2.1.2 指数函数及其性质习题课1

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综上所述，当 a>1 时，函
③值域[2，＋∞和－1，2]是
数的值域是[2，＋∞；当 在 a 取不同范围所求出的结果， 0<a<1 时，函数的值域是
所以不能取并集.此处极易与分
－1，2].12 分③―――→ 段函数的值域混淆，认为应取
并集，从而得出值域为－1， ＋∞的错误结论.
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当 x≥0 时，求函数 f(x)的值域．
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[规范解答]
y＝a2x＋2ax－1，
[名师批注]
令t＝ax，①――――→ ①由于 a2x＝ax2，故令 t＝ax， ∴y＝g(t)＝t2＋2t－1＝ 可将原函数转化为关于 t 的二 (t＋1)2－2.(4 分) 次函数求解.很多同学常因观
当 a>1 时，②―――→ 察不出此规律而造成解题错误. ∵x≥0，∴t≥1.(5 分) ∴当 a>1 时，y≥2.(7 分) 当 0<a<1 时，②→ ∵x≥0，∴0＜t≤1.(8 分) ∵g(0)＝－1，g(1)＝2. ∴当 0<a<1 时，－1＜y≤2.(10 分)
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[随堂即时演练]
1．已知 1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx 的图象 为 ( )
解析：由于 0<m<n<1，所以 y＝mx 与 y＝nx 都是减函数， 故排除 A、B，作直线 x＝1 与两个曲线相交，交点在下 面的是函数 y＝mx 的图象，故选 C.
答案：C
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2．若函数 y＝(1－2a)x 是实数集 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围为
(3) 1.70.3,0.93.1.
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练习：利用图象，比较下列各数的大小。
（1）
2 , 3 , 1.6
0.5
1.7 -1.7
1.7
1.7
1.7
3 2 1.6
1.7 1.7
1.7
（2）
, 0.3 , 0.6
1.7
1.7
0.3
-1.7
0.5
fx = 2x
0.6
1.7
6
gx = 3x
解析：设 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)， 又 f(2)＝a2＝4， ∴f(2)· f(4)＝a2· a4＝4· 42＝43＝64.
答案：64
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1x 4．函数 f(x)＝3 －1，x∈[－1,2]的值域为________． 1 1x 解析：∵－1≤x≤2，∴9≤3 ≤3.
[类题通法] 判断一个函数是否为指数函数的方法 判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否 具备指数函数三大特征： (1)底数 a>0，且 a≠1. (2)ax 的系数为 1. (3)y＝ax 中“a 是常数”，x 为自变量，自变量在指数位 置上．
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[活学活用] 下列函数中是指数函数的是________(填序号)． ①y＝2· ( 2) ；②y＝2 1 1 ⑤y＝3－x；⑥y＝x3.
x x－1
πx ；③y＝2 ；④y＝xx；
答案：③
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思考 指数函数y=ax, y=bx, y=cx, y=dx的图像 如图，则a,b,c,d,1之间的大小关系？
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指数函数的图象问题
[例 2] (1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx， ④y＝dx 的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系为 ( B )
所以 a
2－1
1 1 ＝2，则 a＝2.
1 x－1 (2)f(x)＝(2) (x≥0)， 由 x≥0 得，x－1≥－1， 1 x－1 1 －1 于是 0<(2) ≤(2) ＝2. 所以函数的值域为(0,2]．
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拓展提高： 1、比较下列各题中两个值的大小：
(1) 1.72.5,1.73;
(2) 0.8-0.1,0.8-0.2;
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指数函数的概念
[例 1]
(1)下列函数： ( B ) B． 1 D． 3 ( C ) B．a＝1 D．a>0 且 a≠1
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①y＝2· 3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3. 其中，指数函数的个数是 A． 0 C． 2 A．a＝1 或 a＝3 C．a＝3
(2)函数 y＝(a－2)2ax 是指数函数，则
gx = 0.3x fx = 0.5x hx = 0.6x
6
5
5
4
hx = 1.6x
4
3
3
2
2
1
1
-4
-2
2
返回Байду номын сангаас
-2
2
4
2、画出图像y =5 的图像，由图指出 值域和单调区间。
变式：f x =a 定点 ？
x -1
|x|
a >0,a 1的图像恒过
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3、函数y=ax-1(a>0且a≠1)的定义域和值域 都是 0, 2 ,求a的值.
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(2)要使函数式有意义，则 x－4≠0，解得 x≠4，所以函数 y＝
1
2
x_4
的定义域为{x∈R|x≠4}．
1 1
1 x_4 x_4 因为 ≠0，所以 2 ≠1，即函数 y＝2 的值域为{y|y>0 且 x－4 y≠1}． (3)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得 x＝0，所以函数
2 y＝3
8 1x ∴－9≤3 －1≤2.
8 ∴值域为－9，2.
8 答案：－9，2
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5．已知函数 f(x)＝a a>0 且 a≠1. (1)求 a 的值；
x－1
1 (x≥0)的图象经过点(2，2)，其中
(2)求函数 y＝f(x)(x≥0)的值域． 1 解：(1)因为函数图象过点(2，2)，
1 A.2，＋∞ 1 C.－∞，2
( B．(－∞，0)
1 1 D.－2，2
)
解析：由题意知，此函数为指数函数，且为实数集 R 上的 增函数，所以底数 1－2a>1，解得 a<0.
答案：B
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3． 指数函数 y＝f(x)的图象过点(2,4)， 那么 f(2)· f(4)＝________.
[活学活用] 求函数
1x 1x y＝4 ＋2 ＋1
1x t＝2 ，则
的值域．
12 3 ＋t＋1＝t＋2 ＋4.
解：令
t>0，y＝f(t)＝t
2
因为函数
12 3 f(t)＝t＋2 ＋4在(0，＋∞)上为增函数，
所以 y∈(1，＋∞)，即函数的值域为(1，＋∞)．
－|x|
的定义域为{x|x＝0}．而
－|x|
2 y＝3
－|x|
20 ＝3 ＝1，
则函数
2 y＝3
的值域为{y|y＝1}．
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[活学活用] 求函数
1x2－2x－3 y＝2 的定义域和值域．
解：定义域为 R. ∵x －2x－3＝(x－1)
2 2
1x2－2x－3 1－4 －4≥－4，∴2 ≤2 ＝16. 1x2－2x－3 y＝2 的值域为
1x2－2x－3 又∵2 >0，∴函数
(0,16]．
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5.利用换元法求函数的值域
[典例] (12 分)已知函数 y＝a2x＋2ax－1(a>0，且 a≠1)，
2.1
2．1.2
指数函数
指数函数及其性质 习题课1
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[复习回顾]
指数函数的定义
x 函数 y＝a (a>0且a≠1) 叫做指数函数，其中 x 是自变
量，函数的定义域为 R.
指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1
图
象
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a＞1 定义域 性 质 值域 过定点 单调性 R
0＜a＜1
(0，＋∞)
过点 (0,1) 即 x＝ 0 时，y＝ 1 是 R 上的 增函数 是 R 上的 减函数
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与指数函数有关的定义域、值域问题
[例 3] 求下列函数的定义域和值域：
1
(1)y＝ 1－3 ；(2)y＝2
x
x_4
2 ；(3)y＝3
－|x|
.
[解]
(1)要使函数式有意义，则 1－3x≥0，即 3x≤1＝30，
因为函数 y＝3x 在 R 上是增函数，所以 x≤0， 故函数 y＝ 1－3x的定义域为(－∞，0]． 因为 x≤0，所以 0<3x≤1，所以 0≤1－3x＜1， 所以 1－3x∈[0,1)，即函数 y＝ 1－3x的值域为[0,1)．
A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c
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(3,4) ． (2)函数 y＝ax－3＋3(a>0，且 a≠1)的图象过定点________
[活学活用] 若函数 y＝ax＋(b－1)(a>0，且 a≠1)的图象不经过第二象限， 则有 A．a>1 且 b<1 C．0<a<1 且 b>0 B．0<a<1 且 b≤1 D．a>1 且 b≤0 ( D )