周期分岔与混沌现象复习过程
两个做费根保姆图的程序
u=2.6:0.001:4; x=0.6; for j=1:150,
x=u.*(x-x.^2); end for i=1:100
x=u.*(x-x.^2); plot(u,x,'r.') hold on; end
不保留旧的x值，而是直 接用它作图，能节省内 存
u=2.6:0.001:4; X=ones(250,1401); X(1,:)=0.6*X(1,:); for j=1:250,
周期分岔与混沌现象
主要内容
又称logistic回归分析，主要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，根据危险因素预测某疾病发生的概率， 等等。例如，想探讨胃癌发生的危险因素，可以选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群肯定有不同的体征和生活方式等。这 里的因变量就是是否胃癌，即“是”或“否”，为两分类变量，自变量就可以包括很多了，例如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自
李雅普诺夫指数
对于稳定的周期n，有李雅普诺夫指数小于0， 对于倍周期分岔点李雅普诺夫指数等于0， 混沌状态李雅普诺夫指数大于0，所以李雅 普诺夫指数由负变正表明运动向混沌转变。
x=0.7; for j=1:4
subplot(2,2,j) u=input('输入增殖 系数系数u=') for i=1:10
x=u*(x-x^2); a=[i,i+1] b(1,1)=x x2=u*(x-x^2) b(1,2)=x2
plot(a,b,'r:*') hold on
end for i=11:60
x=u*(xx^2);
plot(i,x,'r:*') hold on
end end
for j=1:2 x=input('输入初值=')
变量既可以是连续的，也可以是分类的。通过危险因素。
Logistic模型简介：
Logistic模型是一个描 述自然界生物种群中
xn1(xnxn2)
昆虫数目变化的数学
模型，它由上一年的
(04 ,0x1 )
昆虫数目 及增殖系数
预测次年的昆虫数目
其数学表达式为
X(j+1,:)=u.*(X(j,:)-X(j,:).^2); End plot(u,X(150:end,:),'r.')
保留所有的X值，每次计算的X值 生成矩阵的一行元素，最后作图， 程序可读性强，但占用内存较大
初值的影响
混沌现象有个特点，就是初值的微小变化将 引起结果的完全不同，它说明混沌现象的 不可预测性。
u=3.8 for i=1:60;
x=u*(x-x.^2); a=[i,i+1]; b(1,1)=x; x2=u*(x-x.^2); b(1,2)=x2;
switch j case(1)
plot(a,b,'r:.') case(2) plot(a,b,'b:.')
end hold on end end
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1 0
10
20
30
40
50
60
70
费根鲍姆常数
利用分岔点的u值，计算 相邻分岔点的间距之 比，所得的极限值叫 做费根鲍姆常数，
这是一个普适常数，所 有系统通过倍周期分 岔进入混沌时，都会 遵循这个规律。
F
lim n n1 n n1 n
4.669201661
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初值相同，增殖系数不同时的结果
改变初值的情况
费根保姆图
为了研究增殖系数对分叉现象的影响，可以 取相同的初值对所有的增殖系数进行计算。
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
费根保姆图作图思路
方法是给定x的初值，对不同的u值计算 新的x，共循环250次，循环计算150次后开 始画图。计算所得的x值是矩阵，行标对应 循环次数，列标对应u值。使用矢量化编程 以后，对所有的u值同时计算一次新的x值， 得到矩阵x中的一列元素。所得图形即为费 根鲍曼图。
单摆混沌现象研究 ——寻找周期解与混沌解
三、寻找周期解
可以发现，单摆的相图随驱动力大小的变 化是非常复杂的。我们在上述几个区间内 寻找出
用matlab的循环语句可以较方便的找出一 个区间的相图。
此图为A=1.025是的相图。这张图的t值已经取得 很大，但可以清楚的看到轨迹收敛到一个很狭窄 的区域。 下面为了寻找周期分叉，我以0.001为单位绘图。
第一张A=1.35是一个； 第二张A=1.45有两个； 第三张A=1.47有四个。 相图虽然没有了极限环，但是行为却有了
周期性。
往后的相图又出现了收敛的极限环，以及更 复杂的混沌解。
四、往后的情况
再画出A>2.0的情况来探讨其规律性
单摆相图变化的规律大概就是：
极限 环
下面来探讨出现周期分岔和混沌的Â的取值。
二、数值方.5解微分方程并用其自 带的绘图程序绘制的相图
（1）无阻尼无驱动情形：
（2）有阻尼无驱动情形：
（3）有阻尼有驱动情形
随着Â的取值变化下面画出相图，每个相 图相差0.02.
(1)A=[0.5,1.0] A<mg 是的相图都收敛在一个规则的极限环
有阻尼无驱动情形 有阻尼有驱动情形
对下面的非线性微分方程进行一些化 减
Q称作质量因子
初值条件为： 并取：
当Â从0.5到2.0变化时，单摆的相图也会相 应地发生一系列变化。
开始的一段暂态过程过去后，周期运动的 相轨会趋于闭合曲线，即极限环。中间将 会出现一些分岔周期解。
后来随着Â的增大，会出现混沌运动的相轨。
就着样一直画下去，逐个图检查直到图形 非常“混乱”，也就是混沌了也没有找见 二倍以上的周期解。
1.1492往后出现的有界相图变成形状奇 特的曲线。这些就是奇异吸引子。
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验讲解
3.把实验仪右上角内的电源九芯插头插入实验仪面板上对应的九芯插座上,注意插头
插座的方向应一致。然后插上电源,按实验仪面板右边的钮子开关,对应的±15V
16mH L
指示灯点亮。
4.调节W1粗调电位器和W2细调电位器,改变(RV1+RV2 C移向器中电阻的阻值,观测相图周期的变化,观测倍周期分岔,阵发混沌,三倍周期,吸引子(混沌和双吸引子(混沌现象,及相应的扫描波形。
图2逻辑斯蒂映射的分岔图:k从2.8增大到4。
从图中可看出周期倍增导致混沌。混沌区突然又出现周期3, 5, 7„奇数及其倍周期6, 10, 14„的循环,混沌产生有序,或秩序从混沌中来。
其实以上的这些特性适用于任何一个只有单峰的单位区间上的迭代,不是个别例子特有的,具有一定的普适性。从而揭示了混沌现象涉及的领域比较广泛。混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象它也是非线性系统中所特有的一种复杂状态。混沌是指确定论系统(给系统建立确定论的动力学方程组中的内在不确定行为。混沌现象对初值极为敏感使非线性系统的长期行为具有不可预测性。
混沌控制的目标有两种:一种是对混沌吸引子内存在的不稳定的周期轨道进行有效的稳定控制,根据人们的意愿逐一控制所需的周期轨道。这一类控制的特点是并不改变系统中原有的周期轨道。另一种控制目标则不要求必须稳定控制原系统中的周期轨道,而只要通过可能的策略,方法及途径,达到有效控制,得到我们所需的周期轨道即可,或抑制掉混沌行为,即通过对系统的控制获得人们所需的新的动力学行为,包括各种周期态及其它图样等。混沌的应用主要有以下两种:①研究确定论的非线性系统中的混沌现象,并应用混沌控制法消除或抑制这种混沌不稳定现象。②混沌现象的直接应用。
一个新混沌系统的动力学分析
由图 ６可知 ： 系统 由一 周期 运 动 状态 阵 发 过
［ ］ ｈｎＧ， ｅ ．Ｙ ｔ ｎ ｔ ｒｃａｔ ｔａｔｒ Ｊ ．ｎ ２ Ｃ ｅ Ｕ ｔ Ｔ ｅ ａ ｏ ｅ ｈｏｃａｒｃ ［ ］ Ｉ— ａ ｈ ｉ ｔ ｏ
ｔｒ ａｉ ｎ ｌ ｏ ｒ ａ ｆＢｉ ｒ ａｉｎ ａ ｄ Ｃ ａ ｓ ，１ ９ 。 ｅ ｎ ｔ ａ ｕ ｎ ｌｏ ｆ ｃ ｔ ｎ ｈ ｏ ｏ Ｊ ｕ ｏ ９ ９ ９
Ｎ
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。 － ８ Ｏ
图 ２ 系统 的 典 型 混 沌 吸 引 子
从 三维 空 间 中的 相 图及 在 不 同平 面上 的投 影 可 以看 出 ， 系统 的混 沌吸 引子具 有 复杂 的折 叠 和拉伸轨 线和复杂 的几何 形状 ， 统 的轨线 是有 系 界的， 有很 强 的吸引性 ．
座 桥梁 ， 此 拉 开 了混 沌 研 究 的 帷 幕 从
． 本
文 以三维 混沌 系统 为 例 ｊ 画 出了处 于混 沌 状态 ， 时 的时 间 响 应 图 和 相 图 ， 用 系 统 的分 岔 图 和 利 Ｌａｕｏ ｙ ｐ ｎｖ指数 图 ， 明了 系统状 态 随参 数 变 化表 说 现 出丰 富的动 力学 行为 ．
－ － －
１／ ０ ３厂＝４时 ， 用数值模 拟方法计算 得到混沌 系统 的 吸 引 子 的 ３个 Ｌａ ｕ ｏ ｙｐ ｎｖ指 数 分 别 为 Ａ ＝
非线性电路混沌实验
经计算可以
得出，三段线性回归相关系数均非常接近 1（r 分别 0.99732,0.99979,0.99992），
2.非线性电路---蔡氏电路与非线性动力学 实验电路如图 1 所示,图 1 是非线性电路系统的一种简单而又经典的电路---
蔡氏电路，它只有一个非线性电阻 R，电感器 L 和电容器 C2 组成一个损耗可以 忽略的谐振回路，可调电阻 RV 以及电容器和 C1 串联将振荡器产生的正弦信号移 相输出。其中非线性电阻 R 是一个三段分线性元件，它的伏安特性曲线如图二， 它的电流随电压增高而减小，称之为非线性负阻元件，它是核心元件，是系统产 生混沌的必要条件。
一、引言 混沌实验研究起源于 1963 年美国气象学家洛伦茨（E.lorenz）研究天气预
报时用到的三个动力学方程，后来他在《确定论非周期流》一文中，给出了描述 大气湍流的洛伦茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效应”，从而揭开了对非线性科 学深入研究的序幕。混沌来自非线性，是非线性系统中存在的一种普遍现象。无 论是复杂系统，如气象系统、太阳系、还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆 因存在着内在随机性而出现类似无轨、但实际是非周期有序运动，即混沌现象。 迄今为止，最丰富的混沌现象是非线性震荡电路中观察到的，这是因为电路可以 精密元件控制，因此可以通过精确地改变实验条件得到丰富的实验结果，蔡氏电 路是华裔科学家蔡少棠设计的能产生混沌的最简单的电路，它是熟悉和理解非线 性现象的经典电路。 本实验的目的是学习有源非线性负阻元件的工作原理，借 助蔡氏电路掌握非线性动力学系统运动的一般规律性，了解混沌同步和控制的基 本概念。 二、实验原理 1.名词解释
第6章 混沌与分岔
➢ 迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非 零的1周期解，同样对应系统的稳定状态。对方程Xn+1=2Xn (1—Xn)作迭 代 ， 取 X1=0.1 则 有 X2=0.18 ， X3=0.2952 ， X4=0.416111392 ， X5=0.485924299 ， X6=0.4999604721 ， X7=0.499999687 ， X8=0.499999999······可见很快收敛于X*=0.5。又对方程Xn+1=2.5Xn (1—Xn) 作迭代，取X1=0.1也只须十几次迭代就收敛于X*=0.6了。不过与上一迭 代趋近方式有所不同，几次迭代后结果就在X*值上下产生小幅振荡，并 最终收敛于X*=0.6。
第六章
混沌与分岔
Content
1. 混沌与分岔的起源与发展 2. 混沌的概念 3. 混沌的特点 4. 混沌现象举例 5. 分岔的概念 6. 分岔现象举例 7. 混沌的研究方法 8. 分岔的研究方法 9. 混沌在现代科技领域的应用
BIT
PEMC
BIT
PEMC
混沌与分岔的起源与发展
➢ 公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。
➢ 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
BIT
PEMC
混沌的概念
➢ n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然数 k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
➢ n周期轨道的定义：当x0为f 的一个n周期点时，称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
电压反馈型BOOST变换器闭环控制系统的分岔及混沌
电压反馈型BOOST变换器闭环控制系统的分岔及混沌苏琦;陆益民;黄险峰【摘要】为了弥补以往对DC—DC变换器非线性特性的研究主要是在开环或比例积分( PI )控制下进行的不足，在分段光滑系统状态空间模型的基础上，根据凯莱—哈密尔顿定理，建立了比例-微分( PD)控制电压反馈型Boost变换器闭环控制系统的精确离散映射，推导了系统的稳定性条件，讨论了PD控制器参数对变换器系统稳定性和分岔的影响，定性分析了系统的倍周期分岔和混沌现象产生的机理，指出控制器的比例增益对系统的稳定性起主导作用。
最后，搭建了变换器实验电路，结果表明了理论分析和仿真的正确性。
研究结果为深刻认识该类变换器的非线性特性提供借鉴意义。
%The previous studies on nonlinear behavior of DC/DC converters mainly focused on the open-loop and proportional-integral ( PI) control systems. To make up the deficiencies, the precise discrete mapping of a voltage-mode closed-loop controlled Boost converter system is derived from its piecewise smooth state space model depending on Cayley-Hamilton theorem. The stability condition of the system is analyzed. The parameters of PD controller influence on stability and bifurcation, as well as the mechanism that produced chaos from period-doubling bifurcation are discussed. The re-sults found that the proportional gain is a dominant parameter affecting the stability of the system. Finally, the analysis results are verified through simulation and experiment. The results provide a reference for a profound understanding of the nonlinear characteristics of such kind of converters.【期刊名称】《广西大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)005【总页数】9页(P1192-1200)【关键词】Boost变换器;电压反馈型;PD控制器;分岔【作者】苏琦;陆益民;黄险峰【作者单位】广西大学电气工程学院，广西南宁 530004;广西大学电气工程学院，广西南宁 530004;广西大学土木建筑工程学院，广西南宁 530004【正文语种】中文【中图分类】TM13;TP17DC-DC 变换器电路的核心器件是功率半导体器件。
BOOST变换器不连续导通模式下的混沌现象分析
BOOST变换器不连续导通模式下的混沌现象分析苏嘉梁;潘峰;刘勇平【摘要】研究输出电压反馈型Boost DC/DC变换器,构建并推导了不连续导通方式下(即DCM方式)变换器的离散映射模型.基于此数学模型,以倍周期分岔理论分析了变换器的分岔特性.并利用Matlab软件搭建仿真模块,通过仿真验证了离散模型的正确性,并且详细给出了变换器从稳定逐步到混沌的全过程.该文的研究具有基础性,为更加深入研究Boost变换器工作时的混沌现象打下基础.【期刊名称】《太原科技大学学报》【年(卷),期】2015(036)005【总页数】6页(P347-352)【关键词】混沌;BOOST变换器;压控模式;不连续传导模式【作者】苏嘉梁;潘峰;刘勇平【作者单位】太原科技大学,太原030024;太原科技大学,太原030024;太原科技大学,太原030024【正文语种】中文【中图分类】TM46DC/DC变换器作为一个分段强非线性动力学系统，分岔和混沌现象十分普遍[1]。
这些非线性现象对于系统的稳定性有直接影响，各国学者已对此进行了大量研究并取得丰富成果，已有研究表明，变换器的主电路参数在工作时具有一个稳定域，一旦不在此范围，即失去稳态，甚至进入混沌。
研究非线性系统最根本的是构建一个精确且合适的数学模型。
现有的DC/DC变换器建模方法主要有俩大类：数值法和解析法[2]。
缺点是无法得到解析解，难以反映变换器实际工作机理。
解析法又可分为连续法和离散法俩大类。
连续法在低频下可以利用成熟的经典控制理论来分析，并且误差很小，但是在高频下则不能正确反映变换器的实际工作机理。
离散法精度高且可以利用计算机迭代从而其速度快，迭代得到的解析解也可准确反映出变换器的实际工做状态。
现有研究表明：离散数学模型最能反映DC/DC变换器丰富的分岔与混沌现象。
为此，以电压控制模式Boost DC/DC变换器作为研究对象，全面考虑变换器的3个工作模态，建立了不连续导通模式下(即DCM模式)变换器的离散数学模型，并据此给出分岔图，采用倍周期分岔理论进行混沌现象研究，最后进行Matlab仿真给出时域波形图和相图。
平移法控制离散系统的倍周期分岔和混沌
希望的， 有时甚 至是 有 害的 ． 因而人 们希 望能够 采取 一些 方 法来 控 制 系统 中的分 岔 和混 沌 行 为 ． 当系 统处 于
混沌状 态时 ， 它包 含着很 多稳定 或 不稳定 的周 期运 动 ． 果 能够 找到 一些方法 把 这些混 沌 运动 变 为周期运 动 如
状态 ， 或者使 其保 持在某 个希望 的平衡 状态 ， 就可 以使 混沌 系统 变为 多用途 系统 ． 由于这些 原 因 ， 沌 的控 制 混
Ｊｎ． Ｏ ７ ａ ．２ ｏ
［ 文章编号 】 １０，４ Ｘ ２０ ）１ １６０ ０ １ ６ ｛０７ ０— １—５ ２ ０
平移 法控 制离散 系统的倍周 期分岔和混沌
于津江 ， 刘学军 韩万 强 ， 许海波 ，
（ ． 家 庄学 院物 理 系 ，河 北 石 家庄 １石 ００３ ； ２ 石 家 庄 学 院 数 学 系 ，河 北 石 家 庄 ５０ ５ ． ００ ３ ；稳 定不 动点 ， ３式 也是 系 统 （） 的稳定 不 动点 ． ５式 考虑 （） 存 在 ２个 实 根 的 必 要条 ５式
若 取 ＝３９ 系统 处 于混沌 状态 ， ６ 式 得 ０＜ｎ＜０５ ． 同时满足 ．， 由（ ） ．４要
＋（ ） ＝０ １～ ｘ ， （） ７
［ 关键 词 ］ 平 移 系 统 ； 沌控 制 ； 岔 控 制 混 分
［ 圈分 类 号 ］ 中 ０ ４ ５５ ［ 献标识码］ Ａ 文
Ｏ 引 言
混 沌是一 种非线 性 动力学 的行 为 ， 现为 对初值 的敏感 性 ， 吸 引子 的维 数 有 十分 复 杂 的 分 形 结构 ， 表 其 具
３ 北京应用物理与计 算数学研究所 ，北京 １０８ ） ． ００ ８
［ 摘 要 ］ 利 用 平 移 系 统 的 方 法 ，实 现 了对 离 散 非 线 性 动 力 学 系 统 的 倍 周 期 分 岔 的控 制 和 混 沌 吸 引 子 不 稳 定 周
一类新的交通流跟驰模型的倍周期分岔与混沌
收稿日期 : 2007210 220 基金项目 : 国家自然科学基金(5047 5109 ) ;甘肃省自然科学基金 3ZS0 512A 2 520 30 ; 高等学校博士学科点专项科研基金 ( 200 607 32002 )
甘 1 4 4
肃 科 学 学 报 2008 年 第 4 期
( 1. Sch ool o f Ma thematics , P h ysics an d So f twa re E n gineer in g , L an z hou J ia oto n g U ni vers ity , L an zh ou 730070 , Chin a; 2. Colle ge o f Mecha nica l an d Elect rical E n gi nee rin g , L a nz hou J ia oton g U n ivers ity , L an zh ou 730070 , Chin a)
(1. 兰州交通大学 数理与软件工程学院 , 甘肃 兰州 730070 ; 2. 兰州交通大学 机电工程学院 ,甘肃 兰州 730070 )
摘 要: 为了分析交通流混沌的转化机理 ,建立了一类新的交通流跟驰模型 ,并分析了模型的动力 学行为 . 数值模拟结果表明 , 在这一新的跟驰模型产生的交通流中存在倍周期分岔和混沌 . 而且系统 在经过倍周期分岔进入混沌的过程中 , 存在跳跃现象 ,特别是在某些参数下 , 存在跳跃现象的倍周期 分岔还具有一定的周期性 , 是首次得到的结果 . 关键词 : 交通流 ;跟驰模型 ;倍周期分岔 ;混沌 中图分类号 : O322 文献标识码 : A 文章编号 :100420366 (2008) 0420143204
[1 ,2 ]
统的混沌现象 [ 3 ] . 贺国光等人先后研究了耦合映射 模型 和 经 典跟 驰 模 型 [2 ,4 ,5 ] 中 的混 沌 现 象 . X. Y. Zhang 等人 [ 6 ] 建立了一 个基于 O2D 网络的动力 学 模型并分析了动力学特性 . 2007 年 ,文献 [ 7 ] 分析了 在用户平衡状态下的城市交通网络的动力学行为 . 交通流跟驰理论是研究在单一车道上车辆排队 行使时 ,后车跟随前车的行使状态 , 并用数学模式加 以分析阐明的一种理论 . 经典跟驰模型通常都是由 时滞微分方程描述 , 但对时滞微分方程进行数值仿 真的难度较大 , 且结果往往与实际情况有较大出入 . 为了改善经典跟驰模型的这一缺陷 , 建立了一类由