3[1].1不等关系和不等式__(3课时)

2.两个实数的差的符号能反映这两个实 数的大小关系，这是确定两个实数大小 关系的基本原理，同时也是发掘不等式 性质的理论依据.
3.用“差比法”比较两个实数的大小， 一般分三步进行：作差→变形→判断符 号. 其中变形的目的在于判断差式的符 号，常用的变形手段有因式分解、配方 等.
作业：
P74练习：1，2. P75习题3.1B组：1.
知识探究(一)：用不等式表示不等关系
思考1：限速40km/h的路标，指示司机在 前方路段行使时，应使汽车的速度v不超 过40km/h.怎样用不等式表示这里的不等 关系？ 0＜v≤40 思考2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸 奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质 的含量p 应不少于2.3%，怎样用不等式 组表示这里的不等关系？ ì f ³ 2.5% ï ï
作业：
P75习题3.1A组：2，3. B组：2.
3.1
不等关系与不等式
第三课时
知识梳理
1. 两个实数大小关系的比较原理 a －b ＞0 a ＞b a－b=0 a=b
a －b ＜0 a ＜b 2.不等式的基本性质
（1 ）a ＞b （2 ）a ＞b ，b ＞c a ＜b ， b ＜c
b＜a（对称性）
P75习题3.1A组：4，5. B组：3.
例2
比较下列两组代数式的大小：
(2) x6+1与x4+x2；
(1)x2+3与3x；
(3) ( x y )( x y)与( x y )( x y) ( x y 0)
2 2 2 2
小结作业
1.用不等式表示不等关系是一种数学建 模，准确理解题意，设定字母表示相关 数量，是正确建模的关键.对具有多个不 等关系的实际问题，要用不等式组来表 示.
第三章 3.1
不等式
不等关系与不等式 第一课时
问题提出
1.在数学中，表示等量关系的式子叫做 等式，那么“不等式”的含义如何理解？
表示不等关系的式子叫做不等式.
2.现实世界和日常生活中，既有相等关 系，又存在着大量的不等关系.例如，两 点之间线段最短，三角形两边之和大于 第三边、两边之差小于第三边，等等.人 们还经常用长与短、高与矮、轻与重、 大与小、不超过或不少于等来描述某种 客观事物在数量上存在的不等关系.因此， 如何用数学语言表述这样的不等关系， 就成为一个新的学习的内容.
小结作业
1.证明不等式和比较大小，是不等式的 两个基本问题，解决不等式问题必须以 不等式性质为理论依据，常用方法有比 较法、综合法、分析法等.
2.比较法包括差比法和商比法.其中商比 a 法的理论依据是 1, b 0 a b 或
a 1, b 0 a b b
b
.
作业：
思考1：在等式中有移项法则，即a＋b＝ c a＝c－b，那么移项法则在不等式 中成立吗？ a ＋b ＞c a ＞c －b
思考2：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，a1＋a2＋„＋an与b1＋b2＋„＋bn的 大小关系如何？ ai＞bi (i＝1，2，3，„，n) Þ a1＋a2＋„＋an＞b1＋b2＋„＋bn
ï í ï p ³ 2.3% ï ï î
思考3：设点A与平面α 的距离为d，B为 平面α 上的任意一点，则d与|AB|的大小 关系怎样表示？ A
d
B d≤|AB|
思考4:某种杂志原以每本2.5元的价格销 售，可以售出8万本.据市场调查，若单 价每提高0.1元，销售量就可能相应减少 2000本.若把提价后杂志的定价设为x元， 怎样用不等式表示销售的总收入不低于 20万元？
3.1
不等关系与不等式
第二课时
问题提出
1.反映实数大小关系的基本原理是什么？ a －b ＞0 a ＞b
a=b a －b ＜0 a ＜b
a－b=0
2.用“差比法”比较两个代数式大小的 一般步骤如何？
作差→变形→判断符号
3.对不等式的认识仅停留在上述层面上 是不够的，为了深入研究各种背景下的 不等关系，我们必须建立相关的不等式 理论，这是我们需要进一步研究的问题.
例3 立.
若a＜b＜0，判断下列结论是否成
1 1 （1 ） a b
（3 ） a b
2 2
1 1 （2） a b a
（4）ac2＜bc2
例4
给出三个不等式： , ③bc＞ad，
c d ①ab＞0，② a b
以其中任意两个作条件，余下一个做结 论，可组成几个正确命题.
小结作业
1.不等式的8条基本性质，就是不等式的 运算法则，是分析、研究和解决不等式 问题的逻辑依据，在此基础上还可引伸 出许多其他性质，学习上要求掌握基本 性质，了解拓展性质.
a ＞c ； a＜c（传递性）
（3）a＞b a+c＞b+c（可加性）
a+c＞b+d （5）a＞b，c＞0 ac＞bc；
（4 ）a ＞b ，c ＞d a ＞b ，c ＜0
ac＜bc
（6 ）a ＞b ＞0 ，c ＞d ＞0 （7 ）a ＞b ＞0
ac＞bd
(n∈N*)
a n＞b n a
a ＞b ，c ＜d
a －c ＞b －d
1 1 与 a b
思考6： 若a＞b，ab＞0，那么 的大小关系如何？
1 1 a＞b，ab＞0 a b
理论迁移
例1
已知a＞b＞0，c＜0，
c c 求证: . a b
例2
1 1 已知a b 0
，x ＞y ＞0 ，
x y 求证： . xa y b
知识探究(二)：比较实数大小的基本原理
思考1：实数可以比较大小，对于两个实 数a，b，其大小关系有哪几种可能？ a＞b，a＝b，a＜b. 思考2：任何一个实数都对应数轴上的一 个点，那么大数与小数所对应的点的相 对位置关系如何？ 大数对应的点位于小数对应的点的右边
思考3：如果两个实数的差是正数，那 么这两个实数的大小关系如何？反之成 立吗？如何用数学语言描述这个原理？
Þ
a ＞b ，b ＞ c
a ＜b ，b ＜c

a ＞c ；
a＜c（传递性）
思考3：再有一个不争的事实：若甲的年 薪比乙高，如果年终两人发同样多的奖 金或捐赠同样多的善款，则甲的年薪仍 然比乙高，这里反映出的不等式性质如 何用数学符号语言表述？ a ＞b
a+c＞b+c（可加性）
思考4：还有一个不争的事实：若甲班的 男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多， 则甲班的人数比乙班多. 这里反映出的 不等式性质如何用数学符号语言表述？
a ＞b ，c ＞d
a+c＞b&a＞b，c＞0，那么ac与bc的 大小关系如何？如果a＞b，c＜0，那么 ac与bc的大小关系如何？为什么？ a＞b，c＞0 ac＞bc； a＞b，c＜0 ac＜bc 思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac与bd的大小关系如何？为什么？
n
（8 ）a ＞b ＞ 0
＞ b (n∈N*)
n
应用举例
例1
已知 a＞b＞1，求证：
2 ab > b +
b
例2
已知a、b为正实数，求证：
a b a b b a
例3 比较大小： a2＋b2与2(a＋b－1)；
例4 已知数列{an}是等比数列，数 列{bn}是等差数列，且a1＝b1＞0，a3＝ b3＞0，a1≠a3，试比较a5与b5的大小.
绝对不等式，矛盾不等式，条件不等式.
理论迁移
例1 某用户计划购买单价分别为60元、 70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金 不超过500元，根据需要，软件至少买3 片，磁盘至少买2盒，用不等式组表示软 件数x与磁盘数y应满足的条件.
60x 70 y 500 x 3 y 2
思考3：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，那么a1· a2„an＞b1· b2„bn吗？ ai＞bi＞0 (i＝1，2，3，„，n)
a1· a2„an＞b1· b2„bn
思考4：如果a＞b，那么an与bn的大小关 系确定吗？ a＞b，n为正奇数
a n＞b n
思考5：如果a＞b，c＜d，那么a＋c与b ＋d的大小关系确定吗？a－c与b－d的大 小关系确定吗？
x 2.5 (8 0.2) x 20 0.1
思考5：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢 管截成500mm和600mm两种.按照生产的要 求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢 管的3倍.如何用不等式组表示上述所有 不等关系？
500x 600 y 4000 3x y x 0 y 0
a －b ＞0

a ＞b
思考4：如果两个实数的差等于零，那么 这两个实数的大小关系如何？反之成立 吗？如何用数学语言描述这个原理？
a－b=0
a=b
思考5：如果两个实数的差是负数，那么 这两个实数的大小关系如何？反之成立 吗？如何用数学语言描述这个原理？ a －b ＜0

a ＜b
思考6：考察下列三个不等式： |x|≥x；x2＜0；sinx＞0. 这些不等式各有什么特点？如何通过数 学概念加以区分？
2.上述不等式性质都是可以证明的结论， 反映实数大小关系的基本原理是证明不 等式性质的理论基础.
3.在不等式的基本性质中，有些条件与 结论是等价的，有些是不等价的，在不 等式的乘法、乘方、开方运算性质中， 还要附加大于0的条件，应用时必须认准. 4.不等式的8条基本性质还可作适当变 通，如a≥b，b＞c a＞c； a≥b，c＞0 ac≥bc； a＜b，c＜0 ac＞bc等等.
a ＞b ＞0 ，c ＞d ＞0
ac＞bd
思考7：如果a＞b＞0，n∈N*，那么an与 bn的大小关系如何？