-m 1)s +(s ^n 1-n 1)s -(^m 1+^n 1+η1)s 2=-(γ+η1)s 2<0.由引理2可得s (t )ң0.3 数值仿真用MA T L A B 仿真程序进行仿真,选取系统参数为α=1,β=0.7,γ=1.5,c =26,q =0.947,初始值设为(x ,y ,z ,w )=(2.2,6.5,2.5,2.5),(x 1,y1,z 1,w 1)=(3,4,3,4.5),由定理1和定理2分别构造滑模面s (t )=e 3+e 1和s (t )=e 4-e 1,控制量分别按定理1和定理2选取,由定理3和定理4分别构造滑模面s (t )=e 3+e 1和s (t )=e 4-e 1,控制量和自适应律分别按定理3和定理4选取,定理3和定理4中η=1.5,不确定项分别为Δf 1=0.1s i n (y 1-y )和Δf2=0.1t a n (w 1-w ),外部扰动项分别为d 1(t )=t a n [1/(10(1+t ))]和d 2(t )=s i n [1/(10(1+t ))],混沌系统^m 1(0)=1,^m 2(0)=1,^n 1(0)=0.5,^n 2(0)=0.5,m 1=0.3,n 1=0.3,m 2=0.2,n 2=0.2.2541 吉林大学学报(理学版) 第61卷定理1~定理4的系统误差曲线分别如图3~图6所示.由图3~图6可见,初始时的曲线误差较大,但系统误差最终趋近原点.定理1~定理4的控制量曲线分别如图7~图10所示,4个定理中均只需设计2个控制器,而一般的滑模方法均需设计4个控制器.由图7~图10可见,控制量随系统误差趋近于零而逐渐稳定在坐标原点附近,表明大气混沌系统的驱动响应系统取得了滑模同步.在定理3和定理4中,针对滑模函数不同取值设计了不同的滑模自适应律,若不分区间设计滑模自适应律,则在仿真部分无法避免符号函数导致的抖振现象,分区间设计可较好避免这种现象,该问题的解决对了解和掌握大气混沌运动规律及天气气象预报与海洋渔业捕捞均将发挥重要作用.图3 定理1的系统误差曲线F i g .3 S ys t e m a t i c e r r o r c u r v e s o f t h e o r em1图4 定理2的系统误差曲线F i g .4 S ys t e m a t i c e r r o r c u r v e s o f t h e o r e m23541 第6期 毛北行,等:分数阶大气混沌系统滑模同步的4个充分条件图5 定理3的系统误差曲线F i g .5 S ys t e m a t i c e r r o r c u r v e s o f t h e o r em3图6 定理4的系统误差曲线F i g .6 S ys t e m a t i c e r r o r c u r v e s o f t h e o r e m4综上,本文研究了分数阶大气混沌系统的滑模同步,通过引入分数阶微积分将受控系统建模为分数阶微分方程得到大气混沌系统取得滑模同步的4个充分条件,并通过MA T L A B 仿真程序对结论进行验证,结果表明,分数阶大气混沌系统在一定条件下主从系统可取得滑模同步.4541 吉林大学学报(理学版) 第61卷图7定理1的控制量曲线F i g.7C o n t r o l q u a n t i t y c u r v e s o f t h e o r em1图8定理2的控制量曲线F i g.8C o n t r o l q u a n t i t y c u r v e s o f t h e o r em2图9定理3的控制量曲线F i g.9C o n t r o l q u a n t i t y c u r v e s o f t h e o r em3图10定理4的控制量曲线F i g.10C o n t r o l q u a n t i t y c u r v e s o f t h e o r e m4参考文献[1] C H E NC,L IL X,P E N G H P,e t a l.F i n i t e-T i m eS y n c h r o n i z a t i o no f M e m r i s t o r-B a s e d N e u r a lN e t w o r k sw i t hM i x e dD e l a y s[J].N e u r o c o m p u t i n g,2017,235(16):83-89.[2] S HA O K Y,X U Z H,WA N G T T.R o b u s tF i n i t e-T i m eS l i d i n g M o d eS y n c h r o n i z a t i o no fF r a c t i o n a l-O r d e rH y p e r-C h a o t i cS y s t e m sB a s e do nA d a p t i v eN e u r a lN e t w o r ka n dD i s t u r b a n c e sO b s e r v e r[J].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a lo fD y n a m i c s a n dC o n t r o l,2021,27(9):541-549.[3] Z HA N G MJ,Z A N G H Y,B A IL Y.A N e w P r e d e f i n e d-T i m eS l i d i n g M o d eC o n t r o l S c h e m e f o rS y n c h r o n i z i n gC h a o t i cS y s t e m s[J].C h a o s,S o l i t o n s a n dF r a c t a l s,2022,164(11):2745-2754.[4] X U G W,Z HA OSD,C H E 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n a l-O r d e rC h a o t i cS y s t e m s[J].J o u r n a l o f J i l i n U n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2022,60(5):1183-1188.)[11]毛北行,王东晓.不确定分数阶R u c k l i d g e系统自适应滑模同步[J].南开大学学报(自然科学版),2020,53(6):59-64.(MA O B X,WA N G D X.S e l f-a d a p t i v eS l i d i n g M o d eS y n c h r o n i z a t i o no f U n c e r t a i n F r a c t i o n a l-O r d e r R u c k l i d g eS y s t e m s[J].A c t aS c i e n t i a r u m N a t u r a l i u m U n i v e r s i t a t i sN a n k a i e n s i s,2020,53(6):59-64.) 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分数阶傅里叶变换信号去噪 matlab
分数阶傅里叶变换（FrFT）信号去噪是数字信号处理领域的一个重要研究方向，而Matlab作为一个功能强大的数学计算软件，提供了丰富的工具和函数来进行分数阶傅里叶变换信号去噪的实现。
在本文中，我将结合分数阶傅里叶变换去噪的原理和Matlab的相关工具，介绍分数阶傅里叶变换信号去噪的方法和步骤。
1. 分数阶傅里叶变换（FrFT）的原理分数阶傅里叶变换是传统傅里叶变换的一种推广形式，它引入了一个分数阶参数α，可以更灵活地描述信号的频率特性。
分数阶傅里叶变换的表达式为：其中，t为时间变量，f(t)为信号，Fα{f(t)}为信号f(t)的分数阶傅里叶变换。
2. 分数阶傅里叶变换信号去噪的原理分数阶傅里叶变换信号去噪的原理是利用分数阶傅里叶变换对信号进行变换，通过滤波或者其他处理方法去除信号中的噪声成分，从而得到清晰的信号。
相对于传统的傅里叶变换去噪方法，分数阶傅里叶变换方法可以更好地保留信号的特征和细节。
3. 分数阶傅里叶变换信号去噪的步骤分数阶傅里叶变换信号去噪的步骤主要包括以下几个步骤：（1）读取信号数据：首先需要从外部文件或者其他数据源中读取原始信号的数据。
（2）分数阶傅里叶变换：利用Matlab提供的分数阶傅里叶变换函数对原始信号进行变换，得到信号的频域表示。
（3）噪声分析：对频域表示的信号进行噪声分析，确定噪声的特性和成分。
（4）滤波处理：根据噪声的特性和成分，设计合适的滤波器对信号进行滤波处理，去除噪声成分。
（5）逆变换：将滤波处理后的信号进行逆变换，得到去噪后的信号。
（6）结果分析：对去噪后的信号进行分析，评估去噪效果，并可以进行进一步的处理和分析。
4. Matlab实现分数阶傅里叶变换信号去噪的例子以下是一个简单的Matlab代码示例，演示了如何使用Matlab实现分数阶傅里叶变换信号去噪：```matlab1. 读取信号数据data = load('signal_data.txt');2. 分数阶傅里叶变换alpha = 0.8;frft_data = frft(data, alpha);3. 噪声分析这里需要根据具体的信号和噪声特性进行分析4. 滤波处理这里可以根据噪声特性设计合适的滤波器对frft_data进行滤波处理5. 逆变换denoised_data = ifrft(frft_data, alpha);6. 结果分析这里可以对原始信号和去噪后的信号进行比较分析这只是一个简单的示例，实际的信号去噪过程可能会更加复杂和深入，需要根据具体的情况进行调整和完善。
Buck变换器的分数阶仿真模型与混沌分析
Buck变换器的分数阶仿真模型与混沌分析孙会明;陈薇;孙龙杰;黄云龙【摘要】According to the fact that inductance and capacitance is essentially fractional order,in combination with fraction⁃al calculus theory and improved Oustaloup fractional calculus filter approximation algorithm,the fractional⁃order mathematical simulation model and the corresponding circuit simulation model of Buck converter controlled by voltage and worked in continu⁃ous current mode were established in MATLAB/Simulink. the correctness of the models was verified by simulation. The chaotic behavior of Buck converter,which few people select reference voltage and scaling factor as chaos control variable,is studies on the basis of fractional mathematical simulation model. Two VI chaotic phase diagrams of Buck converter taking reference voltage and scaling factor as control variable were obtained. This model can analysis seven cases that all variables may lead to chaotic behavior of voltage⁃controlled Buck converter. Meanwhile the impact of the order of Buck converter on dynamic response is also analyzed in this paper. The establishment method of this model is applied to the fractional model establishment of other DC / DC converters.%基于电感和电容本质上是分数阶的事实，基于分数阶微积分理论结合改进的Oustaloup分数阶微积分滤波器近似算法，在Matlab/Simulink下建立了电流连续模式下的电压控制型Buck变换器的分数阶数学仿真模型和对应的电路仿真模型，通过仿真验证了该模型的正确性。
matlab符号分数
matlab符号分数
在MATLAB中，我们可以使用符号对象来表示分数。
符号对象允许我们进行精确的符号计算，而不是使用浮点数进行近似计算。
要表示分数，我们可以使用符号对象的符号分数函数。
例如，要表示分数1/3，我们可以使用以下代码：
matlab.
syms x.
frac = sym(1)/sym(3);
这将创建一个符号对象frac，其中包含分数1/3。
我们还可以进行各种算术运算，比较和简化符号分数。
例如，我们可以将两个符号分数相加：
matlab.
frac1 = sym(1)/sym(3);
frac2 = sym(1)/sym(6);
sum_frac = frac1 + frac2;
在这个例子中，sum_frac将包含这两个分数的和。
我们还可以
使用simplify函数来简化符号分数：
matlab.
simplified_frac = simplify(sum_frac);
这将简化sum_frac中的分数，如果可能的话。
另外，我们还可
以将符号分数转换为浮点数进行近似计算：
matlab.
approx_value = double(sum_frac);
这将把sum_frac转换为一个浮点数，存储在approx_value中。
总的来说，在MATLAB中，我们可以使用符号对象和相关函数来表示、操作和简化符号分数，从而进行精确的符号计算。
matlab的frft()用法
Matlab的frft()用法一、frft()函数概述在Matlab中，frft()是一种用于进行分数阶傅里叶变换的函数。
分数阶傅里叶变换是傅里叶变换的一种推广，它在信号处理、图像处理和通信等领域都有着广泛的应用。
frft()函数可以对实部和虚部分别输入进行分数阶傅里叶变换，并返回对应的变换结果。
在本文中，我们将详细介绍frft()函数的用法，包括函数的输入参数、输出结果以及一些实际应用示例。
二、frft()函数的输入参数frft()函数的输入参数包括待变换的信号、变换角度以及变换类型。
具体而言，函数的输入参数如下所示：1. 待变换的信号：可以是实部和虚部分别输入的信号，也可以是一个复数信号。
2. 变换角度：表示进行分数阶傅里叶变换的角度，通常为一个实数。
3. 变换类型：用于指定傅里叶变换的类型，可以是正向变换（对信号进行分数阶傅里叶变换）或者逆向变换（对信号进行逆分数阶傅里叶变换）。
三、frft()函数的输出结果frft()函数的输出结果是经过分数阶傅里叶变换后得到的信号。
输出结果的格式与输入信号的格式相同，可能是一个实部和虚部分别的信号或者一个复数信号。
在实际应用中，输出结果可以用于进一步的信号处理、频谱分析或者信号重构等操作。
四、frft()函数的使用示例下面我们将通过一些具体的示例来展示frft()函数的使用方法。
假设我们有一个输入信号x，并且我们想对其进行分数阶傅里叶变换，变换角度为alpha。
我们可以按照以下步骤来实现：```matlab定义输入信号x = randn(1, 100);指定变换角度alpha = 1.5;进行分数阶傅里叶变换y = frft(x, alpha, 1);```在这个示例中，我们首先定义了一个长度为100的随机信号x，然后指定了变换角度alpha为1.5，最后调用frft()函数进行分数阶傅里叶变换。
最后得到的结果y就是变换后的信号。
类似的，我们也可以通过调用frft()函数进行逆分数阶傅里叶变换，如下所示：```matlab进行逆分数阶傅里叶变换x_recon = frft(y, -alpha, -1);```在这个示例中，我们将变换角度取为-alpha，并且指定变换类型为-1，即进行逆分数阶傅里叶变换。
分数阶时滞忆阻混沌电路的动力学分析及电路仿真
2］区间变化，见图 4。从分岔图可以很明显地看出
和 C1 = 1.232μFC 2 = 1.835μFC 3 = 1.10μF 。 运 算
时，出现 Hopf 分叉，最后随着 a 的增加变为混沌状
供 ±15 的 电 压 和 R = 11.24kΩ ，整 体 电 路 图 如 图 6
系统（2）的轨道从周期状态开始，然后当经过阈值
数阶忆阻器 ，将其替换图 1 中的电容得到分数阶磁
控忆阻器，数学表达式为
ì dx q 2
ï
= 1 q x1
dt
R 0C 0
ï
（1）
í
æ1
g1 g 2
2ö
ï
1
ï f ( x1 x 2 ) = ç R - R + R [ x 2] ÷ x1
2
è 1
ø
î
其中 x1、x2 和 （
f x1，x2）分别是忆阻器的输入、内部状
态。各状态的相位图和时域图如图 3 所示。当
（a）a = 1.62
放 大 器 和 乘 法 器 采 用 AD711KN 和 AD633JN ，提
（c）所示。
（b）a = 1.68
（d）a = 1.62
（e）a = 1.73
图5
相位图与时域图
（c） a = 1.73
统进入混沌状态，如图 5（b）和（e）所示。当 a = 1.73
时，系统展现出双涡旋的混沌吸引子，如图 5（c）和
（f）所示。
出一个引理来讨论式（3）的根的分布。
引理 1 对于式（3），以下结果成立：
1）如 果 ψ k > 0(k = 1234) 且 A 3 + A 4 ¹ 0 ，则
方程（3）在时滞 τ ³ 0 时没有实部为零的根。