3.1不等关系与不等式
3.1.1不等关系与不等式
【分析】若要判断上述命题的真假，依据就是实数集 的基本性质和实数运算的符号法则及不等式的基本性质， 经过合理的逻辑推理即可判断.
【解析】（１）因为c的正、负或是否为零未知，因 而判断ac与bc的大小缺乏依据，故该命题是假命题. （２）由ac2>bc2，知c≠0,c2>0, ∴ 12 >0. 故该命题为真命题. （3）由
注意实际问题中关键性的文字语言与对应符号之间的正确转
换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系. 常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
文字 语言 大于
数学 符号 ＞
文字 语言
数学 符号 ≥
文字 语言 至多
数学 符号 ≤
文字 语言 不小于
数学 符号 ≥
大于 等于
小于 等于
小于
＜
≤
至少
≥
不多于
3 2
当x=1时，x =x －x+1， 3 2 当x<1时，x <x －x+1.
例 4 比较(a＋3)( a－5)与( a＋2)(a－4) 的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a 2 2a 15) (a 2 2a 8) 7 ∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0
－b的取值范围。
解：设9a－b=m(a－b)+n(4a－b) =(m+4n)a－(m+n)b， 令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得， 5 8 m ,n 3 3 8 5 所以9a－b= (a－b)+ (4a－b) 3 3
由－4≤a－b≤－1，得
3.1不等关系与不等式(一)
生活中的不等关系：
实例1：某天的天气预报报道，最高气温 32℃，最低气温26℃.
实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B， 若点A在点B的左边，则xA< xB. 实例3：若一个数是非负数，则这个数大 于或等于零.
生活中的不等关系：
实例4：两点之间线段最短.
实例5：三角形两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边. 实例6：限速 40 km/h 的路标，指示司机 在前方路段行驶时，应使汽车速度 v 不超 过 40 km/h.
x 2.5 0.2 x 20 8 0.1
或 2.5 0.1n 8 0.2n 20
比较两种表示
例3 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管 截成500mm和600mm两种，按照生产的 要求，600mm钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关 系的不等式呢？
3.1 不等关系与 不等式(一)
思考1：
回忆初中学过的不等式，比较“不 等关系”与“不等式”有何异同.
不等关系强调的是关系.用符号“<” “>” “≤” “≥ ”和“≠”表示. 不等式就是用不等号将两个代数式连结起 来所成的式子.如﹣7 <﹣5，3 + 4 > 1 + 4， 2x ≤ 6，a + 2 ≥ 0，3 ≠ 4，0 ≤ 5 等.
生活中的不等关系：
实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸 奶中脂肪的含量 f 应不少于2.5%蛋白质 的含量 p 应不少于2.3%.
思考2：
如何用我们学过的知识来表示 这些不等关系？
应用示例
例1 设点A与平面的距离为d，B为 平面上的任意一点，则d ≤ |AB|.
例2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售， 可以售出8万本.根据市场调若单价每提高 0.1元，销售量就可能相应减少2000本.若 把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不 等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
3.1不等关系与不等式
3.1不等关系与不等式1.用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；2.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；一、新课导学※探索新知现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如：1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为14℃，明天白天的最高温度23℃；2、三角形ABC的两边之和大于第三边；3、a是一个非负实数。
4、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：_________5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：()A. f≥2.5%或p≥2.3%B.f≥2.5%且p≥2.3%1.不等式的定义：2.2≥2，这样写正确吗？“≥“的含义是什么？a≥b、a≤b表示什么?题型1.建立不等关系例1 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。
怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？【解题思路】设出变量,将文字语言转化为数学符号.4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。
现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。
请用不等式组把此实例中的不等关系表示出来。
题型2:比较法两个数的大小3.4.数轴上两点A、B有怎样的位置关系？两实数有怎样的大小关系？点的关系：数的关系：5.如何比较两数大小①作差法a b>a b=a b<②作商法: ;a b?.a b?如果p qÞ，同时pq⇒，则记为。
例2.比较x2-x和 x-2的大小变式：比较a mb m++与ab（其中0b a>>，0m>）的大小不等式的性质性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性。
3.1不等关系与不等式(二)
(5) a b, c 0 ac bc ;
a b, c 0 ac bc
(6) a b 0, c d 0 ac bd
(7) a b 0, n N , n 1
a b , a
n n n n
*
b
(8) a b 0 a b 0 a0b
3 成立的有________个.
练习:
5. 若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式 成立的是 ( C )
A. C. 1 a a c 1
2
1 b b c 1
2
B. a b
2
2
D. a c b c
练习:
6. 若、 满足 的取值范围是(
2
2
, 则
A. b a C. a b1 a 1 1 b b 1 a B. a D. 1 a 2a b a 2b a b b 1 b
练习:
4. 有以下四个条件： (1) b＞0＞a； (2) 0＞a＞b； (3) a＞0＞b； (4) a＞b＞0.
其中能使
1 a
1 b
1 b 1 b 1 a
1 a 1 a
0 0 1 b
0
讲解范例:
c c 例1. 已知 a b 0, c 0, 求证： . a b
讲解范例:
例2. 如果30＜x＜42，16＜y＜24，
求x＋y，x－2y及
x y
的取值范围.
讲解范例:
例3. 已知
2
2
基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同 一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
3-1《不等式与不等关系》课件(共29张PPT)
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
3.1不等关系与不等式
反证法简介
反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的 角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论， 从而导出矛盾推理而得. 法国数学家阿达玛 (Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理 的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲， 反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论 的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理， 使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已 经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成 立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.
性质7 如果a>b>0, 那么an>bn(nN,n2);
证明：由于a>b>0, 根据性质6，自乘得； aa>bb 即 a2>b2.
显然 a2>b2>0, 继续用性质6，可得 a3>b3. 继续下去可得an>bn(nN,n2);
说明：此性质可称为不等式的乘方的性质：当不等 式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的 不等式和原不等式同向.
性质8 如果a>b>0, 那么 n a n b (nN,n2); 证明：用反证法证明，假设结论不成立则；
n a n b 或n a n b
若 n a n b 则得a=b，与已知a>b矛盾
若 n a n b 则由性质7,两边n次幂得a<b， 与已知a>b矛盾.
所以假设不成立，原结论成立 n a n b (nN,n2). 说明：此性质可称为不等式的开方的性质：当不等 式的两边都是正数时，不等式两边同时开方所得的 不等式和原不等式同向.
3.1 不等关系与不等式
主要内容
1. 不等关系 2.不等式的性质及其证明 3.比较代数式大小的方法 4.不等式的应用实例
3.1不等关系与不等式(两课时)
500x 600y 4000
y 3x
x≥0,y≥0 上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话， 用不等式组表示为：
数学应用
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求， 600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述所有不等关系的不等式.
数学应用
问题1：设点A与平面α的距离为d, B为平面α上任意一点，则
d与线段AB的关系？
A
d≤|AB|
d
B
数学应用
问题2.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售 量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价 设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低 于20万元呢？
∴
(a b) (b c) 0
ac 0
∴
ac
由定理1，定理2可以表示为如果
c b且b a
那么
ca
不等式的性质
性质3.如果
a b，那么 a c b c
不等式的可加性
(即a b a c b c)
证明： ∵
∴
(a c) (b c) a b 0
证明:ac-bc=( a-b )c 因为 a >b 所以 a-b>0, 根据同号相乘得正,异号相乘得负,得 当c>0时,(a-b)c>0, 即 ac>bc 当c<0 时,(a-b)c<0, 即 ac<bc
不等式的性质
性质5： 如果
a b 且 c d ，那么
ac bd
不等式的同向可加性
2014年人教A版必修五课件 3.1 不等关系与不等式
例(补充). 用不等式表示下面的不等关系: (3) 某钢铁厂要把长度为 4000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种. 按照生产的要求, 600 mm 钢管的数量 x 不能超过 500 mm 钢管数 y 的 3 倍. 写 出满足上述所有不等关系的不等式. 解: ① 600 mm 钢管数 x 不能超过 500 mm 钢管 数 y 的 3 倍: x≤3y, ② 总长度不能大于 4000 mm: 600x500y≤4000 x 3 y, ③ 钢管数不能为负: 600x 500 y 4000, x≥0, y≥0, x 0, 由①②③得: y 0.
2. 有一个两位数大于50而小于60, 其个位数字 比十位数字大 2. 试用不等式表示上述关系, 并求出 这个两位数 (用 a 和 b 分别表示这个两位数的十位数 字和个位数字). 解: 10ab>50, ① 10ab<60, ② ③ b=a2. 48 ; a ③代入①得 ④ 11 58 ③代入②得 a . ⑤ 11 由④⑤得 a = 5, 则 b = 7. ∴这个两位数是 57.
f 2.5%, p 2.3%.
Hale Waihona Puke 例(补充). 用不等式表示下面的不等关系: (1) 设点 A 与平面 a 的距离为 d, B 为平面 a 上 任意一点, 写出 |AB| 与 d 的大小关系. (2) 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售, 可以售 出 8 万本. 据市场调查, 若单价每提高 0.1 元, 销售 量就可能相应减少 2000本. 若把提价后杂志的定价设 为 x 元, 写出销售的总收入不低于20万元的不等式. (3) 某钢铁厂要把长度为 4000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种. 按照生产的要求, 600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管的 3 倍. 写出满足 上述所有不等关系的不等式.
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3.1不等关系与不等式
高二年级主备人：郭爱琴审核人：
(一)、学习任务：1.了解不等式（组）的实际背景；2.掌握比较两个实数大小的方法；3. 掌握不等式的八条性质。
页完成下面任务：
（二）、设问导读：阅读教材p
72-
75
一、自主学习：
1. 不等式的概念：用数学符号<，≤，>，≥或≠的式子叫做不等式。
二、合作探究
1.实数比较大小（阅读教材p
页完成下面任务）
73
72-
问题1. 实数比较大小的依据
在数轴上不同的点A与B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质
如果a-b是正数，那么，如果a-b是负数，那么，如果a-b等于零，那么，以上结论反过来也成立，即a>b⇔，a<b⇔，a=b⇔，比较实数a,b大小的依据：
（1）文字叙述：如果a-b是那么a>b，如果a-b等于那么a-b是那么a<b ，反过来也对。
（2）符号表示：a-b >0⇔，a-b=0⇔，a-b<0⇔。
结论：比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，于是在比较两个实数的大小的一般步骤
作差→恒等变形→判断差的符号（与0的关系）→下结论
例如：已知a，b∈R+，试利用作差法比较a2+b2与a2 b +ab2的大小。
问题2.不等式的基本性质（阅读教材p
页完成下面任务）
74
73-
1、在实数大小比较的基础上，可以给出不等式的八条基本性质的严格证明，证明时可以利用前面的性质论证后面的性质
常用的不等式的基本关系
（1）a>b⇔b a （对称性）
(2) a>b,b>c⇒a c (传递性)
（3）a>b⇒a+ c b+ c （对加性）
（4）a>b，c>0⇒ a c bc，a>b，c<0⇒ a c bc
（5）a>b，c>d⇒a+c b+d
( 6) a>b，c>d>0⇒ac bd
(7)a>b>0,n∈N且n≥2⇒a n b n
(8) a>b>0,n∈N且n≥2⇒
2、例1：已知a>b>0,，c<0，求证a c >b
c
若用甲、乙、丙三种食物各xkg 、ykg 、zkg 配成100kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B 。
试用x 、y 表示混合食物成本c 元。
并写出x 、y 所满足的不更关系。
小结：
例3. 已知x<1，试比较x 3-1与2x 2-2 x 的大小
对点训练：（1）比较（a+3）（a-5）与（a+2）(a-4) 的大小
（2）比较5x 2+y 2+z 2与2 x y+4 x+2 z-2的大小
例4. 已知a ,b ,c 为实数，判断以下各命题的真假：
（1）若a>b ，则a c<bc ；(2) 若a c 2 >b c 2,则a>b ；（3）若a<b<0，则a 2>ab> b 2；
（4）若c>a>b>0，则a c a ->b c b -；（5）若a>b ，且a 1>b
1则a >0，b<0； 对点训练：判断以下各命题是否正确，并说明理由：
（1） 若a c <b
c 且c>0则a>b ；（2）若a>b>0且c>d>0则
d a >c b （2） 若a>b 且ab ≠0则a 1<b 1；（4）若a>b 且c>d 则ac>bd ； 三、当堂检测1.课本74页 1. 3. 2
2.设m=x 2+y 2+2y,n=2x-5则m,n 的大小关系
3.下列不等式（1）x 2+3>2x （x ∈R ）；（2）a 3+b 3≥a 2b+ab 2 (a,b ∈R);
(3) a 2 +b 2≥2(a-b-1)中正确的命题序号有
四、巩固训练：试比较（x 2-2x+1）（x 2+2x+1）与（x 2- x+1）（x 2-+x+1）的大小
课本75页习题3.1 A 组2.3.4.5
五、本节课你有什么收获⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧。