基于Matlab混沌系统的数值仿真

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Matlab 中的龙格 － 库塔（ Runge － Kutta） 实现
Matlab 软件以矩阵运算为基础， 把计算， 可视化， 程序设计等有机的融合在一起， 具有出色的数值计算 Matlab 提供了求解微分方程数值解的函数， 能力和强大的图形处理功能． 基于 Runge － Kutta 法， 一般调用 格式是： ［ t， x］= ode23（ ‘odefun’ ， tspan， x0） ， ［ t， x］= ode45（ ‘odefun’ ， tspan， x0 ） ． odefun 是定义的函数文件名， t0 ， tf ］ ， 其中， 该函数文件必须返回一个列向量． Tspan 形式是［ 表示求解 x0 是初始状态向量． 这两个函数分别采用" 二阶， 区间， 三阶 Runge － Kutta 法" 和" 四阶， 五阶 Runge － Kutta 法" ， 并采用自适应的求解方法， 即当解的变化较慢时采用较大的步长， 从而使计算速度很快， 当解的变化 ［4 ］ 较快时步长会自动变小长， 从而使计算精度很高． 在 Matlab 中， 一般选取四阶的龙格库塔方法 ．
第 32 卷 2． 1 Lorenz 系统
绵阳师范学院学报（ 自然科学版）
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美国气象学家洛伦兹（ E． N． Lorenz） 于 1963 年在大气科学杂志上提出第一个表现奇异吸引子的动力 ［5 ］ 学系统． 该系统模型可以用下列微分方程组描述 dx = ay － ax， dt dy （ 1） dt = cx － y － xz， dz = － bz + xy， dt 8 b， c ＞ 0 为参数． 通常取 a = 10 ， b= ， 其中 a， 则系统（ 1 ） 成为 3 dx = 10 y － 10 x， dt dy （ 2） dt = cx － y － xz， dz = － 8 z + xy， dt 3 A， B， 容易得到， 当 0 ＜ c1 时， 原点是系统（ 2 ） 的唯一平衡点； 当 c ＞ 1 时， 系统（ 2 ） 有三个平衡点 O， 分 别是 8 8 8 8 （ c － 1） ） ， － （ c － 1） ， c － 1） ， （ （ c － 1） ， （ c － 1） ， c － 1） ， 3 3 3 3 从而 c = 1 是系统的一个叉分支点． 在平衡点 O 处， 系统（ 2 ） 的线性化方程为 dx = 10 y － 10 x， dt dy dt = cx － y， dz = － 8 z + xy． dt 3 其相应的特征方程为 8 （ λ2 + 11 λ + 10 － 10 c） = 0 λ+ 3 （ 0， 0， 0） ， （ －
第 32 卷 第 2 期 2013 年 2 月
绵阳师范学院学报 Journal of Mianyang Normal University
Vol． 32 No． 2 Feb． ， 2013
基于 Matlab 混沌系统的数值仿真
杨纪华
（ 宁夏师范学院数学与计算机科学学院， 宁夏固原 756000 ） 摘 要： 利用 Matlab 软件对三个不同的混沌系统进行数值仿真． 首先， 对 Lorenz 系统， 通过对相应线性化方 程 利用 Matlab 软件， 对三个不同的系统进入混沌状态 的过程 特征根的分布理论得出了系统的线性稳定性区域． 然后， 进行数值仿真， 揭示出它们从规则运动转化到混沌运动 所 具 有的 普适 特 征， 并给出了 它们 关 于初 值 敏感性 的数值 仿真图以及相应的 Matlab 程序． 本研究成果有助于理解最终的混沌状态的性质． 关键词： 混沌; Matlab; 数值仿真; 稳定 612x（ 2013 ） 02001106 中图分类号： TP391. 9 ； O415. 5 文献标识码： A 文章编号： 1672-
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引言
根据实际问题建立的微分方程系统模型， 除变量、 未知变量和导数外， 还会有一些常数． 在实际问题 中， 这些常数是可以在一定范围内变动的 ， 我们一般称之为参数． 在研究微分方程时， 当参数变动跨越某个 数值时， 微分方程的解的性态会出现突然的巨大改变 ． 分支和混沌的研究就是探索和解释这类现象的 ． 分 支问题主要是研究当参数向量变动时 ， 相应微分系统的轨线何时出现重大改变． 所谓重大改变， 主要是指 平衡点的产生、 消失或稳定性的改变， 极限环的产生、 消失或稳定性的改变． 混沌目前尚无通用的严格的定 义，一般认为， 将不是由随机性外因引起的， 而是由确定性方程 （ 内因） 直接得到的具有随机性的运动状态 称为混沌． 混沌研究的对象也是含参数系统 ， 也涉及轨线分布的重大变化， 但与分支问题有所不同． 分支问 混沌问题关注的是参数达到某个值 （ 即阈值 ） 以后轨线分 题讨论某参数值附近轨线分布是否有重大变化 ， 布的巨大变化． 在混沌问题中， 参数值达到阈值后， 轨线的走向呈现无序的现象， 然而是否出现混沌通常无 ［1 － 3 ］ ． 随着计算机技术的发展， 法单纯由数学推理作出论证， 需要计算机模拟作为辅助手段 应用 Matlab 对 混沌系统进行数值仿真， 具有操作简单、 直观等优点． 本文在基于 Matlab 环境， 研究了三个混沌系统的数值 ， ， ， 解法和图形仿真 给出相应的程序语言 模拟出各类混沌系统的独特性质 比如倍周期， 初值敏感性， 分支 图等， 加深了我们对混沌现象的理解． 从数值仿真的角度来说， 本文的结果对于混沌系统的混沌同步以及 实现对混沌系统的控制和利用都有积极意义 ．
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几类混沌系统的数值仿真
1023 收稿日期： 2012基金项目： 宁夏师范学院创新团队资助项目（ zy201207 ） ； 宁夏自然科学基金资助项目（ NZ12225 ） ； 宁夏师范学院本科教学工程资助项目 （ JXGC2012B01 ） 作者简介： 杨纪华（ 1983 － ） ， 男， 讲师， 硕士研究生， 主要研究方向： 微分方程的稳定性与分支理论．