最小生成树
最小生成树MinimumSpanningTree
8
1、Prim算法
算法求精－初始化
将根r涂红加入红点集U，TE＝φ。
对每个白点i (0≤i ≤n-1, i≠r ), i所关联的最短紫边（r,i）的 长度为G[r][i], 这n-1条最短紫边构成了初始的候选轻边集。
因为树边为空，故将T[0..n-2]全部用来存放候选轻边集。
❖设V(G)={0,1,…,n-1}
❖算法的每一步均是在连接红、白点集的紫 边中选一轻边扩充到T（贪心），T从任意 一点r开始（r为根），直至U＝V为止。 MST性质保证了贪心选择策略的正确性。
3
1、Prim算法
如何找轻边？
❖可能的紫边集
设红点集|U|=k, 白点集|V-U|=n-k，则可能的紫边 数为：k(n-k)。
//将(u,v)涂红加入树中，白点v加入红点集
ModifyCandidateSet(…);
//根据新红点v调整候选轻边集
}
}
算法终止时U＝V，T=(V,TE)
6
1、Prim算法
实例
6 1
5
35 4
05
1
3
27 2
4
5
6
60 5
1
1
3
∞2
∞
4
5
0
151
3
2
5
2 4
4
5
0
151
3
2
5
2 4
4
5
0
151 2
int i, minpos, min=Infinity; for (i=k; i<n-1; i++) //遍历候选集找轻边
最小生成树---普里姆算法（Prim算法）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）
最⼩⽣成树---普⾥姆算法（Prim算法）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）最⼩⽣成树的性质：MST性质（假设N=(V,{E})是⼀个连通⽹，U是顶点集V的⼀个⾮空⼦集，如果（u，v）是⼀条具有最⼩权值的边，其中u属于U，v属于V-U，则必定存在⼀颗包含边（u，v）的最⼩⽣成树）普⾥姆算法（Prim算法)思路：以点为⽬标构建最⼩⽣成树1.将初始点顶点u加⼊U中，初始化集合V-U中各顶点到初始顶点u的权值；2.根据最⼩⽣成树的定义：从n个顶点中，找出 n - 1条连线，使得各边权值最⼩。
循环n-1次如下操作：（1）从数组lowcost[k]中找到vk到集合U的最⼩权值边，并从数组arjvex[k] = j中找到该边在集合U中的顶点下标(2)打印此边，并将vk加⼊U中。
（3）通过查找邻接矩阵Vk⾏的各个权值，即vk点到V-U中各顶点的权值，与lowcost的对应值进⾏⽐较，若更⼩则更新lowcost，并将k存⼊arjvex数组中以下图为例#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define MAXVEX 100#define INF 65535typedef char VertexType;typedef int EdgeType;typedef struct {VertexType vexs[MAXVEX];EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];int numVertexes, numEdges;}MGraph;void CreateMGraph(MGraph *G) {int m, n, w; //vm-vn的权重wscanf("%d %d", &G->numVertexes, &G->numEdges);for(int i = 0; i < G->numVertexes; i++) {getchar();scanf("%c", &G->vexs[i]);}for(int i = 0; i < G->numVertexes; i++) {for(int j = 0; j < G->numVertexes; j++) {if(i == j) G->arc[i][j] = 0;else G->arc[i][j] = INF;}}for(int k = 0; k < G->numEdges; k++) {scanf("%d %d %d", &m, &n, &w);G->arc[m][n] = w;G->arc[n][m] = G->arc[m][n];}}void MiniSpanTree_Prim(MGraph G) {int min, j, k;int arjvex[MAXVEX]; //最⼩边在 U集合中的那个顶点的下标int lowcost[MAXVEX]; // 最⼩边上的权值//初始化,从点 V0开始找最⼩⽣成树Tarjvex[0] = 0; //arjvex[i] = j表⽰ V-U中集合中的 Vi点的最⼩边在U集合中的点为 Vjlowcost[0] = 0; //lowcost[i] = 0表⽰将点Vi纳⼊集合 U ，lowcost[i] = w表⽰ V-U中 Vi点到 U的最⼩权值for(int i = 1; i < G.numVertexes; i++) {lowcost[i] = G.arc[0][i];arjvex[i] = 0;}//根据最⼩⽣成树的定义：从n个顶点中，找出 n - 1条连线，使得各边权值最⼩for(int i = 1; i < G.numVertexes; i++) {min = INF, j = 1, k = 0;//寻找 V-U到 U的最⼩权值minfor(j; j < G.numVertexes; j++) {// lowcost[j] != 0保证顶点在 V-U中，⽤k记录此时的最⼩权值边在 V-U中顶点的下标if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min) {min = lowcost[j];k = j;}}}printf("V[%d]-V[%d] weight = %d\n", arjvex[k], k, min);lowcost[k] = 0; //表⽰将Vk纳⼊ U//查找邻接矩阵Vk⾏的各个权值，与lowcost的对应值进⾏⽐较，若更⼩则更新lowcost，并将k存⼊arjvex数组中for(int i = 1; i < G.numVertexes; i++) {if(lowcost[i] != 0 && G.arc[k][i] < lowcost[i]) {lowcost[i] = G.arc[k][i];arjvex[i] = k;}}}int main() {MGraph *G = (MGraph *)malloc(sizeof(MGraph));CreateMGraph(G);MiniSpanTree_Prim(*G);}/*input:4 5abcd0 1 20 2 20 3 71 2 42 3 8output:V[0]-V[1] weight = 2V[0]-V[2] weight = 2V[0]-V[3] weight = 7最⼩总权值: 11*/时间复杂度O(n^2)克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）思路：以边为⽬标进⾏构建最⼩⽣成树在边集中依次寻找最⼩权值边，若构建是不形成环路（利⽤parent数组记录各点的连通分量），则将其添加到最⼩⽣成树中。
最小生成树唯一的充要条件
最小生成树唯一的充要条件最小生成树是一种在图论中常见的概念，它是一个连通无向图中的一棵生成树，其所有边的权值之和最小。
在实际应用中，最小生成树有着广泛的应用，比如在通信网络、电力网络和交通运输等领域。
要确定一个图的最小生成树是否唯一，需要满足以下充要条件：图中的每条边的权值互不相同。
这个条件是非常重要的，因为只有当图中的每条边的权值都不相同时，才能确保最小生成树的唯一性。
如果图中存在两条或多条边的权值相同，那么可能会有多个最小生成树。
为了更好地理解最小生成树唯一的充要条件，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个无向图，其中包含4个顶点A、B、C、D，以及4条边AB、AC、BC、BD。
如果这些边的权值分别为1、2、3、4，那么根据最小生成树的算法，我们可以得到唯一的最小生成树，即连接顶点A、B、C的边AB、AC。
因为在这种情况下，每条边的权值都不相同，所以最小生成树是唯一的。
相反，如果图中存在两条或多条边的权值相同，那么就会出现多个最小生成树的情况。
比如，如果在上面的例子中，边AC的权值改为1，那么就会有两个最小生成树，一个是连接顶点A、B、C的边AB、AC，另一个是连接顶点A、C、D的边AC、CD。
这是因为存在两条权值相同的边AB和AC，所以会有多个最小生成树。
因此，最小生成树的唯一性与图中每条边的权值是否相同密切相关。
只有当图中的每条边的权值都不相同时，最小生成树才是唯一的。
这个充要条件在实际应用中非常重要，因为只有满足这个条件，我们才能准确地求解出最小生成树，从而优化网络结构，提高效率。
最小生成树唯一的充要条件是图中的每条边的权值互不相同。
只有当图中的每条边的权值都不相同时，最小生成树才是唯一的。
这个条件在实际应用中非常重要，因为只有满足这个条件，我们才能准确地求解出最小生成树，从而优化网络结构，提高效率。
希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解最小生成树的唯一性条件，为实际应用提供参考。
最小生成树的概念
最小生成树的概念
在图论中，最小生成树是一个连通图的生成树，其边的权值之和最小。
通俗地说，最
小生成树是指在一个图中找到一棵权值最小的生成树，这个生成树包含了连通图的所有顶点，且边的数量最小。
怎么找到最小生成树呢？有两种常用算法：Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法首先任选一个点作为起点，然后在剩余的点中选择与当前集合距离最短的点加入集合，直到所有点被加入。
在加入每一个点时，找到与当前集合连接的距离最短的边，加入到生成树中。
重复以上步骤，直到所有点都被加入到生成树中。
Kruskal算法则是将边按照权值从小到大排序，选择权值最小的边加入到生成树中，
如果加入当前边后不构成环，则加入，否则继续找下一条权值最小的边。
重复以上步骤，
直到所有点都被加入到生成树中。
最小生成树有很广泛的应用，如在通信、传输、路网规划等领域都有很重要的作用。
在有些应用中，最小生成树不仅要求边的权值之和最小，还要满足一些约束条件，比如边
的数量、每个点的度数等，这时我们需要采用更加复杂的算法来求解问题。
最小生成树的应用非常广泛，比如在计算机网络中，路由协议需要找到最短的数据传
输路径；在城市交通中，规划出最优的交通路径能够有效减少能源的消耗；在电力系统中，设计最短的输电线路可以节省能源成本。
最小生成树的运用如此广泛，它不仅在计算机科
学中有重要作用，也在其他各个领域有着不可替代的作用。
最小生成树
如此进行下去，每次往生成树里并入一 个顶点和一条边，直到n-1次后，把所有 n 个顶点都并入生成树T的顶点集U中， 此时U=V，TE中包含有（n-1）条边；
图
图6.10 图G 及其生成树
无向连通图 G 图
➢ 生成树
图6.10 图G 及其生成树
生成树
➢ 最小生成树
图
1.1 普里姆(prim)算法
假设G=(V,E)是一个具有n 个顶点的连通网络， T=(U,TE)是G的最小生成树，其中U是T的顶点 集，TE是T的边集，U和TE的初值均为空。
算法开始时，首先从V中任取一个顶点（假定 为V1），将此顶点并入U中，此时最小生成树 顶点集U={V1}；
这样，T就是最后得到的最小生成树。
普里姆算法中每次选取的边两端，总是 一个已连通顶点（在U集合内）和一个未 连通顶点（在U集合外），故这个边选取 后一定能将未连通顶点连通而又保证不 会形成环路。
图
图6.11 普里姆算法例子
图
为了便于在顶点集合U和V-U之间选择权 最小的边，建立两个数组closest和 lowcost,closest[i]表示U中的一个顶点，该 顶点与V-U中的一个顶点构成的边具有最 小的权；lowcost表示该边对应的权值。
姆
{
算
min=lowcost[j];
法
k=j;
续
} printf(“(%d,%d)”,k,closest[j]);
/* 打印生成树的一条边*/
最小生成树（普里姆算法）
最⼩⽣成树（普⾥姆算法）：所谓⽣成树，就是n个点之间连成n-1条边的图形。
⽽最⼩⽣成树，就是权值（两点间直线的值）之和的最⼩值。
⾸先，要⽤⼆维数组记录点和权值。
如上图所⽰⽆向图：int map[7][7];map[1][2]=map[2][1]=4;map[1][3]=map[3][1]=2;......然后再求最⼩⽣成树。
具体⽅法是：1.先选取⼀个点作起始点，然后选择它邻近的权值最⼩的点（如果有多个与其相连的相同最⼩权值的点，随便选取⼀个）。
如1作为起点。
visited[1]=1;pos=1;//⽤low[]数组不断刷新最⼩权值，low[i](0<i<=点数)的值为：i点到邻近点（未被标记）的最⼩距离。
low[1]=0; //起始点i到邻近点的最⼩距离为0low[2]=map[pos][2]=4;low[3]=map[pos][3]=2;low[4]==map[pos][4]=3;low[5]=map[pos][5]=MaxInt; //⽆法直达low[6]=map[pos][6]=MaxInt;2.再在伸延的点找与它邻近的两者权值最⼩的点。
//low[]以3作当前位置进⾏更新visited[3]=1;pos=3;low[1]=0; //已标记，不更新low[2]=map[1][2]=4; //⽐5⼩，不更新low[3]=2; //已标记，不更新low[4]=map[1][4]=3; //⽐1⼤，更新后为：low[4]=map[3][4]=1;low[5]=map[1][5]=MaxInt;//⽆法直达，不更新low[6]=map[1][6]=MaxInt;//⽐2⼤，更新后为：low[6]=map[3][6]=2;3.如此类推...当所有点都连同后，结果最⽣成树如上图所⽰。
所有权值相加就是最⼩⽣成树，其值为2+1+2+4+3=12。
⾄于具体代码如何实现，现在结合POJ1258例题解释。
最小生成树算法比较Prim和Kruskal算法的优劣
最小生成树算法比较Prim和Kruskal算法的优劣在图论中，最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)是指一个连通图的生成树，它的所有边的权值之和最小。
最小生成树算法是解决最小生成树问题的常用方法，而Prim算法和Kruskal算法是两种经典的最小生成树算法。
本文将比较Prim算法和Kruskal算法的优劣，为读者提供更全面的了解。
一、Prim算法Prim算法是一种贪心算法，通过逐步扩展生成树的方式来构建最小生成树。
Prim算法以一个初始节点开始，然后逐渐添加与当前生成树相连的最短边，直到生成树包含图中的所有节点为止。
以下是Prim算法的基本步骤：1. 选择任意一个节点作为初始节点，并将其加入生成树中。
2. 从生成树的节点中选择一个最短边，并将与该边相连的节点加入生成树。
3. 重复步骤2，直到生成树中包含所有节点。
相比于Kruskal算法，Prim算法在每一步只考虑一个节点，并且每次选择最短边，因此Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中的节点数。
二、Kruskal算法Kruskal算法也是一种贪心算法，通过按照边的权值递增的顺序来构建最小生成树。
Kruskal算法从图中所有边中选择最短边，并将其加入生成树中，同时保证生成树不形成环，直到生成树中包含所有节点为止。
以下是Kruskal算法的基本步骤：1. 对图中的所有边按照权值进行排序。
2. 依次遍历排序后的边，将权值最小的边加入生成树中，并检查是否形成环。
3. 重复步骤2，直到生成树中包含所有节点。
Kruskal算法中的关键步骤是判断是否形成环，可以使用并查集数据结构来实现。
Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E是图中的边数。
三、Prim算法与Kruskal算法的比较1. 时间复杂度：Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，而Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)。
由于E通常小于V^2，所以Kruskal算法在大多数情况下更快。
最小生成树
对于图G=(V,E)的每一条e∈E, 赋予相应的权数 f(e),得到一个网络图，记为N＝（V,E,F）,
设T＝（为T的权，N中权数最小的 生成树称为N的最小生成树。 许多实际问题，如在若干个城市之间建造铁路网、 输电网或通信网等，都可归纳为寻求连通赋权图 的最小生成树问题。 下面介绍两种求最小生成树的方法：
例1 求下图所示的最小生成树。
v2 e1 v1 e2 e6 v4 e 7 v3
v5
解：按各边的权的不减次序为：
e1 e 2 e3 e7 e6 e 4 e5 e8
所以，首先取 e1 , e2 ,尔后再取 e7 和 e6 , 则构成最小生成树 .
二、破圈法 破圈法就是在图中任取一个圈，从圈中去 掉权最大的边，将这个圈破掉。重复这个 过程，直到图中没有圈为止，保留下的边 组成的图即为最小生成树。 例2 同例1。 解：在圈v2v2v3中，去掉权最大的边e2或e3； 在圈v2v3v4中，去掉权最大的边e4； 在圈v3v4v5中，去掉权最大的边e5； 在圈中v2v3v5，去掉权最大的边e8；
在剩下的图中，已没有圈，于是得到最小生成树， 如下图：
v2 e1 v1 e2 e6 v4 v3 e7
v5
例3 求下图的最小生成树。
C1 1 B1 3 5 A 4 B2 6 5 8 7 6 C4 C3 3 3 4 D3 8 3 C2 8 D2 4 E A
4 3 B2 C4 4 D3 C3 3
B 2 A 3 5 J 2 2 H 5 G 1 F 2 1 S 3 1 4 C 3 4 1 4 E
5
D 2
A 2
B
1
C D 1 2 E
1 S 2 H
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即最小k+1度限制生成树属于最小k度限制生成树的邻集。
假设我们已经得到了最小p度限制生成树， 如何通过它来求最小p+1度限制生成树呢？
如图，假设我们 已经得到了v0度为 2时的最小生成树， 现在要求v0度为3 时的最小生成树。 V0
枚举与V0关联且 不在树上的边， 添加到树上。
为了使V0的度增 加，下面两条边 红色的边是不能 删除的。
总复杂度：O(VlogV+E+kV);
例题3：还是通讯网络
某地区共有n座村庄，每座村庄的坐标用一 对整数(x, y)表示，现在要在村庄之间建立通 讯网络。 通讯工具有两种，分别是需要铺设的普通 线路和卫星设备。 只能给k个村庄配备卫星设备，拥有卫星设 备的村庄互相间直接通讯。 铺设了线路的村庄之间也可以通讯。
如何判断欲加入的一条边是否与生成树 中边构成回路。 将各顶点划分为所属集合的方法来解决， 每个集合的表示一个无回路的子集。开 始时边集为空，N个顶点分属N个集合， 每个集合只有一个顶点，表示顶点之间 互不连通。 当从边集中按顺序选取一条边时，若它 的两个端点分属于不同的集合，则表明 此边连通了两个不同的部分，因每个部 分连通无回路，故连通后仍不会产生回 路，此边保留，同时把相应两个集合合 并
动态规划
Best(v)的状态转移方程为 Best(v)=max(Best(Father(v)),w(Father(v),v)) 边界条件为 Best[v0]=-∞，{Best[v’]=-∞|(v0,v’)∈E(T)}。
动态规划
状态总共|V|个，而状态转移的时间复杂度 为O(1),因而总的时间复杂度是O(V),即通过 最小p度限制生成树求最小p+1度限制生成 树的时间复杂度是O(V)。
次小生成树有可能也是最小生成树
定理
定理：次小生成树属于最小生成树的邻集。 即次小生成树可以通过由最小生成树换一条 边来得到。
结论
另一个结论： T是某一棵最小生成树，T0是任一棵异于T 的树，则定可通过变换 T0 --> T1 --> T2 --> ... --> Tn (T) 变成最小生成树。 所谓的变换是，每次把Ti中的某条边换成T 中的一条边, 而且树T(i+1)的权小于等于Ti的 权。
还是应当掌握度限制生成树的正规算法
最小度限制生成树的定义
设G=(V,E,ω)是连通的无向图，v0 ∈V是特别 指定的一个顶点 , k为给定的一个正整数。 V0在T中的度为DT(v0)。
如果T是G的一个生成树且DT(v0) =k，则称T 为G的k度限制生成树。G中权值和最小的k 度限制生成树称为G的最小k度限制生成树。
例题2：POJ 1639 Picnic Planning
这是在一个特殊点V0所连边数有限制(不大于K)条件 下求最小生成树的问题。
最土解法: 枚举去掉V0的一些边，使得V0的度变为K 的方案数，对每种方案求一个最小生成树，然后在 所有的最小生成树里再取最小的。 复杂度极高，但是本题数据弱，可以过。
定理：设T是图G的最小k度限制树，E0是G中与v0有关联 的边的集合， E1=E0\E(T)， E1即是和V0相连，但是不在T中的边的集合 E2=E(T)\E0， E2即是T中不和V0相连的边的集合 A={(+a,-b)| a∈E1,b∈E2}
设ω(a’)－ω(b’)=min{ω(a)－ω(b)| (+a,-b)∈A}，则T + a’-b’是G 的一个最小k+1度限制生成树。
具体实现：从V0开始做一遍广搜即可。 问题：最先求几度的最小度限制生成树呢？ 即p从多少开始求？
答案
因为求最小k度限制生成树，当 k < DG(v0) 时，问题并不总是有解的。如图。
V0
所以如果将v0去掉，图会被分成m个连通支， 那么就先求最小m度限制生成树。
如何求最小m度限制生成树
例题3：还是通讯网络
问：怎样合理的分配卫星和铺设线路，使 得在保证每两座村庄之间都可以直接或间 接地通讯的前提下，铺设线路的总长度最 短。？ 数据规模：0 <= k <= n <= 500
分析
我们增加一个节点：卫星。卫星到所有节 点的权值都是 0 。 那么，我们要求的仍是一个最小生成树。 只不过卫星最多只能与 k 个节点相连。 也就是说，节点：卫星的度限制为 k 。 这是一个最小度限制生成树的问题！
答案
只需先求最小生成树，d 的最小值即为第 k 长边！
例题2：POJ 1639 Picnic Planning
矮人虽小却喜欢乘坐巨大的轿车，车大到可以装下 无论多少矮人。某天，N(N≤20)个矮人打算到野外 聚餐。为了集中到聚餐地点，矮人A 要么开车到 矮人B 家中，留下自己的轿车在矮人B 家，然后乘 坐B 的轿车同行；要么直接开车到聚餐地点，并 将车停放在聚餐地。虽然矮人的家很大，可以停 放无数量轿车，但是聚餐地点却最多只能停放K 辆轿车。给你一张加权无向图，描述了N 个矮人 的家和聚餐地点，求出所有矮人开车最短总路程。
算法：Kruskal 和 Prim
•
Kruskal:将所有边从小到大加入，在此过程中 判断是否构成回路
– – –
使用数据结构：并查集 时间复杂度：O(ElogE) 适用于稀疏图 使用数据结构：堆 时间复杂度：O(ElogV) 或 O(VlogV+E)(斐波那契堆） 适用于密集图 若不用堆则时间复杂度为O(V2)
删去边的权值越 大，所得到的生 成树的权值和就 越小，因此，需 要找到环上可删 除的权值最大的 边并将其删除。
简单的枚举，时 间复杂度非常高。
应该使用动态 规划！
动态规划
设最小p度限制生成树为T , T是无根树，为 了简便，我们把v0作为该树的根。 定义Father(v)为T中v的父结点，Father(v0) 无意义。 设Best(v)为路径v0->v上与v0无关联且权值 最大的边。
最小生成树(MST)问题
by yzc
图的生成树
在一个连通图G中，如果取它的全部顶点和 一部分边构成一个子图G’，即： V(G’)=V(G);E(G’) ∈E(G) 若边集E(G’)中的边既将图中的所有顶点连 通又不形成回路，则称子图G’是原图G的一 棵生成树。 一棵含有n个点的生成树，必含有n-1条边。
例题4：POJ1679 The Unique MST
题目：要求判断给定图的最小生成树是否唯一
解：显然，这是一个求次小生成树的问题， 如果求出来的次小生成树权值和与最小生 成树相同，则不唯一
次小生成树的定义
设G=(V , E , ω)是连通的无向图，T是图G的 一个最小生成树。如果有另一棵树T1，满 足不存在树T’ , T’ ≠ T , ω（T’）<ω（T1） ， 则称T1是图G的次小生成树。
最小生成树
对于一个连通网（连通带权图，假定每条 边上的权均为大于零的实数）来说，每棵 树的权（即树中所有边的权值总和）也可 能不同 具有权最小的生成树称为最小生成树。
最小生成树
生成树
无向连通图的边的集合 无回路 连接所有的点 所有边的权值之和最小
最小
Prim算法
假设G=(V,E)是一个具有n个顶点的连通网， T=(U,TE)是G的最小生成树，U,TE初值均为空集。
1）我们可以先删去v0，对各个连通分量求 最小生成树。
具体实现：枚举每个顶点作为起点执行Prim算 法，执行的过程中对同一连通支的顶点用相同 数字标记。
2）再在每个连通分量中找最小边和v0相连。 3）得到最小m度限制生成树。
时间复杂度分析
求最小m度生成树：O(VlogV+E);
最多k次从p度到p+1度的递推：k*O(V);
图例
关键问题
每次如何从连接T中和T外顶点的所有边中，找 到一条最短的 1) 如果用邻接矩阵存放图，而且选取最短边的 时候遍历所有边进行选取，则时间复杂度为 O(V2), V 为顶点个数 2)用邻接表存放图,并使用堆来选取最短边，则 时间复杂度为O(ElogV) 不加堆的Prim 算法适用于密集图，加堆的适用 于稀疏图
首先从V中任取一个顶点（假定取v1），将它并入 U中，此时U={v1}，然后只要U是V的真子集(U∈V)， 就从那些一个端点已在T中，另一个端点仍在T外 的所有边中，找一条最短边，设为(vi,vj),其中 vi∈U,vj ∈V-U，并把该边(vi, vj)和顶点vj分别并入T 的边集TE和顶点集U，如此进行下去，每次往生成 树里并入一个顶点和一条边，直到n-1次后得到最 小生成树。
证：设最小生成树有n条边，任意两棵最小生成树分别称为A, B, 如果e是一条边，用w(e)表示该边 的权值。 A的边按权值递增排序后为a1, a2,……an w(a1)≤w(a2)≤……w(an) B的边按权值递增排序后为b1, b2,……bn w(b1)≤w(b2)≤……w(bn) 设i是两个边列表中，第一次出现不同边的位置，ai≠bi 不妨设w(ai)≥w(bi) 情形1 如果树A中包含边bi，则一定有j>i使得 bi=aj ,事实上,这时有 w(bi)=w(aj)≥w(ai) ≥w(bi) 故 w(bi)=w(aj)=w(ai)，在树A的边列表中交换边ai和 aj的位置并不会影响树A的边权有序 列表，两棵树在第i个位置的边变成同一条边。 情形2 树A中并不包含边bi，则把bi加到树A上，形成一个圈，由于A是最小生成树，这个圈里任意 一条边的权值都不大于w(bi) ，另外，这个圈里存在边aj不在树B中。因此，有w(aj)≤w(bi)，且 j>i (因为aj不在B中)。于是，有w(bi)≤w(ai)≤w(aj)≤w(bi)，因此 w(ai)= w(aj) = w(bi)。那么在树A中把aj换成bi仍然保持它是一棵最小生成树，并不会影响树A的 边权有序列表，并且转换成情形1。