北师大版高二数学选修1-1试题及答案
北师大版高中数学选修1-1高二(文科)数学期中考试参考答案.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作高二文科数学参考答案一、填空11.0v gt = 12. a ≤3 13.212y x =- 14 .1251622=+y x 15. 28x y =- 解答16 解：x=0,y=1,y=21x+1 17 解：（1）函数的图象经过（0，0）点， ∴ c =0.又图象与x 轴相切于（0，0）点，'y =3x 2－6x +b ， ∴ 0=3×02－6×0+b ，解得b=0. （2）y=x 3－3x 2，'y =3x 2－6x ，当2x <时，'0y <；当2x >时，'0y >. 则当x =2时，函数有极小值-4.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B A D C D D A A18 解：设所求椭圆方程为22221x y a b+=，其离心率为e ，焦距为2c ，双曲线221412y x -=的焦距为21c ，离心率为1e ，（2分），则有： 2141216c =+=，1c ＝4 （4分） ∴1122c e == （6分） ∴133255e =-=，即35c a = ①又1b c =＝4 ②222a b c =+ ③由①、 ②、③可得225a =∴ 所求椭圆方程为2212516x y += 19 解：命题甲：m>2，命题乙：1<m<3. 故 1<m ≤2,或m ≥3 20 解：由函数f (x )图象过点（－1，－6），得3a b -=-, ……①由32()2f x x ax bx =++-，得()f x '=3x 2＋2ax ＋b , 则()()6g x f x x '=+=3x 2+(2a +6)x +b ;而g (x )图象关于y 轴对称，所以－2623a +⨯＝0，所以a =－3, 代入①得b =0. 于是f ′(x )＝3x 2－6x =3x (x －2). 由f ′(x )>0得x>2或x <0,故f (x )（－∞，0），（2，＋∞）上是增加的； 由f ′(x )<0得0<x <2, 故f (x )在（0，2）上是减少的.21解：由2222332e c a b a =∴=∴=∴双曲线方程为22222x y a -=设直线1122:,(0,),(,),(,)l y x m R m P x y Q x y =+则1222222222122220........(1)222x x m y x m x mx m a x y a x x m a+==+⎧⎧⇒---=∴⎨⎨-==--⎩⎩ 又因为3,4,OQ PQ RQ ∙=-=OP则有：21212121232()30.........(3)x x y y x x m x x m +=-∴++++=212122122143.......(2)4()34x x x x x y y y m y y m -==-⎧⎧⇒⎨⎨-=-+=⎩⎩ 由（1），（2）得2221,3,x m x m m a =-==代入（3）得221,1m a ==221,1,2m a b ∴=±==所以，所求的直线与双曲线方程分别是221,12y y x x =±-=。
高中数学 综合素质检测1 北师大版高二选修1-1数学试题
第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题是真命题的是( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2<y 2[答案] A[解析] 相应选项中的式子为等式或不等式，通过取特殊值判断命题是假命题．当x ＝－1时，B 是假命题；当x ＝y ＝－1时，C 是假命题；当x ＝－2，y ＝－1时，D 是假命题．易知A 是真命题．2．设a ∈R ，则“a >1”是“1a<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析]a >1⇒1a <1，1a<1⇒/a >1，故选A.3．“若a ⊥α，则a 垂直于α内任一条直线”是( ) A ．全称命题 B ．特称命题 C ．不是命题 D ．假命题[答案] A[解析] 命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题． 4．“B ＝60°”是“△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．充要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 在△ABC 中，若B ＝60°，则A ＋C ＝120°， ∴2B ＝A ＋C ，则A 、B 、C 成等差数列；若三个内角A、B、C成等差，则2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.5．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由“m＝2”可知A＝{1,4}，B＝{2,4}，所以可以推得A∩B＝{4}，反之，如果“A∩B＝{4}”可以推得m2＝4，解得m＝2或－2，不能推得m＝2，所以“m＝2”是“A∩B ＝{4}”的充分不必要条件．6．(2014·某某理，5)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( ) A．p或q B．p且qC．(¬p)且(¬q) D．p或(¬q)[答案] A[解析]取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p或q为真命题．7．有下列四个命题①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] A[解析]“若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”，假；“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；“若A∪B＝A，则A⊆B”为假，故其逆否命题为假．8．已知实数a >1，命题p ：函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，命题q ：x 2<1是x <a的充分不必要条件，则( )A ．p 或q 为真命题B ．p 且q 为假命题C ．¬p 且q 为真命题D ．¬p 或¬q 为真命题[答案] A[解析]∵a >1，∴Δ＝4－4a <0，∴x 2＋2x ＋a >0恒成立，∴p 为真命题；由x 2<1得－1<x <1，∴－1<x <1时，x <a 成立，但x <a 时，－1<x <1不一定成立，∴q 为真命题，从而A 正确．9．“a ＝－1”是方程“a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0”表示圆的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] C[解析] 当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2－2x －1＝0， 即(x －1)2＋y 2＝2表示圆，若a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ＋2≠02a 2－4a 3>0，解得a ＝－1，故选C.10．已知命题p ：存在x 0∈R ，使mx 20＋1≤1；命题q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0.若p ∨(¬q )为假命题，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2]C ．[0,2]D ．R[答案] B[解析] 对于命题p ，由mx 2＋1≤1，得mx 2≤0，若p 为真命题，则m ≤0，若p 为假命题，则m >0；对于命题q ，对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若命题q 为真命题，则m 2－4≤0，即－2≤m ≤2，若命题q 为假命题，则m <－2或m >2.因为p ∨(¬q )为假命题，所以命题p 为假命题且命题q 为真命题，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >0－2≤m ≤2，得0<m ≤2.故选B.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．命题：“在平面直角坐标系中，若直线l 1垂直于直线l 2，则它们的斜率之积为－1”的逆命题为________________________．[答案] 在平面直角坐标系中，若直线l 1与直线l 2的斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直12．存在实数x 0，y 0，使得2x 20＋3y 20≤0，用符号“∀”或“∃”可表示为____________，其否定为________________．[答案]∃x 0，y 0∈R,2x 20＋3y 20≤0 ∀x ，y ∈R,2x 2＋3y 2>013．在平面直角坐标系中，点(2m ＋3－m 2，2m －32－m )在第四象限的充要条件是________．[答案] －1<m <32或2<m <3[解析] 点(2m ＋3－m 2，2m －32－m )在第四象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3－m 2>02m －32－m <0⇔－1<m <32或2<m <3.14．给出下列四个命题： ①∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，故x >1；③命题“若a >b >0，且c <0，则c a >c b”的逆否命题是真命题；④“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充分不必要条件． 其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)． [答案]①②③[解析]①中，x 2＋2x >4x －3⇔x 2－2x ＋3>0⇔(x －1)2＋2>0，故①正确．②中，显然x ≠1且x >0，若0<x <1，则log 2x <0，log x 2<0，从而log 2x ＋log x 2<0，与已知矛盾，故x >1，故②正确③中，命题“若a >b >0，且c <0，则c a >c b”为真命题，故其逆否命题是真命题，∴③正确． ④“a ＝1”是直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直的充要条件，故④不正确． 15．在下列所示电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件：(1)如图①所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (2)如图②所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (3)如图③所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (4)如图④所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件． [答案] 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要[解析] (1)A 闭合，B 亮；而B 亮时，A 不一定闭合，故A 是B 的充分不必要条件．(2)A 闭合，B 不一定亮；而B 亮，A 必须闭合，故A 是B 的必要不充分条件．(3)A 闭合，B 亮；而B 亮，A 必闭合，所以A 是B 的充要条件．(4)A 闭合，B 不一定亮；而B 亮，A 不一定闭合，所以A 是B 的既不充分也不必要条件．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．写出命题“若x 2＋7x －8＝0，则x ＝－8或x ＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”[答案] 逆命题：若x ＝－8或x ＝1，则x 2＋7x －8＝0. 逆命题为真．否命题：若x 2＋7x －8≠0，则x ≠－8且x ≠1. 否命题为真．逆否命题：若x ≠－8且x ≠1，则x 2＋7x －8≠0. 逆否命题为真．17．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x≥2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.[答案] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题，都是真命题[解析] (1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题． (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题． 18．指出下列各题中，p 是q 的什么条件． (1)p ：(x －2)(x －3)＝0，q ：x －2＝0；(2)p ：四边形的对角线相等；q ：四边形是平行四边形．[答案] (1)p 是q 的必要不充分条件 (2)p 是q 的既不充分也不必要条件[解析] (1)p 是q 的必要不充分条件．这是因为：若(x －2)(x －3)＝0，则x －2＝0或x －3＝0，即(x －2)(x －3)＝0⇒/x －2＝0，而由x －2＝0可以推出(x －2)(x －3)＝0.(2)p 是q 的既不充分也不必要条件．这是因为：四边形的对角线相等⇒/四边形为平行四边形；反之，四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等．19．对于下列命题p ，写出¬p 的命题形式，并判断¬p 命题的真假：(1)p ：91∈(A ∩B )(其中全集U ＝N *，A ＝{x |x 是质数}，B ＝{x |x 是正奇数})； (2)p ：有一个素数是偶数； (3)p ：任意正整数都是质数或合数； (4)p ：一个三角形有且仅有一个外接圆． [答案] (1)(2)(4)¬p 为假命题 (3)¬p 为真命题 [解析] (1)¬p ：91∉A 或91∉B ；假命题． (2)¬p ：所有素数都不是偶数；假命题．(3)¬p ：存在一个正整数不是质数且不是合数；真命题．(4)¬p ：存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆；假命题．20．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，某某数m 的取值X 围．[答案] [2,4][解析] 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴¬p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴¬q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.经检验m ＝2，m ＝4适合条件，即实数m 的取值X 围为2≤m ≤4. ∴m 的取值X 围为[2,4]．21．(2014·马某某二中期中)设命题p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，若(¬p )且q 为真，试某某数m 的取值X 围．[答案]m >1[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1， 对命题q ：|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3，∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6. 若(¬p )且q 为真，则p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.。
北师大版高中数学选修1-1测试题及答案
高二文科数学周练试题一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1．已知命题 :p x ∀∈R ，sin 1x …，则（ ）A ．:p x ⌝∃∈R, sin 1x …B ．:p x ⌝∀∈R, sin 1x …C ．:p x ⌝∃∈R, sin 1x >D ．:p x ⌝∀∈R, sin 1x > 2．“p ∨q 为真”是“⌝p 为假”的 （ ）A ．充分不必要条件.B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．“220x x +-=”成立的一个充分而不必要条件是（ ）A ．1x =．B ．1x =-．C ．1x =或2x =-．D ．1x =-或2x =4.平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )A.[1,4];B.[2,6];C.[3,5 ];D. [3,6].5．椭圆x 2m + y 24 = 1 的焦距为2,则m 的值等于（ ）A ．5或3B ．8C ．5D ．35或6．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充分条件，那么丁是甲的 （ ） A ．充分不必要条件. B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F 1 、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|P F 1 |=3，则|P F 2|= （ ）A ．7B ．6C ．5D ．3 8．△ABC 一边的两个顶点为B （-3，0），C （3，0）另两边所在直线的斜率之积为λ （λ 为常数），则顶点A 的轨迹不．可能落在下列哪一种曲线上 （ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 9.曲线f(x)=x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y=4x －1，则P 0点坐标为（ ） A.(1,0); B.(2,8); C.(1,0)和(－1,－4); D.(2,8)和(－1,－4)10.若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ） A.2<k<5 ； B.k>5 ； C.k<2或k>5； D.以上答案均不对11.已知双曲线13622=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上,且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.563； B.665 ； C.56 ； D.6512、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A 、7米/秒B 、6米/秒C 、5米/秒D 、8米/秒二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线y x =2的焦点到准线的距离为______________.14．命题“若a =1, 则a 2=1”的逆命题是______________.15．设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是____________________16．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bxy 22=的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 .三、解答题 17、（本小题满分12分）设命题:p “方程012=++mx x 有两个实数根”，命题:q “方程244(2)10x m x +-+=无实根”，若p q ∧为假，q ⌝为假，求实数m 的取值范围．18、已知双曲线与椭圆2216439x y +=共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线的标准方程和离心率19、（本小题满分12分） 已知函数2()ln f x x x x =+ （Ⅰ）、求这个函数的导数()f x ' （Ⅱ）、求这个函数在1x =处的切线方程20、抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线16322=-y x 的右焦点重合，过点P （2，0）且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点。
北师大版高二数学选修1-1圆锥曲线方程测试题及答案
高二数学选修1-1圆锥曲线方程检测题姓名：_________班级：________ 得分：________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、设定点()10,3F -，()20,3F ，动点(),P x y 满足条件a PF PF =+21(a＞)0，则动点P 的轨迹是（ ）.A. 椭圆B. 线段C. 不存在D.椭圆或线段或不存在2、抛物线21y x m = 的焦点坐标为（ ） . A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,41m B ． 10,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ． ,04m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．0,4m ⎛⎫⎪⎝⎭3、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为（ ）. A ．14-B ．4-C ．4D ．144、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y=±x 21，则该双曲线的离心率e 为（ ） （A ）5 （B ）5 （C ）25 （D ）45 5、线段∣AB ∣=4，∣PA ∣+∣PB ∣=6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是（ ） （A ）2 （B ）2（C ）5（D ）56、若椭圆13222=++y m x 的焦点在x 轴上，且离心率e=21，则m 的值为（ ）（A ）2（B ）2 （C ）－2（D ）±27、过原点的直线l 与双曲线42x －32y =－1有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围是 A.(－23，23) B.(－∞,－23)∪(23,+∞) C.［－23,23］ D.(－∞,－23］∪［23,+∞)8、如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，P 是侧面BB1C1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C1D1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）. A.直线B. 抛物线C.双曲线D. 圆9、已知椭圆x 2sin α－y 2cos α=1（0＜α＜2π）的焦点在x 轴上，则α的取值范围是（ ）（A ）（43π，π） （B ）（4π，43π） （C ）（2π，π） （D ）（2π，43π）10、 F 1、F 2是双曲线116922=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∣P F 1∣·∣P F 2∣=32，则∠F 1PF 2是（ ）（A ） 钝角 （B ）直角 （C ）锐角 （D ）以上都有可能BA 1C 111、与椭圆1251622=+y x 共焦点，且过点（－2，10）的双曲线方程为（ ）（A ）14522=-x y （B ）14522=-y x （C ）13522=-x y （D ）13522=-y x12．若点 到点 的距离比它到直线 的距离小1，则 点的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13、已知双曲线的渐近线方程为y=±34x，则此双曲线的离心率为________.14．在抛物线 上有一点 ，它到焦点的距离是20，则 点的坐标是_________．15．抛物线上的一点到 轴的距离为12，则与焦点间的距离=______．.16、椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A 的小球(小球的半径忽略不计)从点A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分15分)椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆长轴端点的最短距离为3，求此椭圆的标准方程。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(答案解析)(4)
一、选择题1．已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（ ） A ．1(0,)30B ．1(0,)29C ．1(0,)28D ．1(0,)272．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =3．已知函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=，则曲线()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为（ ）A ．164-B ．149-C ．164D ．1494．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ）A ．ln 2B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+5．若关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（0，6﹣B ．（﹣∞，6﹣C ．（0，D ．（6﹣6．已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,eB ．()0,2eC ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞7．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+8．函数()()23ln 0,f x x x bx a b a R =+-+>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A B ．C ．2D ．9．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数()ln f x x =，若f x （） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ）A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +< D12> 11．曲线3215()433f x x x =--在点()3,(3)f 处的切线的倾斜角为( )． A ．－135°B ．135°C ．45°D ．45-12．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为（） A ．－233B ．10C ．20D ．233二、填空题13．设函数()()1xf x ex =+的图象在点()01，处的切线为y ax b =+，若方程x a b m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是__________．14．若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________．15．已知曲线1n y x +=在2x =处的切线与y 轴交点的织坐标为n a ，其中*n N ∈，则数列1{}2nn a +的前50项和的值为________. 16．设点P 是曲线2x y e x =+上任一点，则点P 到直线10x y --=的最小距离为__________．17．如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为___________．18．曲线()4ln 1f x x x =--在点()1,0P 处的切线方程是______.19．已知P 为直线1y x =+上的动点，Q 为函数()ln xf x x=图象上的动点，则PQ 的最小值为______．20．设函数()()321f x x a x ax =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为______________．三、解答题21．已知函数32()3f x x x x m =+-+，2()23g x x x -=+，若直线2y x a =-与函数()f x ，()g x 的图象均相切.（1）求实数,a m 的值；（2）当0m >时，求()()()F x f x g x =-在[]1,1-上的最值.22．记()f x '、()g x '分别为函数()f x 、()g x 的导函数.把同时满足()()00f x g x =和()()00f x g x ''=的0x 叫做()f x 与()g x 的“Q 点”.（1）求()2f x x =与()224g x x x =-+的“Q 点”；（2）若()212f x ax =+与()ln g x x =存在“Q 点”，求实数a 的值. 23．设函数()()224ln ,R.f x x ax x a =-∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对任意[)()21,,0x f x x a ∈+∞+->恒成立,求实数a 的取值范围.24．已知函数()2xf x e x =-()1求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;()2若函数()()g x f x a =-，[]1,1x ∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围25．已知函数()ln 1x af x x x=-- （I ）若()f x 在2x =处的切线的斜率为1ln2-，求a 的值； （Ⅱ）1x ∀>，不等式()11f x x >--恒成立，求整数a 的最大值. 26．已知函数()x f x e ax =-．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当12x ≥时，设21()12g x x =+，若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先设过点P 的切线方程():1l y k x t =-+，切点()00,x y ，利用导数的几何意义列式，转化为320001254t x x x +=-+有三个解，通过设函数()32254g x x x x =-+，问题转化为1y t =+与()y g x =有三个交点，求t 的取值范围. 【详解】设过点P 的直线为():1l y k x t =-+，()2341f x x x '=-+-，设切点为()00,x y ，则()20032000034112x x k k x t x x x ⎧-+-=⎪⎨-+=-+-⎪⎩ ，得320001254t x x x +=-+有三个解， 令()32254g x x x x =-+，()()()261042132g x x x x x '=-+=--，当()0g x '>，得1x >或25x <，()0g x '<，得213x <<， 所以()g x 在2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增，2,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 又228327g ⎛⎫=⎪⎝⎭，()11g =，()1g x t =+有三个解， 得281127t <+<，即1027t <<. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.2．C解析：C 【分析】由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1()xx f x e e=-，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【详解】由题意，因为函数()()xxa f x e a R e =+∈为奇函数，则()000a f e e =+=，解得1a =-，即1()xx f x e e =-，则1()x x f x e e +'=，所以1(0)2f e e '=+=，即2k =， 且当0x =时，01(0)0f e e =-=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．C解析：C 【分析】根据题意依次计算得()717xf x x=+，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：因为函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=， 所以()11xf x x=+，()212x f x x =+，()313x f x x =+，…，()717x f x x =+，所以()()72117f x x '=+，所以()()721116417f '==+． 故()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为164. 故选：C. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，导数的几何意义，考查运算能力，是中档题.4．D解析：D 【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.5．A解析：A 【分析】将方程根有四个根，转化为函数图象有四个交点，利用导数的几何意义，数形结合即可求得结果. 【详解】关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根，即方程()241x x k x -=+有四个不同的实数根，不妨设()()()24,1f x x x g x k x =-=+，则只需()(),f x g x 有四个交点即可， 又()g x 表示斜率为k ，且过点()1,0-的直线. 画出()(),f x g x 的图象如下所示：数形结合可知，当直线()1y k x =+与()f x 在0x >时相切为临界情况. 设切点为(),m n ，显然()0,2m ∈ 又相切时，24,24y x x y x '=-+=-+，故可得242411n m mk m m m -+==-+=++，解得51m =， 则相切时斜率625k =-故要满足题意，只需(0,625k ∈-. 故选：A . 【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及导数的几何意义，属综合中档题.6．D解析：D 【分析】原问题等价于函数()x h x xe =与函数1()()2g x m x =-有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线斜率，再结合函数特征，求出m 的取值范围即可. 【详解】解：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，等价于()x h x xe =与1()()2g x m x =-有两个不同的交点，()g x 恒过点1(,0)2，设()g x 与()h x 相切时切点为(,)a a ae ，因为'()(1)x h x e x =+，所以切线斜率为(1)a e a +，则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-，当切线经过点1(,0)2时，解得1a =或12a =-（舍），此时切线斜率为2e ，由函数图像特征可知：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则实数m 的取值范围是(2,)e +∞. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的综合应用，由函数零点求参数的取值范围，难度中等.7．C解析：C 【分析】求出函数()g x 的解析式，计算()g π的值即可. 【详解】由题意设()sin cos g x x x x c =-+，则()cos cos sin sin g x x x x x x x '=-+=，符合题意 故102g c π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得：1c =-， 故()sin cos 1g x x x x =--，()sin cos 11g πππππ=--=-， 故选：C ． 【点睛】本题考查了导数的运算法则以及导数 的计算，属于中档题.8．B解析：B 【分析】先求导,再将x b =代入,即()k f b '=,进而根据均值不等式求得最小值. 【详解】由题,()23232x bx f x x b x x-+'=+-=, 则函数()f x 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率为()22233b b k f b b b b-+'===+,设()3g b b b =+≥当且仅当3b b=,即b =,所以()g b的最小值为即min k = 故选:B 【点睛】本题考查利用导数求函数图像某点处的切线斜率,考查利用均值不等式求最值.9．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.10．A解析：A 【分析】1211x x =-12=，则116≤，由x 1≠x 2，利用基本不等式求得x 12+x 22＞512． 【详解】 由f （x）=lnx ，得f ′（x）1x=（x ＞0），∴1211x x -=，2112x x x x -=12+=，∴12=≥116≤， ∴x 1x 2≥256， ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞256．∴2212x x +＞2x 1x 2＝512．故选：A ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．11．B解析：B 【解析】 【分析】利用导数求出切线的斜率()3f '，再根据斜率的值求出切线的倾斜角． 【详解】()3215433f x x x =--，()2103f x x x '∴=-，()21033313f '∴=-⨯=-，所以，所求切线的斜率为1-，因此，曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线的倾斜角为135，故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的倾斜角与斜率之间的关系，利用导数求切线的倾斜角，把握两个基本点；（1）切线的斜率等于导函数在切点处的导数值；（2）当倾斜角不为直角时，直线倾斜角的正切值等于直线的斜率．12．A解析：A 【解析】 【分析】对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】对等式两边进行求导，得：2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5；又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选A ． 【点睛】本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．二、填空题13．【分析】首先由导数的几何意义可知切线的斜率将切点代入切线方程可得的值即可得有两个不等实根转化为与图象有两个不同的交点数形结合即可求解【详解】由可得在点处的切线斜率为所以将点代入可得所以方程即有两个不 解析：()0,1【分析】首先由导数的几何意义可知切线的斜率()0a k f '==，将切点()01，代入切线方程可得b的值，即可得21xm -=有两个不等实根，转化为21xy =-与y m =图象有两个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】 由()()1xf x ex =+可得()()()12x x x e x e x x e f =++=+'，在点()01，处的切线斜率为()0022k f e '===，所以2a =， 将点()01，代入y ax b =+可得1b =，所以方程xa b m -=即21xm -=有两个不等实根， 等价于21x y =-与y m =图象有两个不同的交点，作21xy =-的图象如图所示：由图知：若21xy =-与y m =图象有两个不同的交点则01m <<吗，故答案为：()0,1【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】求得函数的导数令求得得出函数的解析式再求得结合直线的点斜式方程即可求解【详解】由题意函数可得令可得解得所以可得所以曲线在点处的切线方程是即故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求 解析：3310x y -+=【分析】求得函数的导数()()211f x f x x ''=-+，令1x =，求得()11f '=，得出函数的解析式，再求得()413f =，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()()321111322f x f x x x '=-++，可得()()211f x f x x ''=-+， 令1x =，可得()()21111f f =-'+'，解得()11f '=， 所以()32111322f x x x x =-++，可得()413f =， 所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是413y x -=-，即3310x y -+=. 故答案为：3310x y -+=. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．【分析】求导得到根据切线公式得到切线方程故再计算前50项和得到答案【详解】则故故切线方程为：取得到前50项和为故答案为：【点睛】本题考查了切线方程通项公式数列求和意在考查学生的计算能力和综合应用能力 解析：1275-【分析】求导得到()()'1nf x n x =+，根据切线公式得到切线方程()()11222nn y n x +=+-+，故()12122n n n a n +=-++，12nn a n +=-，再计算前50项和得到答案. 【详解】()1n y f x x +==，则()()'1n f x n x =+，故()()'212n f n =+，()122n f +=故切线方程为：()()11222nn y n x +=+-+，取0x =，得到()12122n n n a n +=-++.()1112n n a n n +=-++=-，前50项和为()1505012752+-⨯=-.故答案为：1275-. 【点睛】本题考查了切线方程，通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16．【分析】过点作曲线的切线当切线与直线平行时点到该直线距离最小进而求解即可【详解】由题过点作曲线的切线则设点则当切线与直线平行时点到该直线距离最小则即所以点为则点到直线的最小距离为故答案为：【点睛】本【分析】过点P 作曲线2x y e x =+的切线,当切线与直线10x y --=平行时点P 到该直线距离最小,进而求解即可 【详解】由题,过点P 作曲线2x y e x =+的切线,则2xy e x '=+,设点()00,P x y ,则002xk e x =+,当切线与直线10x y --=平行时点P 到该直线距离最小,则0021xe x +=,即00x =,所以点P 为()0,1,则点P 到直线10x y --==,【点睛】本题考查导数的几何意义的应用,考查点到直线距离的最值问题,考查转化思想17．(10)【分析】先根据题意求出切线的斜率再求出函数的导数设利用导数和斜率求出将求出的代入求出【详解】解:曲线在点P 处的切线垂直于直线曲线在点P 处的切线的斜率函数的导数为设解得【点睛】本题主要考查了如解析：(1,0) 【分析】先根据题意求出切线的斜率k ,再求出函数4y x x =-的导数,设()00,P x y ,利用导数和斜率k 求出0x ,将求出的0x 代入4y x x =-,求出0y .【详解】 解:曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-, ∴曲线4y x x =-在点P 处的切线的斜率3k =,函数4y x x =-的导数为341y x '=-,设()00,P x y ,30413x ∴-=,解得01x =, 40000y x x ∴=-=,(1,0)P ∴【点睛】本题主要考查了如何求切点的坐标，关键是对导数的几何意义的熟练掌握，属于基础题.18．【分析】求得的导数由导数的几何意义可得切线的斜率再由点斜式方程可得所求切线的方程【详解】在点处的切线方程即故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及切线的方程的求法考查方程思想和运算能力属于基解析：.330x y --= 【分析】求得()4ln 1f x x x =--的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由点斜式方程可得所求切线的方程. 【详解】()4ln 1f x x x =--,31()4f x x x'∴=-, (1)3k f '∴==,()4ln 1f x x x ∴=--在点()1,0P 处的切线方程03(1)y x -=-,即330x y --=， 故答案为：330x y --= 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及切线的方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题.19．【分析】先求与直线平行且与相切的切线切点再根据点到直线距离公式求结果【详解】由题意的最小值为与直线平行且与相切的切线切点到直线的距离设切点为因为单调递增因此的最小值为故答案为：【点睛】本题考查导数几【分析】先求与直线1y x =+平行且与()ln xf x x=相切的切线切点，再根据点到直线距离公式求结果. 【详解】由题意，PQ 的最小值为与直线1y x =+平行且与()ln xf x x=相切的切线切点到直线1y x =+的距离，设切点为00(,)x y因为()22000221ln 1ln 1ln 1ln x x f x x x y x x x x --'=∴=∴+==+单调递增，01x ∴=因此PQln1|11|-+=【点睛】本题考查导数几何意义、点到直线距离公式，考查数形结合思想方法，属中档题.20．【分析】首先根据函数是奇函数求的值再利用导数的几何意义求切线方程【详解】是奇函数即即所以函数在处的切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的性质重点考查计算能力属于基础题型 解析：420x y --=【分析】首先根据函数是奇函数，求a 的值，再利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即()()()()()323211x a x a x x a x ax -+--+-=----， 即1a =，()3f x x x ∴=+，()231f x x ='+ ()12f ∴=，()14f '=，所以函数在1x =处的切线方程为()241y x -=-， 即420x y --=. 故答案为：420x y --= 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数的性质，重点考查计算能力，属于基础题型.三、解答题21．（1）1a =，2m =或20227m =-；（2）min ()1F x =，max ()1F x =-. 【分析】（1）由直线与二次函数相切，可由直线方程与二次函数关系式组成的方程组只有一个解，然后由判别式等于零可求出a 的值，再设出直线与函数32()3f x x x x m =+-+图像的切点坐标，由切点处的导函数值等于切线的斜率可求出切点坐标，从而可求出m 的值； （2）对函数()()()F x f x g x =-求导，使导函数为零，求出极值点，然后比较极值和端点处的函数值大小，可求出函数的最值. 【详解】（1）联立2223y x ay x x =-⎧⎨=-+⎩可得2430x x a -++=，164(3)0a ∆=-+=，1a设直线与()f x 的图象相切于点00(,)x y ，则2000()3232f x x x '=+-=，01x ∴=或05=3x -当01x =时，01y =，11312m m ∴+-+=⇒= 当05=3x -时，0133y =-，12525132025279327m m ∴-+++=-⇒=- 2m ∴=或20227m =-（2）由（1）2m =，3()1F x x x ∴=--，2()31F x x '∴=-令()0F x '≥则3x -≤≤-11x ≤≤；令()0F x '<则33x -<< ()F x ∴在1,⎛- ⎝⎭和⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎡⎢⎣⎦上单调递减 又(1)(1)1F F -==-，(139F -－＝，1⎝⎭min ()1F x F ∴==，max ()(1F x F == 【点睛】此题考查导数的几何意义，利用导数求最值，属于基础题. 22．（1）2；（2）212e . 【分析】（1）对()2f x x =与()224g x x x =-+进行求导，由()()00f x g x =和()()00f x g x ''=，结合新定义，即可求出()f x 与()g x 的“Q ”点；（2）对()212f x ax =+与()ln g x x =分别求导，根据新定义列式，求出a 的值. 【详解】（1）因为()()2,22f x g x x ''==-， 设0x 为函数()f x 与()g x 的一个“Q ”点.由()()00f x g x =且()()00f x g x ''=得20000224222x x x x ⎧=-+⎨=-⎩，解得02x =.所以函数()f x 与()g x 的“Q ”点是2. （2）因为()()12,f x ax g x x''==， 设0x 为函数()f x 与()g x 的一个“Q ”点.由()()00f x g x =且()()00f x g x ''=得200001ln 212ax x ax x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②，由②得2012a x =代入①得0ln 1x =，所以0x e =. 所以2201122a x e ==. 【点睛】本题考查导数运算以及函数与方程问题，结合新定义，同时考查推理论证能力以及方程思想和数学运算素养.23．（1）220x y +-=；（2）(),1-∞. 【分析】（1）求出函数的导数，计算f （1），f′（1），由点斜式可求切线方程；（2）g （x ）=f （x ）+x 2﹣a ，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到函数g （x ）的单调性，求出g （x ）的最小值，从而求出a 的范围即可． 【详解】解：（1）当1a =时, ()10f =,()()()44ln 24f x x x x =+'--,()'12,f =- 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()21,y x =-- 即220x y +-=.（2）设()()()[)22224ln ,1,,g x f x x a x ax x x a x =+-=-+-∈+∞则()()()()()44ln 2424ln 1,1,g x x a x x a x x a x x =-+-+=-+≥' 当1a ≤时, ()g x 在[)1,+∞上单调递增,所以,对任意1x ≥,有()()110g x g a ≥=->,所以 1.a <当1a >时, ()g x 在[)1,a 上单调递减,在(),a +∞上单调递增,所以()()()2min 12ln g x g a a a a ==--,由条件知, ()212ln 0a a a -->, 即()12ln 10.a a -->设()()12ln 1,1,h a a a a =-->则()12ln 0,1,h a aa =-'-所以()h a 在()1,+∞上单调递减,又()10h =, 所以()()10h a h <=与条件矛盾. 综上可知,实数a 的取值范围为(),1.-∞ 【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题． 24．(1) x+y-1=0. (2) 22ln 22a e -<≤-. 【分析】(1)求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；(2) 函数()()[],1,1g x f x a x =-∈-恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可. 【详解】（1）因为()e 2xf x x =-，所以()e 2xf x '=-.所以()0 1.f '=- 又()01,f =所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1,y x -=- 即10x y +-=.（5分）（2）由题意得，()e 2xg x x a =--，所以()e 2xg x '=-.由()e 20xg x ='-=，解得ln2x =，故当1ln2x -≤<时，()0g x '<，()g x 在[)1,ln2-上单调递减； 当ln21x <≤时，()0g x '>，()g x 在(]ln2,1上单调递增. 所以()()min ln222ln2g x g a ==--. 又()11e +2g a --=-，()1e 2g a =--，若函数恰有两个零点，则()()()11e 20,1e 20,ln22220,g a g a g ln a -⎧-=+-≥⎪=--≥⎨⎪=--<⎩解得22ln2e 2a -<≤-.所以实数a 的取值范围为(]22ln2,e 2--. 【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解. 25．（Ⅰ）2a =（Ⅱ）3 【分析】（Ⅰ）由题意得()12ln 21ln 224af '=-+=-,解之即得a 的值；（Ⅱ）不等式或化为()1ln 1x x a x +<-，设()()1ln 1x x h x x +=-，再利用导数研究函数h(x)的图像和性质得解. 【详解】解：（Ⅰ）()()221ln 1x xa x f x x x --'=+-， 由题意得()12ln 21ln 224af '=-+=-，则2a =. （Ⅱ）不等式或化为()1ln 1x x a x +<-.设()()1ln 1x x h x x +=-，()()2ln 21x x h x x --'=-． 设()ln 2g x x x =--，当1x >时，()1110x g x x x-'=-=>， 则()g x 在()1,+∞单调递增.又()31ln30g =-<，()42ln 40g =->，则()g x 在()3,4存在唯一零点0x 满足()000ln 20g x x x =--=.则当()01,x x ∈时，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()h x 单调递增，则()()()00001ln 1x x h x h x x +≥=-.又因为00ln 20x x --=，则()()0000011x x h x x x -==-，因为()03,4x ∈，则()()03,4a h x <∈，则整数a 的最大值为3.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查函数的最值、单调性、零点问题的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题.26．（1）10x y +-=； （2）9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，求出切线斜率，从而求出切线方程即可； （2）问题转化为a ≤2112x e x x --，令h （x ）＝2112x e x x--，求出函数的导数判断函数的单调性，求出a 的范围即可． 【详解】（1)当2a =时，()()2,2xxf x e x f x e '=-=-，则函数()f x 在点()()0,0f 处的切线的斜率为()01f '=-.又()01f =，故函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为()110,y x -=-⨯-即10x y +-=.（2）由()()f x g x ≥可得2112xe ax x -≥+，即2112x ax e x ≤--. 因为12x ≥，所以2112x e x a x--≤. 令()2112x e x h x x --=，则()()221112x e x x h x x --+'=. 令()()21112xx e x x ϕ=--+则()()1x x x e ϕ'=-（8分）因为12x ≥，所以()0x ϕ'>，所以()x φ在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则()1924h x h ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以94a ≤， 即实数a的取值范围9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了求切线方程的问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．。
最新(新课标)北师大版高中数学选修1-1全册模块综合练习及答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1模块同步练测建议用时实际用时满分实际得分45分钟一、选择题（每小题5分）1.下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；③“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列判断正确的是( )A.设x是实数，则“x＞1”是“｜x｜＞1”的充分不必要条件B.p:“x∈R,≤0”则有p:不存在x∈R,＞0C.命题“若=1,则x=1”的否命题为：“若=1，则x≠1”D.x∈(0,+∞),＞为真命题3.若集合A={1,},B={3,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.过点（2，4）作直线与抛物线=8x只有一个公共点，这样的直线有( )A.一条B.两条C.三条D.四条5.已知对任意的k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是( )A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）6.已知抛物线y=-+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A，B，则AB等于( )A.3B.4C.3D.47.已知抛物线=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-28.若原点到直线bx+ay=ab的距离等于+1，则双曲线-=1（a＞0，b＞0）的半焦距的最小值为( )A.2B.3C.5D.69.已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为( )A．－1 B．0 C．1 D．±110.若函数f(x)＝a－3x在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．a＜1 B．a≤1C．0＜a＜1 D．0＜a≤1二、填空题（每小题5分）11.已知命题p:x∈R,a+2x+3≥0，如果命题p为真命题，则实数a的取值范围是.12.函数f(x)=-+3+9x+a在区间[-2,2]上的最大值是20,则它在该区间上的最小值是.13.下列四个结论中，正确的有(填序号).①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“是“一元二次不等式a＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.三、解答题14.（10分）设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程.（2）设圆M过A（0，2），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，|EG|是否为定值?为什么?15.（12分）设p：实数x满足－4ax+3＜0，其中a＞0；q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.16.（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝(1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)17.（14分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，2），点C满足=α+β，其中α，β∈R，且+=1.（1）求点C的轨迹方程；（2）过点D（2，0）的直线l和点C的轨迹交于不同的两点M，N，且M在D，N之间，=λ，求λ的取值范围1.B 解析：①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题.2.A 解析：A中x＞1|x|＞1,|x|＞1x＞1或x＜-1，所以正确;B中p:x∈R,＞0;C中否命题为：“若≠1，则x≠1”;D中x=时是错误的.3.A 解析：若m=2，A={1,4}，则A∩B={4}；反之，若A∩B={4}，则需=4，即m=±2.故“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.4.B 解析：因为点（2，4）在抛物线上，则过点（2，4）的抛物线的切线只有一条.当斜率为0时，直线和对称轴平行，这时也只有一个公共点，则符合题意的直线有两条.5.C 解析：直线恒过定点（0，1），若直线与椭圆恒有公共点，只需点（0，1）在椭圆上或在椭圆内部，∴≤1.又m＞0且m≠5，∴m≥1且m≠5.6.C 解析：设A（，3-），B（，3-），由于A，B关于直线x+y=0对称，所以解得或设直线AB的斜率为k，则k=1，所以AB=|-|=3，故选C.7.B 解析：设A（，），B（，），则有=2p，=2p，两式相减得（-）（+）=2p（-）.又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有+=2p.又线段AB的中点的纵坐标为2，即+=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=-=-1.8.D 解析：双曲线的半焦距c=（c＞0），由题意得=+1，∴ab=+c.∵+≥2ab，∴ab≤，∴≥+c.又∵c＞0，∴c≥6.故选D.9.B 解析：可以设f(x)＝－2＋c，其中c为常数．由于f(x)过(0，－5)，所以c＝－5.由f′(x)＝0，得极值点为x＝0或x＝±1.当x＝0时，f(x)＝－5，故x的值为0.10.B 解析：f′(x)＝3a－3，由题意知f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．若a≤0，显然有f′(x)＜0；若a＞0，由f′(x)≤0，得－≤x≤，于是≥1，∴0＜a≤1.综上知a≤1.11.a＜解析：∵p为真命题，∴p为假命题.又当p为真命题时，需a+2x+3≥0恒成立，显然a=0时不正确，则需∴a≥，∴当p为假命题时，a＜.12.-7 解析：f′(x)＝－3+6x+9.令f′(x)＝0,得x＝-1或x＝3.∴f(x)在[-1,2]上单调递增.又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,∴f(2)＞f(-2).∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.于是有22+a＝20,解得a＝－2.∴f(x)＝-+3+9x-2.∴f(-1)＝1+3-9-2＝－7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.13.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件.x≠1≠1，反例：x＝－1＝1，∴“x≠1”是“≠1”的不充分条件.x≠0x＋|x|＞0，反例：x＝－2x＋|x|＝0.但x＋|x|＞0x＞0x≠0，∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.14.解：（1）如图，依题意知，动点P到定点F（0，1）的距离等于点P到直线y=-1的距离，故曲线C是以原点为顶点，F（0，1）为焦点的抛物线.∵=1，∴p=2.∴曲线C的方程是=4y.（2）设圆M的圆心为M（a，b），∵圆M过A（0，2），∴圆的方程为+=+.令y=0得-2ax+4b-4=0.设圆与x轴的两交点分别为（，0），（，0）.方法一：不妨设＞，由求根公式得=，=.∴-=.又∵点M（a，b）在抛物线=4y上，∴=4b.∴-==4，即|EG|=4.∴当M运动时，弦长|EG|为定值4.方法二：∵+=2a，·=4b-4，∴=-4·=-4（4b-4）=4-16b+16.又∵点M（a，b）在抛物线=4y上，∴=4b，∴=16，|-|=4，∴当M运动时，弦长|EG|为定值4.15.解：由－4ax+3＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若p是q的充分不必要条件，即q，且p.设A={x|p},B={x|q},则A B，又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.16. 解：(1)当0<x≤10时，W(x)＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；当x>10时，W(x)＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.∴W(x)＝(2)①当0<x≤10时，由W′(x)＝8.1－＝0，得x＝9，且当x∈(0,9)时，W′(x)>0；当x∈(9,10］时，W′(x)<0，∴当x＝9时，W(x)取最大值，且＝8.1×9－×－10＝38.6.②当x>10时，W(x)＝98－(＋2.7x)≤98－2＝38，当且仅当＝2.7x，即x＝时，W()＝38，故当x＝时，W(x)取最大值38.综合①②知当x＝9时，W(x)取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．17.解：（1）设点C（x，y），∵=α+β，∴（x，y）=α（1，0）+β（0，2），∴即代入+=1，得点C的轨迹方程为+=1.（2）由已知得0＜λ＜1，设M（，），N（，），则由=λ，可得（-2，）=λ（-2，），∴即∵M，N在椭圆上，∴消去，得+（1-）=1，即-=1-.利用平方差公式整理得=（λ≠1）.∵||≤1，∴||≤1，解得≤λ≤3，且λ≠1. 又0＜λ＜1，∴λ的取值范围是[，1).。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(答案解析)(2)
一、选择题1．若()f x lnx =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a =（） A ．1B ．2C ．3D ．3或1-2．已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（ ）A ．4040B ．4C ．2D ．03．若曲线21C y lnx ax =+：（a 为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 4．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则a =（ ） A ．124 B ．38C ．34D ．325．若曲线3222y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则12m n+的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．6+D ．6．若函数231()(0)3f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞-C ．(][),11,-∞-+∞D ．(](),11,-∞-+∞7．若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +128．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BCD 9．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．若点()0,A t 与曲线ln y x =上点B 距离最小值为t 为（ ）A ．ln 23+B ．ln32+C ．1ln 332+ D ．1ln 222+ 11．已知直线y ＝3x ﹣1与曲线y ＝ax +lnx 相切，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即'()f x 存在，且导函数'()f x 在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记''()('())'f x f x =，若''()0f x <在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是凸函数的是 （ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =- C ．3()21f x x x =-+-D ．()e x f x x -=-二、填空题13．定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,,x x a x x b <<<满足()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数已知函()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是___________. 14．设曲线()1*N n y xn +=∈在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为nx ，则20191201922019320192018log log log log x x x x ++++的值为________.15．直线l 经过点(,0)A t ，且与曲线2x y =相切，若直线l 的倾斜角为4π，则t =__________．16．已知函数f (x )＝2sin 3x ＋9x ，则()()lim 110f x f x x+-→____.17．曲线2x y x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_______． 18．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________． 19．若00x 03)()lim1(xx f x f x ∆→+∆-=∆，则0()f x '=________.20．正弦曲线sin y x =上一点P ，正弦曲线以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是______.三、解答题21．已知函数()x af x e-=，()ln g x x b =-．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,1处的切线方程；（2）若2a b =+，是否存在直线与曲线()y f x =和()y g x =都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由． 22．求下列函数的导数： （1）y ＝e x lnx ； （2）y 1cosxsinx+=． 23．已知函数()()()32231610f x x m x mx m m R =---+∈. （1）若0m =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若0m >，且当[]13,x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求m 的取值范围.24．已知函数ln ()xf x x=，()g x ax =，a R ∈． （1）求曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程；（2）若不等式()()f x g x <对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （3）若直线y a =-与曲线()()y f x g x =-相切，求a 的值. 25．已知函数2()()xf x e x ax a =+-，其中a 是常数.(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.26．设函数()()20f x ax bx c a =++≠，曲线()y f x =通过点()0,23+a ，且在点()()1,1f --处的切线垂直于y 轴.（1）用a 分别表示b 和c ；（2）当bc 取得最小值时，求函数()()-=-xg x f x e的单调区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先根据和曲线()ln f x x =相切得到切线方程，再根据和二次函数相切得到参数值. 【详解】设在函数()ln f x x =处的切点设为（x,y ）,根据导数的几何意义得到111k x x==⇒=，故切点为（1，0），可求出切线方程为y=x-1,直线和 ()2g x x ax =+也相切，故21x ax x +=-,化简得到()2110x a x +-+=,只需要满足()21401 3.a a ∆=--=⇒=-或故答案为D. 【点睛】求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.2．B解析：B 【分析】计算得到()()4f x f x +-=，()()''0f x f x --=，代入数据得到答案. 【详解】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xxe f x x x e=-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出()()4f x f x +-=是解题的关键.3．D解析：D 【解析】1'2,y ax x=+x ∈(0,+∞)， ∵曲线y =ln x +ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线， ∴120y ax x=+≥'在(0,+∞)上恒成立， ∴212a x-恒成立,x ∈(0,+∞). 令f (x )=212x -,x ∈(0,+∞),则f (x )在(0,+∞)上单调递增， 又f (x )=212x -<0， ∴a ⩾0. 故选D.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数. 4．B解析：B 【分析】先求得2a y x x '=+≥=，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，得到k ≥.【详解】由题意，函数2ln (0)y a x x a =+>，可得2a y x x '=+≥=当且仅当2a x x=时，即x =时，等号成立，又由曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，可得切线的斜率的取值范围是k ≥=，解得38a =.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.5．C解析：C 【分析】设点A 的横坐标为t ，利用切线斜率求得t 的值，可求得点A 的坐标为()2,2，可得出221m n +=，将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后利用基本不等式可求得12m n+的最小值. 【详解】设点A 的横坐标为t ，对函数3222y x x =-+求导得234y x x '=-， 由题意可得2344t t -=，即23440t t --=，解得2t =或23t =-. ①若2t =，则点A 的坐标为()2,2，此时点A 在直线46y x =-上，合乎题意； ②若23t =-，则点A 的坐标为222,327⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点A 不在直线46y x =-上，不合乎题意.所以，点A 的坐标为()2,2，由于点A 在直线10mx ny +-=，可得221m n +=，0m >，0n >，()12124222666m n m n m n m n n m ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为6+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用曲线的切线方程求切点坐标，同时也考查了利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.6．A解析：A 【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可． 【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴21122x a x x+=≥=，当且仅当1x =时等号成立， ∴a 的取值范围是[1,)+∞．故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础．7．D解析：D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】 设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.8．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-计算即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =.所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α=.所以51cos()tan()sin tan 22παπααα+-==⨯=故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.9．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x =-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.10．C解析：C 【分析】设点B 的坐标为(),ln m m ，根据直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直，得到t 关于m 的表达式，再利用两点间的距离公式结合AB 的最小值为m 的值，即可得出实数t 的值. 【详解】设点B 的坐标为(),ln m m ，对函数ln y x =求导得1y x'=，由题意可知，直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直，则ln AB t mk m m-==--， 得2ln t m m =+，由两点间的距离公式得AB ==由于AB 的最小值为4212m m +=，0m>，解得m =，因此，133ln 32t =+=+.故选：C. 【点睛】本题考查根据点到曲线上一点距离的最小值求参数，解本题的关键在于分析出直线AB 与曲线ln y x =在点B 处的切线垂直这个条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．B解析：B 【分析】对函数求导，设切点()00,x y ，表示出切线方程，与已知切线相同，从而得到关于a 和0x 的方程组，解出a 的值. 【详解】 设切点()00,x y ，因为ln y ax x =+，所以1y a x'=+ 所以切线斜率01k a x =+则切线为()()00001ln y ax x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭ 整理得001ln 1y a x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭又因为切线方程为31y x =-所以得013ln 11a x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，解得012x a =⎧⎨=⎩ 故选B 项. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义，未知切点表示切线方程，属于中档题.12．D解析：D【解析】 【分析】对A ，B ，C ，D 四个选项逐个进行二次求导，判断其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的符号即可得选项. 【详解】若()sin cos f x x x =+，则()sin cos f x x x ''=--，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若()ln 2f x x x =-，则21()f x x ''=-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若3()21f x x x =-+-，则()6f x x ''=-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若()xf x xe -=-，则()2(2)xx x f x exe x e ''---=-=-.在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''>，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的求导公式，充分理解凸函数的概念是解题的关键，属基础题．二、填空题13．【分析】根据题目给出的定义可得即方程在区间有两个解结合二次函数的图象和性质可构造关于的不等式组求解可得的取值范围【详解】因为在区间存在满足方程在区间有两个不相等的解令则解得：故答案为：【点睛】关键点解析：3655t <<【分析】根据题目给出的定义可得()()()()212065t t f f f x f x t t -''===-，即方程22126355x x t t -=-在区间()0,t 有两个解，结合二次函数的图象和性质可构造关于t 的不等式组，求解可得a 的取值范围． 【详解】 因为()3265f x x x =-，()21235f x x x '=-在区间[]0,t 存在1x ，2x ()120,x x t <<< 满足()()()()212065t t f f f x f x t t -''===-∴方程22126355x x t t -=-在区间()0,t 有两个不相等的解 令()22126355g x x x t t =--+，()0x t << 则()()222144612025520560056205t t t g t t g t t t ⎧⎛⎫∆=--+> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪<<⎪⎪⎨⎪=-+>⎪⎪⎪=->⎪⎩，解得：3655t <<故答案为：3655t << 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义的运算问题，关键是能够通过定义将问题转化为方程在区间内根的个数问题，从而可以根据二次函数的图像与性质，构造出不等关系，从而可求得结果．14．【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得切线方程可令求得再由对数的运算性质可得所求值【详解】的导数为在点处的切线方程为可令可得可得故答案为：【点睛】本题主要考查导数的运用考查切线方程的求 解析：1-【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，可令0y =，求得n x ，再由对数的运算性质可得所求值． 【详解】1(*)n y x n N +=∈的导数为(1)n y n x '=+， 在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-， 可令0y =，可得1n nx n =+， 可得20191201922019320192018log log log log x x x x +++⋯⋯+2019122018201920191220181log ()log ()log 12320192019x x x =⋯=⋅⋅⋅==-． 故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查导数的运用，考查切线方程的求法，考查对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15．【解析】【分析】设切点为（mm2）求函数导数求得切线斜率可得切点再由两点斜率公式计算即可得答案【详解】设切点为（mm2）y ＝x2的导数为y′＝2x 切线l 的斜率为k ＝2m ＝tan45°＝1解得m ＝可得解析：14【解析】 【分析】设切点为（m ，m 2），求函数导数，求得切线斜率可得切点，再由两点斜率公式，计算即可得答案． 【详解】设切点为（m ，m 2），y ＝x 2的导数为y ′＝2x ， 切线l 的斜率为k ＝2m ＝tan45°＝1， 解得m ＝12，可得切点为（12，14）， 由1＝10412t --，解得t ＝14．故答案为14．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．16．6cos3＋9【分析】根据导数的定义原式等于求出后令计算即可【详解】∵∴故答案为【点睛】本题主要考查导数的定义函数的导函数求解熟练掌握初等函数的求导是解题的关键属于基础题解析：6cos3＋9 【分析】根据导数的定义，原式等于()1f '，求出()f x '后令1x =计算即可． 【详解】∵()()2sin396cos39f x x x x '=+'=+. ∴()()0(1)1 lim16cos39x f x f f x→+-='=+，故答案为6cos39+．【点睛】本题主要考查导数的定义，函数的导函数求解，熟练掌握初等函数的求导是解题的关键，属于基础题．17．【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线方程求得与坐标轴的交点即可利用三角形的面积公式求得三角形的面积【详解】由函数可得导数为当时所以曲线在点处的切线方程为即令可得令可得所以曲线在处的切线与两坐标3【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求得切线方程，求得与坐标轴的交点，即可利用三角形的面积公式，求得三角形的面积. 【详解】由函数2xy x e =+，可得导数为12xy e '=+，当0x =时，3y '=，所以曲线2xy x e =+在点()0,2处的切线方程为23y x -=，即320x y -+=，令0x =，可得2y =，令0y =，可得23x =-， 所以曲线2xy x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为1222233⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求切线方程，即切线方程的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理、准确求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.18．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】解析：8 【解析】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．19．【详解】由极限的定义可得：故答案为：3【详解】由极限的定义可得：()()0003limx f x x f x x∆→+∆-∆()()0003lim 33x f x x f x x ∆→+∆-⎡⎤=⨯⎢⎥∆⎣⎦()031f x ='=，()01'3f x ∴=. 故答案为：1320．【分析】由可得直线的斜率为即可求出答案【详解】由可得切线为直线的斜率为：设直线的倾斜角则且所以故答案为：【点睛】本题考查求曲线上的切线的倾斜角的范围属于中档题解析：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【分析】由sin y x =可得()sin cos x x '=，直线l 的斜率为[]cos 1,1k x =∈-，即[]tan 1,1k α=∈-可求出答案.【详解】由sin y x =可得()sin cos x x '=， 切线为直线l 的斜率为：[]cos 1,1k x =∈-设直线l 的倾斜角α，则[]tan 1,1k α=∈-且0απ≤<.所以α30,,44πππ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故答案为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【点睛】本题考查求曲线上的切线的倾斜角的范围，属于中档题.三、解答题21．（1）y x =；（2）存在；1a y e x -=或1y x a -=-． 【分析】（1）当1a =时，()1x f x e-=，()1x f x e-'=，故()11k f ='=，再根据点斜式方程求解即可；（2）设直线与曲线()y f x =相切于点()11,A x y ，与曲线()y g x =相切于点()22,B x y ，则根据切点在切线上，也在曲线上得()11122211ln x a x a x a e x x b e e x x ---⎧=---⎪⎨⎪--=----⎩①②，整理得()()12110x x --=，再分当11x =时和21x =时两种情况求解即可.【详解】（1）当1a =时，()1x f x e-'=，()11f =，()11f '=曲线()y f x =在点()1,1处的切线方程为：()()()111y f f x -='-， 代入整理得：y x =.（2）设直线与曲线()y f x =相切于点()11,A x y ，与曲线()y g x =相切于点()22,B x y ，()x a f x e -'=，()1g x x'=曲线()y f x =在点A 处的切线为：()111x ax a y e e x x ---=-与曲线()y g x =相切于点B ，则()11122211ln x a x a x a e x x b e e x x ---⎧=---⎪⎨⎪--=----⎩①②由①得：1221ln ln x a x x -==-，则21ln x a x =- 将121x aex -=、21ln x a x =-代入②得：()1212211a xb x x x x ---=-， 整理得：()()12110x x --=当11x =时，()111a a y e e x ---=-，即1ay e x -=当21x =时，12ln 0a x x -==，1x a =，因此1y x a -=-，即1y x a -=- 存在这样的直线，直线为1ay e x -=或1y x a -=-【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键在于把握切点即在曲线上又在切线上且切点处的导数值为切线的斜率这三个方面列方程求解，考查运算求解能力，是中档题. 22．（1）y ′＝e x （lnx 1x +）；（2）y ′21cosx sin x--= 【分析】（1）根据导数的积的运算法则和求导公式计算即可； （2）根据导数商的求导法则和求导公式进行求解即可． 【详解】（1）y ′＝e x lnx +e x 1x⋅=e x （lnx 1x +）．（2）y ′＝（1cosxsinx +）′()2222211sinxsinx cosx cosx sin x cos x cosx cosx sin x sin x sin x --+-----===． 【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数的运算法则是解决本题的关键．23．（1）1270x y --=；（2）(]0,2. 【分析】（1）先对函数()y f x =求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；（2）问题可转化为求解函数()y f x =在区间[]1,3-上的最小值()min f x ，求导后对实数m 分3m ≥和03m <<两种情况讨论，求出()min f x ，然后解不等式()min 0f x ≥，即可求得实数m 的取值范围. 【详解】（1）当0m =时，()3223f x x x +=，()266f x x x '=+，由题意可得，()15f =，切线斜率()112k f '==，故曲线()y f x =在1x =处的切线方程()5121y x -=-，即1270x y --=；（2）()()()()2661661f x x m x m x x m '=---=+-.①若3m ≥，则对任意的[]13,x ∈-，()0f x '≤，则函数()y f x =在[]1,3-上单调递减，则只要()335810f m =-+≥， 解可得，81335m ≤<，不合题意，舍去； ②若03m <<，当1x m -≤≤时，()0f x '≤，当3m x <≤时，()0f x '>， 故函数()y f x =在[]1,m -上单调递减，在(],3m 上单调递增， 故只要()323100f m m m m =--+≥，0m >，解得02m <≤.综上可得，m 的范围为(]0,2. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，一般转化为与函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 24．(1) 10x y --= (2) 1(,)2e+∞ (3) 1a = 【分析】（1）先利用导数求切线的斜率，再求切线方程；（2）原命题等价于2ln xa x <对()0,x ∈+∞恒成立，再令()2ln xh x x=求()max h x 即得解.（3）设切点为0x ，则000020ln 1ln 0x ax a x x a x ⎧-=-⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解之得解. 【详解】（1）由题得21ln (),(1)1xf x k f x ''-=∴== 所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程y 0x 1-=-为10x y --=即；（2）由题得函数的定义域()0,+∞为. 即2ln xa x<对()0,x ∈+∞恒成立， 令()2ln x h x x =，所以()312ln xh x x-'=， 所以函数h(x)在(上单调递增，在)+∞上单调递减，所以()max 12h x he==， 故a 的取值范围为1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （3）由题得ln x y ax x =-，所以21ln x y a x-='- 设切点横坐标为0x ，则000020ln 1ln 0x ax a x x a x ⎧-=-⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得1a =.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题和切线问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 25．（Ⅰ）43y ex e =-（Ⅱ）24(,]e a a a ++- 【分析】（Ⅰ）当a ＝1时，f （1）＝e ，f ′（1）＝4e ，由点斜式可求得y ＝f （x ）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ） 令f ′（x ）＝e x [x 2+（a +2）x ）]＝0，可解得x ＝﹣（a +2）或x ＝0，对﹣（a +2）与0的大小关系分类讨论，可求得关于x 的方程f （x ）＝k 在[0，+∞）上有两个不相等的实数根的k 的取值范围． 【详解】解：(Ⅰ)由2()()x f x e x ax a =+-可得2'()e [(2)]x f x x a x =++.当1a =时,(1)f e =,'(1)4f e =.所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()41y e e x -=-， 即43y ex e =-（Ⅱ） 令2'()((2))0x f x e x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以 方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根. 当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2((2))a f a e +-+=. 因为 函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数，且当x a ≥-时，有()f x ()ae a a -≥->-.所以 要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]e a a a ++-. 【点睛】 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数研究函数的极值，突出考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查综合分析与综合运算的能力，属于难题．26．（1）2a ，23a +；（2）()g x 的减区间为(),2-∞-和()2,+∞；增区间为()2,2-.【解析】分析：（1）求函数的导数，利用已知条件和导数的几何意义，即可用a 分别表示b 和c ； （2）当bc 取得最小值时，求得a ，b 和c 的值.写出函数()g x 的解析式，根据求导法则求出()'g x ，令()'g x =0求出x 的值，分区间讨论()'g x 的正负，即可得到函数()g x 的单调区间.详解：解：（1）因为()2f x ax bx c =++，所以()2f x ax b ='+又因为曲线()y f x =通过点()023a +，, 故()023f a =+，而()0f c =，从而23c a =+.又曲线()y f x =在()()11f --，处的切线垂直于y 轴， 故()10f '-=，即20a b -+=，因此2b a =.（2）由（1）得()239223444bc a a a ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，故当34a =-时，bc 取得最小值94-. 此时有33,22b c =-=. 从而()2333422f x x x =--+，()3322f x x =-'-， ()()2333422x x g x f x e x x e --⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，所以()()()()23(44xx g x f x f x ex e --=-'-'=-. 令()0g x '=，解得122,2x x =-=.当(),2x ∈-∞-时，()0g x '<，故()g x 在(),2x ∈-∞-上为减函数； 当()2,2x ∈-时，()0g x '>，故()g x 在()2,2x ∈-上为增函数. 当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，故()g x 在()2,x ∈+∞上为减函数.由此可见，函数()g x 的单调递减区间为(),2-∞-和()2,+∞；单调递增区间为()2,2-. 点睛：本题考查导数的几何意义，利用函数的导数研究函数的单调性，以及二次函数的最值问题，做题时要注意函数的求导法则的正确运用.。
2020-2021学年北师大版高中数学选修1-1《命题》同步练习及答案
（新课标）最新北师大版高中数学选修1-1命题 同步练习一,选择题:1.下面的命题正确的是： ( )（1）220,x y x y +≠“若、不全为零”的否命题。
（2）“正多边形都相似”的逆命题。
（3）.",,0"的逆否命题则若ad ac d c a <><（4）“若a 是无理数”的逆否命题。
A ．（1）（2）（3） B ．(1)(4) C ．(2)(3)(4) D ．(1)(3)(4)2．设原命题：若a+b ≥2，则a,b 中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题 3．命题：“若a 2+b 2=0（a , b ∈R ），则a=b=0”的逆否命题是（ ）A ．若a ≠b ≠0（a , b ∈R ），则a 2+b 2≠0B ．若a=b ≠0（a , b ∈R ），则a 2+b 2≠0C ．若a ≠0且b ≠0（a , b ∈R ），则a 2+b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0（a , b ∈R ），则a 2+b 2≠04.给出以下四个命题:（1）若0232=+-x x ，则21==x x 或（2）若0)3)(2(,32≤--<≤-x x x 则;(3) 若0==y x ，则022=+y x(4)若x 、y *∈N ，y x +是奇数，则x 、y 中一个是奇数，一个是偶数. 则（ ）A.（1）的逆命题真B.（2）的否命题真C.（3）的逆否命题假D.(4)的逆命题假5．下列四个命题中是真命题的是（ ）A.Φ=B A I ，则Φ=A 或Φ=BB.两条对角线相等的四边形是正方形C.U B U A U U B A ===或则为全集),(ID ．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角互补.6.用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根,那么 a b c 、、中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是: ( )A ．假设a b c 、、都是偶数B ．假设a b c 、、至多有个是偶数C ．假设a b c 、、都不是偶数D ．假设a b c 、、至多有两个是偶数7．命题“若a=0,则ab=0”的逆否命题是 （ ）A、若ab=0,则a=0B、若a≠0，则ab≠0C、若ab=0,则a≠0D、若ab≠0，则a≠08．若x2－3x+2≠0是x≠1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么A⌝的（）⌝是BA、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件10.设命题甲：|x－2|＜3：命题乙：0＜x＜5；那么甲是乙的( )A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C．充要条件 D.既不充分也不必要条件11.给定两个命题p、q，则可组成四个复合命题“┐p”、“┐q”、“p或q”、“p且q”,这四个复合命题中，真命题的个数为a，假命题的个数为b，则a、b的大小关系是（）A．a>b B．a<b C．a=b D．以上都不对12. 命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个13. “p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14．下列命题①“等边三角形的三内角均为60°”的逆命题②若k>0，则方程x 2+2x －k=0有实根“的逆命题 ③“全等三角形的面积相等”的否命题④“若ab ≠0，则a ≠0”的逆否命题，其中真命题的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个15. 如图电路中，规定“开关A 的闭合”为条件M ，“灯泡B 亮”为结论N ，观察以下图1和图2，可得出的正确结论分别是 （ ）A ．M 是N 的充分而不必要条件.B 。
2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1全册模块质量试题及答案答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与命题：“若a ∈P 则b ∉P ”等价的命题是( ) A ．若a ∉P ，则b ∉P B ．若b ∉P ，则a ∈P C ．若a ∉P ，则b ∈PD ．若b ∈P ，则a ∉P解析： 原命题的逆否命题是“若b ∈P ，则a ∉P ”． 答案： D2．条件甲：“a 、b 、c 成等差数列”是条件乙：“ab ＋cb ＝2”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 甲⇒/乙，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1； 乙⇒甲，故甲是乙的必要不充分条件． 答案： A3．曲线f(x)＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4)解析： f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1. 答案： C4．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B ．x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1 D ．x 24＋y 216＝1解析： 双曲线x 24－y 212＝－1，即x 212－y 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.答案： D 5．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析： 由已知定义域为{x|x ≠0}， y ′＝8x －1x 2，令y ′＞0得x ＞12，故选C.答案： C6．若k 可以取任意实数，则方程x 2＋ky 2＝1所表示的曲线不可能是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆或双曲线D ．抛物线解析： 本题主要考查圆锥曲线的一般形式：Ax 2＋By 2＝c 所表示的圆锥曲线问题，对于k ＝0,1及k ＞0且k ≠1，或k ＜0，分别讨论可知：方程x 2＋ky 2＝1不可能表示抛物线．答案： D7．函数f(x)＝－13x 3＋x 2在区间[0,4]上的最大值是( )A ．0B ．－163C.43D ．163解析： f ′(x)＝2x －x 2，令f ′(x)＝0，解得x ＝0或2. 又∵f(0)＝0，f(2)＝43，f(4)＝－163，∴函数f(x)在[0,4]上的最大值为43.答案： C8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54 B ．52C.32D ．54解析： 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝32，所以1－b 2a 2＝e 21＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中，设离心率为e 2，则e 22＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e 2＝52.故选B. 答案： B9．已知f(2)＝－2，f ′(2)＝g(2)＝1，g ′(2)＝2，则函数 g (x )f (x )(f(x)≠0)在x ＝2处的导数为( )A ．－54B ．54C ．－5D ．5解析： 令h(x)＝g (x )f (x )，则h ′(x)＝g ′(x )f (x )－f ′(x )g (x )f 2(x )，∴h ′(2)＝－54.故选A.答案： A10．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，如果p 且q 、非q 同时为假，则满足条件的x 为( )A ．{x|x ≤－1或x ≥3，x ∉Z}B ．{x|－1≤x ≤3，x ∉Z}C ．{－1,0,1,2,3}D ．{0,1,2}解析： ∵p 且q 假，非q 为假， ∴p 假q 真，排除A ，B ，p 为假， 即|x －1|＜2，∴－1＜x ＜3且x ∈Z.∴x ＝0,1,2. 答案： D11．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.3或62B ．2或 3C.233或2D ．233或62解析： 设圆的两条过原点的切线方程为y ＝kx. 由2k 2＋1＝1得k ＝±3.当ba ＝3时，e ＝ca＝1＋b 2a 2＝2.当ab ＝3时，e ＝ca＝1＋b 2a 2＝233.答案： C12．设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x ＜0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析： f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(x)g(x)是奇函数．又当x ＜0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)＞0，即[f(x)g(x)]′＞0，所以F(x)＝f(x)·g(x)在(－∞，0)上是增函数，又g(－3)＝g(3)＝0，故F(－3)＝F(3)＝0.所以不等式f(x)g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)． 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)13．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角是________．解析： y ′＝x 2，则曲线在x ＝－1处的导数为1，所以tan α＝1，又因为α是切线的倾斜角，所以α＝45°.答案： 45°14．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)(4,0)，则双曲线的方程为________． 解析： 由题意知c ＝4，e ＝ca ＝2，故a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝12， 双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝1 15．函数f(x)＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值是________．解析： ∵f ′(x)＝1－2sin x ，令f ′(x)＞0，∴sin x ＜12.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，sin x ＜0＜12，即f ′(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上恒大于0，∴f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数，∴f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－π2.答案： －π216．已知：①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∩B ＝A ，则AB ”的逆否命题．其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)． 解析： ①逆命题：若x ，y 互为倒数，则xy ＝1.是真命题． ②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题． 如，a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)有|a|＝|b|＝2，但a ≠b.③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0”是真命题．这是因为当m ＜0时Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m ＞0恒成立．故方程有根．所以其逆否命题也是真命题．④若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题． 答案： ①②③三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析： ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的充分不必要条件．∴{x|1≤x ≤2}{x|a ≤x ≤a ＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＋2≥2，∴0≤a ≤1.18．(12分)已知命题p ：方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m＝1的离心率e ∈(1,2)，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围． 解析： p ：0＜2m ＜1－m ⇒0＜m ＜13，q ：1＜5＋m5＜2⇒0＜m ＜15， p 且q 为假，p 或q 为真⇒p 假q 真，或p 真q 假．p 假q 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0或m ≥130＜m ＜15⇒13≤m ＜15， q 假p 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜13m ≤0或m ≥15m ∈∅.综上可知13≤m ＜15.19．(12分)已知动圆过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，与直线x ＝－p2相切，其中p ＞0，求动圆圆心的轨迹方程．解析： 如图，设M 为动圆圆心，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0记为点F.过点M 作直线x ＝－p2的垂线，垂足为N ，由题意知|MF|＝|MN|，即动点M 到定点F与到定直线x ＝－p2的距离相等，由拋物线的定义，知点M 的轨迹为拋物线，其中F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0为其焦点，x ＝－p2为其准线，所以动圆圆心的轨迹方程为y 2＝2px(p ＞0)．20．(12分)已知函数f(x)＝2ax 3＋bx 2－6x 在x ＝±1处取得极值． (1)求f(x)的解析式，并讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值； (2)试求函数f(x)在x ＝－2处的切线方程． 解析： (1)f ′(x)＝6ax 2＋2bx －6， 因为f(x)在x ＝±1处取得极值，所以x ＝±1是方程3ax 2＋bx －3＝0的两个实根．所以⎩⎪⎨⎪⎧－b3a ＝0，－33a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.所以f(x)＝2x 3－6x ，f ′(x)＝6x 2－6.令f ′(x)＞0，得x ＞1或x ＜－1； 令f ′(x)＜0，得－1＜x ＜1.所以f(－1)是函数f(x)的极大值，f(1)是函数f(x)的极小值．(2)由(1)得f(－2)＝－4，f ′(－2)＝18，即f(x)在x ＝－2处的切线的斜率为18. 所以所求切线方程为y －(－4)＝18[x －(－2)]， 即18x －y ＋32＝0. 21．(12分)设函数f(x)＝x 3－92x 2＋6x －a. (1)对于任意实数x ，f ′(x)≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 解析： (1)f ′(x)＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x)≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x ＜1时，f ′(x)＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x)＜0； 当x ＞2时，f ′(x)＞0.所以当x ＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a ；当x ＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a ，故当f(2)＞0或f(1)＜0时，f(x)＝0仅有一个实根． 解得a ＜2或a ＞52.22．(14分)某椭圆的中心是原点，它的短轴长为22，一个焦点为F(c,0)(c ＞0)，x轴上有一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0且满足|OF|＝2|FA|，其中a 为长半轴长，过点A 的直线与该椭圆相交于P ，Q 两点．求：(1)该椭圆的方程及离心率；(2)若OP →·OQ →＝0，求直线PQ 的方程．解析： (1)依题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝2，c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，c ＝2.所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，离心率e ＝63.(2)由(1)可得点A(3,0)，由题意知直线PQ 的斜率存在，设为k ， 则直线PQ 的方程为y ＝k(x －3)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y22＝1，y ＝k (x －3)，得(3k 2＋1)x 2－18k 2x ＋27k 2－6＝0，依题意知，Δ＝12(2－3k 2)＞0，得－63＜k ＜63. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝18k 23k 2＋1，x 1x 2＝27k 2－63k 2＋1，从而得y 1＝k(x 1－3)，y 2＝k(x 2－3)， 于是y 1y 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)．因为OP →·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0， 解得5k 2＝1，从而k ＝±55∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－63，63，所以直线PQ 的方程为x －5y －3＝0或x ＋5y －3＝0.。
北师大版高二数学选修1-1试题及答案
选修1—1一、选择题：（每小题5分,共50分）1.已知P ：2＋2＝5，Q:3>2,则下列判断错误的是（ ）A.“P 或Q ”为真，“非Q ”为假；B.“P 且Q ”为假，“非P ”为真 ；C.“P 且Q ”为假，“非P ”为假 ；D.“P 且Q ”为假，“P 或Q ”为真2.在下列命题中，真命题是（ ）A. “x=2时,x 2－3x+2=0”的否命题；B.“若b=3,则b 2=9”的逆命题;C.若ac>bc,则a>b;D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题3.已知P:|2x －3|<1, Q:x(x －3)<0, 则P 是Q 的（ ）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件 ；C.充要条件 ；D.既不充分也不必要条件4.平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )A.[1,4];B.[2,6];C.[3,5 ];D. [3,6].5. 函数f(x)=x 3－ax 2－bx+a 2,在x=1时有极值10，则a 、b 的值为（ ）A.a=3,b=－3或a=―4,b=11 ；B.a=－4,b=1或a=－4,b=11 ；C.a=－1,b=5 ；D.以上都不对6.曲线f(x)=x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y=4x －1，则P 0点坐标为（ ）A.(1,0);B.(2,8);C.(1,0)和(－1,－4);D.(2,8)和(－1,－4)7.函数f(x)=x 3－ax+1在区间（1,+∞）内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.a<3 ；B.a>3 ；C.a ≤3；D.a ≥38.若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ） A.2<k<5 ； B.k>5 ； C.k<2或k>5； D.以上答案均不对9.函数y=xcosx －sinx 在下面哪个区间内是增函数（ ）A.()23,2ππ； B.)2,(ππ； C.)25,23(ππ； D.)3,2(ππ 10.已知双曲线13622=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上,且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.563；B.665 ；C.56 ；D.65 二、填空题：(每小题5分,共25)11.双曲线的渐近线方程为y=x 43±，则双曲线的离心率为________ 12.函数f(x)=(ln2)log 2x －5x log 5e(其中e 为自然对数的底数)的导函数为_______13.与双曲线14522-=-y x 有相同焦点，且离心率为0.6的椭圆方程为________14.正弦函数y=sinx 在x=6π处的切线方程为____________ 15.过抛物线y 2=4x 的焦点，作倾斜角为4π的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，则∆POQ 的面积为_________三、解答题： (每题15分,共75分)16.命题甲：“方程x 2+mx+1=0有两个相异负根”,命题乙：“方程4x 2+4(m －2)x+1=0无实根”，这两个命题有且只有一个成立，试求实数m 的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
选修1—1
一、选择题：（每小题5分,共50分）
1.已知P ：2＋2＝5，Q:3>2,则下列判断错误的是（ ）
A.“P 或Q ”为真，“非Q ”为假；
B.“P 且Q ”为假，“非P ”为真 ；
C.“P 且Q ”为假，“非P ”为假 ；
D.“P 且Q ”为假，“P 或Q ”为真
2.在下列命题中，真命题是（ ）
A. “x=2时,x 2－3x+2=0”的否命题；
B.“若b=3,则b 2=9”的逆命题;
C.若ac>bc,则a>b;
D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
3.已知P:|2x －3|<1, Q:x(x －3)<0, 则P 是Q 的（ ）
A.充分不必要条件；
B.必要不充分条件 ；
C.充要条件 ；
D.既不充分也不必要条件
4.平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )
A.[1,4];
B.[2,6];
C.[3,5 ];
D. [3,6].
5. 函数f(x)=x 3－ax 2－bx+a 2,在x=1时有极值10，则a 、b 的值为（ ）
A.a=3,b=－3或a=―4,b=11 ；
B.a=－4,b=1或a=－4,b=11 ；
C.a=－1,b=5 ；
D.以上都不对
6.曲线f(x)=x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y=4x －1，则P 0点坐标为（ ）
A.(1,0);
B.(2,8);
C.(1,0)和(－1,－4);
D.(2,8)和(－1,－4)
7.函数f(x)=x 3－ax+1在区间（1,+∞）内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A.a<3 ；
B.a>3 ；
C.a ≤3；
D.a ≥3
8.若方程1522
2=-+-k
y k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ） A.2<k<5 ； B.k>5 ； C.k<2或k>5； D.以上答案均不对
9.函数y=xcosx －sinx 在下面哪个区间内是增函数（ ）
A.()23,2π
π； B.)2,(ππ； C.)2
5,23(ππ； D.)3,2(ππ 10.已知双曲线13
62
2=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上,且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )
A.563；
B.665 ；
C.56 ；
D.6
5 二、填空题：(每小题5分,共25)
11.双曲线的渐近线方程为y=x 4
3±，则双曲线的离心率为________ 12.函数f(x)=(ln2)log 2x －5x log 5e(其中e 为自然对数的底数)的导函数为_______
13.与双曲线14
52
2-=-y x 有相同焦点，且离心率为0.6的椭圆方程为________
14.正弦函数y=sinx 在x=
6
π处的切线方程为____________ 15.过抛物线y 2=4x 的焦点，作倾斜角为4π的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，则∆POQ 的面积为_________
三、解答题： (每题15分,共75分)
16.命题甲：“方程x 2+mx+1=0有两个相异负根”,命题乙：“方程4x 2+4(m －2)x+1=0无实根”，这两个命题有且只有一个成立，试求实数m 的取值范围。
17.求过定点P （0，1）且与抛物线y 2=2x 只有一个公共点的直线方程。
18. 已知函数f(x)=2ax 3+bx 2－6x 在x=±1处取得极值
(1) 讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值;
(2) 试求函数f(x)在x=－2处的切线方程；
(3) 试求函数f(x)在区间[－3,2] 上的最值。
19．已知定点A （1，0），定直线l :x=5，动点M （x,y ）
(1)若M 到点A 的距离与M 到直线l 的距离之比为5
5,试求M 的轨迹曲线C 1的方程；
（2）若曲线C 2是以C 1的焦点为顶点，且以C 1的顶点为焦点，试求曲线C 2的方
程；
（3）是否存在过点F(5,0)的直线m ，使其与曲线C 2交得弦|PQ|长度为8呢？若存在，则求出直线m 的方程;若不存在，试说明理由。
20. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x2上异于坐标原
点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO （如图4所示）.
（Ⅰ）求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的
轨迹方程；
（Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出
最小值；若不存在，请说明理由.
选修1—1试题参考答案：
一、CDACD CCCBC
二、11．3
5,45 ； 12.x 1－5x ; 13.1251622=+y x ; 14．0361236=-+-πy x ; 15. 22.
三、 16．命题甲：m>2，命题乙：1<m<3. 故 1<m ≤2,或m ≥3新课标第一网
17．x=0,y=1,y=2
1x+1 18．（1）.f(x)=2x 3－6x; 故f(1)=－4是极小值,f(－1)=4是极大值
（2）.切线方程是18x －y+32=0
(3) .最大值为f(－1)=f(2)=4, 最小值为f(－3)=－36
19．提示:C 1方程为14
522=+y x ;C 2方程为1422=-y x 或x+m 的方程为x=5或y=26±(x －5) 20.解：（I ）设△AOB 的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), 则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x (1)
∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OA k k , 即12121-=+y y x x ， (2)
又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x ∴3
2332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3
232+=x y （II ）2221212222212221222221212
1))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆ 由（I ）得12212)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=
∆x x x x S AOB 当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立。
所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1；。