2018学年高中数学必修2课件：第1章章末分层突破 精品

(2)法一 ∵G，F分别为BC和PC的中点，∴GF∥BP， ∵GF⊄平面PAB，BP⊂平面PAB，∴GF∥平面PAB. 由(1)知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB， ∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB. ∵EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG. ∴平面EFG∥平面PAB.∵PA⊂平面PAB，∴PA∥平面EFG.
直线、平面平行的判定和性质 1.判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2) 利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定 理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒α∥β)． 2．证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判 定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平 面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个 平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行” 的相互转化．
法二 由图(1)，可知CD⊥BC，CD⊥CE， ∵BC∩CE＝C， ∴CD⊥平面BCE. ∵DF∥CE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，由图 (1)，可知BC＝CE＝1，S△BCE＝12BC×CE＝12， ∴VF-BCE＝13×CD×S△BCE＝16.
图1-2 (1)求证：CD⊥平面ABD； (2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积．
【解】 (1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD， ∴AB⊥CD. 又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B， AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD， ∴CD⊥平面ABD.
(2)法一：由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD. ∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝12. ∵M是AD的中点，∴S△ABM＝12S△ABD＝14. 由(1)知，CD⊥平面ABD， ∴三棱锥C-ABM的高h＝CD＝1， 因此三棱锥A-MBC的体积 VA-MBC＝VC-ABM＝13S△ABM·h＝112.
(2)判定线面垂直的方法 ①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)； ②线面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n＝A⇒a⊥α)； ③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)； ④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)； ⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)； ⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)． (3)面面垂直的判定方法 ①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
法二 由图(1)可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变． ∵BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF， ∴BC∥平面ADF. 同理CE∥平面ADF. ∵BC∩CE＝C，BC，CE⊂平面BCE， ∴平面BCE∥平面ADF. ∵BE⊂平面BCE，∴BE∥平面ADF.
(2)法一 ∵VF-BCE＝VB-CEF，由图(1)可知BC⊥CD， ∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面 ABCD，∴BC⊥平面DCEF. 由图(1)可知DC＝CE＝1，S△CEF＝12CE×DC＝12， ∴VF-BCE＝VB-CEF＝13×BC×S△CEF＝16.
[再练一题] 3．如图1-6，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边 形，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点． (1)求证：AP∥平面MBD； (2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD. 【导学号：60420044】
图16
【解】 (1)如图，连结AC交BD于点O，连结OM. 因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中 点． 又M为PC的中点，所以OM∥PA. 因为OM⊂平面MBD，AP⊄平面MBD，所以AP∥平面MBD.
【规范解答】 (1)在直角梯形ABCP中． ∵BC∥AP，BC＝12AP，D为AP的中点， ∴BC═∥AD，又AB⊥AP，AB＝BC. ∴四边形ABCD为正方形． ∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD. 在四棱锥P-ABCD中，∵E，F分别为PD，PC的中点， ∴EF∥CD，EF⊥AD，EF⊥PD. 又PD∩AD＝D，PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD. ∴EF⊥平面PAD. 又EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD.
[再练一题]
4．如图1-8(1)所示，在直角梯形ABEF中(图
中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿
CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连结部分
线段后围成一个空间几何体，如图1-8(2)所示．
(1)求证：BE∥平面ADF；
(2)求三棱锥F-BCE的体积．
(1)
(2)
图18
【解】 (1)证明：法一 取DF的中点G，连结AG，EG， ∵CE＝12DF， ∴EG═ ∥CD.又∵AB═ ∥CD， ∴EG═ ∥AB， ∴四边形ABEG为平行四边形， ∴BE∥AG. ∵BE⊄平面ADF，AG⊂平面ADF， ∴BE∥平面ADF.
平面图形的翻折问题
空间几何中的翻折问题是几何证明，求值问题中的重点和难点，在高考中 经常考查．
(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般 情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓 住不变量是解决问题的突破口．
(2)在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形， 也要分析翻折前的图形．
[再练一题] 2．(2015·江苏高考)如图1-4，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC， BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.
求证：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1.
图1-4
【证明】 (1)由题意知，E为B1C的中点， 又D为AB1的中点，因此DE∥AC. 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C. (2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC. 因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1. 又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C， 所以AC⊥平面BCC1B1.
巩
拓
固
展
层
层
·
·
知
链
识
接
整
高
合
章末分层突破
考
提
升
章
层
末
·
综
能
合
力
测
强
评
化
①球 ②斜二测画法 ③公理3 ④平行 ⑤相交 ⑥[0°，90°] ⑦[0°，180°]
[自我校对]
空间几何体的体积及表面积
几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算 中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、 台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用，注意分 割与组合的合理应用；关注展开与折叠问题．
(2)由正方体性质得B1D1∥BD， ∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF， ∴B1D1∥平面BDF. 连结HB，D1F， 易证HBFD1 是平行四边形， 得HD1∥BF. ∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF， ∴HD1∥平面BDF. ∵B1D1∩HD1＝D1， ∴平面BDF∥平面B1D1H.
如图1-1所示，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的 正方形，EF∥AB，EF＝32，EF与平面ABCD的距离为2，求该多面体的体积．
图1-1 【精彩点拨】 将多面体分割成一个棱锥和一个棱柱．
【规范解答】 分别取AB，CD的中点G，H，连结EG，EH，EB，EC， GH，如图所示，易知BCF-GHE为三棱柱，
如图1-5所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．
求证：(1)DE＝DA； (2)平面BDM⊥平面ECA； (3)平面DEA⊥平面ECA.
图1-5
【精彩点拨】 取EC中点F，CA中点N，连结DF，MN，BN. (1)证△DFE≌△ABD，(2)证BN⊥ECA，(3)证DM⊥平面ECA. 【规范解答】 (1)如图所示，取EC的中点F，连结DF，易知DF∥BC，∵ EC⊥BC，∴DF⊥EC.在Rt△DEF和Rt△DBA中， ∵EF＝12EC＝BD， FD＝BC＝AB， ∴Rt△DFE≌Rt△ABD， 故DE＝DA.
如图1-7，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝
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AP，D是AP的中点，E，F分别为PC，PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱
锥P-ABCD.
图1-7 (1)G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD； (2)当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG.
【精彩点拨】 (1)转化为证EF⊥平面PAD； (2)转化为证平面PAB∥平面EFG.
(2)法二：由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD， 又平面ABD∩平面BCD＝BD， 如图，过点M作MN⊥BD交BD于点N， 则MN⊥平面BCD，且MN＝12AB＝12， 又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝12， ∴三棱锥A-MBC的体积VA-MBC＝VA-BCD－VM-BCD ＝13AB·S△BCD－13MN·S△BCD＝112.
(2)因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD. 因为AD⊥PB，PD∩PB＝P，PD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以AD⊥ 平面PBD. 因为BD⊂平面PBD，所以AD⊥BD. 因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD. 又因为BD⊥AD，AD∩PD＝D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以BD ⊥平面PAD.
如图1-3，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC， CC1，C1D1，AA1的中点，