2019-2020年高三上学期数学一轮复习教案：第1讲 集合
1高三数学第一轮复习——集合课案
（ 3）表示一个集合可用列举法、描述法、图示法。
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：
A={ a1， a2，…… }. 。
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号
内。具体方法：在大括号内先写上表
示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有
A ． {2} B． {3} C． { － 3， 2}
D． { － 2， 3}
解析： 易得 B={ -3 ， 2} ，故阴影为 A B ={2} 。 答案： A
2. 已知集合 A={y|y 2-(a2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8 ≤ 0，} 若 A∩ B≠ ，则实数 a 的取值范围为 （
的关系的韦恩（ Venn）图如图 1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
(
)
A. 3 个
B. 2 个
C. 1 个
解析： 由 M { x 2 x 1 2} 得 1 x 3 ，则 M
D. 无穷多个
N 1,3 ，有 2 个。 答案： B
题型 2：集合的性质
例 2． (2009 山东卷理 )集合 A 0,2, a , B 1,a2 ,若 A B 0,1,2,4,16 ,则 a 的值为 ( )
3．全集与补集：
（ 1）全集：包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作
U；
（ 2）补集：若 S 是一个集合， A S，则， CS = { x | x S且x A} 称为 S 中子集 A 的补集；
-1-
（ 3）简单性质：
1） CS ( CS )=A；
高三数学一轮复习精品教案2：1.1集合教学设计
第一节集合1．集合的基本概念(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为∈和∉．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、V enn图法．2．集合间的基本关系(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算续表1．(人教A版教材习题改编)若集合M＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是()A．{a}⊆M B．a⊆MC．{a}∈M D．a∉M『解析』∵M＝{x∈N|x≤10}＝{0，1，2，3}，∴a∉M.『答案』 D2．(2013·慈溪模拟)设集合M＝{x|x＜2 013}，N＝{x|0＜x≤2 013}，则M∪N＝() A．M B．NC．{x|x≤2 013} D．{x|0＜x＜2 012}『解析』M∪N＝{x|x≤2 013}．『答案』 C3．(2012·广东高考)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁U M＝() A．U B．{1，3，5}C．{3，5，6} D．{2，4，6}『解析』∵U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，∴∁U M＝{3，5，6}．『答案』 C4．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P『解析』∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}，因此∁R P⊆Q.『答案』 C5．若集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≥a}，且A∩B≠∅，则实数a的取值范围为() A．{a|a≤1} B．{a|a＜1}C．{a|a≥1} D．{a|a＞1}『解析』∵A∩B≠∅，∴a＜1，故选B.『答案』 B(1)(2013·洛阳模拟)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．7D ．6(2)(2013·连云港模拟)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m ，－3}，若3∈A ，则m 的值为________．『思路点拨』 (1)先确定a 值，再确定b 值，注意元素的互异性． (2)根据元素与集合的关系知，m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，注意元素的互异性． 『尝试解答』 (1)当a ＝0，b ＝1，2，6时，P ＋Q ＝{1，2，6}； 当a ＝2，b ＝1，2，6时，P ＋Q ＝{3，4，8}； 当a ＝5，b ＝1，2，6时，P ＋Q ＝{6，7，11}．∴当P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}时，P ＋Q ＝{1，2，3，4，6，7，8，11}． 故集合P ＋Q 有8个元素．(2)∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，解得m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ＝3，不满足集合元素的互异性，当m ＝－32时，A ＝{－3，12，3}满足题意．故m ＝－32. 『答案』 (1)B (2)－32,1．解答本题(1)时，若不按分类讨论计算，易漏掉元素，对于本题(2)易忽视元素的互异性而得到错误答案．2．用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其它的集合．3．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．(1)若定义：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A *B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．6(2)已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________． 『解析』 (1)∵A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }， 又A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，∴A *B ＝{0，2，4}，其所有元素之和为6，故选D. (2)∵A ＝∅，∴方程ax 2－3x ＋2＝0无实根， 当a ＝0时，x ＝23不合题意，当a ≠0时，Δ＝9－8a ＜0，∴a ＞98.『答案』 (1)D (2)(98，＋∞)(1)已知a ∈R ，b ∈R ，若{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 013＋b 2 013＝________．(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．『思路点拨』 (1)0∈{a ，ba ，1}，则b ＝0，1∈{a 2，a ，0}，则a 2＝1，a ≠1，从而a ，b 可求．(2)A ∪B ＝A ⇒B ⊆A ，分B ＝∅和B ≠∅两种情况求解． 『尝试解答』 (1)由已知得ba＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 013＋b 2 013＝(－1)2 013＝－1.(2)A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}， 又A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 『答案』 (1)－1 (2)(－∞，3』,1．解答本题(2)时应注意两点：一是A ∪B ＝A ⇒B ⊆A ；二是B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．2．集合A 中元素的个数记为n ，则它的子集的个数为2n ，真子集的个数为2n －1，非空真子集的个数为2n －2.3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、V enn 图化抽象为直观．若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |ax ＋2＝0，a ∈R }，且M ∩N ＝N ，则实数a 的取值集合是________．『解析』 因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M . 又M ＝{－3，2}， 若N ＝∅，则a ＝0.若N ≠∅，则N ＝{－3}或N ＝{2}．所以－3a ＋2＝0或2a ＋2＝0，解得a ＝23或a ＝－1.所以a 的取值集合是{－1，0，23}．『答案』 {－1，0，23}(1)(2012·浙江高考)设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2)∪(3，4)(2)(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．『思路点拨』 (1)先化简集合B ，求出∁R B ，再借助数轴求A ∩∁R B . (2)根据A ∩B 结构特征求解．『尝试解答』 (1)解x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3， ∴B ＝『－1，3』，则∁R B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， ∴A ∩(∁R B )＝(3，4)．(2)∵A ＝{x |－5＜x ＜1}，B ＝{x |(x －m )(x －2)＜0}， 且A ∩B ＝{x |－1＜x ＜n }，∴m＝－1，n＝1.『答案』(1)B(2)－11,1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．3．要注意六个关系式A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅、(∁U A)∪B ＝U的等价性．(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ＝{0，1，3，5，8}，集合B＝{2，4，5，6，8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝() A．{5，8}B．{7，9}C．{0，1，3} D．{2，4，6}『解析』因为∁U A＝{2，4，6，7，9}，∁U B＝{0，1，3，7，9}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝{7，9}．『答案』 B一种方法正如数轴是研究实数的工具，Venn图是研究集合的工具，借助Venn图和数轴即数形结合能使抽象问题直观化，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．两个防范1.空集在解题时具有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．2．在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误.(见学生用书第3页)从近两年课标区高考试题看，集合间的关系与集合的运算是高考命题的重点，常与函数、方程、不等式等知识结合命题，而以集合为背景的新定义题，则是高考命题的热点．创新探究之一以集合为背景的新定义题(2012·课标全国卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10『解析』因为A＝{1，2，3，4，5}，所以集合A中的元素都为正数，若x－y∈A，则必有x－y＞0，即x＞y.当y＝1时，x可取2，3，4，5，共有4个数；当y＝2时，x可取3，4，5，共有3个数；当y＝3时，x可取4，5，共有2个数；当y＝4时，x只能取5，共有1个数；当y＝5时，x不能取任何值．综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为4＋3＋2＋1＝10，即集合B中的元素共有10个，故选D.『答案』 D创新点拨：(1)本题以元素与集合的关系为载体，用附加条件“x∈A，y∈A，x－y∈A”定义以有序实数对(x，y)为元素的集合B，通过对新定义的理解与应用来考查阅读理解能力与知识迁移能力．(2)考查创新意识、化归转化能力，以及分类讨论思想．应对措施：(1)准确理解集合B是解决本题的关键，集合B中的元素是有序实数对(x，y)，并且要求x∈A，y∈A，x－y∈A，所以要判断集合B中元素的个数，需要根据x－y是否是集合A中的元素进行判断．(2)为化复杂为简单，以y取何值为标准分类，分别求值．1．(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4『解析』由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．『答案』 D2．(2012·山东高考)已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则(∁U A)∪B为()A．{1，2，4} B．{2，3，4}C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}『解析』∵∁U A＝{0，4}，B＝{2，4}，∴(∁U A)∪B＝{0，2，4}．『答案』 C。
2019-2020学年高考数学一轮复习 1.1集合教案.doc
2019-2020学年高考数学一轮复习 1.1集合教案教学目标：知识与技能：了解集合的含义，元素与集合的属于关系，理解集合之间的包含与相等关系，理解子集与补集的关系。
过程与方法：会求两个集合的交，并，补集，能使用韦恩图表达集合的关系及运算。
情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验集合的具体应用，应用集合解决实际问题的方法。
教学重点：集合的交，并，补关系及运算教学难点：使用韦恩图表达集合的关系及运算教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.集合的含义与表示方法2.集合间的基本关系3.集合的基本运算二、例题讲解例1判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2}，则A=B=C.( )(2)含有n 个元素的集合的子集个数是2n ，真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.( )(3)A ∩B= 的充要条件是A=B= .( )(4)A ∩B=A ⇔A ⊆B.( )(5)A ∪B=A ⇔B ⊆A.( )(6) (A ∪B)=( A)∩( B).( )【解析】(1)错误．集合A 是函数y=x2的定义域，即A=(-∞,+∞)；集合B 是函数y=x2的值域，即B=［0,+∞)；集合C 是满足方程y=x2的实数x,y 的集合，也可以看作是函数y=x2图象上的点组成的集合，因此这三个集合互不相等．(2)正确．空集的子集个数为1个，即 ；含有1个元素的集合{a1}的子集个数为2个，即 ,{a1}；含有2个元素的集合{a1,a2}的子集个数为4个，即 ,{a1},{a2},{a1,a2}……归纳可得含有n 个元素的集合的子集个数为2n 个，故其真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2．(3)错误．A ∩B= 时，只要集合A,B 没有公共元素即可，不一定是A=B= ．(4)正确．当A ⊆B 时，显然A ∩B=A ；当A ∩B=A 时，对任意x ∈A ，得x ∈A ∩B ，得x ∈B ，即x ∈A ⇒x ∈B ，故A ⊆B ．(5)正确．当B ⊆A 时，显然A ∪B=A ；当A ∪B=A 时，对任意x ∈B ，则x ∈A ∪B ， ∅∅得x∈A，即x∈B⇒x∈A，即B⊆A．(6)正确．设x∈ (A∪B)，则x (A∪B)，得x A且x B，即x∈ A且x∈ B，即x∈( A)∩( B)，即 (A∪B)⊆( A)∩( B)；反之，当x∈( A)∩( B)时，得x∈ A且x∈ B得x A且x B，得x (A∪B)，得x∈ (A∪B)，即 (A∪B) ( A)∩( B)．根据集合相等的定义得 (A∪B)=( A)∩( B)．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√考向 1 集合的基本概念【典例1】(1)(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,2,3,4,5}, B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y ∈A},则B中所含元素的个数为( )(A)3 (B)6 (C)8 (D)10(2)已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}，若1∈A，则实数a构成的集合B的元素个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【思路点拨】(1)集合B中的元素是满足x∈A,y∈A,x-y∈A的有序实数对，根据要求分类列举求解．(2)据1∈A逐个讨论求解a值，根据集合元素的互异性得集合B中元素的个数．【规范解答】(1)选D.方法：x=2时，y=1，x-y=1，此时(x,y)=(2,1)，此时(x,y)有1个；x=3时，y=1,2，此时x-y=2,1，(x,y)有2个；x=4时，y=1,2,3，此时x-y=3,2,1，(x,y)有3个；x=5时，y=1,2,3,4，此时x-y=4,3,2,1，(x,y)有4个．所以集合B中的元素个数为1+2+3+4=10．(2)选B.若a+2=1，则a=-1，代入集合A，得A={1,0,1}，与集合元素的互异性矛盾；若(a+1)2=1，得a=0或-2，代入集合A，得A={2,1,3}或A={0,1,1}，后者与集合元素的互异性矛盾，故a=0符合要求；若a2+3a+3=1，则a=-1或-2，代入集合A，得A={1,0,1}或A={0,1,1}，都与集合元素的互异性相矛盾．综上可知，只有a=0符合要求，故集合B中只有一个元素．【互动探究】在本例(1)的集合B中如果去掉x-y∈A的限制条件，其他条件均不变，则集合B中含有的元素个数是多少？【解析】当x=1时，y=1,2,3,4,5，同理当x=2,3,4,5时，y=1,2,3,4,5，所以集合B中含有5×5=25个元素【变式训练】定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( )(A)0 (B)2 (C)3 (D)6【解析】选D.根据指定的法则，集合A*B中的元素是A，B中的元素的乘积，根据集合元素的性质，得A*B={0，2，4}，故集合A*B中所有元素之和为6.考向 2 集合间的基本关系【典例2】(1)(2014·三明模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2)若集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A ∪B=A ∩B,则实数a 的取值集合是 .【思路点拨】(1)求出A,B 中的元素,由A ⊆C ⊆B,知集合C 的个数由B 中有A 中没有的元素个数决定.(2)A ∪B=A ∩B ⇔A=B ，得出关于a,b 的方程组，解出a,b ，再根据集合元素的性质加以检验得出结论．【规范解答】(1)选D.A={x|x2-3x+2=0,x ∈R}={1,2},B={x|0<x<5,x ∈N}={1,2,3,4},由A ⊆C ⊆B,方法一:则C 中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C 的个数可以看作是集合{3,4}的子集的个数,有22=4个.方法二:则C 可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个(2)方法一：因为A ∪B=A ∩B,所以A=B ，所以{1,b}={a2,ab}， 所以 解得 反代回A,B 集合知，只有 适合， 所以 即实数a 的取值集合是{-1}.【变式训练】(1)已知M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0}，若M ∩N=N ，则实数a 的值为( )(A)1 (B)-1 (C)1或-1 (D)0或1或-1【解析】选D ．M ∩N=N ⇔N ⊆M ．当a=0时，N= ，符合要求， 当a ≠0时，只要 即a=±1即可．(2)设集合A={x,y,x+y},B={0,x2,xy}，若A=B ，则实数对(x,y)的取值集合是_________.【解析】由A=B ，且0∈B ，故集合B 中的元素x2≠0,xy ≠0，故x ≠0,y ≠0，那么只能是集合A 中的x+y=0，此时就是在条件x+y=0下，{x,y}={x2,xy}， 答案：{(1,-1),(-1,1)}考向 3 集合的基本运算【典例3】(1)(2012·福建高考)已知集合M={1，2，3，4}，N={-2，2}，下列结论成立的是( )(A)N ⊆M (B)M ∪N=M (C)M ∩N=N (D)M ∩N={2} 221ab,1a b ab b a =⎧⎧=⎨⎨==⎩⎩，或，a 1a 1a 1,b 0b R b 1.=-==⎧⎧⎧⎨⎨⎨=∈=⎩⎩⎩，，或或a 1b 0=-⎧⎨=⎩，a 1b 0.=-⎧⎨=⎩，∅1a a =，22x y 0,x y 0,x x,x y,xy y xy x.+=+=⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪==⎩⎩即或，x 1,x 1,y 1y 1.==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩解得或，(2)(2012·辽宁高考)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A={0,1,3,5,8}，集合B={2,4,5,6,8}，则( A)∩( B)为( )(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【思路点拨】(1)根据集合M，N中元素的特点逐一验证.(2)可以根据补集定义求出 A, B，再根据交集定义得出结论，还可以利用Venn图解决．【规范解答】(1)选D.显然M∩N={2}. (2)选B.方法：集合( A)∩( B)= (A∪B)={7,9}．如图所示：【拓展提升】小结：集合的运算律(1)交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.(2)结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C).(3)分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).【变式训练】(1)已知集合M={y|y=2x}，集合N={x|y=lg(2x-x2)}，则M∩N=( )(A)(0,2) (B)(2,+∞)（C）［0,+∞］ (D)(-∞,0)∪(2,+∞)【解析】选A. 集合M为函数y=2x的值域，即M=(0,+∞)，集合N是函数y=lg(2x-x2)的定义域，由不等式2x-x2＞0，解得N=(0,2)，所以M∩N=(0,2).三，布置作业思考辨析，考点自测，知能巩固。
(新人教)高三数学第一轮复习教案1.1.1集合(1)
一．课题：集合（1）二．教学目标：1.理解集合的概念和性质．2.了解元素与集合的表示方法．3.熟记有关数集．4.培养学生认识事物的能力三．教学重、难点：集合概念、性质.四．教学过程：（一）复习：回顾初中代数中涉及“集合”提法（二）新课讲解：1.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）.进一步指出：集合中每个对象叫做这个集合的元素.由此上述例中集合的元素是什么？（例（1）的元素为1、3、5、7，例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点，例（3）的元素为满足不等式323x x +>+的实数x ，例（4）的元素为所有直角三角形，例（5）为高一·三班全体男同学.）请同学们另外举出三个例子，并指出其元素.一般用大括号表示集合，则上几例可表示为……由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征：（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性.元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉（ ∉ 也可表示为 ）两种.请同学们熟记上述符号及其意义.∈请同学回答：已知a b c m ++=，2{|}A x ax bx c m =++=，判断1与A 的关系. [1A ∈]五．课堂练习：课本P 5，练习1、2补充练习：若23{1,3,1}m m m -∈-+，求m 。
[1m =-或2]m =-六．小结：1.集合的概念2.集合元素的三个特征：其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.3.常见数集的专用符号.七．课后作业：课本P 7，习题1.1 第1题.。
2019-2020年高考数学一轮总复习-1.1-集合及其运算教案-理-新人教A版
2019-2020年高考数学一轮总复习1.1集合及其运算教案理新人教A版高考导航考试要求 重难点击 命题展望1.考查集合本 身的基础知 识，如集合的 概念，集合间 的关系判断和 运算等； 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系； (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或本章重点： 描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系 1.集合的含义 与表示、集合间 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定的基本关系与 2.将集合知识 与其他知识点 综合，考查集 合语言与集合 思想的运用；3.考查命题的 必要条件、充 分条件与充要 条件，要求考 生会对所给命 题进行等价转 化； 集合的子集； 基本运算； (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算 2.命题的必要 条件、充分条件 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个与充要条件，对 所给命题进行 (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会等价转化. 简单集合的并集与交集； 求给定子集的补集； 本章难点： (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.4.命题及其关系 1.自然语言、图 形语言、集合语 言之间相互转 (1)理解命题的概念； (2)了解“若p ，则q”形式的命题及其逆命题，否换； 命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系； (3)理解必要条件，充分条件与充要条件的意义.5.简单的逻辑联结词 2.充分条件、必 4.要求考生理 解全称量词与 存在量词的意 义，能正确地 对含有一个量 词的命题进行 否定.要条件的判断； 3.对含有一个 量词的命题进 行否定的理解. 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 6.全称量词与存在量词 (1)理解全称量词与存在量词的意义； (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识网络1.1集合及其运算典例精析题型一集合中元素的性质【例1】设集合A＝{a＋1，a－3，2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求实数a的值.【解析】令a＋1＝－3⇒a＝－4，检验合格；令a－3＝－3⇒a＝0，此时a＋1＝a2＋1，舍去；令2a－1＝－3⇒a＝－1，检验合格；而a2＋1≠－3；故所求a的值为－1或－4.【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定－3是集合A的元素，但A中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a的值以后，又需要由元素的互异性检验a是否符合要求.b【变式训练1】若a、b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，求a和b的值.ab【解析】由{1，a＋b，a}＝{0，，b}，aa b 0,a b 0,b b1, a,aa得① ba 或② b1 显然①无解；由②得a＝－1，b＝1.题型二集合的基本运算【例2】已知A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，求实数a.1 【解析】由已知得A＝{3，5}.当a＝0时，B＝∅⊆A；当a≠0时，B＝{}.a1 1 11要使B⊆A，则＝3或＝5，即a＝或.35a a11综上，a＝0或或.35【点拨】对方程ax＝1，两边除以x的系数a，能不能除，导致B是否为空集，是本题分类讨论的根源.【变式训练2】(xx江西模拟)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B 等于( )A.{x|－1≤x≤1} C.{x|0≤x≤1}B.{x|x≥0} D.【解析】选C.A＝[－1,1]，B＝[0,＋∞)，所以A∩B＝[0,1].题型三集合语言的运用【例3】已知集合A＝[2，log2t]，集合B＝{x|x2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A⊆B.(1)对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b－a，若A的区间“长度”为3，试求t的值；(2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0.6，试确定t的取值范围.【解析】(1)因为A的区间“长度”为3，所以log2t－2＝3，即log2t＝5，所以t＝32. (2)由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12，所以B＝[2,12]，所以B的区间“长度”为10.设A的区间“长度”为y，因为f(x)∈A的概率不小于0.6，所以y≥0.6，所以y≥6，即log2t－2≥6，解得t≥28＝256.10又A⊆B，所以log2t≤12，即t≤212＝4096，所以t的取值范围为[256,4096](或[28,212]).2【变式训练3】设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x| ≥1}，则图中阴影部分所x－1表示的集合是(A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|1＜x≤2}D.{x|x＜2})【解析】选C.化简得M＝{x＜－2或x＞2}，N＝{x|1＜x≤3}，故图中阴影部分为∁RM∩N＝{x|1＜x≤2}.总结提高1.元素与集合及集合与集合之间的关系对于符号∈，∉和⊆，⊈的使用，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系.2.“数形结合”思想在集合运算中的运用认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想. (1)要牢固掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.3.处理集合之间的关系时，是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如A⊆B，A∩B＝A，A ∪B＝B等条件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论.2019-2020年高考数学一轮总复习1.3简易逻辑联结词、全称量词与存在量词教案理新人教A版典例精析题型一全称命题和特称命题的真假判断【例1】判断下列命题的真假.1(1)∀x∈R，都有x2－x＋1＞；2(2)∃α，β使cos(α－β)＝cosα－cosβ；(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N；(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.1 331【解析】(1)真命题，因为x2－x＋1＝(x－)2＋≥＞.4422π(2)真命题，例如α＝π，β＝，符合题意.4 2(3)假命题，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4∉N.(4)真命题，例如x0＝0，y0＝3，符合题意.【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.【变式训练1】已知命题p：∃x∈R，使tanx＝1，命题q：∀x∈R，x2＞0.则下面结论正确的是( )A.命题“p∧q”是真命题C.命题“p∨q”是真命题B.命题“p∧q”是假命题D.命题“p∧q”是假命题π【解析】选D.先判断命题p和q的真假，再逐个判断.容易知命题p是真命题，如x＝，p4 是假命题；因为当x＝0时，x2＝0，所以命题q是假命题，q是真命题.所以“p∧q”是假命题，A错误；“p∧q”是真命题，B错误；“p∨q”是假命题，C错误；“p∧q”是假命题，D正确.题型二含有一个量词的命题的否定【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假.1(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；4(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.1【解析】(1)p：∃x∈R，x2－x＋＜0，是假命题.4(2)q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.(3)r：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命题.(4)s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题.【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全 称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可.【变式训练2】已知命题p ：∀x∈(1，＋∞)，log3x ＞0，则p 为【解析】∃x0∈(1，＋∞)，log3x0≤0.题型三命题的真假运用 .【例3】若r(x)：sinx ＋cosx ＞m ，s(x)：x2＋mx ＋1＞0，如果“对任意的x∈R，r(x)为 假命题”且“对任意的x∈R，s(x)为真命题”，求实数m 的取值范围.π 【解析】因为由m ＜sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋)恒成立，得m ＜－2； 4而由x2＋mx ＋1＞0恒成立，得m2－4＜0，即－2＜m ＜2.依题意，r(x)为假命题且s(x)为真命题，所以有m≥－2且－2＜m ＜2，故所求m 的取值范围为－2≤m＜2.【点拨】先将满足命题p 、q 的m 的取值集合A 、B 分别求出，然后由r(x)为假命题(取A 的 补集)，s(x)为真命题同时成立(取交集)即得.【变式训练3】(xx 广东模拟)设M 是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内1 存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立.已知下列函数：①f(x)＝；②f(x)＝2x ；③f(x) x＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos πx ，其中属于集合M 的函数是 (写出所有满足要求的函 数的序号).1 ＝1＋1，显然无实数解； 【解析】②④.对于①，方程 x ＋1x对于②，由方程2x ＋1＝2x ＋2，解得x ＝1；对于③，方程lg[(x ＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg3，显然也无实数解；对于④，方程cos[π(x ＋1)]＝cos πx ＋cos π，1 即cos πx ＝，显然存在x 使等式成立.故填②④. 2总结提高1.同一个全称命题，特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用 中可以灵活选择.2.命题的否定，一定要注意与否命题的区别：全称命题的否定，先要将它变成特称命题，然 后将结论加以否定；反过来，对特称命题的否定，先将它变成全称命题，然后对结论加以否 定.而命题的否命题，则是将原命题中的条件否定当条件，结论否定当结论构成一个新的， 即否命题.。
高三数学一轮复习教学案集合
高三数学一轮复习教学案集合第1课时：集合的概念一、集合集合是一个原始概念，描述性定义为：某些指定的对象就成为一个集合，简称“集”。
集合中的每一个对象叫做这个集合的“元素”。
二、元素与集合的关系元素与集合是属于和从属关系，若a是集合A的元素，记作a∈A，若a不是集合B的元素，记作a∉B。
但是要注意元素与集合是相对而言的。
三、集合与集合的关系集合与集合的关系用符号表示：子集：若集合A中的所有元素都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作A⊆B。
相等：若集合A中的所有元素都是集合B的元素，同时集合B中的所有元素都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作A=B。
真子集：若A是B的子集，但A不等于B，则说A是B 的真子集，记作A⊂B。
子集数量：若集合A含有n个元素，则A的子集有2^n 个，真子集有2^n-1个，非空真子集有2^n-1个。
四、集合的表示法集合的表示法常用的有列举法、描述法和韦恩图法三种。
有限集常用列举法，无限集常用描述法，图示法常用于表示集合之间的相互关系。
根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及。
高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现。
空集 $\varnothing$ 是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素。
空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。
在解题时，不能忽视空集的存在。
典型例题：例1.已知集合 $A=\{x\in \mathbb{N}|6-x$ 是 $8$ 的正约数$\}$，试求集合 $A$ 的所有子集。
解：由题意可知 $6-x$ 是 $8$ 的正约数，所以 $6-x$ 可以是$1,2,4,8$，相应的$x$ 为$2,4,5$，即$A=\{2,4,5\}$。
2020版高考数学一轮复习第一章集合与简易逻辑第1讲集合及其运算教案理(含解析)新人教A版
第1讲集合及其运算基础知识整合1．集合与元素02互异性、□03无序性．(1)集合中元素的三个特征：□01确定性、□07∉表示．(2)元素与集合的关系是□04属于或□05不属于两种，用符号□06∈或□09描述法、□10图示法．(3)集合的表示法：□08列举法、□(4)常见数集的记法2．集合间的基本关系3．集合的基本运算1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.1．(2019·镇海中学模拟)设集合A＝{y|y＝x2－1}，B＝{x|y＝x2－1}，则下列结论正确的是( )A．A＝B B．A⊆BC．B⊆A D．A∩B＝{x|x≥1}答案 D解析∵A＝{y|y＝x2－1}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝x2－1}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴A∩B＝{x|x≥1}，故选D.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )A．9 B．8C．5 D．4答案 A解析∵x2＋y2≤3，∴x2≤3.∵x∈Z，∴x＝－1,0,1.当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，综上，A中元素共有9个，故选A.3．(2018·天津高考)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( )A．{x|0<x≤1}B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}答案 B解析∵∁R B＝{x|x<1}，∴A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}，故选B.4．(2019·兰州诊断)已知集合A ＝{x |x 2>9}，B ＝{x |2x>1}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x <－3} B ．{x |－3<x <3} C ．{x |x >0} D ．{x |x <－3或x >0}答案 D解析 由x 2>9，得x >3或x <－3，A ＝{x |x >3或x <－3}．又由2x>1，解得x >0，所以B ＝{x |x >0}．所以A ∪B ＝{x |x <－3或x >0}．故选D.5．(2018·武汉模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x －x 2>0}，B ＝{y |y ＝e x＋1}，则A ∪B 等于( )A ．{x |x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >1}D ．{x |x >0}答案 D解析 由2x －x 2>0得0<x <2，故A ＝{x |0<x <2}，由y ＝e x＋1得y >1，故B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝{x |x >0}．故选D.6．(2018·武昌模拟)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5}答案 D解析 因为A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}＝{x |2<x <5}，A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，所以A －B ＝{0,1,2,5}．故选D.核心考向突破考向一 集合的基本概念例1 (1)(2019·辽宁模拟)已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋1}，B ＝{x |y ＝x 2＋2x ＋1}，则集合A 与集合B 的关系为( )A ．A ＝B B ．A ∈BC ．B ⊆AD ．A B答案 D解析 集合A 表示二次函数y ＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2中y 的取值范围，显然y ≥0，即A ＝{y |y ≥0}；集合B 表示函数y ＝x 2＋2x ＋1中x 的取值范围，易知x ∈R ，即B ＝R ，所以A B .故选D.(2)设集合A ＝{x ，x 2，xy }，B ＝{1，x ，y }且A ＝B ，则实数x ＝________，y ＝________. 答案 －1 0解析 ∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，xy ＝y 或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y ，xy ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ∈R或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.当x ＝1，y ∈R 时，A ＝B ＝{1,1，y }，不满足互异性，舍去；当x ＝－1，y ＝0时，A ＝B ＝{－1,1,0}，符合题意；当x ＝y ＝1时，A ＝B ＝{1,1,1}，不满足互异性，舍去．综上可知x ＝－1，y ＝0.触类旁通解决集合概念问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．解本例(1)时要注意，集合A 是函数值域构成的数集，集合B 是函数定义域构成的数集．本例中参数的确定，往往要对集合中的元素进行分类讨论，构造方程组求解.同时注意对元素互异性的检验.即时训练 1.(2018·郑州模拟)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈Z }，B ＝{p －q |p ∈A ，q ∈A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7答案 C解析 由题意知A ＝{－1,0,1}，当p ＝－1，q ＝－1，0,1时，p －q ＝0，－1，－2；当p ＝0，q ＝－1,0,1时，p －q ＝1,0，－1；当p ＝1，q ＝－1,0,1时，p －q ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，集合B 中的元素为－2，－1，0,1,2，共计5个．故选C.2．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{2,3}B ．{－1,2,5}C ．{2,3,5}D ．{－1,2,3,5}答案 D解析 由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，此时B ＝{2,3，－1}，所以A ∪B ＝{－1,2,3,5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．故选D.考向二 集合间的基本关系例 2 (1)(2019·山东模拟)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，x ∈N ，B ＝{x |x ≤2，x ∈Z }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 D 解析 由x －2x≤0得0<x ≤2，故A ＝{1,2}；由x ≤2得0≤x ≤4，故B ＝{0,1,2,3,4}．满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为23＝8.(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，3]解析 若B ⊆A ，则①当B ＝∅时，有m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ；②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．触类旁通解本例时，要能够将集合间的关系进行等价转化，转化为集合C 中哪些元素必有，哪些元素可能有，不要忽略任何非空集合是它自身的子集.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.解题时要关注空集的特殊性，本例中，易忽视B ＝∅而误解.即时训练 3.设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是( )A ．57B ．56C ．49D ．8答案 B解析 集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.4．设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值组成的集合C ＝________.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15 解析 a ＝0时，B ＝∅，B ⊆A ；a ≠0时，1a ＝3或1a ＝5，解得a ＝13或a ＝15，所以C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.考向三 集合的基本运算角度1 集合间的交、并、补运算例3 (1)(2019·海南模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －4>0，那么集合A ∩(∁U B )＝( ) A ．{x |－2≤x <4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |－2≤x <－1} D ．{x |－1≤x ≤3}答案 D解析 依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁UB )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.(2)设全集U ＝R ，集合M ＝{x |y ＝3－2x }，N ＝{y |y ＝3－2x}，则图中阴影部分表示的集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 32<x ≤3 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 32<x <3 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 32≤x <2 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x <2 答案 B解析 由3 －2x ≥0，得x ≤32，即M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤32；由2x >0，得3－2x <3，即N ＝{y |y <3}．因此图中阴影部分表示的集合是(∁U M )∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x <3. 触类旁通集合的基本运算问题一般应注意的几点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提．对集合化简.有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决.注意数形结合思想的应用.集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn 图. 即时训练 5.设集合U ＝R ，A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈N *}，B ＝{x |x ≤5，x ∈Q }(Q 为有理数集)，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{1,3,4,5}B ．{2,4,5}C ．{2,5}D ．{1,2,3,4,5}答案 B解析 ∵集合A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈N *}，∴A ＝{2，7，10，13，4，19，22，5，…}．∵B ＝{x |x ≤5，x ∈Q }，题中Venn 图中的阴影部分表示A ，B 两集合的交集，又A ∩B ＝{2,4,5}，∴图中阴影部分表示的集合为{2,4,5}．故选B.6．(2019·汕头模拟)已知集合P ＝{x ∈R |2(x －1)(x －3)≤1}，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪y ＝x 2－43，则P ∪(∁R Q )＝( )A ．[2,3]B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 B解析 因为P ＝{x ∈R |2(x －1)(x －3)≤1}，所以P ＝{x ∈R |(x －1)(x －3)≤0}，所以P ＝{x∈R |1≤x ≤3}．因为Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪y ＝x 2－43，所以Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，所以Q ＝{x ∈R |x ≤－2或x ≥2}，所以P ∪(∁R Q )＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]．故选B.角度2 利用集合运算求参数例4 (1)(2019·广西模拟)设集合A ＝{x |x (4－x )≥3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a ≤3D ．a <3答案 B解析 由x (4－x )≥3解得1≤x ≤3，即集合A ＝{x |1≤x ≤3}．因A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，而B ＝{x |x >a }，所以a <1，故选B.(2)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.答案 －1 1解析 由|x ＋2|<3，得－3<x ＋2<3，即－5<x <1，所以集合A ＝{x |－5<x <1}．因为A ∩B ＝(－1，n )，所以－1是方程(x －m )(x －2)＝0的根，解得m ＝－1.此时不等式(x ＋1)(x －2)<0的解集为－1<x <2，所以B ＝(－1,2)．所以A ∩B ＝(－1,1)，即n ＝1.触类旁通将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式组的解集相关.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解.本例易忽视a ≠1，而误选A.即时训练 7.(2019·江西南昌模拟)已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1,2]C ．[－2,1]D ．[2，＋∞) 答案 C解析 集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因为A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1，故选C.8．已知集合P ＝{y |y 2－y －2>0}，Q ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若P ∪Q ＝R ，P ∩Q ＝(2,3]，则a ＋b ＝________.答案 －5解析 P ＝{y |y 2－y －2>0}＝{y |y >2或y <－1}， ∵P ∪Q ＝R ，P ∩Q ＝(2,3]，∴Q ＝{x |－1≤x ≤3}，∴－1,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系得，－a ＝－1＋3＝2，b ＝－3，∴a ＋b ＝－5.1．(2019·宁夏模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21答案 D解析 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，故集合A ＝{0,1,2,3}．∵A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，∴A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2，1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6.∵A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，∴A *B 中的所有元素之和为21.2．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件： (1)A ∪B ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝∅；(2)A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素．则有序集合对(A ，B )的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 B解析 若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有3个元素，则1∉A,3∉B ，即3∈A,1∈B ，此时有1对；同理，若集合B 只有1个元素，则集合A 中有3个元素，有1对；若集合A 中有2个元素，则集合B 中有2个元素，2∉A ，2∉B ，不满足条件．所以满足条件的有序集合对(A ，B )的个数为1＋1＝2，故选B.答题启示解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．对点训练1．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕：A i ⊕A j ＝A k ，k 为i ＋j 除以4的余数(i，j＝0,1,2,3)，则满足关系式(x⊕x)⊕A2＝A0的x(x∈S)的个数为( ) A．4 B．3C．2 D．1答案 C解析因为x∈S＝{A0，A1，A2，A3}，故x的取值有四种情况．若x＝A0，根据定义A i ⊕A j＝A k，其中k为i＋j除以4的余数(i，j＝0,1,2,3)，则(x⊕x)⊕A2＝A0⊕A2＝A2，不符合题意，同理可以验证x＝A1，x＝A2，x＝A3三种情况，其中x＝A1，x＝A3符合题意，故选C.2．对于非空集合P，Q，定义集合间的一种运算“★”：P★Q＝{x|x∈P∪Q且x∉P∩Q}．如果P＝{x|－1≤x－1≤1}，Q＝{x|y＝x－1}，则P★Q＝( )A．{x|1≤x≤2} B．{x|0≤x≤1或x≥2}C．{x|0≤x≤1或x>2} D．{x|0≤x<1或x>2}答案 D解析因为P＝{x|－1≤x－1≤1}＝{x|0≤x≤2}，Q＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，所以P ∪Q＝{x|x≥0}，P∩Q＝{x|1≤x≤2}，所以P★Q＝{x|x∈P∪Q且x∉P∩Q}＝{x|0≤x<1或x>2}．故选D.。
2019-2020年高三数学第一轮复习教案人教版
2019-2020年高三数学第一轮复习教案人教版【教学目标】1．让学生掌握函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法；2．让学生了解函数图象的自对称和两函数图象之间的相互对称问题．【教学重点】函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法 【教学难点】自对称和相互对称的区别【例题设置】例1、例2、例3（函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法），例4（函数的对称问题）【教学过程】一、函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法 〖例1★ 点评：将点改为函数图象或曲线解法类似，其步骤大致如下：将所求曲线上的任意一点，求其关于点（或直线）的对称点，再将点的坐标代入原方程，即可得到所求的轨迹方程．因此所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题,只要记住对称点的写法,问题便迎刃而解.〖例2〗 已知函数，则其关于原点对称的函数解析式为 ；关于直线对称的函数解析式为 ． 答案：；当对称轴斜率为1时，点坐标符合口诀：用代，用代．〖例3〗 已知定义在上的奇函数的图象与函数的图象关于点对称，且当时，，求的解析式．解：① 设（）为的图象上的任意一点，则其关于点的对称点（）必在的图象上，故 ∴当时， ② 当时，，且为奇函数∴33()()()f x f x x x =--=--= 综上所述， ．〖例4〗 设函数的定义域为，则下列命题中： ① 若为偶函数，则的图象关于轴对称； ② 若是偶函数，则的图象关于直线对称； ③ 若，则的图象关于直线对称； ④ 若，则的图象关于直线对称； ⑤ 与图象关于直线对称． ⑥ 与图象关于直线对称．其中正确命题的序号为： ． 答案：④⑥★点评：其中注意④⑤的区别，指的是的图象自身的一种对称关系；而与是函数通过复合变换后得到的两个新的函数图象，要求的应是这两个函数图象的对称关系．二、函数图象本身的对称性（自身对称）命题1：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于直线对称． 推 论：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称．命题2：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于点对称． 推 论：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于点对称．三、两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 命题3：函数与的图象关于直线对称． 命题4：函数与的图象关于点成中心对称．下面只给出命题1的证明，其它命题及推论的证明类似． 证法一：由知函数为偶函数，其图象关于轴对称思考： 情形一中的范围是如何给出的，为何要限定其范围？另一方面，将的图象向右（）或向左（）平移个单位得到的图象，故函数的图象关于直线对称．证法二：由知点与点都是函数上的点，而的中点为，即点关于直线对称，由点的任意性可知，函数的图象关于直线对称．证法三：设点为函数的图象上的任意一点，其关于直线对称的点为． ∵对于一切的，都有∴0000(2)[()]()f a x f a a x f x y -=--==即点也在函数的图象上 由点的任意性可知，函数的图象关于直线对称．四、函数的周期性命题5：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数是以为周期的周期函数． 命题6：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数是以为周期的周期函数．【课堂小结】1．所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题，要牢记例1的结论；2．给出的如果是函数自身的一个关系，则：若前系数互为相反数，则是有关对称性；若前系数相同，则有关周期性．3．自对称和相互对称的区别：第一类，是反映函数自身内部的对称关系；第二类中，是研究由函数复合变换后得两个新的函数图象间的关系．【教后反思】2019-2020年高三数学第一轮复习教案数列的求和方法及应用[素质教育目标] 一、 知识目标要求学生熟练掌握和运用等差、等比数列的前n 项和的公式及一个数列求前n 项和的基本方法和技巧。
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解析：阴影部分表示的集合为A∩C∩(∁UB)＝{2,8}．
答案：{2,8}
（4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R。
2．集合的包含关系：
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A B（或 ）；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A B且B A，则称A等于B，记作A=B；若A B且A≠B，则称A是B的真子集，记作AB；
解析：选B选项A错，应当是B⊆A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D⊆A.
2．(2012·浙江高考)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝()
A．(1,4)B．(3,4)
5．(教材习题改编)已知全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝，则∁UA＝________.
解析：因为A＝，当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意；
n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1；n≥4时，x∉Z；n＝－1时，x＝－1；
n≤－2时，x∉Z.故A＝{－2,2,1，－1}，又U＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁UA＝{0}．
C．(1,3)D．(1,2)∪(3,4)
解析：选B因为∁RB＝{x|x＞3，或x＜－1}，所以A∩(∁RB)＝{x|3＜x＜4}．
3．(教材习题改编)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时a的值是()
A．2B．2或3
C．1或3D．1或2
解析：选D验证a＝1时B＝∅满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件．
5．集合的简单性质：
（1）
（2）
（3）
（4） ；
（5） （A∩B）=（ A）∪（ B）， （A∪B）=（ A）∩（ B）。
典例解析:
1．(2012·大纲全国卷)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则()
A．A⊆BB．C⊆B
C．D⊆CD．A⊆D
预测2017年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：
（1）题型是1个选择题或1个填空题；
（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。
教学准备
多媒体
教学过程
要点精讲:
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作 ；若b不是集合A的元素，记作 ；
答案：{0}
1.正确理解集合的概念
研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．
命题走向
有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；
3．集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集 。
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。 。
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
（2）简单性质：1）A A；2） A；3）若A B，B C，则A C；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；
3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；
（2）若S是一个集合，A S，则， = 称S中子集A的补集；
（3）简单性质：1） ( )=A；2） S= ， =S。
2019-2020年高三上学期数学一轮复习教案：第1讲集合
课题
集合（共2课时）
修改与创新
课标要求
1．集合的含义与表示
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
2．集合间的基本关系
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；