最新更新高二数学上学期11月月考试卷
2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市四校联考高二上学期11月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市四校联考高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．已知向量(2,3,1),(2,0,3),a b =-=则()a a b ⋅+=（ ） A ．21 B ．－21 C ．20 D ．－20【答案】A【解析】先求a b +的坐标，再根据向量数量积的坐标表示求数量积. 【详解】()4,3,4a b +=-，所以()()()24331421a a b ⋅+=⨯+-⨯-+⨯=. 故选：A2．圆()2224x y -+=与圆()()22219x y +++=的位置关系为（ ） A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．相离【答案】C【解析】计算出两圆的圆心距离，比较与半径之和、半径之差的大小关系即可得解. 【详解】由题意，圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，圆()()22219x y +++=的圆心为()2,1--，半径为3，因为两圆心的距离d ==3232d -<<+，所以两圆相交. 故选：C.3．已知椭圆C ：22194x y +=的左右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且118AF BF +=，则AB =（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】利用椭圆的定义得到 114AF BF AB a ++=，再根据118AF BF +=求解. 【详解】由椭圆22:194x y C +=知：a =3， 由椭圆的定义得：121226,26AF AF a BF BF a +==+==，所以11412AF BF AB a ++==， 又因为118AF BF +=， 所以AB 4=， 故选：A 4．“14a =”是直线()1:2110l a x ay --+=与直线2:210l x ay +-=平行的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先根据直线平行的充要条件求出a ，然后可得. 【详解】若14a =，则1:240l x y +-=，2:220l x y +-=，显然平行； 若直线12l l ∥，则2(21)a a a -=-且()2a a --≠，即14a =. 故“14a =”是直线()1:2110l a x ay --+=与直线2:210l x ay +-=平行的充要条件. 故选：C5．已知a ，b 为空间向量，若已知a b a b ==+，则,a b =（ ） A ．3π B ．2π C ．56π D ．23π 【答案】D【分析】根据向量的模的公式与夹角公式计算求解即可.【详解】解：因为a b a b ==+，平方可得222222a b a b a b a b ==+=++⋅，所以22ba b ⋅=-，所以2212cos ,2ba b a b a b b-⋅===-⋅，因为[],0,a b π∈，所以2,3a b π=． 故选：D6．如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，01112,2,3,60AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=∠=，则1BC 与1CA 所成角的余弦值为（ ）A ．12B 2C 3D ．0【答案】D【分析】设1,,AB A b c a D AA ===，利用空间向量的线性运算结合空间向量数量积的定义，得到11BC CA ⊥，从而得到答案．【详解】解：设1,,AB A b c a D AA ===， 则111BC BC CC AD AA b c =+=+=+，111CA CA AA CB BA AA a b c =+=++=--+，则2211()()BC CA b c a b c a b b b c a c b c c ⋅=+⋅--+=-⋅-+⋅-⋅-⋅+22112222332439022=-⨯⨯--⨯⨯+=---+=所以11BC CA ⊥，则1BC 与1CA 所成角为90︒，所以1BC 与1CA 所成角的余弦值为0． 故选：D ．7．已知1F ，2F 是双曲线22221(00)x y E a b ab-=>>：，的左，右焦点，点M 在E 上，2MF 垂直于x 轴，121sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）A 3B 2C ．2D ．32【答案】B【分析】在21Rt MF F △中，设2MF x =，根据已知可得13MF x =，2122F F x =. 结合双曲线的定义即可求得x 与a 的关系，进而求得离心率.【详解】由已知可得，21Rt MF F △中，21213s n 1i F MF M F MF ∠==. 设2MF x =()0x >，则13MF x =，22212122F M M x F F F =-=.根据双曲线的定义可知，122MF MF a -=，即22x a =，x a =，12222F F c a ==. 所以，2c a =，2ce a==.故选：B.8．过抛物线22y px =焦点F 的直线，与抛物线交于A 、B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212y y x x = （ ） A ．-4 B ．4C ．4pD ．-4p【答案】A【解析】设直线AB 的方程为2pmy x =-，与抛物线方程联立，化为2220y pmy p --=，利用根与系数的关系即可得出【详解】解：设直线AB 的方程为2pmy x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ， 联立222p my x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 消去x 化为2220y pmy p --=，所以21212,2y y p y y pm =-+=，所以2212121212()()()2224p p mp p x x my my m y y y y =++=+++ 22222244mp p p p m mp =-+⨯+=，所以21221244y y p px x -==-， 故选：A【点睛】结论点睛：此题考查抛物线的焦点弦问题，焦点弦有如下常用的结论 设AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，若1122(,),(,)A x y B x y ，则（1）2212124p x x y y p ==-；（2）弦长1222sin pAB x x p α=++=（α是直线AB 的倾斜角）； （3）112FA FB p+=二、多选题9．已知空间向量(1,2,1),(3,2,1)=-=--a b ，则（ ） A ．||6a = B ．a b ∥C ．a b ⊥D ．()10+⋅=a b b【答案】AC【分析】根据向量模的计算公式可判断A;看向量,a b 是否有倍数关系可判断B;根据数量积的计算，看a b ⋅是否为零，可判断C ；根据向量的运算结果，可判断D.【详解】因为||1(=+-=a ，所以A 正确； 因为不存在λ使λa b ，所以B 不正确；因为132(2)(1)(1)0⋅=⨯+⨯-+-⨯-=a b ，所以a b ⊥，所以C 正确；因为(4,0,2)+=-a b ，所以()430(2)(2)(1)14+⋅=⨯+⨯-+-⨯-=a b b ，所以D 不正确, 故选：AC.10．已知点(1,3)M -，直线:20l x my --=和圆22:(1)1C x y -+=，则（ ） A ．点M 在圆C 外 B ．直线l 过定点(2,0)C ．直线l 与圆C 相交D ．点M 到直线l 【答案】ABD【分析】根据给定条件求出直线l 过的定点、圆C 的圆心和半径，再逐一分析各选项判断作答. 【详解】直线:20l x my --=恒过定点(2,0)A ，圆22:(1)1C x y -+=的圆心(1,0)C ，半径1r =，对于A ，||3MC r >，则点M 在圆C 外，A 正确； 对于B ，直线l 过定点(2,0)，B 正确；对于C ，因||1AC r ==，即点(2,0)A 在圆C 上，直线l 与圆C 相交或相切，C 不正确；对于D ，点M 到直线l距离d === 当且仅当3m =-时取“=”，即点M 到直线lD 正确. 故选：ABD11．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：221(1)5x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．CC ．圆D 在C 的内部 D ．|PQ |【答案】BC【分析】根据椭圆方程直接判断A 、B 的正误，判断圆心与椭圆左焦点的距离及圆心横坐标对应椭圆点与圆心的距离，与圆的半径长度关系判断C 的正误，要使||PQ 最小，保证P 、Q 、D共线，即min min ||||PQ PD =设(,)P m n 应用两点距离公式及椭圆方程求||PD 最小值，即可判断D 的正误. 【详解】由椭圆方程知：1,a b c ===故焦距为2c =故A 错误；C的离心率c e a ==，故B 正确；由圆D 的方程知：圆心(1,0)D -1>=1x -的点到D的距离为||y =>D 在C 的内部，故C 正确； 设(,)P m n ，则2216m n =-，而222225564||(1)22()6655PD m n m m m =++=++=++，又m ≤可知min ||PD =min min ||||PQ PD ==D 错误. 故选：BC12．若方程221cos sin x y θθ+=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭,所表示的曲线为C ，则下列命题正确的是（ ） A ．曲线C 可以表示圆 B ．若曲线C 是椭圆，则02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,C ．曲线C 不可能表示直线D ．若,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则C 为双曲线【答案】ACD【解析】当4πθ=时，化简方程可判断出A 正确；曲线C 是椭圆，则cos 0sin 0cos sin θθθθ>⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解出θ可判断B不正确；由0,,22πππθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 0θ≠，sin 0θ≠，可判断出C 正确；若,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0,sin 0θθ<>，可判断出D 正确．【详解】当4πθ=时，方程221cos sin x y θθ+=，化为2222x y +=，表示圆，所以A 正确； 曲线C 是椭圆，则cos 0sin 0cos sin θθθθ>⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得0,,44ππθπ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 不正确；由0,,22πππθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 0θ≠，sin 0θ≠，所以曲线C 不可能表示直线，所以C 正确；若,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0,sin 0θθ<>，C 为双曲线，所以D 正确；故选：ACD三、填空题13．如图，正方形ABCD 的边长为3，则AB AC ⋅=__________________.【答案】9【分析】在正方形中确定向量的模以及夹角，再根据数量积的定义进行计算即可. 【详解】解析：正方形ABCD 的边长为3，则AC 长为32 向量,AB AC 的夹角为4π， 故2||||cos 332942AB AC AB AC π⋅=⋅=⨯⨯=， 故答案为：9.14．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1，平面BCC 1B 1的中心，则E ，F 两点间的距离为________．【答案】62【分析】建立空间直角坐标系，按照空间中两点的距离公式求解即可.【详解】解析：以D 为原点，1,,DA DC DD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，可得()21,1,2,1,2,2E F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以20,1,EF ⎛= ⎝⎭，所以EF ＝22261()2+-所以|EF |＝62615．已知线段AB 的端点B 的坐标是(3,4)，端点A 在圆22(2)(1)2x y ++-=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是_________. 【答案】22(21)(25)2x y -+-=【解析】设出A 和M 的坐标，由中点坐标公式把A 的坐标用M 的坐标表示，然后代入圆的方程即可得到答案.【详解】设()11,A x y ，线段AB 的中点M 为(,)x y . 则113242x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即112324x x y y =-⎧⎨=-⎩①. ∵端点A 在圆22(2)(1)2x y ++-=上运动， ∴()()2211212x y ++-=.把①代入得：22(21)(25)2x y -+-=.∴线段AB 的中点M 的轨迹方程是22(21)(25)2x y -+-=. 故答案为22(21)(25)2x y -+-=.四、双空题16．已知直线:4360l x y -+=，抛物线C ：24y x =上一动点P 到直线l 与到y 轴距离之和的最小值为______，P 到直线l 距离的最小值为______． 【答案】 134##0.75 【分析】将P 到y 轴距离转化为P 到准线的距离减1，再由抛物线的定义转化为PF ，再由点到直线的距离求解即可；先求出平行于直线l 且与抛物线相切的直线方程，再由两平行线间的距离求解即可.【详解】设抛物线C ：24y x =上的点P 到直线:4360l x y -+=的距离为1d ，到准线的距离为2d ，到y 轴的距离为3d ，由抛物线方程可得：焦点F 的坐标为()1,0，准线方程为=1x -，则321d d =-，2PF d =，因此1312111d d d d d PF +=+-=+-，因为1d PF +的最小值是焦点F 到直线:4360l x y -+=的距离，()2246243+=+-，所以1311d d d PF +=+-的最小值为211-=；设平行于直线l 且与抛物线C ：24y x =相切的直线方程为430x y m -+=，由24304x y m y x-+=⎧⎨=⎩，得230y y m -+=，因为直线430x y m -+=与抛物线C ：24y x =相切，所以()2340m ∆=--=，解得94m =，因此该切线的方程为94304x y -+=，所以两平行线间的距离为()229634443-=+-，即P 到直线l 距离的最小值为34．故答案为：1；34.五、解答题17．已知直线12:310:240++=⋅-+=l x y l x y 和圆22:22230C x y x y +---=，设1l 与2l 的交点为P ，直线2l 与圆C 的交点为A ，B ，求： (1)点P 的坐标； (2)线段AB 的长. 【答案】(1)(1,2)- (2)45【分析】（1）两直线方程联立方程组可解得交点坐标； （2）求出圆心到直线2l 的距离，用勾股定理计算弦长．【详解】（1）由310,240,x y x y ++=⎧⎨-+=⎩得1,2,x y =-⎧⎨=⎩所以点P 的坐标为(1,2)-；（2）因为圆C 的方程可化为22(1)(1)25x y -+-=， 所以圆C 的圆心坐标为(1,1)C ，半径为=5r ， 所以圆心C 到直线2l 的距离为|2114|55⨯-+==d ， 所以22||245=-=AB r d .18．已知空间三点(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C - （1）求以,AB AC 为边的平行四边形的面积;（2）若向量a 分别与,AB AC 垂直，且|a |=3，求a 的坐标. 【答案】（1）73；（2）()1,1,1a =或()1,1,1--- 【详解】(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),∴||=,||=,cos ∠BAC==,∴∠BAC =60°, ∴S=||·||sin ∠BAC =7. (2)设向量a =(x,y,z ),则由a ·=0, a ·=0,| a |=,得 ∴或∴a =(1,1,1)或(-1,-1,-1). 【点睛】本题主要考查向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示以及向量夹交余弦公式的应用，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行;（2）两向量垂直.19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>经过1(0,1),3,2⎫⎪⎭ （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:10l x y --=交椭圆E 于不同两点,,A B O 是坐标原点，求OAB 的面积.【答案】(1)2214x y +=；(2)45． 【分析】(1)将两点坐标代入椭圆方程中，求出,a b 的值，可求出椭圆的方程；(2)直线l 方程与椭圆方程联立，消去x ，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标12,y y ，设直线:10l x y --=与x 轴交于点P ，利用1212S OP y y =-进行求解． 【详解】(1)由题意得: 22213114b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩, 解得: 2,1a b == 即轨迹E 的方程为2214x y += (2)记()()1122,,,A x y B x y ，AB 的方程为1x y =+由22441x y x y ⎧+=⎨=+⎩消去x 得25230y y +-=， 所以1231,5y y =-= 设直线l 与x 轴交于点1,0P12118412255S OP y y =-=⨯⨯=20．如图，在四棱锥E ABCD -中，BE ⊥底面ABCD ，BC AD ∥，AB AD ⊥，1AB BC ==，3AD BE ==.(1)求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值；(2)求平面CDE 与平面ABE 夹角的余弦值.【答案】2 346【分析】（1）由向量法即可求得异面直线的夹角余弦值；（2）由向量法即可求得面面角的夹角余弦值.【详解】（1）因为BE ⊥底面ABCD ，,BA BC ⊂底面ABCD ，所以BE BA ⊥，BE BC ⊥，且AB AD ⊥，BC AD ∥，所以BA BC ⊥，以B 为坐标原点，分别以,,BE BA BC 为.,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0A ，()0,0,1C ，()3,0,0E ，()0,1,3D ，则()3,1,0AE =-，()0,1,2CD =， 所以2cos ,105AE CD ==⨯ 故异面直线AE 与CD 2（2）()3,0,1CE =-，设平面CDE 的法向量为(),,n x y z =，则00n CE n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3020x z y z -=⎧⎨+=⎩， 令1x =，得()1,6,3n =-.易知()0,0,1m =是平面ABE 的一个法向量， 因为3346cos ,4646m n ==， 所以平面CDE 与平面ABE 夹角的余弦值为34646. 21．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，11,,AA AB AC AB AC M ===⊥，N 分别是棱 1,CC BC 的中点，点P 在线段11A B 上.(1)当直线PN 与平面111A B C 所成角最大时，求线段1A P 的长度；(2)是否存在这样的点P ，使平面PMN 与平面1AC C 6若存在，试确定点P 的位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1)12(2)存在， A 1P =14【分析】（1）作出线面角，因为对边为定值，所以邻边最小时线面角最大；（2）建立空间直角坐标系，由向量法求二面角列方程可得.【详解】（1）直线PN 与平面A 1B 1C 1所成的角即为直线PN 与平面ABC 所成角，过P 作PH AB H ⊥于,PNH ∠即PN 与面ABC 所成的角，因为PH 为定值，所以当NH 最小时线面角最大，因为当P 为中点时，NH AB ⊥,此时NH 最小，即PN 与平面ABC 所成角最大，此时112A P =.（2）以AB ,AC ,AA 1为x ,y ,z 轴建立空间坐标系，则：A （0,0,0),B (1,0,0),C (0,1,0),A 1(0,0,1)设111(1,0,0)A P A B λλ===00λ（，，）(,0,1)P λ∴，111001222N M （，，），（，，）， 11111122222NP NM λ=--=-（，，），（，，），设平面PMN 的法向量为,,)n x y z =（， 则00NP n NM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即110220x y z x y z λ⎧⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-++=⎩，解得1(3,21,22)n λλ=+-， 平面AC 1C 的法向量为2(1,0,0)n =121222126cos ,98458414n n n n n n λλλλ⋅====+-+-+,21168104λλλ∴-+==，. 所以P 点为A 1B 1的四等分点，且A 1P =14. 22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点为1F ､2F ，离心率为12，过2F 的直线l 交C 于A ､B 两点，若1AF B △的周长为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆上存在两点关于直线4y x m =+对称，求m 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）m <<【解析】（1）依题意可得14AF B a C =，即可求出a ，再根据椭圆的离心率求出c ，最后根据,,a b c 的关系求出b ，即可求出椭圆方程；（2）设椭圆上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于4y x m =+对称，则AB 的方程为14y x t =-+，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由0∆>求出t 的取值范围，再由AB 的中点在直线4y x m =+上，即可得到m 与t 的关系，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）1AF B △周长为8，即48a =，2a ∴=.又因为12e =，1c ∴=，b =椭圆方程22143x y C +=：， （2）设椭圆上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于4y x m =+对称，则AB 的方程为14y x t =-+，由2214143y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 有：2213816480x tx t -+-= 由22(8)413(1648)0.t t ∆=--⨯⨯->得213,4t <① 又1212128124,()213413t t x x y y x x t +=+=-++= 因为AB 的中点在直线4y x m =+上，所以1212422y y x x m ++=+，即12441313t t m =⨯+ 所以1340m t +=②，由①②得：2413m <，即m <<【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
高二数学上学期11月月考试题含解析
HY 中学2021-2021学年高二数学上学期11月月考试题〔含解析〕一、选择题〔每一小题3分，一共36分〕1.假设1x +与1y -的等差中项为5，那么x y +=〔 〕 A. 5 B. 10C. 20D. 不确定【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项公式，得出()()2511x y ⨯=++-，即可求解，得到答案．【详解】由题意，因为1x +与1y -的等差中项为5，所以()()2511x y ⨯=++-，即10x y +=，应选B ．【点睛】此题主要考察了等差中项公式的应用，其中解答中熟记等差中项公式，列出关于,x y 的方程是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．2.设{n a }是首项为1a ，公差为﹣2的等差数列，n S 为前n 项和，假设S 1，S 2，S 4成等比数列，那么1a ＝〔 〕 A. 2 B. ﹣2C. 1D. ﹣1【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式,求出1S ,2S ,4S ,再根据S 1，S 2，S 4成等比数列,列方程可求得. 【详解】由等差数列的前n 项和公式得211(1)(2)(1)2n n n S na n a n -=+⨯-=-++, 所以11S a =,2122S a =-,41412S a =-,因为S 1，S 2，S 4成等比数列,所以2214S S S ,即2111(22)(412)a a a -=-,解得11a =-.应选D .【点睛】此题考察了等差数列的前n 项和公式、等比数列的性质.属于根底题. 3.在ABC ∆中，假设1a =，1b =，c =，那么ABC ∆中最大角的度数为〔 〕 A. 60° B. 90°C. 120°D. 150°【答案】C 【解析】 【分析】比拟三边a b c ，，的大小，最大边c 所对的角C 为最大角，再利用余弦定理求解. 【详解】由于c a b >>，所以ABC ∆中的最大角为C ，所以2211101cos 2C +-==-，所以120C =.【点睛】此题考察三角形边角关系以及余弦定理运用.三角形边与角之间满足：大边对大角，大角对大边；余弦定理在解三角形中常见的两种类型：1、三边求角；2、两边及夹角解三角形.4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，那么当S n 取最小值时，n 等于( ) A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】A 【解析】分析：条件已提供了首项，故用“a 1，d 〞法，再转化为关于n 的二次函数解得． 解答：解：设该数列的公差为d ，那么a 4+a 6=2a 1+8d=2×〔-11〕+8d=-6，解得d=2，所以S n =-11n+()n n 12-×2=n 2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，S n 取最小值．应选A点评：此题考察等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考察二次函数最值的求法及计算才能．【此处有视频，请去附件查看】5.数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 分别满足以下各式，其中数列{}n b 必为等差数列的是〔 〕 A. ||n n b a =B. 2n n b a =C. 1n nb a =D.2nn a b =-【答案】D 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，选项A,B,C,都不满足1n n b b --=同一常数，所以三个选项都是错误的； 对于选项D ，1112222n n n n n n a a a a d b b -----=-+==-, 所以数列{}n b 必为等差数列. 应选：D【点睛】此题主要考察等差数列的断定和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 5+a 7+a 9＝21，那么S 13＝〔 〕 A. 36 B. 72C. 91D. 182【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求出77a =,根据等差数列的前n 项和公式13713S a =可得. 【详解】因为{a n }为等差数列,所以5797321a a a a ++==, 所以77a =, 所以1131313()2a a S +=71322a ⨯=71313791a ==⨯=. 应选C .【点睛】此题考察了等差数列的性质、等差数列的前n 项和.属于根底题. 7.n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和．假设2m S =，210m S =，那么3m S = A. 14 B. 24C. 32D. 42【答案】D 【解析】因为各项为正，根据等比数列中232,,m m m m m S S S S S --成等比数列的性质，知32,102,10m S --成等比数列，所以31032m S -=，342m S =，应选D.8.我国古代数学名著?算法统宗?中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，一共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〞意思是：“一座7层塔一共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，那么塔的顶层一共有灯多少？〞现有类似问题：一座5层塔一共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，那么塔的底层一共有灯 A. 81盏 B. 112盏C. 162盏D. 243盏【答案】D 【解析】 【分析】从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列，其和为363．由等比数列的知识可得．【详解】从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为12345,,,,a a a a a ，此数列是等比数列，公比为3，5项的和为363，那么51(13)36313a -=-，13a =，∴4451333243a a =⨯=⨯=．应选D ．【点睛】此题考察等比数列的应用，解题关键是根据实际意义构造一个等比数列，把问题转化为等比数列的问题．9.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，假设()()0,(0)1f x f x f '+<=， 那么不等式()1xe f x <的解集为〔 〕 A. (,0)-∞B. (0,)+∞C. (,1)-∞D.(1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】不等式的()1xe f x <的解集等价于函数()()xg x e f x =图像在1y =下方的局部对应的x 的取值集合，那就需要对函数()()xg x e f x =的性质进展研究，将()()'0f x f x +<复原为()()'()'0x x e f x e f x +<，即()()'()0x g x e f x '=<，在R 上单调递减，且()01g =，故当0x >，()1g x <,即可解得不等式解集. 【详解】解：令()()xg x e f x =因为()()'0f x f x +< 所以，()()'()'0x xe f x e f x +<故()()'()0xg x e f x '=<故()g x 在R 上单调递减， 又因为()01f = 所以，()01g =所以当0x >，()1g x <，即()1xe f x <的解集为()0,+∞应选B.【点睛】不等式问题往往可以转化为函数图像问题求解，函数图像问题有时借助函数的性质〔奇偶性、单调性等〕进展研究，有时还需要构造新的函数.10.设二次函数f 〔x 〕＝x 2+ax +b ，假设对任意的实数a ，都存在实数122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，使得不等式|f 〔x 〕|≥x 成立，那么实数b 的取值范围是〔 〕 A. [)1,2,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B. ][1134∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭，，C. ][1944∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭，，D. ][1934∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭，，【答案】D 【解析】【分析】根据补集思想先将问题转化为条件的反面〞 1[,2]2x ∀∈,11bx a x-<++<〞进一步转化为〞 ()g x b x x =+,1[,2]2x ∈的最大值与最小值之差小于2”,然后利用导数求出函数()g x 的最大最小值代入,求得b 的范围.再求出其补集即可.【详解】问题条件的反面为〞假设存在实数a ,对任意实数1[,2]2x ∈,使得不等式|()|f x x <成立|,即1[,2]2x ∀∈,11b x a x -<++<,设()g x b x x =+,1[,2]2x ∈ 所以max ()1g x a +<,min ()1g x a +>-,所以min ()1g x a --<, 所以max min ()()11g x a g x a +--<+, 即max min ()()2g x g x -<.因为2()1b g x x '=-22x bx-=,1[,2]2x ∈, 当4b ≥时,()0g x '≤()g x 为1[,2]2上的递减函数,所以max 11()()222g x g b ==+,min ()(2)22bg x g ==+,所以122222b b +--<,解得76b <(舍去);当144b <<时,()g x在1[2上递减,在2]上递增, max 11()()222g x g b ==+或者max ()(2)22bg x g ==+,min ()g x g ==所以1222222b b ⎧+-<⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩,解得1944b <<.当14b ≤时,()0g x '≥,()g x 在1[,2]2上递增, max ()(2)22b g x g ==+,min 11()()222g x g b ==+,所以122222b b +--<,解得1134b -<≤,所以1934b -<<. 综上所述,所务实数b 的取值范围是13b ≤-或者94b ≥. 应选D.【点睛】此题考察了补集思想,不等式恒成立问题,分类讨论思想,转化思想,利用导数研究函数的单调性,利用单调性求函数的最值等.此题属于难题.此题解题的关键是利用补集思想将问题转化为条件的反面求b 的范围.然后可得满足题目条件的b 的范围.11.在数列{a n }，a 1＝8，那么数列{a n }的通项公式为〔 〕 A. a n ＝2〔n +1〕2 B. a n ＝4〔n +1〕C. a n ＝8n 2D. a n ＝4n〔n +1〕 【答案】A 【解析】 【分析】利用是等差数列可得.=,-=所以==的等差数列,(1)n =+-(n =+,所以22(1)n a n =+.应选A.【点睛】此题考察了等差数列的定义以及通项公式,属于根底题.12.假设不等式12a b <-≤，24a b ≤+<，那么42a b -的取值范围是〔 〕 A. []5,10 B. ()5,10C. []3,12D. ()3,12【答案】B 【解析】分析：,a b x a b y -=+=用变量交换，再得出解集详解：(),,12,244a 2b 3x y 5,10a b x a b y x y -=+=<≤≤<∴-=+∈ 点睛：不等式只能线性运算,。
高二数学上学期11月月考试题 试题
卜人入州八九几市潮王学校红河州县文澜高级二零二零—二零二壹高二数学上学期11月月考试题第一卷(选择题一共60分)一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1．以下表达中,正确的选项是〔〕A. αα∈∈Q P ,∴α∈PQB. βα∈∈Q P ,,∴PQ =βαC ． ABD AB C AB ∈∈⊂,,α,∴α∈CD D ． ,,βα⊂⊂AB AB ∴AB =βα2．以下说法正确的选项是〔〕A ．三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形 C ．梯形一定是平面图形 D ．分别在不同平面内的两条直线是异面直线 3．在ABC ∆中,060,2,1===B BC AB ,ABC ∆面积等于 〔〕A ．46B ．43C ．23D ．43 4．如右所示在正方体1111D C B A ABCD -中异面直线AB 1和A 1C 1所成的角为〔〕A ．450B ．600C ．900D ．3005．将球的半径变为原来的两倍，那么球的体积变为原来的〔〕6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设,357=S 那么=4a 〔〕A ．8B ．7C ．6D ．57．假设l 、a 、b 表示直线，α、β〕A ．l a l a αα⊂⇒∥,∥B ．a a b b αα⇒∥,∥∥C ．,a b a b αα⊥⇒⊥∥D ．a a ααββ⇒∥,∥∥8．设a,b 实数，且3=+b a ，那么b a 22+的最小值为〔〕A ．6B ．24C ．22D ．89．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥,022,0,0y x y x y 那么y x z 23-=的最大值为〔〕A ．0B ．2C ．3D ．6〕A ．平行于同一直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行11．一空间几何体的三视图如下页图所示，那么该几何体的体积为〔〕A ．3322+πB ．324+πC ． 322+πD ．3324+π12．如图在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点，那么以下结论中不成立的是〔〕A ．EF 与BB 1垂直B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面D ．EF 与A 1C 1异面第II 卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4分，每一小题5分，一共20分13．不等式0322>-+-x x 的解集为_____________.14．函数)0(9>+=x xx y 的最小值为________. 15.各顶点都在一个球面上的正四棱柱〔其底面是正方形且侧棱垂直于底面〕高为4，体积为16，那么这个球面的外表积是.16.①假设所成角相等与所成角和与，则∥ααb a b a ;②假设两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线互相平行;③假设直线平行的直线内不存在与，则，且不平行于a a a ααα⊄;④假设直线l 平行于平面α内的无数条直线，那么α∥l .；三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明或者演算步骤17．(此题总分值是10分)某文具店购进一批新型台灯，假设按每盏台灯15元的价格销售，每天卖出30盏；假设售价每进步1元，日销售量将减少2盏。
高二数学上学期11月月考试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校南侨二零二零—二零二壹高二数学上学期11月月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕(2,1)-，(1,4)的直线l 的倾斜角为()A.30B.45︒C.60︒D.135︒【答案】B 【解析】分析：利用两点间的斜率公式，求得直线的斜率，进而求解直线的倾斜角． 详解：设过两点的直线l 的倾斜角为α， 由直线的斜率公式可得4111(2)k -==--，即00tan 1,(0,180)αα=∈，所以045α=，应选B ．点睛：此题主要考察了直线的倾斜角与斜率，其中熟记公式是解答的关键，着重考察了推理与运算才能．60ax by ++=在x 轴、y 轴上的截距分别是-2和3，那么a ，b 的值分别为〔〕A.3，2B.-3，-2C.-3，2D.3，-2【答案】D 【解析】分析：将(2,0),(0,3)-代入直线方程即可求解．详解：由题意，得260360a b -+=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=-⎩．点睛：此题考察直线的方程等知识，意在考察学生的根本计算才能和数学转化才能．()()1,,2,2,1,2a n b ==-，假设2a b -与b 垂直，那么||a 等于〔〕B.2C.2【答案】D 【解析】∵a =〔1，n ，2〕，b =〔﹣2，1，2〕， ∴2a ﹣b =〔4，2n ﹣1，2〕， ∵2a ﹣b 与b 垂直， ∴〔2a ﹣b 〕•b =0， ∴﹣8+2n ﹣1+4=0，解得，n=52， ∴a =〔1，52，2〕∴|a ． 应选：D ．00Ax By C ABC ++=≠（）经过第一、二、三象限，那么系数A B C ，，满足的条件为()A.A B C ，，同号B.00AC BC ><，C.00AC BC <>，D.00AB AC ><，【答案】B 【解析】【详解】因为直线()00Ax By C ABC ++=≠经过第一、二、三象限，所以斜率0AB->，在y 轴上的截距0,0CBC B->∴<，两式相乘可得0,AC >应选B.(1,3)P ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有〔〕A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】B 【解析】 【分析】按照截距为零和不为零分类讨论即可求出．【详解】(1)当截距为零时，即直线经过原点，可得直线方程为：3y x =； (2)当截距不为零时，设直线方程为：1x ya a+=，因为直线经过点(1,3)P ， 所以有，131a a+=，解得4a =．综上可知，这样的直线有2条． 应选：B ．【点睛】此题主要考察直线的截距式方程的应用，解题需注意截距式方程的使用条件，意在考察学生分类讨论思想和数学运算才能．6.M N 、分别是四面体OABC 的棱,OA BC 的中点，P 点在线段MN 上，且2MP PN =，,,OA a OB b OC c ===，那么OP =〔〕A.111663a b c ++ B.111333a b c ++ C.111633a b c ++D.111366a b c ++ 【答案】C 【解析】 如下列图：()()11,,231,,2121111111.336633633OP ON NP ON OB OC NP NM NM NO OM OM OA OP ON NO OM ON OA OA OB OC a b c =+=+==+=∴=++=+=++=++此题选择C 选项.A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA|=|PB|，假设直线PA 的方程为10x y -+=，那么直线PB 的方程是()A.50x y ++=B.210x y --=C.240x y -+=D.70x y +-=【答案】D 【解析】 【分析】根据点P 在直线PA 上可以求出其纵坐标，然后根据|PA|=|PB|可知，点A ，B 关于直线3x =对称，即可求出点B 的坐标，由点,P B 的坐标即可求出直线PB 的方程．【详解】因为点P 在直线PA 上，所以310y -+=，解得4y =，即点P 的坐标为()3,4， 又|PA|=|PB|，点A ，B 关于直线3x =对称，点A 的坐标为()1,0-，所以点B 的坐标为()7,0，40137PB k -==--，所以PB ：()017y x -=-⨯-，即70x y +-=． 应选：D ．【点睛】此题主要考察轴对称、中点公式的应用以及直线方程的求法．22()10m x m m y +-+=与210x y --=互相垂直，那么实数m =〔〕A.1-B.0C.1-或者0D.1【答案】A 【解析】由题意得222()001m m m m m --=⇒==-或，当0m =时直线()2210m x m m y +-+=方程为10=不成立，舍去，选A.xoy 中，直线l 上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，那么直线l 的斜率为()A.－2B.－12C.12D.2【答案】A 【解析】 【分析】首先设出直线l 上的一点00(,)P x y ，进而求得挪动变换之后点00'(2,4)P x y +-，根据点在直线上，利用两点斜率坐标公式求得斜率0000422y y k x x --==-+-，从而求得结果.【详解】根据题意，设点00(,)P x y 是直线l 上的一点，将点00(,)P x y 向右平移2个单位后再向下平移4个单位得到点00'(2,4)P x y +-， 由有：点00'(2,4)P x y +-仍在该直线上， 所以直线l 的斜率0000422y y k x x --==-+-，所以直线l 的斜率为2-， 应选A.【点睛】该题考察的是有关直线的斜率问题，涉及到的知识点有平移变换，两点斜率坐标公式，属于简单题目.10.(3,2,3),(1,1,1)a b x =--=--，且a 与b 的夹角为钝角，那么x 的取值范围是〔〕 A.(2,)-+∞B.552,,33⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.(,2)-∞-D.5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据a 与b 的夹角为钝角，所以0a b ⋅<且a 与b 不一共线，列出不等式组，即可解出． 【详解】由题知，0a b ⋅<且a 与b 不一共线，即()()()()3121310(3,2,3)(1,1,1)x x λ⎧⨯-+-⋅-+-⨯<⎨--≠--⎩，解得2x >-且53x ≠． 应选：B ．【点睛】此题主要考察利用向量的数量积解决向量夹角问题，解题关键是向量夹角大小与数量积符号之间的等价转化．二、多项选择题〔本大题一一共2小题，每一小题5分，一共10分.在每一小题给出的四个选项里面，至少有两个项是符合题目要求的，只选一个正确的项给2分，多项选择算零分.〕(1,1,0)a =，那么与a 一共线的单位向量e =〔〕A.(22-- B.(0,1,0)C.(,0)22D.(1,1,1)【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法，a e a=±，即可求出．【详解】设与a 一共线的单位向量为e ，所以a e λ=，因此a e λλ==，得到a λ=±．故a e a=±，而11a =+=2(,22e =或者2(,22e =--．应选：AC ．【点睛】此题主要考察单位向量的求法以及一共线向量定理的应用．12.以下说法正确的选项是〔〕 A.截距相等的直线都可以用方程1x ya a+=表示 B.方程20()x my m R +-=∈能表示平行y 轴的直线C.经过点(1,1)P ，倾斜角为θ的直线方程为1tan (1)y x θ-=-D.经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线方程211211()()()()0y y x x x x y y -----= 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线方程的使用条件，逐项判断即可得出．【详解】对于A ，假设直线过原点，横纵截距都为零，那么不能用方程1x ya a+=表示，所以A 不正确；对于B ，当0m =时，平行于y 轴的直线方程形式为2x =，所以B 正确；对于C ，假设直线的倾斜角为90，那么该直线的斜率不存在，不能用1tan (1)y x θ-=-表示，所以C 不正确；对于D ，设点(),P x y 是经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线上的任意一点，根据 121//PP PP 可得211211()()()()0y y x x x x y y -----=，所以D 正确． 应选：BD ．【点睛】此题主要考察各种形式的直线方程的适用范围． 三、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕(3,6)P -，(5,2)Q -，(,9)R x -且P Q R 、、三点一共线，那么x =__________.【答案】6 【解析】根据P Q R 、、三点一共线，所以//PQ PR ，由向量平行的坐标表示列出方程，求解即可． 【详解】根据P Q R 、、三点一共线，所以//PQ PR ，而()8,8PQ =-，()3,3PR x =--， 即有()()83830x -⨯---=，解得6x =． 故答案为：6．【点睛】此题主要考察三点一共线的证明和应用，常用证明方式有：利用向量平行、利用斜率相等．(1,,2),(2,1,2),(1,4,4)a b c λ==-=，且,,a b c 一共面，那么λ=_________【答案】1 【解析】 【分析】根据向量,b c 不一共线，以它们为基底，利用空间向量根本定理，可知存在实数,x y 使得a xb yc =+，即可解出．【详解】因为向量,b c 不一共线，且,,a b c 一共面，所以存在实数,x y 使得a xb yc =+，即有124224x y x y x y λ=+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，解得1λ=． 故答案为：1．【点睛】此题主要考察空间向量根本定理的应用以及向量的运算．ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1=∠CAA 1=60°那么异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.【详解】如图设1,,AA a AB b AC c===设棱长为1，那么，因为底面边长和侧棱长都相等，且所以，所以，，，设异面直线的夹角为，所以11116cos 23AB BC AB BC θ⋅===⨯. l ：3y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，那么直线l 的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】(,)62ππ【解析】假设直线:3l y kx =-2360x y +-=的交点位于第一象限，如下列图： 那么两直线的交点应在线段AB 上〔不包含,A B 点〕,当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(03330k --==-l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
河北省沧州市部分学校2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题
河北省沧州市部分学校2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．在等差数列{}n a 中，35a =，63a =，则9a =（）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．双曲线221916y x -=的渐近线方程为（）A ．34y x=±B ．43y x =±C ．45y x =±D ．54y x =±3．若平面α的法向量()1,2,3n =-r，直线l 的方向向量()1,1,1m = ，则（）A ．l α∥B ．l α⊥C ．l α⊂D ．l α∥或l α⊂4．若数列{}n a 的前四项依次为2，12，112，1112，则{}n a 的一个通项公式为（）A ．1102n n a -=+B ．(1)(4580)2n a n n =--+C ．1089n n a -=D ．1089n n a +=5．在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到直线1x =-的距离比它到定点()3,0的距离小2，则点P 的轨迹方程为（）A ．26y x=B ．212y x=C ．26y x=-D ．212y x=-6．已知双曲线22142x y -=被直线截得的弦AB ，弦的中点为M （4，2），则直线AB 的斜率为（）A ．1BC ．62D ．27．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22430x y y +-+=，若直线1y kx =-上存在点P ，使以P 点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．11,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．,22⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭8．椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系xOy 中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”C 的方程为229x y xy +-=，则该“斜椭圆”C 的离心率为（）A B ．23C ．12D ．25二、多选题9．若直线l 过点(4,2)-且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程为（）A ．20x y +=B ．20x y -=C ．20x y +-=D ．60x y -+=10．已知数列{}n a 满足112a =-，()*111n n a n a +=-∈N ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．323a =B ．333196n n S S +-=C ．1919S =D ．()*1112,n n n a a a n n -+=-≥∈N11．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，,A B 是抛物线C 上的两点，O 为坐标原点，则（）A ．若A 的纵坐标为2，则||3AF =B ．若直线AB 过点F ，则AB 的最小值为4C ．若4OA OB ⋅=-，则直线AB 恒过定点(2,0)D ．若BB '垂直C 的准线于点B '，且2BB OF '=，则四边形OFBB '的周长为3三、填空题12．已知椭圆2216x y m+=的焦距为2，则m =．13．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7333n nA nB n +=+，则使得n n a b 为整数的正整数n 的集合是.14．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是底面ABCD 、侧面11BCC B 的中心，点,P Q 分别是棱11A D ，11A B 所在直线上的动点，且EP FQ ⊥，当PQ 取得最小值时，点P 到平面EFQ 的距离为.四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，42a =-，1025S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S 的最小值及取得最小值时n 的值．16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点00(,)P x y 在C 上．(1)判断直线00()2y y x x =+与C 的公共点个数；(2)若直线PF 与C 交于另外一点Q ，直线QR 与C 的准线垂直，垂足为R ，O 为坐标原点，求证：点P ，O ，R 共线．17．已知圆22:4250C x y x y +-+-=和点()1,5M -.(1)过点M 作一条直线与圆C 交于A 、B 两点，且6AB =，求直线AB 的方程；(2)过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为E 、F ，求EF 所在的直线方程.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，1,,1,2AB AD CD AD AB AD PD CD PA ⊥⊥=====，PC =，点Q 为棱PC上一点．(1)证明：PA CD ⊥；(2)当点Q 为棱PC 的中点时，求直线PB 与平面BDQ 所成角的正弦值；(3)当二面角P BD Q --时，求PQ PC．19．在平面直角坐标系xOy 中，若在曲线1E 的方程0(),F x y =中，以(,)x y λλ(0λ>且1)λ≠代替(,)x y 得到曲线2E 的方程(,)0F x y λλ=，则称2E 是由曲线1E 通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，λ称为伸缩比.(1)若不过原点的直线1E 通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是2E ，证明:2E 是与1E 平行的直线;(2)已知伸缩比12λ=时，曲线1E 通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是222:1164x yE -=，且1E 与x 轴有A ，B 两个交点（A 在B 的左侧），过点(4,0)且斜率为k 的直线l 与1E 在y 轴的右侧有M ，N 两个交点.①求k 的取值范围;②若直线AM BM BN ，，的斜率分别为123,,k k k ，证明：()213k k k -为定值.。
山东省烟台市烟台经济技术开发区烟台爱华高级中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题
上一点，且
uuuur C1E
=
uuur 2EC
，则（
）
A． BD1 = 2 C． A1E ^ 平面 BDD1B1
B．直线 BD1 与 AC 所成角的余弦值为 6 6
D．直线 BD1 与平面 ACC1A1 所成角为 π 4
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三、填空题
12．已知
A
(1,1,
0)
,
B
(
0,
3,
0)
3
所以a
=
p 6
，
故选：C. 2．D 【分析】根据空间向量的线性运算求解．
【详解】由已知
uuur PQ
=
uuur OC
+
uuur CQ
-
uuur OP
=
r c
+
2 3
uuur CB
-
1 2
uuur OA
=
r c
+
2 3
uuur (OB
-
uuur OC)
-
1 2
r a
=
r c
+
2 3
r (b
-
r c)
-
1 2
r a
=
-
1 2
av
+
2 3
v b
+
1 3
cv
，
故选：D． 3．A
【解析】作出异面直线 AM 和 CN 所成的角，然后解三角形求出两条异面直线所成角的余 弦值.
【详解】设 E, F 分别是 AB,CC1 的中点，由于 M , N 分别是 A1B1, BB1 的中点，结合正方体的
性质可知 B1E //AM , B1F //CN ，
2022-2023学年河北省唐县第一中学高二上学期11月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年河北省唐县第一中学高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，不同的选法有（ ） A ．24种 B ．81种 C ．64种 D ．32种【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理计算可得；【详解】三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，对于任意1名同学均有4种不同的选法，故不同的选法有3464=种； 故选：C2．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题. 3．设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<= A ．12p B ．1p - C ．12p -D ．12p -【答案】D【详解】分析：由题可知，正态曲线关于0ξ=对称，根据(1)P p ξ>=，即可求出(10)P ξ-<< 详解：随机变量ξ服从正态分布()0,1N∴正态曲线关于0ξ=对称(1)P p ξ>=∴ 1(10)2P p ξ-<<=- 故选D.点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是正态曲线的对称性. 4．若随机变量X 的分布列为：已知随机变量()0Y aX b a b a ∈>R ＝＋，，，且()10E Y =，()4D Y =，则a 与b 的值分别为( )A ．10a =，3b = B ．3a =，10b = C ．5a =，6b = D ．6a =，5b =【答案】C【分析】根据分布列概率的性质可计算出m ，根据平均数和方差的计算即可计算a 、b . 【详解】由随机变量X 的分布列可知，10.20.8m =-=．∴()00.210.80.8E X =⨯+⨯=，()()()2200.80.210.80.80.20.80.16D X =-⨯+-⨯=⨯=．∴()()10E Y aE X b =+=，()()24D Y a D X ==，∴0.810a b +=，20.164a =，又0a >，解得5a =，6b =﹒ 故选：C ．5．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率( ) A ．310 B ．13C ．38D ．29【答案】B【详解】事件A ：“第一次拿到白球”，B ：“第二拿到红球”，则P(A)＝210＝15，P(AB)＝210·39＝115，故P(B|A)＝()()P AB P A ＝13. 6．已知()01223344414729n n n n n n n n C C C C C -+-+⋅⋅⋅+-⋅⋅=，则123n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．64B ．32C ．63D ．31【答案】C【解析】根据二项式定理展开式的逆运算即可求得n 的值,进而由二项式系数和求得123nn n n n C C C C +++⋅⋅⋅+的值.【详解】根据二项式定理展开式的逆运算可知()()0122334441414n n n n n n n n nC C C C C -+-+⋅⋅⋅+-⋅⋅=- 所以()6147293n -== 解得6n =所以12360622163n n n n n n C C C C C +++⋅⋅⋅+=-=-=故选:C【点睛】本题考查了二项式定理展开式的逆运用,二项式系数和的应用,属于基础题.7．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为（ ） A ．0.85 B ．0.65 C ．0.145 D ．0.075【答案】C【详解】设A 1＝“他乘火车来”，A 2＝“他乘船来”，A 3＝“他乘汽车来”，A 4＝“他乘飞机来”，B ＝“他迟到”.则Ω＝A 1∪A 2∪A 3∪A 4，且A 1，A 2，A 3，A 4两两互斥，由全概率公式得P (B )＝(Ai )·P (B |Ai )＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.8．把座位编号为1，2，3，4，5，6的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为( ) A ．240 B ．144 C ．196 D ．288【答案】B【分析】将6张票按照要求分给4个人，是有2人各得两张，另外2人各得1张票.再将2张具有连续的编号的票的情况求出后可计算出答案.【详解】由题4人分6张票，则有2人各得两张，且具有连续的编号的票，另外2人各得1张票．2张具有连续的编号的票的情况有12和34；12和45；12和56；23和45；23和56；34和56共6种情况．所以不同的分法种数是446A 144=．故选：B二、多选题9．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．0【答案】AD【解析】求出圆心坐标后，利用点到直线的距离公式列式可解得结果. 【详解】因为圆22240x y x y +--=的圆心为(1,2)，所以圆心(1,2)到直线0x y a -+=的距离为|12|2211a -+=+，所以0a =或2a =. 故选：AD【点睛】关键点点睛：掌握点到直线的距离公式是解题关键.10．已知椭圆E ：22194x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 在E 上，若12F PF △是直角三角形，则12F PF △的面积可能为（ ） A ．5 B ．4 C ．453D ．253【答案】BC【分析】根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥，当112PF F F ⊥时，求出1PF 的长，再由面积公式即可求面积，当12PF PF ⊥时，结合122PF PF a +=，()222122PF PF c +=求出12PF PF ⋅，再由面积公式即可求面积.【详解】由22194x y +=可得3a =，2b =，所以22945c a b =-=-=， 根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥，当112PF F F ⊥时，将5x =-代入22194x y+=可得43y =±， 如图：12225F F c ==，143PF =，所以12F PF △的面积为144525233⨯⨯=，当12PF PF ⊥时，由椭圆的定义可知：1226PF PF a +==，由勾股定理可得()22212220PF PF c +==， 因为()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅， 所以1220362PF PF =-⋅，解得：128PF PF ⋅=， 此时12F PF △的面积为12142PF PF ⋅=，综上所述：12F PF △的面积为445故选：BC.11．已知椭圆2222x y a b +=1与椭圆222516x y +=1有相同的长轴，椭圆2222x y a b +=1的短轴长与椭圆22219y x +=1的短轴长相等，则下列结论不正确的有（ ） A ．a 2=25，b 2=16B ．a 2=9，b 2=25C ．a 2=25，b 2=9或a 2=9，b 2=25D ．a 2=25，b 2=9【答案】ABC【解析】由椭圆22221x y a b +=与椭圆2212516x y +=有相同的长轴可确定椭圆22221x y a b +=的焦点位置且225a =，然后再结合条件可得到29b =，进而可得答案．【详解】椭圆2212516x y +=的长轴长为10，椭圆221219y x +=的短轴长为6，由题意可知椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，即有5a =，3b =.故只有D 对故选：ABC【点睛】本题考查椭圆中基本量的判定，解题的关键是掌握椭圆标准方程的特征，特别是注意焦点在标准方程中大的分母对应的变量所在的轴上，属于基础题．12．已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=交于P ，Q 两点，则（ ） A ．两圆有两条公切线 B ．PQ 垂直平分线段OM C ．直线PQ 的方程为240x y +-=D ．线段PQ 的长为455【答案】ACD【解析】根据圆O 和圆M 的位置关系判断A ；数形结合可知PQ 垂直线段OM 但不平分线段OM ，圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=的方程相减判断C ；先求得圆心O 到直线PQ 的距离，再利用弦长公式求解判断D.【详解】对于A ：因为圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=交于P ，Q 两点，所以两圆有两条公切线，故正确；对于B ：数形结合可知PQ 垂直线段OM 但不平分线段OM ，故错误；对于C ：圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=的方程相减得：240x y +-=，所以直线PQ 的方程为240x y +-=，故正确； 对于D:圆心O 到直线PQ 的距离为：445541d ==+，所以线段PQ 的长为22224545||222()55PQ r d =-=-=，故正确； 故选：ACD.三、填空题13．椭圆2212x y +=的焦距长为__________．【答案】2【分析】根据椭圆方程求出c ，进而可求出结果.【详解】因为椭圆2212x y +=中22a =，21b =，所以2221c a b =-=，所以焦距为22c =. 故答案为2【点睛】本题主要考查椭圆的焦距，熟记椭圆的性质即可，属于基础题型. 14．双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===15．已知P 是圆22:2410C x y x y +-+-=外一点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为,,A B 则PA PB ⋅的最小值为____________.【答案】18【分析】先将圆的方程化为标准方程，由此确定出圆的半径，设PC d =，根据长度表示出cos APB ∠，然后根据向量的数量积计算公式求解PA PB ⋅，结合基本不等式求解出PA PB ⋅的最小值.【详解】圆C 的标准方程为()2212)6(x y -++=，则圆C ，设PC d =，则PA PB ==因为sin APC ∠=所以2212121cos APB d ∠=-=-⎝⎭，所以()2222127261181818PA PB d d d d ⎛⎫⋅=--=+-≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2272d d=，即26d =>时，等号成立，故PA PB ⋅的最小值为18，故答案为：18.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将PA PB ⋅表示为d 有关的形式，通过统一变量利用基本不等式简化求最值的方法，其中cos APB ∠的计算需要借助圆的半径去完成.16．已知a ，b ，c 分别是椭圆E 的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x 的方程220ax bx c ++=无实根，则椭圆E 的离心率e 的取值范围是_______________________.【答案】1⎫⎪⎪⎝⎭【分析】根据判别式为负可求,,a b c 的关系，从而可求离心率e 的取值范围. 【详解】由题有2440b ac ∆=-<，即220a c ac --<， 故210e e +->，得e <或e >01e <<，1e <.故答案为：⎫⎪⎪⎝⎭四、解答题17．（1）已知点()1,1A -在圆C ：22220x y x y m +-++=外，求实数m 的取值范围. （2）已知椭圆221x ny +=的离心率为12，求实数n 的取值. 【答案】（1）62m -<<；（2）43n =或34. 【分析】(1)由点在圆外，代入圆的方程大于0即可.(2)根据椭圆的离心率求方程，分椭圆焦点在x 轴上，或者焦点在y 轴上，由离心率找到,,a b c 之间的关系就可得到结果.【详解】解：（1）若方程22220x y x y m +-++=表示圆，则4440m +->，解得2m <， 根据点()1,1A -在圆外，可得11220m ++++>，则6m >-， 所以62m -<<.（2）由椭圆方程221x ny +=，得22111x y n+=， ①若焦点在x 轴上，则1n >，即21a =，21b n=， ∴22211c a b n=-=-， ∴22211114c n e a -===，即43n =. ②若焦点在y 轴上，则01n <<，即21a n=，21b =， ∴22211c a b n=-=-，∴得到22211114c n e a n-===，即34n =. 故43n =或34. 18．已知圆C 经过原点且与直线40x y --=相切，圆心C 在直线0x y +=上. (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过点()2,1，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 【答案】(1)()()22112x y -++= (2)2x =或3420x y --=【分析】（1）由d OC =可求得圆心()1,1C -和半径； （2）分直线k 存在和不存在两种情况讨论.【详解】（1）因为圆心C 在直线0x y +=上，可设圆心为(),C a a -， 则点C 到直线40x y --=的距离d =，OC =据题意，d OC ==解得1a =，所以圆心为()1,1C -，半径r d = 则所求圆的方程是()()22112x y -++=.（2）当弦长为21=. 当k 不存在时，直线2x =符合题意；当k 存在时，设直线方程为210kx y k --+=，1=，∴34k =， ∴直线方程为3420x y --=.综上所述，直线方程为2x =或3420x y --=.19．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆的标准方程；(2)倾斜角为45︒的直线l 过椭圆的右焦点F 交椭圆于A ､B 两点，求OAB 的面积. 【答案】(1)22143x y +=..【分析】（1）设椭圆方程，根据题意列出方程组，求得答案即可；（2）由题意求得直线方程，联立椭圆方程，整理得根与系数的关系式，利用弦长公式求得弦长，继而求得原点到直线AB 的距离，即可求得答案. 【详解】（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上， 所以设椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22222222191441,321a b a c b a c a b c ⎧+=⎪⎧=⎪⎪⎪=∴=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩，所以椭圆的标准方程为：22143x y +=； （2）由（1）可知：()1,0F ，倾斜角为45︒的直线l 的斜率为1， 所以直线l 的方程为：01(1)y x -=⨯-即10x y --=， 代入椭圆方程中，得22(1)143x x -+=， 27880x x ∴--=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 所以1287x x +=，1287x x =-因此724AB =， 原点到直线AB的距离d =1124227OAB S d AB =⋅=⨯=△ 所以OAB 的面积为7. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，AP AB =，E 为CD 的中点.（1）求证：CD ⊥平面PAE ；（2）求平面PAE 与平面PBC 所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）277. 【分析】（1）在菱形中证明CD AE ⊥，再由已知的线面垂直得线线垂直，从而可证得线面垂直． （2）以A 为坐标原点，向量AB ，AE ，AP 方向分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】（1）证明：连AC∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒∴AC AD =∵AC AD =，DE CE =，∴AE CD ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA CD ⊥∵PA CD ⊥，AE CD ⊥，AE ，PA ⊂平面PAE ，AEAP A =∴CD ⊥平面PAE（2）由（1）知CD AE ⊥，又由//AB CD ，可得AB AE ⊥，可得AB 、AE 、AP 两两垂直令2AB =，可得2AD AP ==，3AE =，1ED CE ==以A 为坐标原点，向量AB ，AE ，AP 方向分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系可得点A 的坐标为()0,0,0，点P 的坐标为()0,0,2，点B 的坐标为()2,0,0，点E 的坐标为()，点C 的坐标为()()2,0,0AB =，()BC =-，()2,0,2BP =-由（1）可知AB 为平面PAE 的法向量设平面BCP 的法向量为(),,m x y z =，有30220BC m x BP m x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取x =1y =，z =可得(3,1,m = 由23AB m ⋅=||2AB =，||7m =，有2cos ,7AB m =故平面PAE 与平面PBC 【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法求二面角．求二面角的方法：（1）几何法，通过作证算三个步骤求解，即作出二面角的平面角，并证明，然后计算出这个角．（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，用空间向量法求角，即求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补得解．21．已知圆C ：221x y +=，直线l ：()()1110++--=m x m y （m ∈R ）．（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）若直线l 被圆Cm 的值； （3）若点B 的坐标为()2,0-，在x 轴上存在点D （不同于点B ）满足：对于圆C 上任意一点P ，都有PB PD为一常数，求所有满足条件的点D 的坐标． 【答案】（1）11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1-或1；（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）先将方程整理成()(1)0m x y x y -++-=，令含参数m 的式子为0即解得定点；（2）先利用圆中弦长与半径，求得圆心到弦所在直线的距离，再结合点到直线的距离公式即求得参数m ；（3）先设点D 的坐标(,0)n ，结合题意计算PB PD，满足其为定值则需对应系数成比例，即求得参数n ，进而验证，即得结果.【详解】解：（1）直线l 的方程整理为：()(1)0m x y x y -++-=，令010x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得12x y ==， 故直线l 所过定点A 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）由直线l 被圆CC 到直线l的距离为12d ==，又由点到直线的距离公式可知12d ==， 解得21m =，即1m =±，故实数m 的值为1-或1； （3）设点P 的坐标为()00,x y ，x 轴上的点D 的坐标为(,0)n ，由不同于点B 知2n ≠-，由22001,||x y PB +==||PD ==||||PB PD =， 若PB PD 为一常数，必有22145n n -+=，解得：12n =-或2n =-（舍去）， 12n =-时||PD ==，||2||PB PD =为一常数，此时1,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故满足条件的点D 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：直线被圆截得的弦长的相关问题，通常利用几何法解决，即直线被圆截得的半弦长2l 、弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，且2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可以知二求一，或者结合点到直线的距离公式构建关系式求解参数.22．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点． （Ⅰ）若直线l 与抛物线C 的准线相交于点P，且PF =l 的方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点，且90AFB ∠=︒，求ABF △的周长．【答案】（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）15+【分析】（Ⅰ）设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立直线与抛物线，由判别式大于0可得12m <，由PF =0m =或4m =（舍去），从而可得结果； （Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ，并代入抛物线2:4C y x =，根据韦达定理和0FA FB ⋅=可解得12b =-，根据弦长公式可得||AB =||||AF BF +，进一步可得ABF △的周长.【详解】（Ⅰ）由抛物线2:4C y x =可知(1,0)F ，准线为=1x -，设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立方程242y x y x m⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x m x m +-+=， 又由()22441616320m m m ∆=--=->，可得12m <，由点F 的坐标为()1,0，有PF ==，解得0m =或4m =（舍去），故直线l 的方程为2y x =．（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ，点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程242y x y x b⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x b x b +-+=， 可得121x x b +=-，21214x x b =， ()()()()222121212122242212y y x b x b x x b x x b b b b b b =++=+++=+-+=又由()22441616320b b b ∆=--=->，可得12b <． 又由()111,FA x y =-，()221,FB x y =-，可得()()()1212121212111FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++()22111123044b b b b b =--++=+=， 得0b =（舍去）或12b =-．由12b =-，可得1213x x +=，1236x x =，所以AB ==()()121211215AF BF x x x x +=+++=++=，故ABF △的周长为15+【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的定义，韦达定理和弦长公式，考查了运算求解能力，属于中档题.。
2023-2024学年湖北省高二上学期11月期中月考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖北省高二上册11月期中联考数学模拟试题一、单选题1．若(2,1,2)a b +=-- ，(4,3,2)a b -=-- ，则a b ⋅等于（）A ．5B ．5-C ．7D ．1-【正确答案】B【分析】利用空间向量的四则运算与数量积的坐标表示即可求解.【详解】∵(2,1,2)a b +=-- ，(4,3,2)a b -=--，∴两式相加得2(2,4,0)a =- ，∴(1,2,0)a =-，∴(3,1,2)b a b a =+-=- ，∴1(3)(2)1025a b ⋅=⨯-+-⨯+⨯=-，故选：B ．2．已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于（）AB ．2C 1D 1【正确答案】C【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.1=．解得1a =-+1a =-0a > ，1a ∴=-故选：C.3．如图是根据某市1月1日至1月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天的最低气温的第40百分位数是（）A ．2℃B ．-1℃C ．-0.5℃D ．2-℃【正确答案】C【分析】通过折线图，将这10天的最低气温按从小到大顺序，第4，第5个数据的平均数为第40百分位数.【详解】由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大排列为：3-，2-，1-，1-，0，0，1，2，2，2，因为共有10个数据，所以1040%4⨯=是整数，则这10天的最低气温的第40百分位数是100.52-+=-(℃).故选：C4．设直线:3l y kx =+与椭圆22:194x yC +=相交于A B 、两点，且AB 的中点为11,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则k =（）A ．43B ．427C ．13-D ．34【正确答案】A【分析】设()()1122,,A x y B x y 、，进而根据点差法求解即可.【详解】解：设()()1122,,A x y B x y 、，故有2211194x y +=①，2222194x y +=②，所以，两式作差得22222121094x x y y --+=，即()()()()21212121094x x x x y y y y +--+=+，所以，()()1221211249AB x x y y k x x y y +-==--+，因为AB 的中点为11,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以121222,3x x y y +=-+=，所以()21214242393AB y y k x x ⨯--==-=-⨯故选：A5．从2名男同学和3名女同学中任选3人参加社区服务，则选中的3人中恰有2名女同学的概率为（）A ．0.6B ．0.5C ．0.3D ．0.2【正确答案】A【分析】用列举法结合古典概型的概率公式求解即可【详解】设2名男生为,a b ，3名女生为,,A B C ，则任选3人的种数为abA abB abC aAB aAC ,,,,，aBC bAB bAC bBC ABC ,,,,，共10种，其中恰有2名女生的有aAB aAC ,，aBC bAB bAC bBC ,,,，共6种，故恰有一名女同学的概率60.610P ==.故选：A ．6．已知四面体ABCD ，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则AF CE ⋅=（）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【正确答案】D【分析】在四面体ABCD 中，取定一组基底向量，表示出AF ，CE，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】四面体ABCD 的所有棱长均为2，则向量,,AB AC AD不共面，两两夹角都为60 ，则22cos 602AB AC AC AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，因点E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则1()2AF AC AD =+ ，12CE AE AC AB AC =-=-，211()(2)(22)44AF CE AC AD AB AC AC AB AD AB AC AC AD ⋅=+⋅-=⋅+⋅--⋅ 21(222222)24=+-⨯-⨯=-，所以2AF CE ⋅=-.故选：D7．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面ABCD 所成的角为π4，底面ABCD 为直角梯形，,22π,1ABC BAD AD PA BC ∠=∠====，点E 为棱PD 上一点，满足()01PE PD λλ=≤≤ ，下列结论错误的是（）A ．平面PAC ⊥平面PCD ；B ．点P 到直线CD 3C ．若二面角E ACD --的平面角的余弦值为33，则13λ=；D ．点A 到平面PCD 52．【正确答案】D【分析】A 选项，作出辅助线，证明出AC ⊥BC ，结合PA ⊥平面ABCD 可得线线垂直，从而证明线面垂直，最后证明出面面垂直；B 选项，求出点P 到直线CD 的距离即为PC 的长度，利用勾股定理求出答案；C 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；D 选项，过点A 作AH ⊥PC 于点H ，证明AH 的长即为点A 到平面PCD 的距离，求出AH 的长.【详解】A 选项，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故∠PBA 即为PB 与底面ABCD 所成的角，π4PBA ∠=，因为π2∠=∠=ABC BAD ，所以PA =AB =1，因为2,1AD PA BC ===，取AD 中点F ，连接CF ，则AF =DF =AB =CF =BC ，则四边形ABCF 为正方形，∠FCD =∠FCA =45°，所以AC ⊥CD ，又因为AP AC A ⋂=，所以CD ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD ，A 正确；由A 选项的证明过程可知：CD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC 所以CD ⊥PC ，故点P 到直线CD 的距离即为PC 的长度，其中1PA AB BC ===由勾股定理得：222,3AC PC AC PA ==+B 正确；以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,1,0C ，()0,0,1P ，()0,2,1E λλ-，其中平面ACD 的法向量为()0,0,1m =，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z = ，则()2100n AE y z n AC x y λλ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩ ，令1y =得：2,11z x λλ==--，所以21,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，设二面角E AC D --的平面角为θ，显然cos θ=33其中()220,0,11,1,31cos ,32111m n λλλλ⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭=⎛⎫++ ⎪-⎝⎭，解得：13λ=或1λ=-，因为01λ≤≤，所以13λ=，C正确；过点A作AH⊥PC于点H，由于CD⊥平面APC，AH⊂平面APC，所以AH⊥CD，因为PC CD C⋂=，所以AH⊥平面PCD，故AH即为点A到平面PCD的距离，因为PA⊥AC，所以3AP ACAHPC⋅==，D选项错误故选：D8．已知1F，2F是椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为6的直线上，12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，则C的离心率为A．23B．12C．13D．14【正确答案】D【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，所以PF2=F1F2=2c,由AP222tan sin cosPAF PAF PAF∠=∴∠∠=由正弦定理得2222sinsinPF PAFAF APF∠=∠,所以22214,π54sin()322c a c ea c PAF=∴==+-∠，故选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、多选题9．以下四个命题表述正确的是（）A ．直线4120()+-=∈R mx y m 恒过定点(0,3)B ．已知直线0x y m +-=与直线(32)0+-=x m y 互相垂直，则2m =C ．圆22:28130C x y x y +--+=的圆心到直线4330x y -+=的距离为2D ．两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=的公共弦所在的直线方程为260x y ++=【正确答案】AB【分析】将直线4120()+-=∈R mx y m 转化为()430mx y +-=对m R ∈恒成立，即可判断A 是否正确；根据直线垂直的关系可知(32)=011+1m ⋅-⋅，解出m 的值，即可判断B 是否正确；求出圆心坐标，再根据点到直线的距离公式即可判断C 是否正确；将两圆方程联立作差，即可求解两个圆的公共弦方程，进而判断D 是否正确；【详解】直线4120()+-=∈R mx y m ，即()430mx y +-=对m R ∈恒成立，所以直线恒过定点(0,3)，所以A 正确；因为0x y m +-=与直线(32)0+-=x m y 互相垂直，所以(32)=011+1m ⋅-⋅，所以2m =，所以B 正确；因为圆22:28130C x y x y +--+=的圆心坐标为()1,4，所以圆心()1,4到直线4330x y -+=的距离为412315-+=，所以C 错误；将两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=方程联立，作差可得260x y -+=，所以D 错误.故选：AB.10．已知圆M ：22(1cos )(sin )1x y θθ--+-=，直线l ：0kx y k --=，下面命题中正确的是（）A ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；B ．对任意实数k 与θ，直线l 与圆M 都相离；C ．存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相交；D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切.【正确答案】ACD【分析】由题意求得圆M 与直线l 有公共点()1,0；求得圆心到直线l 的距离为d r ≤；即可得出答案.【详解】解：对于A ，圆M ：22(1cos )(sin )1x y θθ--+-=的圆心为()1cos ,sin θθ+，半径为=1r ；无论θ取何值，都有22(11cos )(sin )1θθ--+=，∴圆过定点()1,0；又直线l ：0kx y k --=可化为()10k x y --=，过定点()1,0；∴直线l 和圆M 有公共点()1,0，A 正确；对于B ，圆心M 到直线l 的距离为()sin 1d r θα==-≤=，其中tan k α=；∴d r ≤，故B 错误；根据B 的分析，可得C ､D 正确.故选：ACD11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则A ．a c m R -=+B ．a c n R +=+C ．2a m n =+D ．b =【正确答案】ABD【分析】根据条件数形结合可知m a c Rn a c R =--⎧⎨=+-⎩，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得m a c Rn a c R =--⎧⎨=+-⎩，（*）a c m R ∴-=+，故A 正确；a c n R +=+，故B 正确；（*）两式相加22m n a R +=-，可得22a m n R =++，故C 不正确；由（*）可得m R a c n R a c+=-⎧⎨+=+⎩，两式相乘可得()()22m R n R a c++=-222a c b -= ，()()2b m R n R b ∴=++⇒=，故D 正确.故选ABD本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.12．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当λμ=时，1//A P 平面1ACD B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当1λ=时，PBD △的面积为定值D ．当1λμ+=时，直线1A D 与1D P 所成角的范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】ABD【分析】对于A 选项，确定P 点在面对角线1BC 上，通过证明面面平行，得线面平行；对于B 选项，确定P 点在棱11B C 上，由等体积法，说明三棱锥1P A BC -的体积为定值；对于C 选项，确定P 点在棱1CC 上，PBD △的底BD 不变，高PE 随点P 的变化而变化；对于D 选项，通过平移直线1A D ，找到异面直线1A D 与1D P 所成的角，在正11D B C △中，确定其范围.【详解】对于A 选项，如下图，当λμ=时，P 点在面对角线1BC 上运动，又P ∈平面11A C B ，所以1A P ⊂平面11A C B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，则四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//AD BC ，1AD ⊄ 平面11A BC ，1BC ⊂平面11A BC ，1//AD ∴平面11A BC ，同理可证//AC 平面11A BC ，1AD AC A = ，所以，平面11//AC B 平面1ACD ，1A P ⊂ 平面11A BC ，所以，1//A P 平面1ACD ，A 正确；对于B 选项，当1μ=时，如下图，P 点在棱11B C 上运动，三棱锥1P A BC -的体积111113P A BC A BC P PBC V V S B A --==⋅⋅为定值，B 正确；对于C 选项，当1λ=时，如图，P 点在棱1CC 上运动，过P 作PE BD ⊥于E 点，则12PBD S BD PE =⋅△，其大小随着PE 的变化而变化，C 错误；对于D 选项，如图所示，当1λμ+=时，P ，C ，1B 三点共线，因为11//A B CD 且11A B CD =,所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以11//A D B C ，所以11D PB ∠或其补角是直线1A D 与1D P 所成角，在正11D B C △中，11D PB ∠的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 正确.故选：ABD.三、填空题13．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______．【正确答案】13和3-.【分析】根据题意，设正方形一边所在直线的倾斜角为α，得到tan k α=，得出对角线所在直线的斜率为tan()4πα+，结合两角和的正切公式，求得1tan 3α=，再结合两直线的位置关系，即可求解.【详解】设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率tan k α=，则其中一条对角线所在直线的倾斜角为4πα+，其斜率为tan()4πα+，根据题意值tan()24πα+=，可得tan tantan 1421tan 1tan tan 4πααπαα++==--，解得1tan 3α=，即正方形其中一边所在直线的斜率为13，又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为3-.故13和3-.14．若向量()2,4,a m =-，()1,1,2b =-r ，()0,2,3c =- 共面，则m =______．【正确答案】7【分析】根据a b c λμ=+可构造方程组求得结果.【详解】,,a b c共面，(),a b c R λμλμ∴=+∈ ，204223m λλμλμ=+⎧⎪∴-=-+⎨⎪=-⎩，解得：217m λμ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，m 7∴=.故答案为.715．已知函数()()2f x k x =--有两个不同的零点，则常数k 的取值范围是___________．【正确答案】⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】先求函数的定义域，再将原问题转换为半圆与直线存在2个交点.【详解】()f x 的定义域为210,11x x -≥-≤≤，原问题等价于()g x =与()()2k x k x =-有两个交点，求k 的取值范围，()k x 为过定点()2,0的直线，()()221,0g x x g x +=≥，所以()g x 为圆心在原点，半径为1的圆的x 轴的上半部分，()g x 与()k x的大致图像如下：考虑直线()k x 与半圆()g x相切的情况：1=，解得21,3k k ==（舍）或k =，∴k ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦.故⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.16．已知直线l 与圆22:4O x y +=交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且2AB =，则112244x y x y +++++的最大值为___________.【正确答案】8+8,A B 到直线40x y ++=的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是AB 的中点M 到直线40x y ++=的距离的2倍.求出M 的轨迹即可求得该最大值.,A B 到直线40x y ++=的距离之和，其最大值是AB 的中点M 到直线40x y ++=的距离的2倍.由题可知，OAB 为等边三角形，则OM ，∴AB 中点M 的轨迹是以原点O故点M 到直线40x y ++==+(2，∴112244x y x y +++++的最大值为(28+.故答案为.8+四、解答题17．已知直线l 过点(2,2)P .(1)若直线l 与360x y -+=垂直，求直线l 的方程；(2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【正确答案】(1)380x y +-=；(2)y x =或40x y +-=【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线l 的斜率，再由点斜式写出方程；（2）分别讨论截距为0、不为0，其中不为0时可设为0x y m ++=，代入点P ，即可求得参数m【详解】（1）直线360x y -+=的斜率为3，则直线l 的斜率为13-，则直线l 的方程为()1223y x -=--，即380x y +-=；（2）当截距为0时，直线l 的方程为y x =；当截距不为0时，直线l 设为0x y m ++=，代入(2,2)P 解得4m =-，故直线l 的方程为40x y +-=.综上，直线l 的方程为y x =或40x y +-=18．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1DD ，BD 的中点，点G 在CD 上，且14CG CD =．（1）求证：1EF B C ⊥；（2）求EF 与C 1G 所成角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（233【分析】（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明1EF B C ⊥；（2）直接利用向量法求EF 与CG 所成角的余弦值【详解】（1）建立以D 点为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ，则111(,,)222EF =-uu u r ，1(1,0,1)B C =--，所以()()111101022EF B C ⎛⎫⋅=⨯-++-⨯-= ⎪⎝⎭，即1EF B C ⊥ ，所以1EF B C ⊥.（2）由（1）知，3(0,,0)4G ，1(0,,0)4CG =- ，则110024cos ,||||EF CG EF CG EF CG ⎛⎫+⨯-+ ⎪⋅<>==⋅，因为EF 与CG 所成角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（2）求该选手至多进入第二轮考核的概率．【正确答案】（1）36125；（2）1325.【分析】(1)把该选手进入第三轮才被淘汰的事件视为三个相互独立事件的积，再用概率的乘法公式计算即可；(2)把该选手至多进入第二轮考核的事件拆成两个互斥事件的和，再用互斥事件的加法公式计算即得.【详解】记“该选手正确回答第i 轮问题”为事件(1,2,3)i A i =，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，(1)该选手进入第三轮才被淘汰的事件为123A A A ，其概率为123123()()()()P A A A P A P A P A ==43236(1)555125⨯⨯-=；(2)该选手至多进入第二轮考核的事件为112A A A +，其概率为11211244313()()()()(1)(1)55525P A A A P A P A P A +=+=-+⨯-=.20．第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[)85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求a ，b 的值；(2)计算本次面试成绩的众数和平均成绩；(3)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为19%，请估算被录取至少需要多少分.【正确答案】(1)0.005,0.025a b ==；(2)众数为70，平均成绩为69.5分；(3)78分.【分析】（1）先算出第五组频率，可得a .后由前两组频率和为0.3可得b .（2）由众数，平均数计算公式可得答案.（3）中位数对应录取率为50%，本题即是求频率0.81所对应分数.【详解】（1）由题图可知组距为10.第三组，第四组频率之和为()0.0450.020100.65+⨯=，又后三组频率和为0.7，则第五组频率为0.05，第一组频率也为0.05，故第二组频率为0.25.得0.005,0.025a b ==.（2）由题图可知第三个矩形最高，故众数为6575702+=.平均数为()10500.005600.025700.045800.020900.00569.5⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）前三组频率之和为()100.0050.0250.0450.75⨯++=0.81<.前四组频率之和为0.75100.020.950.81+⨯=>.故频率0.81对应分数在75到85之间.设分数为x ，则有()750.020.750.81x -⨯+=，解得78x =.故若要求选拔录取率为19%，至少需要78分.21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>右焦点为(2,0)F ，离心率6e =(1)求椭圆E 的方程；(2)过焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与圆222x y b +=相切，与椭圆E 相交于M 、N 两点，求椭圆的弦MN 的长度．【正确答案】(1)2213x y +=【分析】（1）根据离心率和焦点即可求解a =b ，（2）根据直线与圆相切求解得1k =，进而联立直线与椭圆方程，由弦长公式即可求解.【详解】（1）由题意可知：3c c a ===，解得a =1b ==，所以椭圆的方程为2213x y +=（2）设直线l的方程为(0y k x ,k =->，由于直线l 与圆221x y +=1=，解得1k =，1k =-（舍去），故直线l的方程为y x =-联立直线与椭圆的方程22243013y x x x y ⎧=⎪⇒-+=⎨+=⎪⎩，设()()1122,,,M x y N x y ,所以1212,324x x x x +=⋅=，由弦长公式得12MN x x =-22．已知半径为C 的圆心在y 轴的正半轴上，且直线20x y ++=与圆C 相切．(1)求圆C 的标准方程．(2)若圆C 的一条弦经过点()0,2M ，求这条弦的最短长度．(3)已知()0,2A -，P 为圆C 上任意一点，试问在y 轴上是否存在定点B （异于点A ），使得PB PA为定值？若存在，求点B 的坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)22(8)50x y +-=；(2)(3)存在，点B 的坐标为(0,3).【分析】（1）由题意圆心坐标为(0，)(0)b b >，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径（2）先判断点M 在圆内，由圆的集合性质可得直线CM 与这条弦垂直时，这条弦的长度最短从而可得出答案．（3）设(0B ，)(2)m m ≠-，(,)P x y ，分别表示出||PB ，||PA ，由||||PB PA 为定值得出答案．【详解】（1）由题意设圆心坐标为(0，)(0)b b >，则圆C 的方程为22()50(0)x y b b +-=>．因为直线20x y ++=与圆C 相切，所以点(0,)C b 到直线20x y ++=的距离d =因为0b >，所以8b =，故圆C 的标准方程为22(8)50x y +-=；（2）因为6CM =<，所以当直线CM 与这条弦垂直时，这条弦的长度最短，故所求最短弦长为=（3）假设存在定点B ，设(0B ，)(1)m m ≠-，(,)P x y ，则22250(8)1614x y y y =--=-+-，则PB PA=当21416201020m m--=>-，即3(2m m ==-舍去）时，||||PB PA 为定值，且定值为12，故存在定点B ，且B 的坐标为(0,3)．。
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高二数学上学期11月月考试卷
高二11月月考数学试题
考试时间：120分钟；满分150分
一、单项选择（每题5分，共60分）
1、平行线3490x y +-=和6820x y ++=的距离是（ ）
A ．2 C 2、 已知圆04:22=-+y y x M ，圆1)1()1(:22=-+-y x N ，则圆M 与圆N 的公切线条数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3、设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且a α⊂，下列说法正确的是（ ） A ．若,//a b αβ⊥，则b β⊥ B ．若,b a b β⊂⊥，则αβ⊥ C ．若,a b αβ⊥⊥，则//b β D ．若,//b βαβ⊥，则a b ⊥
4、在空间直角坐标系中，点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则
）
5、下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．3
B ．1 D 6、若点P （1,1）为圆（x －3）2
＋y 2
＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ） （A ）2x ＋y －3＝0 （B ）x －2y ＋1＝0 （C ）x ＋2y －3＝0 （D ）2x －y －1＝0
7 ）
A 8、已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都等于2，点E 是棱S
B 的中点，则直线
AE 与直线SD 所成的角的余弦值为（ ）
A 9、 已知三棱柱ABC -A 1
B 1
C 1的侧棱与底面垂直，体积为9
4
，底面是边长为P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( )
A.120︒
B.60︒
C.45︒
D.30︒ 10、设点A （2，－3），B （－3，－2），直线l 过点P （1,1）且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A k≤－4
B C
11、若圆C ：x 2
＋y 2
－12＝0上有四个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距
离为2，则c 的取值范围是（ ）A ．[－2,2] B ．[C ． （－2,2） D ．
12有两个交点，则k 的取值范围是（ ）
A ．(],1-∞- 二、填空题（每题5分，共20分）
13、设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是______.
14、设A 为圆2)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线04=--y x 的最大距离为______. 15、若过点（0,2）的直线l 与圆2
2
(2)(2)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是______.
16、已知三棱锥P-ABC ，若PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA = PB = PC = 1，则三棱锥P-ABC 的内切球半径为__________． 三、解答题（共70分）
17、(10分）已知直线1:260l ax y ++=和22:(1)10l x a y a +-+-=. （1）若12l l ⊥，求实数a 的值； （2）若12//l l ，求实数a 的值.
18、（12分）及圆024124:22
=+-++y x y x C ，若直线l 过点P 且被圆C ，求直线l 的一般式方程．
19、（12分）为圆心的圆经过点()1,0-A 和()34，B ，且圆心在直线0
153=-+y x 上.
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P 在圆C 上，求PAB ∆的面积的最大值. 20、 （I 的最大值与最小值；6)3()3(2
2=-+-y x
21、（12分）已知C ：（x －1）2
＋(y －2)2
=25，直线l ：（2m ＋1）x ＋（m ＋1）y －7m
－4＝0(m ∈R)．
（1）求证：不论m 取什么实数时，直线l 与圆恒交于两点；
（2）求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度以及这时直线l 的方程．
22、（12分）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，OA ⊥底面,2,ABCD OA M =为OA 中点．
（1）求证：直线BD ⊥平面OAC ；
（2）求直线MD 与平面OAC 所成角的大小； （3）求点A 到平面OBD 的距离．
参考答案
一、单项选择 1、【答案】B 2、【答案】B 3、【答案】D 4、【答案】B 5、【答案】A
A ． 6、【答案】D 7、【答案】C 8、【答案】D 9、【答案】
B 10、【答案】A 11、【答案】D 12、【答案】
C 可化为422=+y x ，所以图象是以原点为圆心，2为半径的圆，
且只包括x 轴上方的图象，而直线()24y k x =-+经过定点)4,2(，当直线与该半圆相切时
慢慢将直线绕定点转动，当直线过圆上的一点)0,2(-时，正好有两个交点，此时的1=k ，
C. 二、填空题 13、【答案】π34
14、
15、
【解析】设直线l 方程为2y kx =+，由
考点：直线与圆的位置关系． 16、【答案】6
3
3- 三、解答题 17、【答案】（1
（2）1a =-（1）若12l l ⊥，则（2）若12//l l ，则(1)1201a a a --⨯=⇒=-或2.
经检验，2a =时，1l 与2l 重合，1a =-时，符合条件，∴1a =-. 18、【答案】直线l 的方程为0=x ，或02043=+-y x 圆的圆心为)6,2(-，半径4=r ;
，符合题意，这时0=x ; 当直线的斜率存在时，设为k ，则直线的方程为5+=kx y ，即05=+-y kx ， 点C 到直线AB
，此时直线l 的方程为02043=+-y x ； 所以直线l 的方程为0=x ，或02043=+-y x 19、【答案】（1）
（2
试题解析：（Ⅰ）解法一：设所求圆的方程为
依题意得；
所求圆的方程是或
（Ⅱ），由已知知直线的方程为
所以圆心
到
的距离为
到距离的最大值为
所以面积的最大值为
考点：（1）圆的方程算法。
（2）圆内三角形面积的最大值问题。
【解析】
20、
（I ，表示圆上点),(y x P 与原点连线的斜率，直线OP 的方程为kx y =， 与圆C 相切时，斜率取得最值，
点C 到直线kx y =的距离
时，直线OP 与圆C 相切，
上点到顶点)0,2(的距离， 圆心)3,3(与定点)
0,2(的距离为 又圆C 的半径是
21、【答案】（1）证明见解析；（2，052=--y x ． （1）将l 的方程整理为（x ＋
y －4）＋m （2x ＋y －7）＝0. 因为对于任意实数m ，方程都成立， 所以⎩⎨
⎧=-+=-+.07
2,04y x y x
⎩⎨
⎧==.
1,
3y x 所以对于任意实数m ，直线l 恒过定点P （3，1），又圆心C （1
，2），r ＝5，而｜PC
＜5，即｜PC ｜＜r ，所以P 点在圆内，即证 （2）l 被圆截得弦最短时，l ⊥PC ． 因为k pc k l ＝2，所以l 的方程为2x －y －5＝0为所求，此时，最短的弦长为
22、【答案】（1 试题分析：（1）由OA ⊥底面又BD AC ⊥⇒BD ⊥平面OAC ；（2）
做辅助线EM 可得DME ∠是直线MD 与平面OAC 所成的角，计算求得所成的角为030；（3）作AH OE ⊥于点H ⇒BD ⊥平面OAC ⇒BO AH ⊥⇒线段AH 的长就是点A 到
平面OBD 的距离2
2
2232
OA AE OE ==． 试题解析：（1）由OA ⊥底面,ABCD OA BD ⊥．
底面ABCD 是边长为1的正方形，
∴BD AC ⊥，又AC OA A =，∴BD ⊥
平面OAC ．
（2）设AC 与BD 交于点E ，连结EM ，则DME ∠是直线MD 与平面OAC 所成的角 ∴直线MD 与平面OAC 所成的角为030．
（3）作AH OE ⊥于点H ． BD ⊥平面OAC ， ∴BO AH ⊥，
线段AH 的长就是点A 到平面OBD 的距离．
2
2
2232
OA AE OE =
=，∴点A 到平面OBD 的距离为。