Genesio系统的混沌Hopf分岔和Shilnikov

学校代码：11517学号：200810111144HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING文献翻译题目非线性动力系统的分岔与混沌研究学生姓名尚卫娟专业班级信息0841班学号200810111143系（部）数理科学系指导教师(职称)王霞完成时间 2012年02月18日Genesio系统的混沌Hopf分岔和Shilnikov南京航空航天大学数学系，南京210016，中国南京航空航天大学力学系，南京210016，中国摘要Genesio系统，这是一个被认为是只有一个二次非线性项的三维系统。

它对一些参数有两个平衡点。

我们对Hopf分岔进行了讨论，并已用待定系数法证明此系统的同宿轨道的存在。

因此，Shilnikov标准保证Genesio系统具有Smale马蹄混沌。

1 引言混沌是最迷人的现象之一。

在过去几十年，非线性动力系统的混沌现象的研究得到了人们的十分重视，详见【1】Lorenz混沌系统，【2】罗斯勒系统，【3】陈系统，【4】陆系统等。

人们对简单的一个或两个非线性项的混沌系统是特别感兴趣的。

Genesio和Tesi提出的Genesio系统混沌系统的典型之一，因为它抓住了混沌系统的许多功能。

其中包括一个二次项，包含三个简单的常微分方程三负的实际参数。

人们对很多关于本系统的同步工作都进行了研究。

Ju通过反演方法和自适应控制器的设计研究Genesio混沌系统的同步。

Chen和Han通过非线性反馈控制研究Genesio系统控制与同步。

吴等人研究陈系统和Genesio系统之间的同步。

就我们所知，这一类系统的Hopf分岔和Si'lnikov混沌的研究还没有完成。

在本文中，讨论了Hopf分岔，和详细的研究，利用待定系数法，这是由周和陈系统，Lorenz，广义Lorenz规范家庭制度的成功使用的Si'lnikov同宿轨道的存在动力系统和一些新的混沌系统的形式。

2 Genesio系统的分岔分析2.1 一般的动态分析给出Genesio系统的动力学方程：2x y y z z ax by cz x=⎧⎪=⎨⎪=+++⎩ (1) 其中x ，y ，z 是状态变量，a ，b ，c 是负参数。

当a=-6，b=-2.92，c=-1.2时，系统（1）具有混沌吸引子，如图（1）。

图（1）a=-6，b=-2.92，c=-1.2时，系统（1）的相图。

当a<0,b<0,c<0时，系统（1）有两个平衡点1E (0,0,0), 2E (-a,0,0)。

在1E 下，系统的雅克比矩阵为：1010001E DF a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(2) 1E DF 的特征方程为：132det()0E I DF c b a λλλλ-=---= (3)由于各方面系数为正，特征方程没有正实根。

因此它具有至少一个负实根。

根据Routh-Hurwitz 判据，E1是稳定的，当且仅当满足以下条件：0,0,()0c bc a a bc a ->+>+< (4) 因为a<0,b<0,c<0，我们只需将bc+a>0即可。

令3c λμ=+，方程式（3）化为： 3110p u q μ++= (5)当2311121,3273p c b q c bc a =--=--- (6) 另外，记23111,23q p ⎛⎫⎛⎫∆=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(7) 当10∆>，代数方程(5)有唯一的实根1γ和一对共轭复根11i ρω±，其中1111,2.2γρω=+⎛=-+ ⎝⎛==- ⎝因此10∆>时，特征方程（3）的三个根分别为：1,111,2111,311111,,,333c c i c i λγλρωλρω=+=++=+- (8)其中i =。

显然我们可以得出这样的结论，1,1λ<0，因为1,1λ1,2λ1,3λ=a<0。

为了确保共轭复数根的实部为正且平衡点是鞍焦点，它进一步要求23c +< (9) 所以1∆> 0和(9)保证平衡点E1是鞍焦点。

在2E 下，系统的雅克比矩阵为：2010001E DF a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ （10）2E DF 的特征方程为：()132det 0E I DF c b a λλλλ-=--+= （11） 根据Routh-Hurwitz 判据，2E 是稳定的，当且仅当满足以下条件：0,0,()0.c bc a a bc a ->->-> （12） 由于a<0，b<0，c<0，不能满足（12），所以2E 是不稳定的。

令3c λμ=+，（11）化为： 3220,p q μμ++= （13） 其中232121121=-,2.3273p c b p q c bc a q a -==--+=+ （14）此外，记2322223q p ⎛⎫⎛⎫∆=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （15）当20∆>，代数方程(13)有唯一的实根2γ和一对共轭复根22i ρω±，其中：2221,2.2γρω=+⎛=-+ ⎝==- 此外，当20∆>时，特征方程（11）的三个根分别为：2,122,2222,322111,,,333c c i c i λγλρωλρω=+=++=+- （16） 容易看出2,1λ>0，因为2,1λ，2,2λ，2,3λ>0。

为确保共轭复数根的实部为负，即2E 是鞍焦点，它进一步要求：23c +> （17）2.2 Hopf 分岔如果1E 是不稳定的，方程（3）有两个共轭复根。

在稳定区域的边界,令23,i i λωλω==-，且0ω>，我们得到：123c λλλ++=。

（18）所以1c λ=，且320().()f c c c c bc a a bc ==---=-+ （19）即h a bc =-。

代2i λω=与（3），我们得到32()()0i c i bi a ωωω---= （20）其中ω=。

令12/,Im()h a c a b λβλ≡==-≡== （21） 我们有()1/0,()1/(20h h a b a αβ''=-≠=-≠ （22）由[17] Hopf 分岔时可能出现的h aa =令n c 成为n 维复Hilbert 空间内积1,n i i i x y x y ==∑，因为12(,,...,)T n x x x x =，12(,,...,)T n y y y y =。

考虑如下非线性系统(),n x Ax F x x R =+∈ （23） 其中2()()F x O x =是一个光滑函数，并且它可以扩展成 411()(,)(,,)()26F x B x x C x x x O x =++ （24）其中(,)B x x ，(,,)C x x x 分别为双线性和三线性函数。

在方程（21）中，如果矩阵A 有一对纯虚根1,2,0i λωω=±>，令n q C ∈为一个复杂的特征值1λ相对应的特征值，然后我们得到,Aq i q Aq i q ωω==-。

同时，我们引进的伴随特征向量n p C ∈，其满足下列条件：,T T A p i p A p i p ωω==- （25） 且有,1p q =。

系统（21）再原点O 的的第一李雅普诺夫系数可以写成如【15,16】的样子 1111(0)Re(,(,,)2,(,(,)),(,2)(,)))2l p C q q q p B q A B q q p B q i I A B q q ωω--=<>-<>+<->当h a a =，系统（1）的雅克比矩阵在1E 的值为010001A bc b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ （26） 接下来，我们将计算方程（25）中矩阵A 相应的向量p,q 。

通过繁琐的计算，我们有11b p i b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （27） 和1(ci q bc i bc ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， （28） 它们满足,T Aq i q A p i p ωω==-和,1p q =。

对于系统（1），双线性和三线性函数分别是0(,)0B X X xx ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪'⎝⎭ （29） 和0(,,)00C X X X ⎛⎫ ⎪'''= ⎪ ⎪⎝⎭。

（30）其中(,,),(,,),(,,)T T T X x y z X x y z X x y z ''''''''''''===。

通过形如（26）—（29）的一些繁琐的操作，我们有()0,01B q q ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭， （31） ()0,01B q q ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭（32） 且 1111100010cb bc A -⎛⎫- ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭（33） 令1(,)s A B q q -=，我们有()2220,01(B q s b c i bc b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭，（34） 因此2221(,(,))b c p B q s bc b c -+=+ （35） 重新令1(2)(,)s i A B q q ω-'=-，我们可以得到()0,01B q s ⎛⎫ ⎪ ⎪' ⎪= ⎪⎪⎪⎭， （36）,(,)p B q s '=， （37）图（2）所以，我们有1111(0)Re(,(,,)2,(,(,)),(,2)(,)))2l p C q q q p B q A B q q p B q i I A B q q ωω--=<>-<>+<-> 1Re(2,(,),(,))2p B q s p B q s ω'=-<+<>>4222422632= （38） 所以系统（1）提出的Hopf 分岔在1(0)0l <时是超临界状态，在1(0)0l >是亚临界状态。

尤其当b=c 时，5462371(0)l =容易知道，当(0.93,0)b ∈-时，1(0)0l >，当(,0.93)b ∈-∞-时，1(0)0l <。

所以系统（1）提出一种Hopf 分岔，在(0.93,0)b ∈-时为亚临界状态，在(,0.93)b ∈-∞-时为超临界状态，见图（2）。

3. 数值模拟在本节中已获得使用四阶Runge-Kutta 方法的数值结果。

我们修正b=-2.92，c=-1.2，a 变化，并获得相位图，如图（3）。

图（3）4. 结论我们已经对Genesio系统的动力学行为，即一个立体的只有一个非线性项的二次系统，进行了研究。