周期分岔与混沌现象
单摆混沌现象研究 ——寻找周期解与混沌解
三、寻找周期解
可以发现，单摆的相图随驱动力大小的变 化是非常复杂的。我们在上述几个区间内 寻找出
用matlab的循环语句可以较方便的找出一 个区间的相图。
此图为A=1.025是的相图。这张图的t值已经取得 很大，但可以清楚的看到轨迹收敛到一个很狭窄 的区域。 下面为了寻找周期分叉，我以0.001为单位绘图。
第一张A=1.35是一个； 第二张A=1.45有两个； 第三张A=1.47有四个。 相图虽然没有了极限环，但是行为却有了
周期性。
往后的相图又出现了收敛的极限环，以及更 复杂的混沌解。
四、往后的情况
再画出A>2.0的情况来探讨其规律性
单摆相图变化的规律大概就是：
极限 环
下面来探讨出现周期分岔和混沌的Â的取值。
二、数值方.5解微分方程并用其自 带的绘图程序绘制的相图
（1）无阻尼无驱动情形：
（2）有阻尼无驱动情形：
（3）有阻尼有驱动情形
随着Â的取值变化下面画出相图，每个相 图相差0.02.
(1)A=[0.5,1.0] A<mg 是的相图都收敛在一个规则的极限环
有阻尼无驱动情形 有阻尼有驱动情形
对下面的非线性微分方程进行一些化 减
Q称作质量因子
初值条件为： 并取：
当Â从0.5到2.0变化时，单摆的相图也会相 应地发生一系列变化。
开始的一段暂态过程过去后，周期运动的 相轨会趋于闭合曲线，即极限环。中间将 会出现一些分岔周期解。
后来随着Â的增大，会出现混沌运动的相轨。
就着样一直画下去，逐个图检查直到图形 非常“混乱”，也就是混沌了也没有找见 二倍以上的周期解。
1.1492往后出现的有界相图变成形状奇 特的曲线。这些就是奇异吸引子。
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验讲解
3.把实验仪右上角内的电源九芯插头插入实验仪面板上对应的九芯插座上,注意插头
插座的方向应一致。然后插上电源,按实验仪面板右边的钮子开关,对应的±15V
16mH L
指示灯点亮。
4.调节W1粗调电位器和W2细调电位器,改变(RV1+RV2 C移向器中电阻的阻值,观测相图周期的变化,观测倍周期分岔,阵发混沌,三倍周期,吸引子(混沌和双吸引子(混沌现象,及相应的扫描波形。
图2逻辑斯蒂映射的分岔图:k从2.8增大到4。
从图中可看出周期倍增导致混沌。混沌区突然又出现周期3, 5, 7„奇数及其倍周期6, 10, 14„的循环,混沌产生有序,或秩序从混沌中来。
其实以上的这些特性适用于任何一个只有单峰的单位区间上的迭代,不是个别例子特有的,具有一定的普适性。从而揭示了混沌现象涉及的领域比较广泛。混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象它也是非线性系统中所特有的一种复杂状态。混沌是指确定论系统(给系统建立确定论的动力学方程组中的内在不确定行为。混沌现象对初值极为敏感使非线性系统的长期行为具有不可预测性。
混沌控制的目标有两种:一种是对混沌吸引子内存在的不稳定的周期轨道进行有效的稳定控制,根据人们的意愿逐一控制所需的周期轨道。这一类控制的特点是并不改变系统中原有的周期轨道。另一种控制目标则不要求必须稳定控制原系统中的周期轨道,而只要通过可能的策略,方法及途径,达到有效控制,得到我们所需的周期轨道即可,或抑制掉混沌行为,即通过对系统的控制获得人们所需的新的动力学行为,包括各种周期态及其它图样等。混沌的应用主要有以下两种:①研究确定论的非线性系统中的混沌现象,并应用混沌控制法消除或抑制这种混沌不稳定现象。②混沌现象的直接应用。
混沌与分岔
BITLeabharlann PEMC分岔的概念
? 分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学
系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。
? 分岔现象是非线性问题中所特有现象，失稳是其发生的前提。 分岔之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是突 变。然后经过不断地分岔，最后达到的终态即混沌。由此可 见分岔在许多非线性现象中起着桥梁作用。
PEMC
4. 分形性
混沌的特点
? 分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特 (B.B.Mandelbrot)在 70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
? 所谓分形是指 n维空间一个点集的一种几何性质，它们具 有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体 相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数，这种点 集叫分形体。
? 湍流、三体问题、蝴蝶效应、昆虫繁衍
BIT
PEMC
混沌现象举例--蝴蝶效应
? 1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述 气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准 确进行长期天气预报的可能性。
? 有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从 上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算 的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果， 甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另 一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！后来洛伦兹发现两次计算的差 别只是第二次输入中间数据时将原来的 0.506127省略为 0.506。洛伦兹意 识到，因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程 对初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条 件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出 长期天气预报是不可能的。
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==混沌通讯实验报告篇一：近代物理实验混沌通信----实验报告近代物理实验——混沌电路及其在加密通信中的应用预习报告：随着计算机的普及和信息网络技术的发展，数据通信的安全性问题引起了普遍的关注。
混沌信号所具有的对初始条件的敏感性、非周期性、似随机性和连续的宽带能谱等待点，非常有利于在加密通信系统中应用。
本实验利用蔡氏电路产生混沌信号，并利用混沌信号进行加密通信实验。
此外，还可以利用计算机和网络进行基于一维时空混沌的语音加密通信实验。
蔡氏电路虽然简单，但具有丰富而复杂的混沌动力学特性，而且它的理论分析、数值模拟和实验演示三者能很好地符合，因此受到人们广泛深入的研究。
自从1990年Pecora和Carroll首次提出混沌同步的概念，研究混沌系统的完全同步以及广义同步、相同步、部分同步等问题成为混沌领域中非常活跃的课题，利用混沌同步进行加密通信也成为混沌理论研究的一个大有希望的应用方向。
我们可以对混沌同步进行如下描述：两个混沌动力学系统，如果除了自身随时间的烟花外，还有相互耦合作用，这种作用既可以是单向的，也可以是双向的，当满足一定条件时，在耦合的影响下，这些系统的状态输出就会逐渐趋于相近，进而完全相等，称之为混沌同步。
实现混沌同步的方法很多，本实验介绍利用驱动响应方法实现混沌同步。
实验电路如图1所示。
图1由图中所见，电路由驱动系统、响应系统和单向耦合电路3部分组成。
其中，驱动系统和相应系统两个参数相同的蔡氏电路，单向耦合电路由运算放大器组成的隔离器和耦合电阻构成，实现单向耦合和对耦合强度的控制。
当耦合电阻无穷大（即单向耦合电路断开）时，驱动系统和响应系统为独立的两个蔡氏电路，分别观察电容??1和电容??2上的电压信号组成的相图????1?????2，调节电阻R，使系统处于混沌状态。
混沌现象讲稿
《混沌现象》讲稿（按讲授4学时准备）引言混沌现象是一种普遍存在的复杂的运动形式。
是确定论系统所表现的内在随机行为的总称，其根源在于系统内部的非线性交叉耦合作用，而不在于大量分子的无规则运动。
再者，作以下的界定也是必要的。
即我们所讲的混沌现象是比较广义的，即不仅讨论混沌状态下的运动变化过程，也讨论由有序向混沌演化的特点。
对于以上论断及种种概念后面都要慢慢解释的。
但为了方便学习，要先明确几点。
随机性是概率论的语言，大体就是偶然性、混乱、无规则的意思。
对线性和非线性得多说几句。
线性和非线性的区分粗略地说就是看函数关系或方程的形式。
如x y =就是线性的，2x y =就是非线性的。
以下作个比喻来体会二者的区别。
设x 为人数，y 为完成的作业量数日。
对x y =，设11=x 有11=y ，设22=x 有22=y ；若又设321=+=x x x ，则有321=+=y y y ，即整体等于部分之和。
而对2x y =则不然。
设11=x 有11=y ，设22=x 有42=y ；若又设321=+=x x x ，则9=y ，此时521=+≠y y y 。
即整体大于部分之和。
可以这样理解：人与人之间相互作用，相互影响的存在是必然的，三个以上的人之间就会出现所谓的非线性交叉耦合作用。
此外，对混沌的理解也和该词的原有语意“一片混乱”不同，从物理角度讲，混沌的内涵要丰富得多。
长期以来，人们对牛顿力学对运动的描述具有确定性这一点深信不疑。
因为用牛顿定律解题，结果总是确定的。
所以，人们认为只要初始条件确定，系统未来的运动状态也就完全确定了下来，初始条件的细微变化对运动不会产生本质的影响，而只能使运动状态产生微小的变化。
也就是说，用牛顿力学描述的运动都是规则的，系统的行为都是确定的。
但事情远非如此简单。
早在100年前，法国著名数学家、物理学家庞加莱在研究三体(两颗行星、一颗卫星)问题时发现牛顿力学的确定论的确存在问题。
卫星轨道是不确定的！毫无疑问，这是对牛顿力学确定论思想最初的质疑。
实验混沌现象研究
长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。
但是自然界在相当多情况下，非线性现象却起着很大的作用。
1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。
于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首次出现在科学文献中。
从此，非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。
该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。
混沌通常相应于不规则或非周期性，这是由非线性系统本质产生的。
本实验将引导学生自己建立一个非线性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC振荡器和RC移相器三部分；采用物理实验方法研究LC振荡器产生的正弦波与经过RC移相器移相的正弦波合成的相图（李萨如图），观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路的电流—电压特性，从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解；学会自己制作和测量一个实用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。
【实验原理】1、非线性电路与非线性动力学实验电路如图30-1所示，图30-1中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性负阻器件。
电感器L和电容器C2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R0和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
本实验所用的非线性元件R是一个五段分段线性元件。
图30-2所示的是该电阻的伏安特性曲线，可以看出加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图30-1电路的非线性动力学方程为：C1dtdUC1=G(UC2-U C1)-gU C1C2dtdUC2=G(U C1-U C2)+i L （30-1）LdtdiL=-U C2式中，U C1、U C2是C1、、C2上的电压，ｉL是电感L上的电流，G=1/R0是电导，在图5中，ｇ为U的函数，如果R是线性的，g是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数，电阻R0的作用是调节C1和、C2的位相差，把C1和C2两端的电压分别输入到示波器的x，y轴，则显示的图形是椭圆。
分岔、拟周期与混沌现象
第七章
分歧、拟周期与混沌现象 南京理工大学自动化学院sunjh
第七章
7.1 7.2 7.3 7.4
分歧、拟周期与混沌现象
引言 非线性电路的分歧 非线性电路中的拟周期现象 非线性电路方程中的混沌现象
2006-2007年于南京
现 代 电 路 理 论
7.1 引言 南京理工大学自动化学院sunjh
7.2 非线性电路的分歧 南京理工大学自动化学院sunjh
2006-2007年于南京
现 代 电 路 理 论 2、过临界分歧
7.2 非线性电路的分歧 南京理工大学自动化学院sunjh
2006-2007年于南京
现 代 电 路 理 论 3、叉形分歧
7.2 非线性电路的分歧 南京理工大学自动化学院sunjh
混沌现象
非线性电路中的平衡点、周期解、拟周期的共同特征：
1、完全确定性； 2、解对初值的不敏感； 3、对周期解和拟周期解，频谱是离散的； 4、对于周期激励的电路，无论解是周期振荡或是拟周期 振荡，当选取激励信号的周期作等间隔横截其响应时，周 期信号在横截面表现为一个点，或m个点，一个点称周期1， m个点称周期m；拟周期则是一个无限填充的封面椭圆。这 种截面称为庞卡莱截面。
1 RC 1 RC 1 RC
( 2 u1 u 2 u 0 )
u1 2 u 2
( u2 u3 )
u3
(7 5)
令
d u1 d du2 d du3 d
3 2 u1 u 2 k u 3 m u 3 u1 2 u 2 u 3 u2 u3
7.2 非线性电路的分歧 南京理工大学自动化学院sunjh
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plot(a,b,'r:*') hold on
end for i=11:60
x=u*(x-x^ 2);
plot(i,x,'r:*') hold on
end end
for j=1:2 x=input('输入初值=')
u=3.8 for i=1:60;
x=u*(x-x.^2); a=[i,i+1]; b(1,1)=x; x2=u*(x-x.^2); b(1,2)=x2;
switch j case(1)
plot(a,b,'r:.') case(2) plot(a,b,'b:.')
end hold on end end
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
10
20
30
40
50
60
70
费根鲍姆常数
利用分岔点的u值，计 算相邻分岔点的间距 之比，所得的极限值 叫做费根鲍姆常数，
这是一个普适常数，所 有系统通过倍周期分 岔进入混沌时，都会 遵循这个规律。
F
lim n n1 n n1 n
两个做费根保姆图的程序
u=2.6:0.001:4; x=0.6; for j=1:150,
x=u.*(x-x.^2); end for i=1:100
x=u.*(x-x.^2); plot(u,x,'r.') hold on; end
不保留旧的x值，而是 直接用它作图，能节 省内存
u=2.6:0.001:4; X=ones(250,1401); X(1,:)=0.6*X(1,:); for j=1:250,
数 预测次年的昆虫
数目 其数学表达式
为
初值相同，增殖系数不同时的结果
改变初值的情况
费根保姆图
为了研究增殖系数对分叉现象的影响，可以取相同的初值对所有的增殖系数进 行计算。
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
费根保姆图作图思路
方法是给定x的初值，对不同的u值计算新的x，共循环250次，循环计算150 次后开始画图。计算所得的x值是矩阵，行标对应循环次数，列标对应u值。 使用矢量化编程以后，对所有的u值同时计算一次新的x值，得到矩阵x中的一 列元素。所得图形即为费根鲍曼图。
X(j+1,:)=u.*(X(j,:)-X (j,:).^2); End plot(u,X(150:end,:),'r.')
保留所有的X值，每次计 算的X值生成矩阵的一行 元素，最后作图，程序可
初值的影响
混沌现象有个特点，就是初值的微小变化将引起结果的完全不同，它说明混沌现 象的不可预测性。
4.669201661
李雅普诺夫指数
对于稳定的周期n，有李雅普诺夫指数小于0，对于倍周期分岔点李雅普诺夫指数 等于0，混沌状态李雅普诺夫指数大于0，所以李雅普诺夫指数由负变正表明 运动向混沌转变。
x=0.7; for j=1:4
subplot(2,2,j) u=input('输入增殖 系数系数u=') for i=1:10
周期分岔与混沌现象
主要内容
又称logistic回归分析，主要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，根据危险因素预测某疾病发生的概率， 等等。例如，想探讨胃癌发生的危险因素，可以选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群肯定有不同的体征和生活方式等。这 里的因变量就是是否胃癌，即“是”或“否”，为两分类变量，自变量就可以包括很多了，例如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自变量既
可以是连续的，也可以是分类的。通过logistic回归分析，就可以大致了解到底哪些因素是胃癌的危险因素。
Logistic模型简介：Lo
gistic模型是一个描 述自然界生物种群中 昆虫数目变化的数学
xn1 (xn xn2 )
模型，它由上一年的 昆虫数目 及增殖系
(0 4,0 x 1)