九年级上册数学二次函数y=ax2的图像和性质经典例题讲解及答案解析
九年级数学二次函数y=ax2bxc(a≠0)的图像与性质(知识讲解2)Word版含解析
专题2.13 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解2）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2．13 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解2）类型六、两个二次函数图像的综合判断1．已知二次函数y ＝ax 2与y ＝﹣2x 2+c ．（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；（2）若这两个函数图象的形状相同，则a ＝ ；若抛物线y ＝ax 2沿y 轴向下平移2个单位就能与y ＝﹣2x 2+c 的图象完全重合，则c ＝ ；（3）二次函数y ＝﹣2x 2+c 中x 、y 的几组对应值如表：表中m 、n 、p 的大小关系为 （用“＜”连接）．2．如图，抛物线F ：2y ax bx c =++的顶点为P ，抛物线：与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B ．过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，平移抛物线F 使其经过点A 、D 得到抛物线F ′：2y a x b x c '''=++，抛物线F ′与x 轴的另一个交点为C ．（1）当a = 1，b =－2，c = 3时，求点C 的坐标(直接写出答案)；（2）若a 、b 、c 满足了22b ac =，⊥求b ：b ′的值；⊥探究四边形OABC 的形状，并说明理由．类型七、根据二次函数图象判断式的符号3．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经过点()1,2-和()1,0，且与y 轴相交于负半轴．第()1问：给出四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=．写出其中正确结论的序号（答对得3分，少选、错选均不得分）第 ()2问：给出四个结论：⊥abc ＜0；⊥2a +b ＞0；⊥a +c =1；⊥a ＞1．写出其中正确结论的序号．4．抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示：（1）判断a ，b ，c ，24b ac -的符号；（2）当OA OB =时，求a ，b ，c 满足的关系．5．已知抛物线2y ax bx c =++，如图所示，直线1x =-是其对称轴，()1确定a ，b ，c ，24b ac =-的符号；()2求证：0a b c -+>；()3当x 取何值时，0y >，当x 取何值时0y <．类型八、根据抛物线上的对称点求对称轴6．已知二次函数y=ax2+bx 的图象过点（6，0），（﹣2，8）．（1）求二次函数的关系式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标．7．已知二次函数2y x bx c =-++，函数值y 与自变量x 之间的部分对应值如表：（1）写出二次函数图象的对称轴．（2）求二次函数的表达式．（3）当41x -<<-时，写出函数值y 的取值范围．8．已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax ．（1）二次函数图象的对称轴是直线x ＝ ；（2）当0≤x ≤3时，y 的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a ＜0，对于二次函数图象上的两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，请结合函数图象，直接写出t 的取值范围．9．如图，已知抛物线2142y x x =--+与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C.（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）若点E 与点C 关于抛物线的对称轴对称，求梯形AOCE 的面积.类型九、二次函数y=ax2 +bx+c (a≠0)的最值10．如图在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图像经过点()0,4A -、()2,0B 交反比例函数m y x=()0x >的图像于点()3,C a ，点P 在反比例函数的图像上，横坐标为n ()03n <<，//PQ y 轴交直线AB 于点Q ，D 是y 轴上任意一点，连接PD 、QD ．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求DPQ 面积的最大值．11．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）x 在什么范围内，y 随x 增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．12．已知二次函数的图象经过三点（1,0)()3,0-，30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点；(3)当x 为何值时，函数有最大值或最小值？最大值或最小值是多少？类型十、二次函数y=ax2 +bx+c (a≠0)图象中的将军饮马问题13．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A （1，0），B （﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上求出Q 点的坐标使得⊥QAC 的周长最小．14．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A （1，0），B （﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上求出Q 点的坐标使得⊥QAC 的周长最小．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线l 1：y ＝x 2+bx+c 过点C(0，﹣3)，且与抛物线l 2：y ＝﹣12x 2﹣32x+2的一个交点为A ，已知点A 的横坐标为2．点P 、Q 分别是抛物线l 1、抛物线l 2上的动点．（1）求抛物线l 1对应的函数表达式；（2）若点P 在点Q 下方，且PQ⊥y 轴，求PQ 长度的最大值；（3）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P 的坐标．16．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值． 类型十一、二次函数图象的平移17．已知：抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点B （﹣1，0）和点C （2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y 轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．18．已知抛物线212y x bx c =-++经过点（1，0），（0，32）． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线212y x bx c =-++可以由抛物线212y x =-怎样平移得到？请写出一种平移的方法．19．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3．（1）直接写出函数图象的顶点坐标、与x 轴交点的坐标；（2）将图象先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得到新的函数图象，直接写出平移后的图象与y 轴交点的坐标．类型十二、二次函数综合20．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1)A ，,(50)B ，,4(0)C ，．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC +的值为最小的点P 坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E ，使四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E 坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索） 21．已知抛物线23y ax bx =++过()30A -,，()10B ,两点，交y 轴于点C ． （1）求该抛物线的表达式．（2）设P 是该抛物线上的动点，当PAB 的面积等于ABC 的面积时，求P 点的坐标．22．已知m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线y=－x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和⊥BCD的面积；(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把⊥PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．23．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．参考答案：1．（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n 【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论；(2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2．(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．【详解】解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）⊥函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，⊥a＝±2，⊥抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，⊥c＝﹣2，故答案为：±2，﹣2．（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，⊥1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，⊥p＜m＜n，故答案为：p＜m＜n．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．2．（1）C（3，0）；（2）⊥2：3；⊥矩形，理由见解析【分析】（1）由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．然后可根据抛物线F的坐标求出其顶点坐标，即可得出D点的坐标，然后将D的坐标代入抛物线F′中，即可求出抛物线F′的解析式，进而可求出C点的坐标．（2）⊥与（1）的方法类似，在求出D的坐标后，将D的坐标代入抛物线F′中，即可得出关于b，b′的关系式即可得出b，b′的比例关系．⊥探究四边形OABC的形状，无非是平行四边形，菱形，矩形这几种．那么首先要证的是四边形OABC 是个平行四边形，已知了OA //BC ，只需看A ，B 的纵坐标是否相等，即OA 是否与BC 的长相等．根据抛物线F 的解析式可求出P 点的坐标，然后用待定系数法可求出OP 所在直线的解析式．进而可求出抛物线F 与直线OP 的交点B 的坐标，然后判断B 的纵坐标是否与A 点相同，如果相同，则四边形OABC 是矩形（⊥AOC ＝90°），如果B ，A 点的纵坐标不相等，那么四边形AOCB 是个直角梯形．【详解】解：（1） ⊥a = 1，b =－2，c = 3⊥223y x x =-+=()212x -+⊥P （1，2）⊥过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，⊥D （1，0）由于抛物线F ′由抛物线F 平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a ＝a ′＝1；由于两条抛物线都与y 轴交于A 点，那么c ＝c ′＝3．⊥抛物线F ′：23y x b x '=++，代入D （1，0）得0=1+b ’+3解得b ’=-4⊥243y x x =-+=()()13x x --⊥点C 的坐标为（3，0）；（2）⊥抛物线2y ax bx c =++，令x =0，则y =c ，⊥A 点坐标（0，c ）．⊥22b ac =， ⊥244224442ac b ac ac ac c a a a --===， ⊥点P 的坐标为（2b a -，2c ）． ⊥PD ⊥x 轴于D ，⊥点D 的坐标为（2b a -，0）． 根据题意，得a =a ′，c = c ′，⊥抛物线F ′的解析式为2'y ax b x c =++．又⊥抛物线F ′经过点D （2b a-，0），⊥220()42b b a b c a a'=⨯+-+． ⊥2024b bb ac '=-+．又⊥22b ac =，⊥2032b bb '=-．⊥b :b ′=23．⊥由⊥得，抛物线F ′为232y ax bx c =++． 令y =0，则2302ax bx c ++=． ⊥12,2b b x x a a=-=-． ⊥点D 的横坐标为2b a- ⊥点C 的坐标为（ba -，0）．设直线OP 的解析式为y kx =．⊥点P 的坐标为（,22b c a -）， ⊥22c b k a =-， ⊥22222ac ac b b k b b b =-=-=-=-， ⊥2b y x =-． ⊥点B 是抛物线F 与直线OP 的交点， ⊥22b ax bxc x ++=-． ⊥12,2b b x x a a=-=-． ⊥点P 的横坐标为2b a-， ⊥点B 的横坐标为ba -． 把b x a =-代入2b y x =-，得22()222b b b ac y c a a a=--===． ⊥点B 的坐标为(,)b c a-． ⊥BC //OA ，AB //OC ．（或BC //OA ，BC =OA ），⊥四边形OABC 是平行四边形．又⊥⊥AOC =90°，⊥四边形OABC 是矩形．【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数的性质、函数的平移变换、探究矩形的构成情况等重要知识点．3．（1）正确的序号为⊥⊥；（2）正确的序号为⊥⊥⊥．【分析】（1）根据抛物线开口向上对⊥进行判断；根据抛物线对称轴x=-2b a在y 轴右侧对⊥进行判断；根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方对⊥进行判断；根据x=1时，y=0对⊥进行判断；（2）有（1）得到a>0，b<0，c<0，则可对⊥进行判断；根据0<-2b a<1可对⊥进行判断；把点(-1,2)和(1,0)代入解析式得a ﹣b +c =2，a +b +c =0,整理有a+c=1，则可对⊥进行判断；根据a=1-c ，c<0可对⊥进行判断．【详解】（1）⊥由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0，正确；⊥因为对称轴在y 轴右侧，对称轴为x =2b a-＞0． 又⊥a ＞0，⊥b ＜0，错误；⊥由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，⊥c ＜0，错误；⊥由图象可知：当x =1时y =0，⊥a +b +c =0，正确．故（1）中，正确结论的序号是⊥⊥．（2）⊥⊥a ＞0，b ＜0，c ＜0，⊥abc ＞0，错误；⊥由图象可知：对称轴x =2b a -＞0且对称轴x =2b a -＜1，⊥2a +b ＞0，正确； ⊥由图象可知：当x =﹣1时y =2，⊥a ﹣b +c =2，当x =1时y =0，⊥a +b +c =0；a ﹣b +c =2与a +b +c =0相加得2a +2c =2，解得：a +c =1，正确；⊥⊥a +c =1，移项得：a =1﹣c ．又⊥c ＜0，⊥a ＞1，正确．故（2）中，正确结论的序号是⊥⊥⊥．【点睛】二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x =2b a-判断符号． （3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2﹣4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2﹣4ac ＞0；1个交点，b 2﹣4ac =0；没有交点，b 2﹣4ac ＜0．4．（1）240b ac ->；（2）10ac b -+=．【分析】（1）根据图形，开口向下得a ＜0，x =0时可得c ＞0，由对称轴可得b ＞0，与x 轴有两个不同交点可得b 2﹣4ac ＞0；（2）由于B 点坐标可以表示为：（0，c ），|OA |=|OB |，可知A （﹣c ，0）即可进行求解．【详解】（1）由图象可知，抛物线开口向下，可得：a ＜0；x =0时，y =c ＞0；⊥对称轴x =02b a->，a ＜0，⊥b ＞0； 图象与x 轴有两个不同交点可得b 2﹣4ac ＞0；（2）当|OA |=|OB |时，即A 点坐标为（﹣c ，0），代入抛物线方程得y =ac 2﹣bc +c 两边同时除以c 得：ac ﹣b +1=0．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，难度一般，关键在已知条件下表示出A 点的坐标代入抛物线方程．5．（1）0a <，0b <，0c >，240b ac =->；（2）详见解析；（3）当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【分析】（1）根据开口方向确定a 的符号，根据对称轴的位置确定b 的符号，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的符号，根据抛物线与x 轴交点的个数确定b 2-4ac 的符号；（2）根据图象和x=-1的函数值确定a -b+c 与0的关系；（3）抛物线在x 轴上方时y ＞0；抛物线在x 轴下方时y ＜0．【详解】()1∵抛物线开口向下，∴0a <，∵对称轴12b x a=-=-， ∴0b <，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac =->；()2证明：∵抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为1x =-，∴当1x =-时，0y a b c =-+>；()3根据图象可知，当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.6．（1）y=12x2﹣3x ；（2）对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣92）． 【分析】（1）根据图像过点（6，0），（﹣2，8）列方程组求出a 、b 的值即可，（2）把解析式配方后即可确定对称轴和顶点坐标．【详解】（1）⊥y=ax 2+bx 的图象过点（6，0），（﹣2，8）．⊥3660428a b a b +=⎧⎨-=⎩， 解得：123a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ⊥二次函数解析式为y=12x 2﹣3x ； （2）⊥y=12x 2﹣3x=12（x ﹣3）2﹣92， ⊥抛物线的对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣92）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的三种形式．将二次函数的一般解析式转化为顶点式时，可采用了“配方法”．灵活运用二次函数的三种形式是解题关键. 7．（1）x=2；（2）242y x x =---；（3）22y -<≤【分析】（1）二次函数是轴对称图形，而（-4，-2），（0，-2）关于对称轴对此，利用中点坐标公式可求，（2）求二次函数解析式2y x bx c =-++，可知b,c 待定，但（-4，-2），（0，-2）只能取一点，取两点坐标（-1，1），（0，-2）代入解之即可，（3）由于对称轴与x 轴交点横坐标，在41x -<<-，说明x=-4与x=-1取值不是最大值，为此x=-4与x=-1对应的函数值的最小值与x=-2时函数值即可．【详解】解：（1）⊥二次函数是轴对称图形，4x =-、0x =时的函数值相等，都是2-，对称轴是（-4，-2），（0，-2）两点连结的中垂线，⊥此函数图象的对称轴为直线4022x -+==-； （2）由点（-1，1），（0，-2）在抛物线上将()1,1-，()0,2-代入2y x bx c =-++，得：112b c c --+=⎧⎨=-⎩， 解得：42b c =-⎧⎨=-⎩， ⊥二次函数的表达式为：242y x x =---；（3）⊥()224222y x x x =---=-++，⊥当2x =-时，y 取得最大值2，由表可知当4x =-时=2y -，当=1x -时1y =，⊥当41x -<<-时，22y -<≤．【点睛】本题考查利用列表求对称轴表示式，二次函数解析式，函数值范围，关键利用数形结合思想，掌握二次函数的性质，函数值的求法，抛物线最值．8．（1）1；（2）y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）﹣1≤t ≤2【分析】（1）由对称轴是直线x ＝2b a -，可求解； （2）分a ＞0或a ＜0两种情况讨论，求出y 的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函数图象的性质可求解．【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x ＝22a a--＝1， 故答案为：1；（2）当a ＞0时，⊥对称轴为x ＝1，当x ＝1时，y 有最小值为﹣a ，当x ＝3时，y 有最大值为3a ，⊥3a ﹣（﹣a ）＝4．⊥a ＝1，⊥二次函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ；当a ＜0时，同理可得y 有最大值为﹣a ； y 有最小值为3a ，⊥﹣a ﹣3a ＝4，⊥a ＝﹣1，⊥二次函数的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ；综上所述，二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）⊥a ＜0，对称轴为x ＝1，⊥x ≤1时，y 随x 的增大而增大，x ＞1时，y 随x 的增大而减小，x ＝﹣1和x ＝3时的函数值相等，⊥t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，⊥t ≥﹣1，t +1≤3，⊥﹣1≤t ≤2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键．9．（1）A （-4,0），B （2,0），C,0,4）；（2）12【分析】（1）在抛物线的解析式中，令x=0可以求出点C 的坐标，令y=0可以求出A 、B 点的坐标；（2）先求出E 点坐标，然后求出OA ，OC ，CE 的长计算面积即可.【详解】解：（1）当y=0时，212x --x+4=0，解得x 1=－4，x 2=2， ⊥A （－4，0），B （2，0），当x=0时，y=4，⊥C （0，4）；（2）y=212x -﹣x+4=12-（x+1）2+92， ⊥抛物线y=212x -﹣x+4的对称轴是直线x=－1， ⊥E 的坐标为（－2，4），则OA=4，OC=4，CE=2，S 梯形AOCE =(24)4122+⨯= 【点睛】本题是对二次函数的基础考查，熟练掌握二次函数与x 轴，y 轴交点坐标的求解及梯形面积知识是解决本题的关键.10．（1）624,y x y x=-=；（2）4. 【分析】（1）利用点()0,4A -、()2,0B 求解一次函数的解析式，再求C 的坐标，再求反比例函数解析式；（2）设6,,P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭则(),24,Q n n -再表示PQ 的长度，列出三角形面积与n 的函数关系式，利用函数的性质可得答案．【详解】解：（1）设直线AB 为,y kx b =+把点()0,4A -、()2,0B 代入解析式得：420b k b =-⎧⎨+=⎩解得：24k b =⎧⎨=-⎩∴ 直线AB 为24,y x =-把()3,C a 代入得：2342,a =⨯-=()3,2,C ∴把()3,2C 代入：,m y x= 236m ∴=⨯=，6,y x∴= （2）设6,,P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭//PQ y 轴， 则(),24,Q n n - 由0＜n ＜3，()666242424,PQ n n n n n n∴=--=-+=-+ 16242DPQ S n n n ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭()222314,n n n =-++=--+即当1n =时， 4.DPQ S ∴=最大【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．11．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）当x ＜1时，y 随x 增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．【分析】（1）将（1，﹣4）和（﹣1，0）代入解析式中，即可求出结论；（2）将二次函数的表达式转化为顶点式，然后根据二次函数的图象及性质即可求出结论．【详解】（1）根据题意得3430a b a b +-=-⎧⎨--=⎩， 解得12a b =⎧⎨=-⎩， 所以抛物线解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）∵y ＝（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣4），∵a ＞0，∴当x ＜1时，y 随x 增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．【点睛】此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象及性质是解决此题的关键．12．(1)21322y x x =+-；(2)顶点()1,2--，对称轴=1x -，交点：()()31,0,3,0,0,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(3)=1x -时函数有最小值为2-．【分析】（1）抛物线的点过（1,0)3,0，可以设抛物线的解析式为y=a(x -1)(x+3)，把点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入解得a 即可；（2）由配方法，得出抛物线解析式的顶点式，可得顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点；（3）由抛物线的开口向上，可得函数有最小值，顶点坐标的纵坐标是函数的最小值．【详解】(1)设抛物线解析式为y=a(x -1)(x+3)， 将30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入，解得12a =， 所以抛物线解析式为21322y x x =+-， 故答案为：21322y x x =+-； （2）抛物线解析式为21322y x x =+-， 配方可得，()221123=1222y x x x =+-+-（）， ⊥顶点()1,2-- ，对称轴=1x -，由（1）知，交点：()()31,0,3,0,0,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故答案为：顶点()1,2--，对称轴=1x -，交点：()()31,0,3,0,0,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (3)由（2）可知，函数解析式为()21122y x =+-，开口向上，函数有最小值，当=1x - 时函数有最小值为2-， 故答案为：=1x -时函数有最小值为2-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式求法，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13．（1）y ＝﹣x 2﹣3x+4（2）Q （﹣32，52） 【分析】（1）函数的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）（x+4），即可求解；（2）点B 为点A 关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q ，则点Q 为所求，即可求解．【详解】解：（1）函数的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）（x+4）＝﹣x 2﹣3x+4；（2）抛物线的对称轴为：x ＝﹣32， 点B 为点A 关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q ，则点Q 为所求，点C（0，4），将点B、C坐标代入一次函数表达式：y＝kx+m得：404k mm-+=⎧⎨=⎩，解得：14km=⎧⎨=⎩，故直线BC的表达式为：y＝x+4，当x＝﹣32时，y＝52，则点Q（﹣32，52）．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，周长最小本质上考查抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得QA+QC最短，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q，原理是是两点之间线段最短14．（1）y＝﹣x2﹣3x+4（2）Q（﹣32，52）【分析】（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4），即可求解；（2）点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，即可求解．【详解】解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4）＝﹣x2﹣3x+4；（2）抛物线的对称轴为：x＝﹣32，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，点C（0，4），将点B、C坐标代入一次函数表达式：y＝kx+m得：404k mm-+=⎧⎨=⎩，解得：14km=⎧⎨=⎩，故直线BC的表达式为：y＝x+4，当x＝﹣32时，y＝52，则点Q（﹣32，52）．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，周长最小本质上考查抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得QA+QC最短，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q，原理是是两点之间线段最短15．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）12124；（3）(﹣1，0)或(3，0)或(43-，139)或(﹣3，12)【分析】（1）将x＝2代入y＝﹣12x2﹣32x+2，从而得出点A的坐标，再将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解得b与c的值，即可求得抛物线l1对应的函数表达式；（2）设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则可得点Q的坐标为（m，﹣12m2﹣32m+2），从而PQ等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，利用二次函数的性质求解即可；（3）设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），分两类情况：第一种情况：AC为平行四边形的一条边；第二种情况：AC为平行四边形的一条对角线．分别根据平行四边形的性质及点在抛物线上，得出关于n的方程，解得n的值，则点P的坐标可得．【详解】解：（1）将x＝2代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得y＝﹣3，⊥点A的坐标为（2，﹣3）．将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得23=2+23b cc⎧-+⎨-=⎩，解得23bc=-⎧⎨=-⎩，⊥抛物线l1对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）⊥点P、Q分别是抛物线l1、抛物线l2上的动点．⊥设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），⊥点P在点Q下方，PQ⊥y轴，⊥点Q的坐标为（m，﹣12m2﹣32m+2），⊥PQ＝﹣12m2﹣32m+2﹣（m2﹣2m﹣3），＝﹣32m2+12m+5，⊥当m＝﹣112=3622⎛⎫⨯-⎪⎝⎭时，PQ长度有最大值，最大值为：﹣23126⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+1126⨯+5＝12124；⊥PQ长度的最大值为121 24；（3）设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边．AC=2⊥当点Q在点P右侧时，点Q的坐标为（n+2，﹣12（n+2）2﹣32（n+2）+2），将Q的坐标代入y＝﹣12x2﹣32x+2，，得n2﹣2n﹣3＝﹣12（n+2）2﹣32（n+2）+2，解得，n＝0或n＝﹣1．⊥n＝0时，点P与点C重合，不符合题意，舍去，⊥n＝﹣1，⊥点P的坐标为（﹣1，0）；⊥当点Q在点P左侧时，点Q的坐标为（n﹣2，﹣12（n﹣2）2﹣32（n﹣2）+2），将Q的坐标代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得n2﹣2n﹣3＝﹣12（n﹣2）2﹣32（n﹣2）+2，解得n＝3或n＝﹣43．⊥此时点P的坐标为（3，0）或（﹣43，139）；第二种情况：AC为平行四边形的一条对角线．Q点的纵坐标y Q，n2-2n-3-(-3)=-3-y Q，y Q=-n2+2n-3，点Q的坐标为（2﹣n，﹣n2+2n﹣3），将Q的坐标代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得﹣n2+2n﹣3＝﹣12（2﹣n）2﹣32（2﹣n）+2，解得，n＝0或n＝﹣3．⊥n＝0时，点P与点C重合，不符合题意，舍去，⊥n＝﹣3，⊥点P的坐标为（﹣3，12）．综上所述，点P的坐标为(﹣1，0)或(3，0)或(43，139)或(﹣3，12)．【点睛】本题考查抛物线解析式，平行y轴线段的最值，平行四边形的性质，掌握抛物线解析式，平行y轴线段的最值，平行四边形的性质，利用平形四边形的性质构造方程是解题关键．16．（1）215322y x x =++；（2【分析】（1）利用132y x =+的解析式求解A 的坐标，把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++，利用待定系数法列方程组，解方程组可得答案；（2）联立两个函数解析式，求解B 的坐标，线段BC 的长度， 如图，要使MBC 的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ，抛物线的对称轴为：552,1222x =-=-⨯ 点()2,0D -，连接,BD 交对称轴于,M MD MC =，此时，MB MC MB MD BD +=+=最小，再利用勾股定理求解BD =【详解】.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ， 令0,x = 则3,y =∴ 点()0,3A 把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++； （2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴=如图，要使MBC 的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x=++与x 轴的另一交点为D ， 抛物线的对称轴为：552,1222x =-=-⨯ ()3,0C - ∴ 点()2,0D -，连接,BD 交对称轴于,MMD MC ∴=，此时，MB MC MB MD BD +=+=最小，此时：BD ==MBC ∴【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，掌握以上知识是解题的关键．17．（1）y =﹣x 2+2x +3；（2）需将抛物线向上平移4个单位【分析】（1）把点B 和点C 的坐标代入函数解析式解方程组即可；（2）求出原抛物线上x ＝－2时，y 的值为－5，则抛物线上点（－2，－5）平移后的对应点为（－2，－1），根据纵坐标的变化可得平移的方向和平移的距离．【详解】解：（1）把B （﹣1，0）和点C （2，3）代入y ＝﹣x 2＋bx ＋c得10423b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得23b c =⎧⎨=⎩， 所以抛物线解析式为y ＝﹣x 2＋2x +3；（2）把x ＝﹣2代入y ＝﹣x 2＋2x +3得y ＝﹣4﹣4＋3＝﹣5，点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），所以需将抛物线向上平移4个单位．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．18．（1）213y 22x x =--+；（2）先向左平移1单位，再向上平移2个单位 【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b 与c 的值即可；（2）先将抛物线的一般式转化为顶点式，然后指出满足题意的平移方法即可．【详解】解：（1）把()1,0，30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入抛物线解析式得： 10232b c c ⎧-++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得：132b c =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 则抛物线解析式为213y 22x x =--+； （2）抛物线解析式为22131y (1)2222x x x =--+=-++， 抛物线213y 22x x =--+可以由抛物线212y x =-先向左平移1单位，再向上平移2个单位． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 19．（1）顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点坐标为()1,0，()3,0；（2）()0,3-． 【分析】（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据函数值为零，可得相应自变量的值；（2）根据图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减，可得平移后的解析式，根据自变量与函数值的关系，可得答案．【详解】解：（1）()22x 4321y x x =--＝－＋，顶点坐标为()2,1-， 当0y =时，2430x x -+=，解得1x =或3x =，即图象与x 轴的交点坐标为()1,0，()3,0；（2）图象先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得()2,2212y x =-+--， 化简得23y x =-，当0x =时，3y =-，即平移后的图象与y 轴交点的坐标()0,3-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用配方法得出顶点坐标，利用图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减得出平移后的解析式是解题关键．20．（1）2545442y x x -+＝，函数的对称轴为：3x ＝；（2）点8(3)5P ，；（3）存在，点E 的坐标为12(2,)5-或12,)5(4-． 【分析】1（）根据点AB 、的坐标可设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝，由C 点坐标即可求解；2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，即可求解； 3（）512E E OEBF S OB y y ⨯⨯四边形＝＝＝，则125E y ＝，将该坐标代入二次函数表达式即可求解． 【详解】解：1（）根据点0(1)A ，,(50)B ，的坐标设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝，⊥抛物线经过点4(0)C ，， 则54a ＝，解得：45a ＝， 抛物线的表达式为：()()2224416465345555245y x x x x x --+--+＝=＝ ， 函数的对称轴为：3x ＝； 2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，设BC 的解析式为：y kx b +＝，将点B C 、的坐标代入一次函数表达式：y kx b +＝得：05,4k b b =+⎧⎨=⎩解得：4,54k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 直线BC 的表达式为：4y x 45=-+， 当3x ＝时，85y ＝， 故点835P （，）； 3（）存在，理由： 四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形， 则512E E OEBF S OB y y ⨯⨯四边形＝＝＝， 点E 在第四象限，故：则125E y ＝-， 将该坐标代入二次函数表达式得：()24126555y x x -+＝＝-， 解得：2x ＝或4， 故点E 的坐标为122,5（-）或12,5（4-）． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中2（），求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法．21．（1）y=-x 2-2x +3；（2）P 坐标为（-，-3）或（-1-3）．【分析】（1）把A与B坐标代入求出a与b的值，即可确定出表达式；（2）根据已知三角形面积相等求出P的坐标即可．【详解】解：（1）把A与B坐标代入得：9330a ba b c-+=⎧⎨++=⎩，解得：12ab=-⎧⎨=-⎩，则该抛物线的表达式为y=-x2-2x+3；（2）由抛物线解析式得：C（0，3），⊥⊥ABC面积为12×3×4=6，⊥⊥P AB面积为6，即12×|Py|×4=6，即Py=3或-3，当P y=3时，可得3=-x2-2x+3，解得：x=-2或x=0（舍去），此时P坐标为（-2，3）；当y P=-3时，可得-3=-x2-2x+3，解得：x=-此时P坐标为（-，-3）或（-1-3）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．(1)、y=－x2－4x+5；(2)、15；(3)、(－,0)或(－,0).【详解】试题分析：(1)、首先求出方程的解得出点A和点B的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式；(2)、根据二次函数的解析式得出点C的坐标和顶点坐标，过D作x轴的垂线交x轴于M，从而求出⊥DMC、梯形MDBO和⊥BOC的面积，然后得出面积；(3)、设P点的坐标为（a,0），得出直线BC的方程，则PH与直线BC的交点坐标为(a，a+5)，PH与抛物线的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)，然后根据EH=EP和EH=EP两种情况分别求出点P的坐标.试题解析：(1)、解方程x2－6x+5=0，得x1=5,x2=1.由m<n，m=1,n=5,。
沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax2的图象与性质说课稿
本节课的教学内容为沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax^2的图象与性质。该章节位于初中数学课程中函数学习的重要部分，是在学习了二次函数的概念及其表达式的基础上，进一步研究二次函数的图象与性质。主要知识点包括：
（3）了解二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系，能够根据系数a判断图象的开口方向、对称轴等。
2.过程与方法：
（1）通过观察和分析二次函数y=ax^2的图象，培养学生观察、归纳、总结的能力。
（2）运用数学方法，如数形结合、函数变换等，引导学生探究二次函数的性质。
（3）通过实例分析，使学生能够灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题。
1.数形结合法：通过将二次函数的代数表达式与图象相结合，帮助学生直观地理解函数的性质和变化规律。这种方法符合学生的认知特点，有助于抽象概念的形象化，提高学习效果。
2.探究式教学法：引导学生通过观察、猜想、验证、总结的过程来发现二次函数的性质。这种教学方法能够激发学生的好奇心和探究欲，培养他们的创新精神和实践能力。
（2）二次函数y=ax^2的性质，如单调性、最值等。
（3）二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系。
2.教学难点：
（1）如何引导学生理解二次函数y=ax^2的图象特征与系数a的关系。
（2）如何让学生掌握二次函数y=ax^2的性质，并能运用这些性质解决实际问题。
（3）如何培养学生运用数形结合、函数变换等数学方法探究二次函数的性质。
3.展示一个有趣的数学问题，如“如何确定一个抛物线拱门的最高点？”通过问题引导学生思考，自然过渡到二次函数的性质。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将采取以下步骤引导学生深入理解二次函数的图象与性质：
九年级数学二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质(知识讲解)Word版含解析
专题2.4 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.4 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像与性质（知识讲解）【学习目标】1.理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；2.会用描点法画出二次函数y＝ax2（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；3.掌握二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的性质．【要点梳理】要点一、二次函数y＝ax2（a≠0）的图像及性质1.二次函数y＝ax2（a≠0）的图像用描点法画出二次函数y＝ax2（a≠0）的图像，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线．因为抛物线y＝x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y＝x2的顶点是图像的最低点．因为抛物线y ＝x2有最低点，所以函数y＝x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标．2.二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的画法用描点法画二次函数y＝ax2（a≠0）的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确．特别说明：二次函数y＝ax2（a≠0）的图像．用描点法画二次函数y＝ax2（a≠0）的图像，该图像是轴对称图形，对称轴是y轴．y＝ax2（a≠0）是最简单的二次函数，把y ＝ax2（a≠0）的图像左右、上下平行移动可以得到y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像．画草图时应抓住以下几点：1）开口方向，2）对称轴，3）顶点，4）与x轴的交点，5）与y轴的交点．3.二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的性质二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的性质，见下表：特别说明：顶点决定抛物线的位置．几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同．│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同．│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大， 图像两边越靠近x轴．【典型例题】类型一、作出二次函数2y ax=的图像1．画函数212y x=-的图像．举一反三：【变式1】2．画出二次函数y＝x2的图象．【变式2】3．画出二次函数y=﹣x2的图象．类型二、二次函数2y ax 的参数值4．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是 y ＝ax 2； y ＝bx 2； y ＝cx 2； y ＝dx 2．则a 、b 、c 、d 的大小关系为_____．举一反三： 【变式1】5．如图，已知点A （-4，8）和点B （2，n ）在抛物线y=ax2上．求a 的值及点B 的坐标.【变式2】6．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序）类型三、二次函数2y ax =的开口方向、对称轴、顶点坐标、特殊点坐标7．函数y=ax 2（a≠0）与直线y=2x -3的图象交于点（1，b ）． 求：（1）a 和b 的值；（2）求抛物线y=ax 2的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）作y=ax 2的草图． 举一反三： 【变式】8．已知函数()2323m m y m x +-=+是关于x 的二次函数．（1）求m 的值．（2）当m 为何值时，该函数图像的开口向下？ （3）当m 为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 类型四、二次函数2y ax =的增减性9．已知22(1)ky k x -=+是关于x 的二次函数.(1)求满足条件的k 的值；(2)k 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而增大？(3)k 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而减小？ 举一反三： 【变式1】10．已知24(2)k k y k x +-=+ 是二次函数，且函数图象有最高点．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x 为何值时，y 随x 的增大而减少． 【变式2】11．已知函数y ＝（k ﹣2）245k k x -+是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件的k 的值；（2）当k 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）当k 为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x 为何值时，y 与x 的增大而减小？类型五、二次函数2y ax =的综合应用12．如图，梯形ABCD 的顶点都在抛物线2y x =-上，且////AB CD x 轴.A 点坐标为（a,-4），C 点坐标为（3,b ）.（1）求a ，b 的值； （2）求B ，D 两点的坐标； （3）求梯形的面积. 举一反三： 【变式1】13．在平面直角坐标系中，若抛物线22y x =与直线1y x =+交于点(,)A a b 和点(,)B c d ，其中a c >，点O 为原点，求ABO ∆的面积.【变式2】14．抛物线y＝ax2(a＞0 )上有A 、B两点，A、B两点的横坐标分别为－1，2．求a为何值时， AOB为直角三角形．参考答案：1．见解析【分析】利用列表、描点、连线的方法作出函数的图像即可．【详解】解：列表：描点、连线如下图所示：【点睛】本题考查了二次函数的画法，做题的关键是列出表格、描点、连线即可．2．图像见解析.【分析】建立平面直角坐标系，然后利用五点法作出大致函数图象即可．【详解】函数y＝x2的图象如图所示：【点睛】本题考查了二次函数的图象的作法，五点法作图是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．3．见解析【分析】首先列表，再根据描点法，可得函数的图象．【详解】列表：描点：以表格中对应的数值作为点的坐标，在直角坐标系中描出；连线：用平滑的线顺次连接，如图：【点睛】本题考查了二次函数图象，正确在坐标系中描出各点是解题的关键．4．a＞b＞d＞c【分析】设x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．【详解】因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），所以，a＞b＞d＞c．故答案为：a＞b＞d＞c．【点睛】本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．5．a=1, B（2,2）2【详解】试题分析：先把A点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值和二次函数解析式；再B点坐标代入二次函数解析式，即可求出n的值，从而确定点B的坐标.解：把点A（-4，8）代入y=ax2,得：16a=8a=12y=1x2.2x2得：再把点B（2，n）代入y=12n=2.B（2,2）.6．a1＞a2＞a3＞a4【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【详解】解：如图所示： y＝a1x2的开口小于 y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，y＝a3x2的开口大于 y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案是：a1＞a2＞a3＞a4.【点睛】考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．7．（1）a=b=-1（2）y轴，（0，0）（3）图像见解析【详解】试题分析：（1）把点（1，b）代入y=2x-3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，从而可确定抛物线y=ax2的开口方向，对称轴和顶点坐标；（3）根据（2）中求得的抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标可画出其草图.试题解析：（1）把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，把点（1，-1）代入y=ax 2中，得a=-1； （2） 在y=-x 2中，a=-1<0， 抛物线开口向下；抛物线y=ax 2的对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，0）； （3）作函数y=ax 2的草图如下：8．（1）m 1＝−4，m 2＝1；（2）当m ＝−4时，该函数图象的开口向下；（3）当m ＝1时，函数为24y x =，该函数有最小值，最小值为0．【分析】（1）根据二次函数的定义求出m 的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；（3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值； 【详解】解：（1） 函数()2323m m y m x +-=+是关于x 的二次函数，m 2＋3m−2＝2，m ＋3≠0， 解得：m 1＝−4，m 2＝1； （2） 函数图象的开口向下， m ＋3＜0， m ＜−3，当m ＝−4时，该函数图象的开口向下； （3） m ＝−4或1，当m ＋3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值， m ＞−3， m ＝−4或1，当m ＝1时，函数为24y x =，该函数有最小值，最小值为0．【点睛】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．9．(1)k=±2； (2) 见解析； (3)见解析.【分析】（1）直接利用二次函数定义得出符合题意的k 的值；（2）抛物线有最低点，所以开口向上，k+1大于0，再根据（1）中k 的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质，即可得最低点的坐标和函数的单调区间；（3）函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1小于0，再根据（1）中k 的值即可确定满足条件的值，然后根据二次函数性质可求得最大值和函数单调区间．【详解】(1) 根据二次函数的定义得 22210k k ⎧-=⎨+≠⎩ 解得k=±2. 当k=±2时，原函数是二次函数.(2) 根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，k+1＞0，即k ＞-1，根据第(1)问得：k=2.该抛物线的解析式为2y 3x =， 抛物线的顶点为(0，0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大.(3) 根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1＜0，即k ＜-1，根据第(1)问得：k=-2.该抛物线的解析式为2y x =-，顶点坐标为(0，0)，当k=-2时，函数有最大值为0. 当x ＞0时，y 随x 的增大而减小.【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质是解题关键，是基础题型．10．（1）k=﹣3；（2）当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标（0，0），对称轴为y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而减少．【详解】试题分析：（1）根据二次函数的定义得出k 2+k ﹣4=2，再利用函数图象有最高点，得出k +2＜0，即可得出k 的值；（2）利用（1）中k 的值得出二次函数的解析式，利用形如y =ax 2（a ≠0）的二次函数顶点坐标为（0，0），对称轴是y 轴即可得出答案．试题解析：解：（1） 24(2)k k y k x +-=+是二次函数， k 2+k ﹣4=2且k +2≠0，解得k =﹣3或k =2． 函数有最高点， 抛物线的开口向下， k +2＜0，解得k ＜﹣2， k =﹣3；（2）当k =﹣3时，二次函数为y =﹣x 2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而减少．11．（1）1213k k ＝，＝；（2）k ＝1，最高点为（0，0），当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；（3）k ＝3，最小值为0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．【分析】（1）由于函数是二次函数，所以x 的次数为2，且系数不为0，即可求得满足条件的k 的值；（2）抛物线有最高点，所以开口向下，系数小于0，再根据（1）中k 的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质即可知函数的单调区间；（3）函数有最小值，则开口向上，然后根据二次函数性质可求得最小值，即可知函数单调区间．【详解】解：（1） 函数y ＝（k ﹣2）245kk x -+是关于x 的二次函数，k 满足2452k k +﹣＝，且k ﹣2≠0，解得：1213k k ＝，＝；（2） 抛物线有最高点，图象开口向下，即k ﹣2＜0，结合（1）所得，k ＝1，最高点为（0，0），当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．（3） 函数有最小值，图象开口向上，即k ﹣2＞0，k ＝3，最小值为0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数的定义、待定系数法求解析式、解一元二次方程以及二次函数图像的性质；解决本题的关键在于知道二次函数的表达形式，用待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数图像的性质．12．（1）2a =-,9b =-；（2）(2,4)-B ，(3,9)D --；（3）25.【分析】（1）把点A ，点C 坐标分别代入解析式，即可求出a ，b 的值；（2）由B 与A 的纵坐标相等，D 与C 的纵坐标相等，由对称关系，即可求出B ，D 的坐标；（3）分别求出AB ，CD 和梯形的高，即可得到答案.【详解】解：（1）当4y =-时，24a -=-，2a =±.点A 在第三象限，2a =-.当3x =时，9y =-，9b =-.（2） ////AB CD x 轴，A 点与B 点，C 点与D 点的纵坐标相同.2y x =-关于y 轴对称，(2,4)-B ，(3,9)D --.（3）由题意，得AB 4CD 6==，，梯形的高为5， 1(46)5252ABCD S =⨯+⨯=梯形. 【点睛】本题考查了二次函数与四边形的综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.13．34. 【分析】首先求得两个交点的坐标，然后求得直线1y x =+与y 轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出答案．【详解】解：由题意得：221y x y x ⎧=⎨=+⎩解得：12x =-或1x = 点(,)A a b 和点(,)B c d ，其中a c >(1,2)A ，11(,)22B - 直线1y x =+与y 轴的交点坐标为：（0，1） 11131112224ABO S ∆=⨯⨯+⨯⨯=． 【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是了解如何求得两个图象的交点坐标．141【分析】先求出AB两点坐标，再根据 AOB为直角三角形，根据勾股定理分情况列出含a 的方程进行求解.【详解】 x=-1, y=a,x=2, y=4a，A（-1，a）,B（2，4a）当AB为斜边时，AB2=AO2+BO2，即32+(3a)2=(1+a2)+(4+16a2),解得a2=12，a=a>当BO为斜边时，OB2=AB2+AO2，得a=±1，a>0, a=1，AO2=1+a2<9+9a2= AB2，AO2=1+a2<4+16a2= OB2AO不是斜边，1.【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是根据勾股定理列出方程解出a的值.。
九年级数学 二次函数y=ax2bxc(a≠0)的图像与性质(知识讲解1)Word版含解析
专题2.12 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解1）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.12 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解1） 【学习目标】1．会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2．通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3．经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与2(1)(0)y a x t k a =-+≠之间的相互关系 1．顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++． 2．一般式化成顶点式 22222()()()22b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤=++=++=++-+⎢⎥⎣⎦224()24b ac b a x a a-=++．对照2()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a-=．∴抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． 特别说明：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法 1．一般方法：列表、描点、连线； 2．简易画法：五点定形法． 其步骤为：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．（2）求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 特别说明：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象与性质2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2b x a =-时，244ac b y a-=．特别说明：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当2b x a =-时，244ac b y a-=，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x2时，22y bx c ++；当x ＝x1时，211y ax bx c =++，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x1时，2max 11y ax bx c =++；当x ＝x2时，2min 22y ax bx c =++，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x1，x ＝x2，2bx a=-时y 值的情况． 特别说明： 【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠化为顶点式1．已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 举一反三： 【变式1】2．用配方法把二次函数y=12x 2–4x+5化为y=a(x+m)2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式2】3．已知二次函数2y x 4x 3=-+．()1用配方法将其化为2y a(x h)k =-+的形式；()2在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．【变式3】4．已知二次函数y ＝﹣2x 2+bx +c 的图象经过点A （0，4）和B （1，﹣2）． （1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）设抛物线的顶点为C ，试求∴CAO 的面积． 类型二、画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象5．已知：二次函数243y x x =++ （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）在所提供的网格中画出该函数的草图．举一反三： 【变式1】6．已知二次函数y =﹣x 2+4x ．（1）写出二次函数y =﹣x 2+4x 图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）； （3）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围． 【变式2】7．已知二次函数y ＝12x 2﹣x ﹣32． （1）在平面直角坐标系内，画出该二次函数的图象； （2）根据图象写出：①当x 时，y ＞0； ②当0＜x ＜4时，y 的取值范围为 ．【变式3】8．已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠． （1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；（3）设点()1,P m y ，()23,Q y 在抛物线上，若12y y <，求m 的取值范围． 类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的性质9．把抛物线21:23C y x x =++先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线2C ．（1）直接写出抛物线2C 的函数关系式；（2）动点(),6P a -能否在拋物线2C 上？请说明理由；（3）若点()()12,,,A m y B n y 都在抛物线2C 上，且0m n <<，比较12,y y 的大小，并说明理由． 举一反三： 【变式1】10．在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当21x -≤≤时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且3a b <<，求m 的取值范围． 【变式2】11．如图，已知抛物线y=x 2-2x -3与x 轴交于A 、B 两点．（1）当0＜x ＜3时，求y 的取值范围；（2）点P 为抛物线上一点，若S △PAB =10，求出此时点P 的坐标．【变式3】12．已知抛物线2y ax bx c =++，如图所示，直线1x =-是其对称轴，()1确定a ，b ，c ，24b ac =-的符号；()2求证：0a b c -+>；()3当x 取何值时，0y >，当x 取何值时0y <．类型四、二次函数的图象及各项的系数13．如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．（1）m的值为________；（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．举一反三：【变式1】14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：∴abc＞0；∴a﹣b+c＜0；∴2a+b﹣c＜0；∴4a+2b+c＞0，∴若点（﹣23，y1）和（73，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号）类型五、一次函数、二次函数图象的综合判断15．如图，已知直线y=-2x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求m 的值； （2）求抛物线的解析式；（3）若点P 是x 轴上一点，当∴ABP 为直角三角形时直接写出点P 的坐标． 举一反三： 【变式1】16．已知二次函数()2229y mx m x m =++++．()1如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；()2如图，二次函数的图象过，点()4,0A ，与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P ，求点P 的坐标．【变式2】17．如图所示，已知直线y=12-x 与抛物线y=2164x -+交于A 、B 两点，点C 是抛物线的顶点．(1)求出点A 、B 的坐标； (2)求出∴ABC 的面积；(3)在AB 段的抛物线上是否存在一点P ，使得∴ABP 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（1）2y x 2x 3=-++（2）（1，4）【详解】解：（1）∴抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）， ∴抛物线的解析式为；()()y x 3x 1=--+，即2y x 2x 3=-++， （2）∴抛物线的解析式为()22y x 2x 3x 14=-++=--+， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．（1）根据抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式．（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．2．抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)． 【分析】用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵y ＝12x 2－4x ＋5＝12(x －4)2－3，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)．【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．3．（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可．【详解】解：()21y x 4x 3=-+=222x 4x 223-+-+ =2(x 2)1--()22y (x 2)1=--，∴顶点坐标为()2,1-，对称轴方程为x 2=．函数二次函数2y x 4x 3=-+的开口向上，顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点为()3,0，()1,0， ∴其图象为：故答案为（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．4．（1）y ＝﹣2x 2﹣4x +4；（2）对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）∴CAO 的面积为2．【分析】（1）利用待定系数法把A （0，4）和B （1，﹣2）代入y ＝﹣2x 2+bx +c 中，可以解得b ，c 的值，从而求得函数关系式即可； （2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；（3）由（2）可得顶点C 的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO 的面积． 【详解】解：（1）把A （0，4）和B （1，﹣2）代入y ＝﹣2x 2+bx +c ，得：24212c b c =⎧⎨-⨯++=-⎩，解得：44b c =-⎧⎨=⎩， 所以此抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2﹣4x +4； （2）∴y ＝﹣2x 2﹣4x +4 ＝﹣2（x 2+2x ）+4 ＝﹣2[（x +1）2﹣1]+4 ＝﹣2（x +1）2+6，∴此抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）； （3）由（2）知：顶点C （﹣1，6）， ∴点A （0，4），∴OA ＝4， ∴S △CAO ＝12OA •|xc |＝12×4×1＝2，即△CAO 的面积为2．故答案为（1）y ＝﹣2x 2﹣4x +4；（2）对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）△CAO 的面积为2．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键． 5．（1） (－2，－1)；（2）见解析【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标； （2）利用五点法画二次函数的图象即可．【详解】（1）243y x x =++化为顶点式为2(2)1y x =+- 则该函数图象的顶点坐标为(2,1)--；（2）先求出自变量x 在4,3,2,1,0----处的函数值，再列出表格 当4x =-和0x =时，3y =当3x =-和=1x -时，2(1)4(1)30y =-+⨯-+= 当2x =-时，1y =- 列出表格如下：由此画出该函数的草图如下：【点睛】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键．6．（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．【详解】试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．试题解析：（1）∴y=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）列表得：描点，连线．（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．7．（1）见解析；（2）①x＜﹣1或x＞3；②﹣2≤y＜52．【分析】（1）先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（1，2）；再分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；（2）∴利用函数图象写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；∴先确定x＝4时，y＝52，然后利用函数图象写出当0＜x＜4时对应的函数值的范围．【详解】解：（1）∴y＝12（x﹣1）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）；当x＝0时，y＝12x2﹣x﹣32＝﹣32，则抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣32）当y ＝0时，12 x 2﹣x ﹣32＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）， 如图，（2）∴当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0； ∴当0＜x ＜4时，﹣2≤y ＜52；故答案为x ＜﹣1或x ＞3；﹣2≤y ＜52．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．8．（1）1x =；（2）233322y x x =-+或221y x x =-+-；（3）当a ＞0时，13m -<<；当a ＜0时，1m <-或3m >．【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到a 的值，进而得到其解析式；（3）根据抛物线的对称性求得点Q 关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到m 的取值范围．【详解】（1）∴22232y ax ax a =--+， ∴22(1)32y a x a a =---+， ∴其对称轴为：1x =．（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：2(1,23)a a --，∴抛物线顶点在x 轴上， ∴2230a a --=， 解得：32a =或1a =-， 当32a =时，其解析式为：233322y x x =-+， 当1a =-时，其解析式为：221y x x =-+-， 综上，二次函数解析式为：233322y x x =-+或221y x x =-+-． （3）由（1）知，抛物线的对称轴为1x =， ∴()23,Q y 关于1x =的对称点为2(1,)y -， 当a ＞0时，若12y y <， 则-1＜m ＜3；当a ＜0时，若12y y <， 则m ＜-1或m ＞3.【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．9．（1）2(3)3y x =--；（2）不在，见解析；（3）12y y >，见解析【分析】（1）先求出抛物线1C 的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；（2）根据抛物线2C 的顶点的纵坐标为3-，即可判断点()6P a -，不在拋物线2C 上； （3）根据抛物线2C 的增减性质即可解答．【详解】（1）抛物线221:23(1)2C y x x x =++=++，∴抛物线1C 的顶点坐标为(﹣1，2)，根据题意，抛物线2C 的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，﹣3)， ∴抛物线2C 的函数关系式为：2(3)3y x =--； （2）动点P 不在抛物线2C 上． 理由如下：∴抛物线2C 的顶点为()3,3-，开口向上， ∴抛物线2C 的最低点的纵坐标为3-． ∴63P y =-<-，∴动点P 不在抛物线2C 上； （3）12y y >． 理由如下：由（1）知抛物线2C 的对称轴是3x =，且开口向上， ∴在对称轴左侧y 随x 的增大而减小． ∴点()()12,,,A m y B n y 都在抛物线2C 上，且03m n <<<， ∴12y y >．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．（1）2y x x 2=--；（2）254；（3）1m <． 【分析】（1）利用待定系数法将点(1,0)-，(2,0)代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴12x =，从而知在21x -≤≤中，当x=-2时，y 有最大值，当12x =时，y 有最小值，求之相减即可； （3）根据两函数相交可得出x 与m 的函数关系式，根据有两个交点可得出∆>0，根据根与系数的关系可得出a ，b 的值，然后根据3a b <<，整理得出m 的取值范围． 【详解】解：（1）∴2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)，∴10420p q p q -+=⎧⎨++=⎩解得12p q =-⎧⎨=-⎩ ∴2y x x 2=--（2）由（1）得，二次函数对称轴为12x =∴当21x -≤≤时，y 的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y 的最小值为21192224⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ∴y 的最大值与最小值的差为925444⎛⎫--= ⎪⎝⎭；（3）由题意及（1）得()2222y m x my x x ⎧=-+-⎨=--⎩整理得()()2340x m x m ----=即()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦∴一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，∴()()23440m m ∆=-+-> 化简得210250m m -+> 即()250m -> 解得m≠5∴a ，b 为方程()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦的两个解 又∴3a b << ∴a=-1，b=4-m 即4-m>3 ∴m<1综上所述，m 的取值范围为1m <．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质． 11．(1) ﹣4≤y ＜0;(2) P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）【详解】分析：(1)、首先将抛物线配成顶点式，然后根据x 的取值范围，从而得出y 的取值范围；(2)、根据题意得出AB 的长度，然后根据面积求出点P 的纵坐标，根据抛物线的解析式求出点P 的坐标．详解：（1）∴抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3，∴y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4），由图可得当0＜x ＜3时，﹣4≤y ＜0． （2）当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0， 解得：x 1=-1 x 2=3 ∴A （﹣1，0）、B （3，0）， ∴AB=4．设P （x ，y ），则S △PAB =AB•|y|=2|y|=10， ∴|y|=5， ∴y=±5． ∴当y=5时，x 2﹣2x ﹣3=5，解得：x 1=﹣2，x 2=4， 此时P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； ∴当y=﹣5时，x 2﹣2x ﹣3=﹣5，方程无解； 综上所述，P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质，属于基础题型．求函数值取值范围时，一定要注意自变量的取值范围是否是在对称轴的一边．12．（1）0a <，0b <，0c >，240b ac =->；（2）详见解析；（3）当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【分析】（1）根据开口方向确定a 的符号，根据对称轴的位置确定b 的符号，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的符号，根据抛物线与x 轴交点的个数确定b 2-4ac 的符号； （2）根据图象和x=-1的函数值确定a -b+c 与0的关系； （3）抛物线在x 轴上方时y ＞0；抛物线在x 轴下方时y ＜0． 【详解】()1∵抛物线开口向下， ∴0a <， ∵对称轴12bx a=-=-， ∴0b <，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴240b ac =->；()2证明：∵抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为1x =-，∴当1x =-时，0y a b c =-+>；()3根据图象可知，当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.13．（1）3；（2）x ＞1；（3）-1＜x ＜3；（4）-5≤y ≤4 【分析】根据函数的图象和性质即可求解．【详解】解：（1）将（0，3）代入y ＝﹣x 2+（m ﹣1）x +m 得，3＝m ， 故答案为3；（2）m ＝3时，抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +3， 函数的对称轴为直线x ＝2ba-＝1， ∴﹣1＜0，故抛物线开口向下，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小， 故答案为x ＞1；（3）令y ＝﹣x 2+2x +3，解得x ＝﹣1或3， 从图象看，当﹣1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方； 故答案为﹣1＜x ＜3；（4）当x ＝0时，y ＝3；当x ＝4时，y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣5， 而抛物线的顶点坐标为（1，4），故当x 满足0≤x ≤4时，y 的取值范围是﹣5≤y ≤4， 故答案为﹣5≤y ≤4．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键． 14．∴∴∴【详解】解：∴抛物线开口向下， ∴a ＜0，∴对称轴在y 轴右边， ∴b ＞0，∴抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，故∴错误；∴二次函数y =ax 2+bx +c 图象可知，当x =﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b +c ＜0，故∴正确；∴二次函数图象的对称轴是直线x =1，c ＞0， ∴2b a-=1， ∴2a +b =0，∴2a +b ＜c ，∴2a +b ﹣c ＜0，故∴正确；∴二次函数y =ax 2+bx +c 图象可知，当x =2时，y ＞0，∴4a +2b +c ＞0，故∴正确；∴二次函数图象的对称轴是直线x =1，∴抛物线上x =23-时的点与当x =83时的点对称， ∴x ＞1，y 随x 的增大而减小，∴y 1＜y 2，故∴错误；故答案为∴∴∴．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：∴二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；∴一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）∴常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．15．（1）m ＝6；（2）y ＝﹣x 2+2x +3；（3）点P 的坐标为（7，0）或（1，0）．【分析】（1）将点A 坐标代入y=-2x+m ，即可求解；（2）y=-2x+6，令y=0，则x=3，故点B （3，0），则二次函数表达式为：y=a （x -1）2+4，将点B 的坐标代入上式，即可求解；（3）分∴BAP=90°、∴AP （P′）B=90°两种情况，求解即可．【详解】解：（1）将点A 坐标代入y ＝﹣2x+m 得：4＝﹣2+m ，解得：m ＝6；（2）y ＝﹣2x+6，令y ＝0，则x ＝3，故点B （3，0），则二次函数表达式为：y ＝a （x ﹣1）2+4，将点B 的坐标代入上式得：0＝a （3﹣1）2+4，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+4＝﹣x 2+2x+3；（3）∴当∴BAP ＝90°时，直线AB 的表达式为：y ＝﹣2x+6，则直线PB 的表达式中的k 值为12，设直线PB 的表达式为：y ＝12x+b ，将点A 的坐标代入上式得：4＝12×1+b ， 解得：b ＝72， 即直线PB 的表达式为：y ＝12x+72， 当y ＝0时，x ＝﹣7，即点P （7，0）；∴当∴AP （P′）B ＝90°时，点P′（1，0）；故点P 的坐标为（7，0）或（1，0）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本知识，要注意类讨论，避免遗漏，本题较为简单．16．（1）45m <且0m ≠；（2）P 点坐标为()1,6． 【分析】解：（1）根据题意得0m ≠且()24(2)490m m m =+-⋅+>；（2）先求二次函数的解析式，再求抛物线的对称轴，用待定系数法求直线AB 的解析式，再求AB 与对称轴的交点P.【详解】解：()1根据题意得0m ≠且()24(2)490m m m =+-⋅+>， 所以45m <且0m ≠； ()2把()4,0A 代入()2229y mx m x m =++++得()168290m m m ++++=，解得1m =-，所以抛物线解析式为2228(1)9y x x x =-++=--+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，当0x =时，2288y x x =-++=，则()0,8B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把()4,0A ，()0,8B 代入得{408k b b +==，解得{28k b =-=，所以直线AB 的解析式为28y x =-+，当1x =时，286y x =-+=，所以P 点坐标为()1,6．【点睛】本题考核知识点：二次函数与一次函数. 解题关键点：理解二次函数图象的交点问题.17．(1)点A 、B 的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)30；(3)当a ＝1时，∴ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(1，234)． 【分析】（1）由直线1y x 2=-与抛物线21y x 64=-+交于A 、B 两点，可得方程211x x 624-=-+，解方程即可求得点A 、B 的坐标；（2）首先由点C 是抛物线的顶点，即可求得点C 的坐标，又由S △ABC =S △OBC +S △OAC 即可求得答案；（3）首先过点P 作PD∴OC ，交AB 于D ，然后设21P a,a 64⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即可求得点D 的坐标，可得PD 的长，又由S △ABP =S △BDP +S △ADP ，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．【详解】解：(1)∴直线1y x 2=-与抛物线21y x 64=-+交于A 、B 两点， ∴211x x 624-=-+， 解得：x ＝6或x ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝﹣3，当x ＝﹣4时，y ＝2，∴点A 、B 的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)∴点C 是抛物线的顶点．∴点C 的坐标为(0，6)，∴S △ABC ＝S △OBC +S △OAC ＝12×6×4+12×6×6＝30；(3)存在．过点P 作PD∴OC ，交AB 于D ，设P(a ，﹣14a 2+6)， 则D(a ，﹣12a)， ∴PD ＝﹣14a 2+6+12a ， ∴S △ABP ＝S △BDP +S △ADP ＝12×(﹣14a 2+6+12a)×(a+4)+12×(﹣14a 2+6+12a)×(6﹣a)＝25125(a 1)44--+ (﹣4＜a ＜6)， ∴当a ＝1时，∴ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(1，234)．【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积的求解以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。
九年级数学：二次函数y=ax2的图象和性质练习(含解析)
九年级数学：二次函数y=ax2的图象和性质练习（含解析）一、精心选一选1﹒抛物线y＝2x2,y＝－2x2,y＝12x2共有的性质是（）A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小2﹒函数y＝－a(x+a)与y＝－ax2（a≠0）在同一坐标上的图象大致是（）A. B. C. D.3﹒抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（）A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限4﹒抛物线y＝12x2,y＝－3x2,y＝x2的图象开口最大的是（）A.y＝12x2 B.y＝－3x2 C.y＝x2 D.无法确定5﹒二次函数y＝13x2的图象的开口方向是（）A.向上B.向下C.向左D.向右6﹒下列函数：①y＝－x；②y＝－x2（x＜0）；③y＝2x+1；④y＝x2（x＜0）,y随x的增大而减小的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7﹒苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s＝gt2（g＝9.8）,则s与t的函数图象大致是（）A. B. C. D.8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（）A.只与a有关B.只与h有关C.与a、h都有关D.与a、h都无关9﹒已知抛物线y ＝5(x －1)2,下列说法中错误的是（ ）A.顶点坐标为（1,0）B.对称轴为直线x ＝0C.当x ＞1时,y 随x 的增大而增大D.当x ＜1时,y 随x 的增大而增减小10.已知二次函数y ＝a (x +h )2的图象如图所示,下列结论：①a ＞0；②h ＞0；③y 的最小值是0；④x ＜0时,y 随x 的增大而减小.其中正确结论的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 二、细心填一填11.已知关于x 的二次函数y ＝a 226aa x --,当a ＝_____时,其图象开口向上；当a ＝_____时,其图象开口向下.12.已知坐标原点是抛物线y ＝(m +1)x 2的最高点,则m 的取值范围是___________________. 13.已知二次函数y ＝12x 2的图象如图所示,线段AB ∥x 轴,交抛物线 于A 、B 两点,且点A 的横坐标为2,则AB 的长度为__________. 14.二次函数y ＝－2(x －2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”）15.二次函数y ＝－2(x +1)2图象的顶点坐标为___________,函数的最大值为____________. 16.抛物线y ＝－3(x －5)2的开口方向是___________,对称轴是______________. 17.抛物线y ＝49(x －3)2与x 轴的交点为A ,与y 轴的交点为B ,则△AOB 的面积为_______. 18.下列函数中,具有过原点,且当x ＞0时,y 随x 的增大而减小,这两个特征的函数有_______________.（只填序号）①y ＝－ax 2（a ＞0）；②y ＝(a －1)x 2（a ＜1）；③y ＝－2x +a 2（a ≠0）；④y ＝32x －a . 三、解答题（本题共8小题,第19题8分；第20、21每小题各10分；第22、 23每小题各12分；第24题14分共66分） 19.已知函数y ＝(m +3)232m m x +-是关于x 的二次函数.（1）求m 的值；（2）当m 为何值时,该函数图象的开口向下？（3）当m为何值时,该函数有最小值？（4）试说明函数的增减性.20.已知,二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+3的图象交于A、B两点.（1）请根据上述要求在下面的平面直角坐标系中画出图象；（2）求△AOB的面积.21.二次函数y＝12(x－h)2的图象如图所示,已知抛物线的顶点为A,与y轴交于点B,且OA＝OB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.22.如图,直线y＝－x－2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A,且经过点B.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点C（m,－92）在该抛物线上,求m的值.23.甲是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料,得到下表中的数据：x/m 5 10 20 30 40 50y/m 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5甲乙（1）请你以上表中的各对数据（x,y）作为点的坐标,尝试在图乙所给的直角坐标系中画出y关于x的函数图象；（2）猜想出用x表示y的二次函数的关系式；（3）当水面宽度为36m时,一般吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8m的货船能否在这个河段安全通过？为什么？21.2二次函数y=ax2的图象和性质课时练习题参考答案一、精心选一选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B A B A A A C D D Ax2共有的性质是（）1﹒抛物线y＝2x2,y＝－2x2,y＝12A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小解答：∵a＝2＞0,∴抛物线y＝－2x2开口向下,以y轴为对称轴,有最高点,当x＞0时,y随x的增大而增大,当x ＜0时,y随x的增大而减小；∵a＝－2＜0,∴抛物线y＝2x2开口向上,以y轴为对称轴,有最低点,当x＞0时,y随x的增大而减小,当x＜0时,y随x的增大而增大；∵a＝1＞0,2x2开口向下,以y轴为对称轴,有最高点,当x＞0时,y随x的增大而增大,当x ∴抛物线y＝12＜0时,y随x的增大而减小；综合上述,这三条抛物线均以y轴为对称轴,故选：B.2﹒函数y＝－a(x+a)与y＝－ax2（a≠0）在同一坐标上的图象大致是（）A. B. C. D.解答：由y＝－a(x+a)得y＝－ax+a2,当a＞0时,直线y＝－ax+a2经过一、二、四象象,抛物线y＝－ax2开口向下；当a＜0时,直线y＝－ax+a2经过一、二、三象象,抛物线y＝－ax2开口向上；符合上述要求的只有A选项,故选：A.3﹒抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（）A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限解答：∵a＜0,∴抛物线y＝ax2经过三、四象限,故选：B.4﹒抛物线y＝12x2,y＝－3x2,y＝x2的图象开口最大的是（）A.y＝12x2 B.y＝－3x2 C.y＝x2 D.无法确定解答：∵12＜1＜3,∴抛物线y＝12x2的图象开口最大, 故选：A.5﹒二次函数y＝13x2的图象的开口方向是（）A.向上B.向下C.向左D.向右解答：∵a＝13＞0,∴二次函数y＝x2的图象的开口向上,故选：A.6﹒下列函数：①y＝－x；②y＝－x2（x＜0）；③y＝2x+1；④y＝x2（x＜0）,y随x的增大而减小的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：①y＝－x,要分两种情况判断其增减性,故不符合题意；②y＝－x2（x＜0）,y随x的增大而增大,故不符合题意；③y＝2x+1,y随x的增大而增大,故不符合题意；④y＝x2（x＜0）,y 随x的增大而减小,故符合题意,综上,可知只有④符合题意,故选：A.7﹒苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s＝gt2（g＝9.8）,则s与t的函数图象大致是（）A. B. C. D.解答：由s＝gt2（g＝9.8）可知此函数为二次函数,且g＞0,自变量t的取值范围为t＞0, 所以只有C符合题意,故选：C.8﹒二次函数y＝a(x+h)2的图象的位置（）A.只与a有关B.只与h有关C.与a、h都有关D.与a、h都无关解答：二次函数y＝a(x+h)2中a决定抛物线的开口方向,h决定抛物线的位置,故选：B.9﹒已知抛物线y＝5(x－1)2,下列说法中错误的是（）A.顶点坐标为（1,0）B.对称轴为直线x＝0C.当x＞1时,y随x的增大而增大D.当x＜1时,y随x的增大而增减小解答：抛物线y＝5(x－1)2,其顶点坐标为（1,0）,故A选项不合题意；对称轴为直线x＝1,故B符合题意；当x＞1时,y随x的增大而增大,故C选项不符合题意；当x＜1时,y随x的增大而增减小,故D不符合题意,故选：B.10. 已知二次函数y＝a(x+h)2的图象如图所示,下列结论：①a＞0；②h＞0；③y的最小值是0；④x＜0时,y随x的增大而减小.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：由二次函数图象可知：抛物线开口向上,故①正确；抛物线的对称轴在y轴的左侧,则h ＞0,故②正确；抛物线的开口向上,所以顶点是最低点,y有最小值,而顶点在x轴上,所以y的最小值是0,故③正确；x＜0时图象在y轴的左侧,在左侧部分x＜－h时,y随x的增大而减小,－h＜x＜0时,y随x的增大而增大,故④错误,故3个选项都是正确的,故选：C. 二、细心填一填11. 4,－2； 12. m ＜－1； 13. 4；14. －43； 15. 以y 轴为对称轴； 16. 4；17. y 轴,≠0； 18. ①②. 11.已知关于x 的二次函数y ＝a 226aa x --,当a ＝_____时,其图象开口向上；当a ＝_____时,其图象开口向下. 解答：∵y ＝a 226aa x --是二次函数,∴a 2－2a －6＝2,解得：a 1＝－2,a 2＝4,∴当a ＝4时,其图象开口向上；当a ＝－2时,其图象开口向下, 故答案为：4,－2.12.已知坐标原点是抛物线y ＝(m +1)x 2的最高点,则m 的取值范围是___________________. 解答：∵坐标原点是抛物线y ＝(m +1)x 2的最高点, ∴该抛物线的开口向下,则m +1＜0, 解得：m ＜－1, 故答案为：m ＜－1. 13.已知二次函数y ＝12x 2的图象如图所示,线段AB ∥x 轴,交抛物线于A 、B 两点,且点A 的横坐标为2,则AB 的长度为__________.解答：当y ＝2时,x ＝±2,则A 、B 两点横坐标分别为－2,2, ∵AB ∥x 轴, ∴AB ＝22--＝4, 故答案为：4.14.二次函数y ＝－2(x －2)2的图象在对称轴左侧部分是________.（填“上升”或“下降”） 解答：∵a ＝－2,∴抛物线开口向下,故在对称轴的左侧部分是上升的, 故答案为：上升.15.二次函数y ＝－2(x +1)2图象的顶点坐标为___________,函数的最大值为____________. 解答：二次函数y ＝－2(x +1)2图象的顶点坐标为（－1,0）,函数的最大值为0,故答案为：（－1,0）,0.16.抛物线y ＝－3(x －5)2的开口方向是___________,对称轴是______________. 解答：抛物线y ＝－3(x －5)2的开口方向是向下,对称轴是直线x ＝5, 故答案为：向下,直线x ＝5.17.抛物线y ＝49(x －3)2与x 轴的交点为A ,与y 轴的交点为B ,则△AOB 的面积为_______. 解答：∵当y ＝0时,即49(x －3)2＝0,∴x ＝3, ∴A （3,0）, ∵当x ＝0时,y ＝4, ∴B （0,4）, ∴OA ＝3,OB ＝4,∴S △AOB ＝12×3×4＝6,故答案为：6.18.下列函数中,具有过原点,且当x ＞0时,y 随x 的增大而减小,这两个特征的函数有_______________.（只填序号）①y ＝－ax 2（a ＞0）；②y ＝(a －1)x 2（a ＜1）；③y ＝－2x +a 2（a ≠0）；④y ＝32x －a . 解答：具有过原点,且当x ＞0时,y 随x 的增大而减小,这两个特征的函数有：①y ＝－ax 2（a ＞0）；②y ＝(a －1)x 2（a ＜1）, 故答案为：①②. 三、解答题19.已知函数y ＝(m +3)232mm x +-是关于x 的二次函数.（1）求m 的值；（2）当m 为何值时,该函数图象的开口向下？ （3）当m 为何值时,该函数有最小值？ （4）试说明函数的增减性. 解：∵函数y ＝(m +3)232mm x +-是关于x 的二次函数,∴232230m m m ⎧+-=⎨+≠⎩,解得：124,13m m m =-=⎧⎨≠-⎩,∴当m＝－4或m＝1时,原函数为二次函数；（2）∵函数图象的开口向下,∴m+3＜0,∴m＜－3,∴当m＝－4时,该函数图象的开口向下；（3）∵该函数有最小值,∴m+3＞0,∴m＞－3,∴当m＝1时,该函数有最小值；（4）①当m＝－4时,此函数为y＝－x2,当x＞0时,y随x的增大而减小,当x＜0时,y随x的增大而增大；②当m＝1时,此函数为y＝4x2,当x＞0时,y随x的增大而增大,当x＜0时,y随x的增大而减小.20.已知,二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+3的图象交于A、B两点.（1）请根据上述要求在下面的平面直角坐标系中画出图象；（2）求△AOB的面积.解：（1）画函数图象如下：（2）由图象可知：A（－1,1）,B（3,9）,设直线y＝2x+3与y轴交点为C,则点C（0,3）,∴S△AOB ＝S△AOC+S△BOC＝12×3×1+12×3×3＝32+92＝6.21.二次函数y＝12(x－h)2的图象如图所示,已知抛物线的顶点为A,与y轴交于点B,且OA＝OB.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.解答：（1）∵点A为抛物线y＝12(x－h)2的顶点,∴A（h,0）,∴OA＝h,∵OA＝OB,且点B在y轴的正半轴上, ∴OB＝h,∴B（0,h）,把B（0,h）代入y＝12(x－h)2得：h＝12(0－h)2,解得：h1＝0（不合题意,舍去）,h2＝2,∴该抛物线的函数关系式y＝12(x－2)2,（2）由（1）知：OA＝2,∴将该抛物线向左平移4个单位即可得到它的关于y轴对称的图象,∴平移后的抛物线的解析式为：y＝12(x+2)2,故该抛物线关于y轴对称的图象表达式为y＝12(x+2)2.22.如图,直线y＝－x－2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A,且经过点B.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点C（m,－92）在该抛物线上,求m的值.解答：（1）∵直线y＝－x－2交x轴于点A,交y轴于点B, ∴A（－2,0）,B（0,－2）,∵抛物线y＝a(x+h)2的顶点为A,∴h＝2,则y＝a(x+2)2,∵该抛物线经过点B（0,－2）,∴a(0+2)2＝－2,解得：a＝－12,∴该抛物线的函数关系式为：y＝－12(x+2)2,（2）∵点C（m,－92）在该抛物线y＝－12(x+2)2上,∴－12(m+2)2＝－92,解得：m1＝1,m2＝－5,即m的值为1或－5.23.甲是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料,得到下表中的数据：x/m 5 10 20 30 40 50y/m 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5甲乙（1）请你以上表中的各对数据（x,y）作为点的坐标,尝试在图乙所给的直角坐标系中画出y关于x的函数图象；（2）猜想出用x表示y的二次函数的关系式；（3）当水面宽度为36m时,一般吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8m的货船能否在这个河段安全通过？为什么？解：（1）画出y关于x的函数图象如下：（2）猜想：y＝1200x2；（3）当水面宽度为36m时,相应的x＝18,则y＝1200x2＝1200×182＝1.62,即此时河段的最大水深为1.62m,∵货船吃水深为1.8m,而1.62m＜1.8m,∴当水面宽度为36m时,该货船不能通过这个河段.。
人教版数学九年级上册学案22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》(含答案)
22.1.2 二次函数y=ax 2的图象和性质 出示目标 1.能够用描点法作出函数y=ax 2的图象，并能根据图象认识和理解其性质. 2.初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感.预习导学阅读教材，自学“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法画出函数y=ax 2的图象，理解其性质.自学反馈 学生独立完成后集体订正①画函数图象的一般步骤:列表-描点-连线.②在同一坐标系中画出函数y=x 2、y=x 2和y=2x 2的图象. 点拨：根据y ≥0，可得出y 有最小值，此时x=0，所以以(0，0)为对称点，再对称取点.③观察上述图象的特征:形状是抛物线，开口向上，图象关于y 轴对称，其顶点坐标是(0,0)，其顶点是最低点(最高点或最低点).④找出上述三条抛物线的异同:开口向上，关于y 轴对称，顶点坐标为(0,0).⑤在同一坐标系中画出函数y=-x 2、y=-12x 2和y=-2x 2，并找出它们图象的异同. 归纳：一般地，抛物线y=ax 2的对称轴是y 轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.活动1小组讨论例1 填空:①函数y=(-2x)2图象是___，顶点坐标是____，对称轴是___，开口方向是___.②函数y=x 2、y=12x 2和y=-2x 2的图象如图所示，请指出三条抛物线.解:①抛物线，(0，0)，y 轴，向上；②根据抛物线y=ax 2中，a 的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=12x 2， 中间为y=x 2，在x 轴下方的为y=-2x 2.点拨：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.抛物线y=ax 2中，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，a 越大，开口越小.例2 已知函数y=(m+2)x 24m m +-是关于x 的二次函数.①求满足条件的m 的值；②m 为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？③m 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解:①由题意得242,20.m mm⎧+-=⎨+≠⎩解得23,2.m mm==-⎧⎨≠-⎩或∴当m=2或m=-3时，原函数为二次函数.②若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m+2>0，即m>-2. ∴只能取m=2.∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x>0时，y随x的增大而增大.③若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m+2<0，即m<-2.∴只能取m=-3.∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)，∴当m=-3时，函数有最大值为0.∴当x>0时，y随x的增大而减小.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.函数y=ax2与y=-ax2(a≠0)的图象之间有何关系？解：关于x轴对称2.已知函数y=ax2经过点(1，2).①求a的值；②当x<0时，y的值随x值的增大而变化的情况.解：①a=2 ②当x<0时，y的值随x值的增大而减小3.当m=-2时,抛物线y=(m-1)x2m m+开口向下，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.点拨：二次项系数a是决定开口方向和开口大小的，同时根据开口方向也可以判断a的正负.4.二次函数y=-2x2，当x1>x2>0，则y1与y2的关系是y1<y2.5.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( B )课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么？课堂小练一、选择题1.抛物线y=2x 2﹣3的顶点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.x 轴上D.y 轴上2.下列关于二次函数y=-0.5x 2图象的说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y 轴；④顶点(0，0).其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列函数中，当x >0时，y 随x 的增大而减小的是 （ ）A.x y =B.x y 1=C.xy 1-= D.2x y =4.关于函数y=-3x 2的性质表述正确的是（ ）A.无论x 为任何实数，y 值总为负数；B.当x 值增大时，y 值减小；C.它的图象关于y 轴对称；D.它的图象在第二、四象限5.已知（-1，y 1），（2，y 2），（-3，y 3）在函数y=x 2的图象上，则（ ）A.y 1<y 2<y 3B.y 1<y 3<y 2C.y 3<y 2<y 1D.y 2<y 1<y 36.已知（-3，y 1），（1，y 2），（2，y3）在函数y=-x 2的图象上，则（ ） A.A.y 1<y 2<y 3 B.y 1<y 3<y 2 C.y 2<y 1<y 3 D.y 3<y 2<y 17.已知二次函数y=ax 2（a>0）图象经过（-2,4），则其图象一定经过（ ）A.（2,4）B.（1，-2）C.（-1，-2）D.（2,8）二、填空题8.下列四个二次函数：①y=-x 2；②y=-2x 2；③y=0.5x 2；④y=4x 2.其中抛物线的开口大小由大到小的顺序为： .9.二次函数y=ax 2(a<0)的图象在对称轴左侧上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1<y 2时，则x 1-x 2 0.（填“>”，“<”或“=”）.10.已知点A （2，-4）在y=ax 2的图象上，则a= ，开口方向 ，当x>0时，y 值随x 值增大而 .11.已知函数y=-x 2的图象开口方向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 .12.已知函数y=2x2的图象开口方向，顶点坐标为，若A(-2，a)在该图象上，则a= .13.已知点A(2，y1)、B(5，y2)在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1 y2．(填“＞”、“=”或“＜”)14.如果抛物线y=(a﹣3)x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是．15.抛物线y=－3x2的对称轴是，顶点是，开口，顶点是最点，与x轴的交点为 .三、解答题16.已知二次函数y=ax2与y=3x+1的图象交于A（1，m），B点.（1）求a，m的值；（2）求B点坐标；（3）求△OAB的面积.参考答案17.D．18.D19.B20.答案为：C；21.答案为：A；22.答案为：B；23.答案为：A；24.答案为：③①②④；25.答案为：<；26.答案为：a=-1，下，减小；27.答案为：下，（0,0），y轴；28.答案为：上，（0,0），8；29.答案为：＞.30.答案为：a＞3．31.答案为：y、(0，0)、向下、低、(0，0) .32.解：（1）a=4，m=4；（2）B（-0.25,0.25）；（3）面积为：0.625；。
2212二次函数y=ax2的图象和性质第一学期人教版九年级数学(含答案)
2212二次函数y=ax2的图象和性质第一学期人教版九年级数学（含答案）22.1.2 二次函数y＝a某2的图象和性质点1 二次函数y＝a某2的图象1.二次函数y＝某2的对称轴是()A.直线y＝1B.直线某＝1C.y轴D.某轴2.下列图象中,是二次函数y＝－2某2的图象的是()3.已知二次函数y＝(2－a)某2的图象如图所示,则a的取值范围为. 4.函数y ＝4某2的图象的顶点坐标为()A.(1,－4)B.(0,0)C.(0,4)D.(4,0)5.在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象:①y＝某2;②y＝2某2;③y＝－某2;④y＝－2某2.对比上述函数的图象,说出函数关系式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响.知识点2 二次函数y＝a某2的性质6.若二次函数y＝a某2的图象经过点P(－2,4),则该图象必经过点()A.(2,4)B.(－2,－4)C.(－4,2)D.(4,－2)7.已知二次函数y＝某2,当某>0时,y随某的增大而.(填“增大”或“减小”)8.请写出一个顶点是原点,且自变量大于零时,函数值随着自变量的增大而减小的抛物线的解析式. 9.抛物线y＝a某2(a≠0)与直线y＝某－3交于点(1,b).(1)求a,b的值.(2)某取何值时,二次函数中的y随某的增大而减小10.已知点A(－3,y1),B(－1,y2),C(2,y3)在抛物线y＝23某2上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y1>y2>y3C.y1<y3<y2D.y2<y3<y111.二次函数y＝a某2与一次函数y＝－a某在同一平面直角坐标系中的图象可能是()二次函数与正比例函数y＝k某的图象→二次函数与一次函数y＝k某＋b(b≠0)的图象当ab>0时,y＝a某2与y＝a某＋b的图象可能是()12.如图,正方形的边长为4,以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y＝2某2与y＝－2某2的图象,则阴影部分的面积是. 13.若点A(某1,8)和点B(某2,8)(某1≠某2)均在二次函数y＝m某2(m>0)的图象上,则当某＝某1＋某2时,y的值是. 14.已知一次函数y＝a某＋b的图象上有A,B两点,它们的横坐标分别是3,－1.若二次函数y＝13某2的图象经过A,B两点.(1)请求出此一次函数的解析式;(2)设该二次函数的顶点为C,求△ABC的面积.15.如图,过点F(0,－1)的直线y＝k某＋b(k≠0)与抛物线y＝－14某2交于A(某1,y1),B(某2,y2)两点.(1)求b的值;(2)求某1某2的值.16.定义:若抛物线y的顶点为P,点A的坐标为(a,a)(a是常数,且a≠0),我们把线段PA称为抛物线y的顶割线.已知抛物线y＝m某2(m≠0).(1)求抛物线y的顶割线所在直线的函数解析式;(2)若抛物线y的顶割线长为22,且点A在抛物线y上,求m的值.22.1.2 二次函数y＝a 某2的图象和性质知识点1 二次函数y＝a某2的图象1.二次函数y＝某2的对称轴是(C)A.直线y＝1B.直线某＝1C.y轴D.某轴2.下列图象中,是二次函数y＝－2某2的图象的是(D)3.已知二次函数y＝(2－a)某2的图象如图所示,则a的取值范围为a<2 . 4.函数y＝4某2的图象的顶点坐标为(B)A.(1,－4)B.(0,0)C.(0,4)D.(4,0)5.在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象:①y＝某2;②y＝2某2;③y＝－某2;④y＝－2某2.对比上述函数的图象,说出函数关系式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响.图略.由图象可知,a的绝对值相同,两条抛物线的形状就相同,a>0时,开口向上,a<0时开口向下;|a|越大,开口越小.知识点2 二次函数y＝a某2的性质6.若二次函数y＝a某2的图象经过点P(－2,4),则该图象必经过点(A)A.(2,4)B.(－2,－4)C.(－4,2)D.(4,－2)7.已知二次函数y＝某2,当某>0时,y随某的增大而增大.(填“增大”或“减小”)8.请写出一个顶点是原点,且自变量大于零时,函数值随着自变量的增大而减小的抛物线的解析式y＝－某2(答案不唯一) . 9.抛物线y＝a某2(a≠0)与直线y＝某－3交于点(1,b).(1)求a,b的值.(2)某取何值时,二次函数中的y随某的增大而减小解:(1)把点(1,b)代入y＝某－3,得b＝1－3＝－2,∴抛物线与直线的交点的坐标为(1,－2),把点(1,－2)代入y＝a某2,得a＝－2.(2)由(1)知y＝－2某2,∴抛物线开口向下,且对称轴为y轴,∴当某>0时,y随某的增大而减小.10.已知点A(－3,y1),B(－1,y2),C(2,y3)在抛物线y＝23某2上,则y1,y2,y3的大小关系是(D)A.y1<y2<y3B.y1>y2>y3C.y1<y3<y2D.y2<y3<y111.二次函数y＝a某2与一次函数y＝－a某在同一平面直角坐标系中的图象可能是(B)二次函数与正比例函数y＝k某的图象→二次函数与一次函数y＝k某＋b(b≠0)的图象当ab>0时,y＝a某2与y＝a某＋b的图象可能是(D)12.如图,正方形的边长为4,以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y＝2某2与y＝－2某2的图象,则阴影部分的面积是8 . 13.若点A(某1,8)和点B(某2,8)(某1≠某2)均在二次函数y＝m某2(m>0)的图象上,则当某＝某1＋某2时,y的值是0 . 14.已知一次函数y＝a某＋b的图象上有A,B两点,它们的横坐标分别是3,－1.若二次函数y＝13某2的图象经过A,B两点.(1)请求出此一次函数的解析式;(2)设该二次函数的顶点为C,求△ABC的面积.解:(1)一次函数的解析式为y＝23某＋1.(2)∵二次函数的解析式为y＝13某2,∴点C的坐标为(0,0).设一次函数与y轴的交点为D,则点D的坐标为(0,1),∴CD＝1,∴S△ABC＝12CD·(某A－某B)＝12某1某4＝2.15.如图,过点F(0,－1)的直线y＝k某＋b(k≠0)与抛物线y＝－14某2交于A(某1,y1),B(某2,y2)两点.(1)求b的值;(2)求某1某2的值.解:(1)b＝－1.(2)因为b＝－1,所以直线的解析式为y＝k某－1,联立y＝k某-1,y＝-14某2,则－14某2－k某＋1＝0,所以某1某2＝－4.16.定义:若抛物线y的顶点为P,点A的坐标为(a,a)(a是常数,且a≠0),我们把线段PA称为抛物线y的顶割线.已知抛物线y＝m某2(m≠0).(1)求抛物线y的顶割线所在直线的函数解析式;(2)若抛物线y的顶割线长为22,且点A在抛物线y上,求m的值.解:(1)∵抛物线y＝m某2(m≠0)的顶点坐标是(0,0),∴设顶割线所在直线的函数解析式为y＝k 某,把点A(a,a)代入y＝k某,得a＝ka,∵a≠0,∴k＝1,∴抛物线y的顶割线所在直线的函数解析式为y＝某.(2)∵抛物线y的顶割线长为22,∴PA ＝22,∴a2＋a2＝(22)2,解得a＝－2或a＝2,∴点A的坐标为(－2,－2)或(2,2),分别代入y＝m某2,得m＝－12或m＝12.。
人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质》说课稿1
人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax2 的图象和性质》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax^2 的图象和性质》这一节，是在学生已经掌握了函数的概念、一次函数的图象和性质的基础上，进一步引导学生学习二次函数的图象和性质。
通过这一节的学习，使学生能够掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图象特征，以及掌握二次函数的性质。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的图象和性质有了初步的了解。
但是，二次函数相对于一次函数来说，图象和性质更加复杂，需要学生有一定的抽象思维能力。
此外，学生可能对二次函数的图象和性质在实际问题中的应用还不够清晰，需要教师在教学中进行引导和启发。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图象特征，掌握二次函数的性质。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探究二次函数的图象和性质。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的一般形式，二次函数的图象特征，二次函数的性质。
2.教学难点：二次函数的图象和性质在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究，提高学生的参与度和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示二次函数的图象和性质，使抽象的知识更加直观形象。
同时，利用练习题和案例，帮助学生巩固所学知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数的图象和性质，引出二次函数的一般形式，激发学生的学习兴趣。
2.探究二次函数的图象特征：让学生观察二次函数的图象，引导学生发现二次函数的顶点、开口方向等特征。
3.探究二次函数的性质：通过小组讨论，让学生归纳出二次函数的增减性、对称性等性质。