用Matlab观察分岔与混沌现象
matlab 混沌 分叉 程序
一、概述Matlab是一种用于数学计算、数据分析和图形可视化的高级编程语言和工具，混沌理论是一种描述动态系统非线性行为的数学理论，而混沌分叉是混沌系统中特有的一种现象。
编写Matlab程序对混沌分叉进行研究即是将这两种领域结合起来，本文将介绍如何使用Matlab 编写混沌分叉程序。
二、混沌分叉理论简介混沌分叉理论是描述混沌系统行为的一个重要方面，其基本原理可简要描述如下：1. 系统的参数变化：在混沌系统中，当改变系统的某些参数时，系统的行为会发生变化，这种变化可能是渐变的，也可能是突然的。
2. 分岔现象：当系统的参数发生变化时，系统的稳定点可能会出现分叉现象，即稳定点从一个点分裂成多个点，这种分叉现象是混沌系统中一个显著的特征。
3. 分形结构：在混沌分叉中，分岔现象可能形成分形结构，这种结构在混沌系统中具有重要的理论和实际意义。
三、Matlab基础知识使用Matlab编写混沌分叉程序需要具备一定的Matlab基础知识，包括但不限于以下内容：1. Matlab基本语法：了解Matlab的基本语法规则，包括变量定义、数组操作、逻辑运算等。
2. Matlab图形绘制：掌握Matlab绘制图形的基本方法，包括绘制曲线、散点图等。
3. Matlab函数编写：了解如何在Matlab中编写自定义函数，并且能够熟练运用函数调用和参数传递。
四、混沌分叉程序的编写编写混沌分叉程序的基本步骤如下：1. 设定系统参数：首先需要定义混沌系统的参数，包括系统的微分方程、初始条件以及需要变化的参数。
2. 编写微分方程：根据所研究的具体混沌系统，编写系统的微分方程，通常为非线性微分方程。
3. 参数变化循环：对系统的某些参数进行变化，并且循环计算系统的轨迹，观察混沌分叉现象。
4. 图形绘制：绘制分叉图、分岔图等用于展示混沌分叉现象的图形。
五、程序示例下面为一个简单的混沌分叉程序示例，以具体的混沌系统为 Logistic映射为例，程序演示了 Logistic 映射参数 r 变化时轨迹的分叉现象。
matlab混沌，分形
matlab混沌，分形对于函数f(x)=λsin(πx)，λ∈(0,1]，使⽤matlab计算随着λ逐渐增⼤，迭代x=f(x)的值，代码如下：function y=diedai(f,a,x1)N=32;y=zeros(N,1);for i=1:1e4x2=f(a,x1);x1=x2;y(mod(i,N)+1)=x2;endend%f=@(a,x)a*x*(1-x);f=@(a,x)a*sin(pi*x);%x0=0.1;hold on;for x0=-1:0.05:1for a=0:0.01:1y=diedai(f,a,x0);for count=1:32plot(a,y(count),'k.');hold on;endendend得到的图像如下：其中横轴为λ，纵轴为x可以看到随着λ的逐渐增⼤，出现了倍周期分叉的情况。
由图中可以看出第⼀个分叉值⼤约在0.3附近，第⼆个在0.73到0.75之间，第三个在0.8到0.85之间，混沌⼤约出现在0.86附近。
接下来编写代码计算分叉值，代码如下：format long;x0=0.1;for a=0.3182:0.0000001:0.3183y=diedai(f,a,x0);if max(y)>0.001disp(a);break;endend得到第⼀个分叉值⼤约为0.3182298format long;x0=0.1;for a=0.7199:0.000001:0.72y=diedai(f,a,x0);if max(y)-min(y)>0.001disp(a);break;endend得到第⼆个分叉值⼤约为0.719911format long;x0=0.1;for a=0.8332:0.000001:0.8333y=diedai(f,a,x0);if abs(y(32)-y(30))>0.001disp(a);break;endend得到第三个分叉值⼤约为0.833267利⽤Feigenbaum常数估计第三个分叉值，得到0.805939分形图周常青画mandelbrot分形图，主要使⽤了三个函数：iter=mandelbrot1(x0,y0,maxIter)，⽤来计算迭代后是否收敛，⽅程z=z2+z0。
基于Matlab的Rossler混沌研究
二、倍周期分岔
x y z y x a * y z b z *( x c)
• 下面将以Rossler 系统在时间 t=0:300;初值 (0.1,0.2,0.3）， 参数a=0.2， b=0.2, 改变c大 小来展示其倍周 期分岔特性。
Rossler倍周期分岔进入混沌
物理与工程学院2012届应物专业论文答辩
基于MATLAB的罗斯勒系统的混沌特性 研究
专 业： 应用物理学 班 级： 应物082 答 辩 人： 崔晓鹏
混沌的发现
混沌 混沌的特性 主 要 内 容
初值敏感性
Rossler系 统
倍周期分岔 功率谱分析
混沌的发现
混沌是国内外学术界对非 线性系统研究领域研究非常活 跃的前沿课题。在1963年美国 著名的气象学家洛伦兹在分析 气候数据时发现: 初值十分接 近的两条曲线的最终结果会相 差很大。这是混沌吸引子的第 一个例子，从此拉开了混沌研 究的帷幕。
x y z y x a * y z b z *( x c)
c=5.7 Rossler单周期运行图，t=6
c=5.7 Rossler双周期运行图,t=12
c=5.7 Rossler系统动画演示,t继续增大
c=5.7 多周期运行图以至于混沌， t=1000
三、功率谱分析
Rossler方程
x„，y‟和z„表示对自变量对时 间t求导数。(x，y，z)表示 系统的状态。a，b，c，是 系统参数。方程看上去很简 单，除去第三个方程中的二 次项 z*x，则系统是线性的。 但一个著名的事实是，这个 简单系统存在混沌行为。
混沌系统相图
在经典力学中，一个系统的运 动可以用相空间中的轨道来表示， 混沌系统也可以这样描述，我们将 作Rossler系统的x、y、z关系图即 Rossler系统的相图，以更方便地研 究 Rossler 系 统 。 研 究 参 数 a=0.2,b=0.2,c可变。
Matlab实现混沌系统的控制
基于MATLAB 的各类混沌系统的计算机模拟混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。
1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。
为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！“混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。
混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的海洋中。
一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。
一面旗帜在风中飘扬，一片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。
可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为伴。
1.混沌的基本概念1. 混沌: 目前尚无通用的严格的定义, 一般认为,将不是由随机性外因引起的, 而是由确定性方程(内因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。
2. 相空间: 在连续动力系统中, 用一组一阶微分方程描述运动, 以状态变量(或状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。
系统的一个状态用相空间的一个点表示, 通过该点有唯一的一条积分曲线。
3. 混沌运动: 是确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动。
所谓轨道高度不稳定, 是指近邻的轨道随时间的发展会指数地分离。
由于这种不稳定性, 系统的长时间行为会显示出某种混乱性。
4. 分形和分维: 分形是 n 维空间一个点集的一种几何性质, 该点集具有无限精细的结构, 在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质, 具有小于所在空间维数 n 的非整数维数。
基于Matlab的混沌特性分析
基于Matlab的混沌特性分析混沌理论是20世纪60年代提出的一种新的动力学理论，它描述了非线性动力系统中表现出来的复杂、不可预测的行为。
混沌特性分析是利用数学工具和计算机模拟方法来研究混沌系统的行为和性质。
本文将介绍基于Matlab的混沌特性分析方法。
我们需要了解一些混沌系统的基本概念。
混沌系统是指由一组非线性方程描述的动力学系统，它具有以下特点：初值敏感性、确定性、周期倍增、拓扑混沌等。
在Matlab中，我们可以使用ode45函数来求解混沌系统的微分方程。
ode45是一个常用的数值解微分方程的函数，它可以自动选择合适的步长来保证解的准确性。
接下来，我们可以通过绘制混沌系统的相图来观察系统的演化规律。
相图是指在系统的状态空间中表示系统状态随时间变化的图形。
在Matlab中，我们可以使用plot函数来绘制相图。
除了相图，我们还可以使用混沌系统的Poincaré截面来描述系统的性质。
Poincaré截面是指将系统状态变化的轨迹投影到一个特定的平面上，以观察系统状态的聚集情况。
在Matlab中，我们可以使用scatter函数来绘制Poincaré截面。
我们可以通过计算混沌系统的Lyapunov指数来判断系统的混沌程度。
Lyapunov指数是一种用来衡量系统的初值敏感性的指标，它可以反映系统的混沌性质。
在Matlab中，我们可以使用lyapunov函数来计算Lyapunov指数。
基于Matlab的混沌特性分析方法包括求解微分方程、绘制相图、绘制Poincaré截面、绘制分岔图以及计算Lyapunov指数等步骤。
这些方法可以帮助我们进一步了解混沌系统的行为和性质，为混沌系统的应用提供理论依据。
怎么用matlab画分叉图,混沌------分岔图绘制不同方法的总结、比较（转）
怎么⽤matlab画分叉图,混沌------分岔图绘制不同⽅法的总结、⽐较（转）经过近期的研究发现，⽬前对于系统单参数分岔图的计算共有以下的⼏种⽅法：1)最⼤值法即对系统微分⽅程(组)进⾏求解，对求解的结果⽤getmax函数进⾏取点，并绘图。
2)Poincare截⾯法对系统参数的每⼀次取值，绘制其Poincare截⾯，进⽽得到其分岔图。
这种⽅法需要注意的是，⾃治系统的Poincare截⾯是选取⼀超平⾯，平⾯上点的分布即构成⼀Poincare截⾯，⾮⾃治系统的Poincare截⾯则是根据系统激励的频率进⾏取点并绘图。
本帖将以Lorenz系统为例，对这两种⽅法进⾏⽐较⾸先对第⼆种⽅法进⾏阐述。
编程如下(matlab)Lorenz系统：function dy = Lorenz(t,y)% Lorenz系统% 系统微分⽅程：% dx/dt = -a(x-y)% dy/dt = x(r-z)-y% dz/dt = xy-bz% a=y(4)% r=y(5)% b=y(6)dy=zeros(6,1);dy(1)=-y(4)*(y(1)-y(2));dy(2)=y(1)*(y(5)-y(3))-y(2);dy(3)=y(1)*y(2)-y(6)*y(3);dy(4)=0;dy(5)=0;dy(6)=0;随r的分岔图求解程序：——按照x=y平⾯取截⾯function Lorenz_bifur_rZ=[];for r=linspace(1,500,1000);% 舍弃前⾯迭带的结果，⽤后⾯的结果画图[T,Y]=ode45('Lorenz',[0,1],[1;1;1;16;r;4]); [T,Y]=ode45('Lorenz',[0,50],Y(length(Y),:));Y(:,1)=Y(:,2)-Y(:,1);% 对计算结果进⾏判断，如果点满⾜x=y，则取点for k=2:length(Y)f=k-1;if Y(k,1)<0if Y(f,1)>0y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1)); Z=[Z r+abs(y)*i];endelseif Y(f,1)<0y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1)); Z=[Z r+abs(y)*i];endendendendplot(Z,'.','markersize',1)title('Lorenz映射分岔图')xlabel('r'),ylabel('|y| where x=y')结果如图1所⽰。
基于Matlab的混沌特性分析
基于Matlab的混沌特性分析混沌现象是指那些看似无序但又具有确定性的系统行为。
混沌特性分析是指对混沌系统进行一系列统计和数学分析的方法，以揭示其内在的规律和动力学特性。
Matlab是一种强大的数值计算软件，具有丰富的功能和工具箱，适于进行混沌特性分析。
下面将介绍基于Matlab的混沌特性分析的一些常用方法。
Matlab可以用来绘制混沌系统的相图和轨迹图。
通过绘制相图，可以观察到混沌系统的轨迹在相空间中的分布和演化规律，从而揭示出系统的吸引子和稳定周期等特性。
可以使用Matlab中的plot函数来绘制相图和轨迹图。
Matlab可以用来计算混沌系统的Lyapunov指数。
Lyapunov指数是衡量系统对初始条件的敏感程度的指标，它可以用来判断系统是否具有混沌特性。
通过计算系统在相空间中相邻轨道的分离率，可以得到Lyapunov指数的估计值。
在Matlab中，可以使用内置的函数lyapunov来计算Lyapunov指数。
Matlab还可以用来分析混沌系统的频谱特性。
混沌系统的频谱通常具有分形结构，即呈现出分形维度的特征。
通过计算系统的功率谱密度和分形维度，可以揭示混沌系统的频谱特性。
可以使用Matlab中的fft函数来计算功率谱密度，并使用fractal函数来计算分形维度。
Matlab还可以用来分析混沌系统的分岔图和吸引子。
分岔图是研究混沌系统的参数变化对系统行为的影响的重要工具，它可以帮助我们了解系统从周期运动向混沌运动转变的过程。
吸引子是描述混沌系统在相空间中的吸引轨道的几何形状，通过分析吸引子的分维和奇异性等特性，可以揭示混沌系统内在的规律。
可以使用Matlab中的bifurcation函数来绘制分岔图，并使用attractor函数来绘制吸引子。
基于Matlab的混沌特性分析可以帮助我们揭示混沌系统的规律和动力学特性。
通过绘制相图和轨迹图、计算Lyapunov指数、分析频谱特性、绘制分岔图和吸引子等，可以全面而深入地了解混沌系统的行为。
MATLAB 函数的迭代、混沌与分形
取其它的初值做试验
初值 -40000 -500 -20 0 4 4.9 5 5.1 6 20 100 1000 收敛性 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于5 得到收敛点的迭代次数 16 16 16 17 17 19 0 19 17 12 14 14
2
实验四
函数的迭代、 函数的迭代、混沌与分形
1、 定义 、 给定某个初值， 给定某个初值，反复作用以同一个函数的 过程称为迭代 ，一般形式为
x0 , x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ),⋯, xn = f (xn−1 ),⋯
它生成了一个序列{ 它生成了一个序列 xn }，称为迭代序列． ，称为迭代序列．
f (x) = αx(1− x) (0 ≤ x ≤1)
12
6.人口增长的 人口增长的Logistic模型 人口增长的 模型
xn+1 =αxn (1− xn )
f (x) = αx(1− x) (0 ≤ x ≤1)
称为Logistic映射 映射 称为
13
7. Feigenbaum图 图 对于Logistic 映射，取a=2.5，我们通过离 映射， 对于 ， 散图形观察迭代的收敛情况。 散图形观察迭代的收敛情况。
4
3.分式线性函数的迭代 分式线性函数的迭代
25x −85 例： f (x) = x +3
先取初值x 先取初值 0=5.5
f=inline('(25*x-85)/(x+3)');%先定义函数 先定义函数 x0=5.5; for i=1:1:20 x0=f(x0); fprintf('%g,%g\n',i,x0); end
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M a t l a b 实验报告 实验目的：用Matlab 观察分岔与混沌现象。
题目：Feigenbaum 曾对超越函数sin()y x λπ=（λ为非负实数）进行了分岔与混沌的研究，试利用迭代格式1sin()k k x x λπ+=，做出相应的Feigenbaum 图
算法设计：
1、因为λ为非负实数，所以试将λ的范围限制在[0,3]，制图时x 的坐标限制在[0,3]，考虑到y 的值有正有负，所以把y 的坐标限制在
[-3,3]。
2、根据课本上给的例题，编写程序代码来绘图。
程序代码：
clear;clf;
hold on
axis([0,3,-3,3]);
grid
for a=0:0.005:3
x=[0.1];
for i=2:150
x(i)=a*sin(pi*x(i-1));
end
pause(0.1)
for i=101:150
plot(a,x(i),'k.');
end
end
图像：
结果分析：在λ取值在[0,0.3]区间内时，y 的值保持在0，然后开始上升，在λ取值在0.75附近时，开始分岔为两支。
从整体上看，随着λ的值越来越大，所产生的迭代序列越来越复杂，可能会随机地落在区间（-3,3）的任一子区间内。
并可能重复，这就是混沌的遍历性。
进一步分析：由于λ的取值空间偏小，考虑扩大其取值范围
到[0,6]，再进一步观察图像。
程序代码如下：
clear;clf;
hold on
axis([0,6,-6,6]);
grid
for a=0:0.05:6
x=[0.1];
for i=2:150
x(i)=a*sin(pi*x(i-1));
end
pause(0.1)
for i=101:150
plot(a,x(i),'k.');
end
end
图像：
分析：由图像可见，随着 取值范围的增大，图像呈现出周期性的特点。
总结：1、当取值范围比较小，不足以发现图像规律时，可以考虑扩大变量的取值范围。
2、由于图像是由大量点构成的，所以在编程的时候注意循环
语句的应用。