第6章 混沌与分岔
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
分岔与混沌
化会引起特征值的变化，当控制参数达到分
岔参数值时，系统稳定性发生质的变化，它
可以表现为 ( ) 在复平面的运动。由此也可以
定义三种分岔类型:
2022/1/10
机械系统与振动国家重点实验室
9
叉型分岔
霍普分岔
特征值 为
实数，沿复
平面的实轴由
负变正穿过虚
轴。
平衡点
x 0 和 x＝ ,
x 0,
而对应特征值则为
0
0
x2
对于图3，当 c时，平衡态的一个分支是稳定的；然而当 c时，这
一支就变得不稳定了；一旦当 c 有新的平衡分支解 x 又变成稳
定的了，这种情况被称为超临界分岔。反过来，若新的平衡分支解x
2022/1/10
机械系统与振动国家重点实验室
22
庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法
考虑微分方程
x=f（x），x∈Rn
（1）
设f（x）足够光滑，且f（0）=0。
现在研究对于某个给定正整数r≥2，通过坐标的多项式变换，
使得在f的泰勒展开式中直到r次的项都有比较简单的形式。
庞加莱伯克霍夫范式定理 设f（x）是Cr向量场（r≥2），f
23
庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法
需要注意：
1.对于给定的r来说，r阶PB范式的取法一般不是唯一的。
2.在平衡点附近，截断规范形系统与原来的系统的拓扑结
构往往有密切的关系，但并不一定相同。一般来说，对于
给定的r，r阶PB范式到底能在多大程度上反映原系统的定
性性态仍然是一个未完全解决的问题。
3.尽管如此，在大量研究中发现，阶数不太高的PB范式通
非线性动力学中的混沌与分岔现象研究
非线性动力学中的混沌与分岔现象研究在物理学和自然科学领域里，非线性动力学是一个十分重要的研究领域。
非线性动力学理论的出现使得我们对自然界中不规则的复杂现象有了更深的认识。
混沌和分岔现象的出现是非线性动力学的一个重要研究方向。
在本文中，我们将讨论非线性动力学中混沌和分岔现象的基本概念和研究现状。
一、混沌现象混沌现象是一种表现为无规律、无周期、既不平凡又不完全随机的复杂动力学现象。
混沌出现的背景通常是一组非线性微分方程，因此它的发生与目标系统的非线性特性有关。
混沌作为物理学发现的一个新现象，引起了科学家们的广泛关注。
通常情况下，混沌现象是由一组微小的变化引起的，因此混沌现象也被称为蝴蝶效应。
经典的三体问题就是一个混沌的例子。
对于混沌现象，其最主要的特征是对初始条件的依赖，也就是所谓的敏感依赖性。
这意味着如果我们的实验或者计算开始时的初值稍有 variations，结果可能会相差很大。
在混沌理论中，不同的初始条件可以导致截然不同的运动的形态，这种敏感依赖性表现得深入人心，深刻地提示我们要了解物理世界中的微小变化是多么的重要。
此外，混沌现象还表现在期望不规律性上，也就是说，目标系统的演化不能用周期性或规则性过程去描述。
混沌经常被认为是对确定性的“不确定性”的表现。
混沌现象的研究可以将我们的认识推向新的领域，对于深入理解天文学、流体物理、生物学等领域都有重要的意义。
二、分岔现象分岔现象通常被认为是从一个稳定平衡状态到另一个稳定平衡状态过程中的一个突变性变化。
发生分岔的原因通常是由非线性动力学系统结构的变化所引起的。
分岔现象是非线性动力学系统中的一种普遍现象，在分岔研究领域有着极为重要的地位。
分岔的一个重要性质是其可以导致同样初始条件下发生系统演化的不同结果，与混沌现象类似。
分岔现象最早的研究源自于对恒星爆发的研究，目前这项研究产生的成果对于预测和防范太阳风暴等等事件都有很重要的意义。
此外，分岔现象在复杂系统和混沌理论中也有广泛的应用，是现代科学研究的一个重要组成部分。
数学中的混沌动力系统与分岔理论
在数学领域中，混沌动力系统与分岔理论是两个重要而引人注目的主题。
混沌动力系统是指那些对初始条件极其敏感，呈现出难以预测和复杂演化的系统。
分岔理论则是研究系统从一个稳定状态突变为多个稳定状态的过程。
这两个理论在许多领域都有广泛的应用，从自然科学到社会科学，深深地影响了人们对系统运行和演变的理解。
混沌动力系统最早是由美国气象学家、数学家爱德华·洛伦兹在1960年代中期提出的。
他的研究工作主要集中在研究大气运动模型。
在这个系统中，初始条件的微小变化会引起模型的输出结果相差甚远。
这引发了洛伦兹的兴趣，他将这种现象命名为“蝴蝶效应”来形容起初微弱的变化可能会引发大规模的效应。
洛伦兹在混沌动力系统的研究中发现了奇异吸引子的存在，这是一种引导系统演化过程的特殊性质。
奇异吸引子在混沌动力系统理论中起着重要的作用，它不仅提供了对系统行为的定量描述，同时也揭示了系统中的复杂结构。
分岔理论则着重研究系统的稳定性突变过程。
分岔是指当系统参数发生细微变化时，系统从一种稳定状态突变为另一种稳定状态的现象。
最著名的分岔是“费根鲍姆分岔”，早在19世纪末由法国数学家亨利·费根鲍姆提出。
他发现简单的非线性方程可能引起系统从一个稳定状态到周期运动，然后到混沌。
这种突变行为使得分岔理论成为许多自然现象的重要解释机制，例如生物进化、气候变化等。
混沌动力系统和分岔理论在现代科学中有广泛的应用。
在天气预报中，混沌动力系统理论帮助科学家们理解气象系统的复杂行为，进而提高了预测的准确性。
在物理学中，混沌动力系统的研究揭示了粒子运动的随机性和确定性之间的微妙平衡。
在生物学中，分岔理论帮助研究者理解进化过程中物种数量的突变和物种多样性的起源。
在社会科学中，混沌动力系统的影响范围更加广泛，从经济学到心理学，都有许多应用案例。
总之，数学中的混沌动力系统与分岔理论是对系统运行和演化进行研究的重要工具。
混沌动力系统的研究揭示了系统的复杂性和不确定性，而分岔理论则研究了系统从一个稳定状态到多个状态的突变过程。
常微分方程的分岔和混沌现象
常微分方程的分岔和混沌现象在数学中，常微分方程是一种可以描述物理现象的数学模型。
它可以用来研究物体的位置、速度和加速度之间的关系，以及变化的趋势。
常微分方程的分岔和混沌现象是该领域中的一个重要的课题，本文将从这个角度来深入探讨。
一、什么是常微分方程的分岔？在物理现象中，往往有一些参数是可以改变的，比如弹簧的弹性系数，转动惯量等等。
在数学模型中，这些参数往往以某个常数的形式出现，我们称之为控制参数。
当控制参数发生微小变化时，数学模型的解也会发生微小的变化。
分岔就是指，当控制参数发生连续或突然的变化时，数学模型的解出现了明显的差别，显示出了不同的行为特征。
例如，当控制参数发生小变化时，物理现象可能在一个稳定的状态下来回振动，而当控制参数的值超过某个特定的临界点时，物理现象会出现混乱的不规则波动，这就是分岔现象。
二、什么是混沌现象？混沌现象是指，当物理现象受到微小的扰动时，它的运动过程变得高度不稳定和不可预测。
这种不可预测的现象表现为波动或震荡的不规则运动，这种不规则运动又称为混沌运动。
混沌现象在物理、化学、生物等多个领域中都有应用。
三、常微分方程的分岔与混沌现象之间的关系分岔是混沌现象的前提条件之一。
通过调整控制参数，一些数学模型可以表现出非常有规律但是复杂的行为。
随着控制参数的改变，它们会经历一系列的分岔，最终出现混沌现象。
例如，著名的洛伦兹系统，通过改变其参数，可以很容易地使方程产生分岔，最终出现混沌现象。
四、常微分方程的分岔和混沌现象的应用常微分方程的分岔和混沌现象在很多领域都有应用。
在物理领域中，这些现象可以用于描述流体、气体等的运动方式，从而帮助物理学家更好地理解它们的性质和行为。
在经济学中，常微分方程的分岔和混沌现象可以用来研究经济模型中的行为和趋势，以更好地预测和管理经济的发展。
在生物学中，常微分方程的分岔和混沌现象可以用于描述细胞生长和病毒传播的方式，为人们提供更好的治疗和预防方法。
第6章 混沌与分岔
分岔的概念
分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学 系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。 分岔现象是非线性问题中所特有现象，失稳是其发生的前提。 分岔之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是突 变。然后经过不断地分岔，最后达到的终态即混沌。由此可 见分岔在许多非线性现象中起着桥梁作用。 分岔问题可以分成静态分岔和动态分岔。静态分岔指系统的 平衡点的稳定性在分岔值附近发生变化，如鞍结分岔、跨临 界分岔、叉形分岔等；动态分岔是相轨迹的拓扑结构也发生 变化，如Hopf分岔、环面分岔、同宿或异宿分岔等。 叉形分岔、Hopf分岔和鞍结分岔为三种分岔原型。
混沌现象举例--昆虫繁衍
假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下，即每年夏 天成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化为虫。 很显然，若产卵数大于1，则虫口就会迅速增加，“虫满 为患”。但在虫口数目增大的同时又由于争夺有限的食物 和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接触感染而导 致疾病蔓延，这些又会使虫口减少。综合考虑正增长和负 增长，即鼓励和抑制这两种因素的作用，经过一定的数学 抽象和变换后，在1976年生物学家罗伯特.梅最终得到虫 口方程如下：Xn+1=λXn (1—Xn) 式中各量的取值范围为 n：1，2，3，···∞； Xn：[0，1]； λ：[0，4]
(1)(x 0),
f
lim sup f ( n ) ( x) − f ( n ) ( y ) > 0, x, y ∈ S , x ≠ y
n →∞
lim inf f ( n ) ( x) − f ( n ) ( y ) = 0, x, y ∈ S , x ≠ y
n →∞
lim sup f ( n ) ( x) − f ( n ) ( p ) > 0, x ∈ S , p为周期点
混沌与分岔
? 分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特 (B.B.Mandelbrot)在 70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
? 所谓分形是指 n维空间一个点集的一种几何性质，它们具 有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体 相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数，这种点 集叫分形体。
? 分维就是用非整数维 -分数维来定量地描述分形的基本特 性。
BIT
PEMC
混沌的特点
5. 普适性
? 普适性包括两种，即结构的普适性和测度的普适性。 ? 当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其
特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。
混沌的特点
BIT
PEMC
6. 遍历性
? 遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够 到达混沌区域内任何一点。
? 1834年雅可比首次提出分岔这个术语。
? 1885年，庞卡莱提出旋转液体星平衡图形的演化过程的 分岔理论。固体力学的屈曲和流体力学的转捩一直是分岔 研究的重要动力。
? 20世纪30年代，范德波、安德罗诺夫等在非线性振动研 究中发现大量的分岔现象。
? 以后在很长时间内，分岔的研究主要集中在应用领域，直 到 20世纪 60 年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线 性分析等方面逐渐形成了现代数学理论。
n? ?
lim sup f (n) (x) ? f (n) ( p) ? 0, x? S, p为周期点
n? ?
? 则称 f 在S上是混沌的。
BIT
PEMC
混沌的概念
? Li-Yorke定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系 统应该具有三种性质：
1. 存在所有周期的周期轨道； 2. 存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨
混沌效应非线性混沌电路（精）
混沌效应一、实验名称 非线性电路振荡周期的分岔与混沌二、实验原理⒈分岔与混沌 ⑴ 逻辑斯蒂映射考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x 表示。
逻辑斯蒂映射是)1(x kx x -→其中k 是0和4之间的常数。
迭代这映射，我们得离散动力学系统 )1(1n n n x kx x -=+ ，0=n ，1，2…我们发现：①当k 小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k 大于3时，随着k 的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k 继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快k 在58.3左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。
④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。
⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。
以上这些特点可用图示法直观形象地给出。
逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条)1(x kx y -=的抛物线，再画一条x y =的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。
图 1—A 不动点 图1—B 分岔周期2 图1—C 混沌 图1—D 蝴蝶效应图1⑵逻辑斯蒂映射的分岔图 以k 为横坐标，迭代200次以后的x 值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。
X 0X A X B图2逻辑斯蒂映射的分岔图。
k 从2.8增大到4。
⒉ 非线性负阻电路振荡周期的分岔与混沌 ⑴非线性电路与非线性动力学实验电路如图3所示。
它由有源非线性负阻器件R ；LC 振荡器和移相器三部分构成。
图中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件；电感器L 和电容器C2组成一个损耗可以忽略的振荡回路；可变电阻Rv1+Rv2和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。
图4所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示加在此非线性元件上的电压与通过它的电流极性是相反的。
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混沌现象举例--蝴蝶效应
➢ 1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述 气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准 确进行长期天气预报的可能性。
➢ 有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从 上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算 的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果， 甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另 一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！后来洛伦兹发现两次计算的差 别只是第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。洛伦兹意 识到，因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程 对初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条 件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出 长期天气预报是不可能的。
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混沌的特点
2. 内在随机性
➢ 确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。
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PEMC
混沌与分岔的起源与发展
➢ 混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的 研究得到迅速发展，如
➢ Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌； ➢ Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌； ➢ Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。
BIT
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混沌的概念
➢ 混沌，英文为chaos，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生 在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌 作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的 定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一 词由李天岩（Tian-yan Li）和约克（Yorke）于1975年首 先提出。
➢ 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
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混沌的概念
➢ n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然 数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
➢ n周 期 轨道的定义：当 x0为f 的一个n 周期点时， 称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
➢ 其典型方程为：x x x3
➢ 方程的平衡点有三个：x=0和 x
➢ 平衡态的稳定性由雅可比矩阵的特征值决定：
➢ 对于平衡点x=0，雅可比矩阵的特征值为μ。当μ<0时， 平衡点x=0是稳定的；当μ>0时，它是不稳定的。
BIT
PEMC
混沌现象举例--昆虫繁衍
3. 取λ：3—3.569迭代
➢ 迭代结果开始出现跳跃情况，倍周期分岔开始。其中在3— 3.449之间为2周期，在3.449—3.544间为4周期······随着λ 的增加，分岔越来越密，混沌程度越来越高，直至λ=3.569 时分岔周期变为∞，最后“归宿”可取无穷多的不同值，表 现出极大的随机性。而周期无穷大就等于没有周期，此时 系统开始进入完全的混沌状态。混沌区对应λ取值3.569—4。
➢ 分维就是用非整数维-分数维来定量地描述分形的基本特 性。
BIT
PEMC
混沌的特点
5. 普适性
➢ 普适性包括两种，即结构的普适性和测度的普适性。 ➢ 当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其
特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。
混沌的特点
BIT
PEMC
6. 遍历性
➢ 遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够 到达混沌区域内任何一点。
PEMC
4. 分形性
混沌的特点
➢ 分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)在 70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
➢ 所谓分形是指n维空间一个点集的一种几何性质，它们具 有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体 相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数，这种点 集叫分形体。
n
lim sup f (n) (x) f (n) ( p) 0, x S, p为周期点
n
➢ 则称 f 在S上是混沌的。
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混沌的概念
➢ Li-Yorke定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系 统应该具有三种性质：
1. 存在所有周期的周期轨道；
2. 存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨 道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现；
Xn+1=5Xn(1—Xn)， 当代入Xn=0.5后会得到Xn+1=1.25，而 最大相对虫口数只能为1，Xn+1=1.25显然没有意义。
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混沌现象举例--昆虫繁衍
下面取λ为不同值对虫口方程进行迭代求解：
1. 取λ：0—1迭代
➢ 容易验证，λ在0—1之间时，无认初始值取多少，对方程Xn+1=λXn (1— Xn)迭代归宿均为确定值零。这是一个最平凡的1周期解，对应系统的稳 定态。
3. 任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。
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混沌的特点
1. 对初值的敏感性
➢ 混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未 来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千 里”。
➢ 1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz) 在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的 著名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运 动流体块中的对流为模型，提出了著名的Lorenz方程。 Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发 现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不 同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。
混沌的特点
➢ 几种典型的混沌吸引子
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Chen’s 吸引子
Lorenz 吸引子
Rossler 吸引子
BITPEMC混沌来自象举例➢ 机床切削金属时或打印机机头因冲击而引起的 混沌振动
➢ 正常的脑电波则近乎随机讯号，其脑电图曲线 代表的就是典型的混沌现象
➢ 单摆是我们熟知的确定性运动的典型，但当角 度大到一定程度并有驱动力和阻力时也居然能 够进入混沌状态
➢ 1834年雅可比首次提出分岔这个术语。
➢ 1885年，庞卡莱提出旋转液体星平衡图形的演化过程的 分岔理论。固体力学的屈曲和流体力学的转捩一直是分岔 研究的重要动力。
➢ 20世纪30年代，范德波、安德罗诺夫等在非线性振动研 究中发现大量的分岔现象。
➢ 以后在很长时间内，分岔的研究主要集中在应用领域，直 到20世纪60年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线 性分析等方面逐渐形成了现代数学理论。
➢ 混沌是确定性非线性系统的内在随机性，这是混沌的重 要特征之一。
混沌的特点
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3. 长期不可预测性
➢ 由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的 微小差异可能对以后的时间演化产生巨大的影响， 因此不可能长期预测将来某一时刻之外的动力学特
性，即混沌系统的长期演化行为是不可预测的。
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n：1，2，3，···∞； Xn：[0，1]； λ：[0，4]
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混沌现象举例--昆虫繁衍
➢ 假定虫口环境所能支撑和供应的最大虫口限额为N0，且 N0>>1。第n代虫口数为Nn，则Xn=Nn/N0，是为第n代的相 对虫口数。显然，1就是最大虫口数目，故Xn的值不能超 过1。λ是控制参量，虫口模型要求λ取值[0，4]，这是因为 在λ>4时会出现发散现象，方程就将失去意义。如对
➢ 分岔问题可以分成静态分岔和动态分岔。静态分岔指系统的 平衡点的稳定性在分岔值附近发生变化，如鞍结分岔、跨临 界分岔、叉形分岔等；动态分岔是相轨迹的拓扑结构也发生 变化，如Hopf分岔、环面分岔、同宿或异宿分岔等。
➢ 叉形分岔、Hopf分岔和鞍结分岔为三种分岔原型。
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分岔的概念
1. 叉形分岔 •
➢ 直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛 注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。 其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更 在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。
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混沌与分岔的起源与发展
➢ 分岔现象最早来源于1729年Musschenbrock对压杆失稳 实验的观察，这种分岔现象在固体力学中称屈曲。
➢ Li-Yorke定理：
➢ 设连续自映射 f : I I R ，I 是 R 的一个闭区间，如果：
➢ ① 存在一切周期的周期点； ➢ ②存在不可数子集S，S不含周期点，使得
lim sup f (n) (x) f (n) ( y) 0, x, y S, x y
n
lim inf f (n) (x) f (n) ( y) 0, x, y S, x y
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PEMC
分岔的概念
➢ 分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学 系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。
➢ 分岔现象是非线性问题中所特有现象，失稳是其发生的前提。 分岔之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是突 变。然后经过不断地分岔，最后达到的终态即混沌。由此可 见分岔在许多非线性现象中起着桥梁作用。