27 21指数函数及其性质习题课
第二章 2.1.2 指数函数及其性质的应用(习题课)
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1．指数方程的类型可分为： (1)形如af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的方程化为f(x)＝g(x)求解； (2)形如a2x＋b·ax＋c＝0(a>0，且a≠1)的方程，用换元法求解． 2．指数不等式的类型为af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)． (1)当a>1时，f(x)>g(x)； (2)当0<a<1时，f(x)<g(x)． 含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成同 底的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉 的不等式求解．
∴y＝13u，u∈[－1，＋∞)，
∴0＜13u≤13－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3]．
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[一题多变]
结束
1．[变条件]本例中“x∈R ”变为“x∈[－1,2]”．判断f(x)的
单调性，并求其值域．
解：由本例解析知，又x∈[－1,2]，
∴f(x)＝
1 3
x2－2x
(x∈[－1,2])在[－1,1]上是增函数，在(1,2]上
A．{0}
B．{1}
C．{0,1}
D．{1,2}
解析：令2x＝t，则4x＝(2x)2＝t2，
原方程可化为t2－3t＋2＝0，解得t＝1或t＝2.
当t＝1时，2x＝1＝20，解得x＝0，
当t＝2时，2x＝2＝21，解得x＝1.
因此原方程的解构成的集合为{0,1}，故选C.
高中数学必修1课件 指数函数及性质习题课
（2）定义域为x∈R.
∵|x|≥0,∴y= 2 故y= ( ) X 的值域为{y|y≥1}. 3 （3）定义域为R.
∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·x+1=(2x+1)2,且2x>0,∴y>1. 2
故y=4x+2x+1+1的值域为{y|y>1}.
（4）令
2x ≥0,得 x 1
x -1 ≥0,解得x<-1或x≥1. x 1
(4)中底数-4<0,所以不是指数函数.
(6)是二次函数,不是指数函数.
(7)底数x不是常数,不是指数函数.
【评析】基本初等函数:一次函数、二次函数、指数函 数及后面将要学到的对数函数、幂函数，都有一定的 形式,要注意定义的要求.
已知指数函数y=(m2+m+1)· （
1 x ） ,则m= 5
0或-1 .
2
2 , x 1 1 x1 ( ) , x 1 2 x
由图象可知函数有三个重要性质：
（1）对称性：对称轴为x=1; （2）单调性：(-∞,1］上单调递减，［1,+∞)上单调 递增； （3）函数的值域：［1,+∞). 【评析】作较复杂函数的图象（本题称分段函数），要 把各部分变换而得到一个整体，为了表示某部分是某个 函数图象的一部分，常画出一些虚线进行衬托，虚线部 分不是函数图象上的点，应注意区别.
解：
1 ∵y=(m2+m+1)· （ ）x为指数函数, 5
∴m2+m+1=1,即m2+m=0,
∴m=0或-1.
学点二 函数的定义域 值域 求下列函数的定义域、值域: （1）y=2
高中数学第二章Ⅰ2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质课后训练
2.1.2 指数函数及其性质课后训练1．已知11>a b ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b 的大小关系是( ) A ．1＞a ＞b ＞0 B ．a ＜bC ．a ＞bD ．1＞b ＞a ＞02．下列各关系中，正确的是( )A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．已知指数函数y ＝b ·a x 在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．12－4．已知指数函数f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)，则函数y ＝f (x )的图象是( )5．函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大2a ，则a ＝( ) A ．12 B ．32C ．12或32D ．12或236．若函数f (x )的定义域是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数f (2x )的定义域是______． 7．已知函数f (x )＝a x 在x ∈[－1,1]上恒有f (x )＜2，则实数a 的取值范围为__________．8．定义运算,,a a b a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩则函数f (x )＝1]． 9．已知函数y ＝9x －2·3x ＋2，x ∈[1,2]，求函数的值域．10．已知函数21()21x x f x -+=+. (1)判断并证明函数f (x )的单调性；(2)若4211(3)<3aaf f-+⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求实数a的取值范围．参考答案1答案：B2答案：D3答案：A4答案：A5答案：C6答案：(－1,0)7答案：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭∪(1,2) 8答案：19答案：解：y ＝9x －2·3x ＋2＝(3x )2－2·3x ＋2，设t ＝3x ，x ∈[1,2]，则t ∈[3,9]，则原函数化为y ＝t 2－2t ＋2(t ∈[3,9])，∵y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1，∴函数y ＝t 2－2t ＋2在[3,9]上为增函数，∴5≤y ≤65.∴所求函数的值域为{y |5≤y ≤65}．10答案：解：(1)函数f (x )在定义域R 上是减函数，证明如下：2121(21)22()121212121x x x x x x x f x -+-+-==-=-=-+++++. 设x 1，x 2是定义域内任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－1＋1221x +－(－1＋2221x +) ＝1221x +－2221x +＝212112122[21(21)]2(22)(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x +-+-=++++ ∵x 1＜x 2，且2＞1，∴22x ＞12x ，即22x －12x ＞0.又12x ＋1＞0, 22x ＋1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．所以函数f (x )在R 上是减函数．(2)由(1)知，函数f (x )在R 上是减函数． ∵4211(3)<3a a f f -+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴32a ＋1＞413a-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即32a ＋1＞3a －4.∴2a ＋1＞a －4，即a ＞－5.所以实数a 的取值范围是(－5，＋∞)．。
2.1指数函数及其性质习题课[精选文档]
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∵g(1)=21-41=-2, g(0)=20-40=0, ∴ -2≤g(x)≤0 .
故函数 g(x) 的值域为 [-2, 0].
7.设 a>0,
f(x)=
ex a
-
a ex
是 R 上的奇函数. (1)求 a 的值; (2)试判
断 f(x) 的反函数 f-1(x) 的奇偶性与单调性.
＝2－a2a
n为奇数 n为偶数 .
[例 2] 已知 x＋y＝12，xy＝9，且 x<y，求
的
值．
11 11
[分析] x2＋y2与 x2－y2可构成平方差关系，故可先用
乘法公式化简，再代入求值．
[解析] ∵x＋y＝12，xy＝9，∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy
＝108，又 x<y，∴x－y＝－6 3，
∴原式＝
＝(x＋yx)－－y2 xy
＝12－－62
9＝－ 3
3 3.
• 2．要注意结合指数函数的图象掌握指数函 数的性质，灵活运用指数函数的图象与性 质解决有关问题．
[例 3] 已知函数 f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，12)， 其中 a>0 且 a≠1.
(1)求 a 的值； (2)求函数 y＝f(x)(x≥0)的值域． [分析] 由函数 f(x)的图象过点(2，12)知，f(2)＝12可求 得 a 的值，由 f(x)的单调性可求 f(x)的值域．
• C．[解[0析,4] ) 令u＝16－4x，则y＝Du．，u(0≥,04，)
• [答因案为]4x>C0，－4x<0，所以0≤16－4x<16，
即0≤u<16，∴y＝ u∈[0,4)，故选C.
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1 3
2 3
1 2
指数函数性质应用二
x x 1
解不等式
例1、 解关于x的不等式：
(1) 2 4 3 x 1 2 x 4 ( 2) a a (a 0, a 1) 当a 1时， {x / x 3}；
(3) a 2a 5 a 2a 5
2 3x 2
练习： 1.若函数f ( x） 3 a (a 0, a 1)在1,2上 a 的最大值与最小值相差 , 求a的值。 2
x
1 1 2.已知0 x 2, 试求函数y 4 2 的最大值和最小值。 1 3.求函数y 2
x2 2 x
x
x-2
1
的值域。
1 例1：求函数 y 3
x
x 2 -2 x 3
的单调区间。
例2：求函数y 4 - 2 1的单调区间。
x 1
思考： x x 1 已知关于x的方程 4 2 m 0 有两个 实数根，求m的取值范围。
四 指数函数图像应用
探究：
画出下列函数的图象，并说明他们是由函 数f(x)=2x的图象经过怎样的变换得到的。
1y 2
x 1 x
; 2y 2 1; (3) y 2
x x
x例1 要使函数 y 2 m 的图象不经过第 二象限，则实数m的取值范围是________.
x 1
例2 若0<a<1,b<-1,则函数 f ( x ) a b 的图象 不经过第______象限.
x
y
y ax (0 a 1)
象
(0,1)
o
y=1
x
o
(0,1)
高考第一轮复习数学：27指数与指数函数-教案(含习题及答案).
2.7 指数与指数函数●知识梳理 1.指数（1）n 次方根的定义若x n=a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n 为奇数时，n n a =a.②当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a（3）分数指数幂的意义①a nm =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②anm -=nm a1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.2.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数y=a x（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象a > ）1(0y （3）指数函数的性质 ①定义域：R. ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x=0时，y=1.④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数. ●点击双基 1.3a ·6a -等于 A.－a - B.－a C.a -D. a解析：3a ·6a -=a 31·（－a ）61=－（－a ）6131+=－（－a ）21.答案：A2.（2003年郑州市质量检测题）函数y=23x 的图象与直线y=x 的位置关系是解析：y=23x =（32）x.∵32＞1，∴不可能选D.又∵当x=1时，23x ＞x ，而当x=3时，23x ＜x ，∴不可能选A 、B. 答案：C3.（2004年湖北，文5）若函数y=a x+b －1（a ＞0且a ≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有A.0＜a ＜1且b ＞0B.a ＞1且b ＞0C.0＜a ＜1且b ＜0D.a ＞1且b ＜0解析：作函数y=a x+b －1的图象. 答案：C4.（2004年全国Ⅱ，理6）函数y=－e x的图象A.与y=e x 的图象关于y 轴对称B.与y=e x的图象关于坐标原点对称C.与y=e －x 的图象关于y 轴对称D.与y=e －x的图象关于坐标原点对称 解析：图象法. 答案：D5.（2004年湖南，文16）若直线y=2a 与函数y=|a x－1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是___________________.解析：数形结合.由图象可知0＜2a ＜1，0＜a ＜21. 答案：0＜a ＜21 6.函数y=（21）222+-x x 的递增区间是___________. 解析：∵y=（21）x 在（－∞，+∞）上是减函数，而函数y=x 2－2x+2=（x －1）2+1的递减区间是（－∞，1］，∴原函数的递增区间是（－∞，1］.答案：（－∞，1］ ●典例剖析【例1】 下图是指数函数（1）y=a x ，（2）y=b x ，（3）y=c x ，（4）y=d x的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是A.a ＜b ＜1＜c ＜d ＜a ＜1＜d ＜c C.1＜a ＜b ＜c ＜d D.a ＜b ＜1＜d ＜c 剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小.解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c.解法二：令x=1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1， ∴b ＜a ＜1＜d ＜c. 答案：B【例2】 已知2xx +2≤（41）x －2，求函数y=2x －2－x的值域. 解：∵2xx+2≤2－2（x －2），∴x 2+x ≤4－2x ，即x 2+3x －4≤0，得－4≤x ≤1.又∵y=2x－2－x是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y ≤2－2－1.故所求函数y 的值域是［－16255，23］. 【例3】 要使函数y=1+2x+4xa 在x ∈（－∞，1］上y ＞0恒成立，求a 的取值范围.解：由题意，得1+2x+4xa ＞0在x ∈（－∞，1］上恒成立，即a ＞－xx421+在x ∈（－∞，1］上恒成立.又∵－xx 421+=－（21）2x －（21）x =－［（21）x +21］2+41，当x ∈（－∞，1］时值域为（－∞，－43］，∴a ＞－43.评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法. ●闯关训练 夯实基础1.已知f （x ）=a x，g （x ）=－log b x ，且lga+lgb=0，a ≠1，b ≠1，则y=f （x ）与y=g （x ）的图象A.关于直线x+y=0对称B.关于直线x －y=0对称C.关于y 轴对称D.关于原点对称 解析：lga+lgb=0⇒ab=1.∴g （x ）=－log b x=－log a －1x=log a x.∴f （x ）与g （x ）的图象关于y=x 对称. 答案：B2.下列函数中值域为正实数的是A.y=－5xB.y=（31）1－xC.y=1)21(-x D.y=x 21-解析：∵y=（31）x 的值域是正实数，而1－x ∈R ，∴y=（31）1－x的值域是正实数.答案：B3.化简3421413223)(ab b a ab b a ⋅（a ＞0，b ＞0）的结果是___________________.解析：原式=3122131223)(])[(ab ab ab b a ⋅⋅=3732316123b a b a b a ⋅=373234610b a b a =ba . 答案：ba4.满足条件m 2m ＞（m m）2的正数m 的取值范围是___________________.解析：∵m ＞0，∴当m ＞1时，有m 2＞2m ，即m ＞2；当0＜m ＜1时，有m 2＜2m ，即0＜m ＜1. 综上所述，m ＞2或0＜m ＜1. 答案：m ＞2或0＜m ＜15.（2004年湖北，理7）函数f （x ）=a x+log a （x+1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为a ，则a 的值为A.41B.21C.2D.4解析：f （x ）在［0，1］上是单调函数，由已知f （0）+f （1）=a ⇔1+log a 1+a+log a 2=a ⇔log a 2=－1⇔a=21. 答案：B6.已知9x－10·3x+9≤0，求函数y=（41）x －1－4（21）x+2的最大值和最小值. 解：由9x－10·3x+9≤0得（3x－1）（3x－9）≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x ≤2.令（21）x=t ，则41≤t ≤1，y=4t 2－4t+2=4（t －21）2+1.当t=21即x=1时，y min =1；当t=1即x=0时，y max =2.培养能力7.若a 2x+21·a x －21≤0（a ＞0且a ≠1），求y=2a 2x －3·a x +4的值域. 解：由a 2x +21·a x －21≤0（a ＞0且a ≠1）知0＜a x≤21.令a x =t ，则0＜t ≤21，y=2t 2－3t+4.借助二次函数图象知y ∈［3，4）.8.（2004年全国Ⅲ，18）解方程4x +|1－2x|=11.解：当x ≤0时，1－2x≥0. 原方程⇔4x－2x－10=0⇔2x=21±241⇔2x =21－241＜0（无解）或2x =21+241＞1知x ＞0（无解）.当x ＞0时，1－2x＜0.原方程⇔4x+2x－12=0⇔2x=－21±27⇔2x =－4（无解）或2x=3⇔x=log 23（为原方程的解）.探究创新9.若关于x 的方程25－|x+1|－4·5－|x+1|－m=0有实根，求m 的取值范围.解法一：设y=5－|x+1|，则0＜y ≤1，问题转化为方程y 2－4y －m=0在（0，1］内有实根.设f （y ）=y 2－4y －m ，其对称轴y=2，∴f （0）＞0且f （1）≤0，得－3≤m ＜0.解法二：∵m=y 2－4y ，其中y=5－|x+1|∈（0，1］，∴m=（y －2）2－4∈［－3，0）. ●思悟小结1.利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程.2.指数函数y=a x（a ＞0，a ≠1）的图象和性质受a 的影响，要分a ＞1与0＜a ＜1来研究.3.指数函数的定义重在“形式”，像y=2·3x，y=2x1，y=32+x ，y=3x+1等函数都不符合形式y=a x（a ＞0，a ≠1），因此，它们都不是指数函数.●教师下载中心 教学点睛1.本小节的重点是指数函数的图象和性质的应用.对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论.用好用活指数函数单调性，是解决这一类问题的关键.2.对可化为a 2x +b ·a x +c=0或a 2x +b ·a x+c ≥0（≤0）的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应提醒学生注意换元后“新元”的范围.拓展题例【例1】 若60a ＝3，60b＝5.求12)1(21b b a ---的值. 解：a=log 603，b ＝log 605， 1－b ＝1－log 605＝log 6012，1－a －b ＝1－log 603－log 605＝log 604，bb a ---11＝12log 4log 6060＝log 124， 12)1(21b b a ---＝124log 2112＝122log 12＝2.【例2】 方程2x=2－x 的解的个数为______________.解析：方程的解可看作函数y=2x和y=2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象（如下图）.答案：1评述：无法直接求解的方程问题，常用作图法来解，注意数形结合的思想.。
指数函数性质及应用习题课
练习：求函数y (1)x2 2x的单调性及其值域 3
题型五 单调性应用简单的指数不等式
例1：自我评价P84 2题
例2：a－5x＞ax＋7(a＞0，且a≠1)，求x的取值范
围．
变式：若将“a－5x＞ax＋7(a＞0，且a≠1)”改为 “(a2＋a＋2)－5x＞(a2＋a＋2)x＋7”，如何求解？
题型一 图像过定点问题 由 于 函 数 y ＝ ax(a ＞ 0, 且 a≠1) 恒 经 过 定 点
(0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一 些丰富多彩的定点问题
例1.函数y＝ax-3＋2(a＞0,且a≠1)必经
过哪个定点？ (3, 3)
题型二 求定义域、值域问题：
(利用复合函数,结合图象法)
二 对称问题 例1 说出下列函数的图象与指数函数 y=2x
的图象的关系,并画出它们的示意图.
(1) y 2x (2) y 2x (3) y 2x
y
（x,y)和(-yx,-y)关
y
于原点对称！
o
x
o
x
o
x
（x,y)和(-x,y) 关于y轴对称！
（x,y)和(x,-y)关 于x轴对称！
(1) y 2 x
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-4 -2 O
2 4x
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-4 -2 O
2 4x
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-4 -2 O
2 4x
作出图象，显示出函数数据表
x
-3
-2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2 4
2020-2021学年北师大版高中数学必修一《指数函数及其性质》习题课及解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修一习题课课时目标1.提高学生对指数与指数幂的运算能力.2.进一步加深对指数函数及其性质的理解.3.提高对指数函数及其性质的应用能力．1．下列函数中，指数函数的个数是( )①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3.A ．0B ．1C ．2D ．32．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝2x＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．33．对于每一个实数x ，f(x)是y ＝2x与y ＝－x ＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．无最大值 4．将22化成指数式为________．5．已知a ＝40.2，b ＝80.1，c ＝(12)－0.5，则a ，b ，c 的大小顺序为________．6．已知12x ＋12x ＝3，求x ＋1x的值．一、选择题 1．()1222-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值为( )A. 2 B ．－ 2 C.22 D ．－222．化简3(a －b )3＋(a －2b )2的结果是( )A ．3b －2aB ．2a －3bC ．b 或2a －3bD ．b3．若0<x<1，则2x ，(12)x ，(0.2)x之间的大小关系是( )A ．2x <(0.2)x <(12)xB ．2x <(12)x<(0.2)xC ．(12)x <(0.2)x <2xD ．(0.2)x<(12)x <2x4．若函数则f(－3)的值为( ) A.18 B.12 C ．2 D ．85．函数f(x)＝a x －b的图像如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A ．a>1，b>0B ．a>1，b<0C ．0<a<1，b>0D ．0<a<1，b<06．函数f(x)＝4x＋12x 的图像( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称二、填空题7．计算：130.064-－(－14)0＋160.75＋120.01＝________________.8．已知10m ＝4,10n＝9，则3210m n -＝________.9．函数y ＝1－3x(x ∈[－1,2])的值域是________． 三、解答题10．比较下列各组中两个数的大小： (1)0.63.5和0.63.7；(2)(2)－1.2和(2)－1.4；(3)1332⎛⎫ ⎪⎝⎭和2332⎛⎫ ⎪⎝⎭；(4)π－2和(13)－1.3.11．函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．能力提升12．已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．13．根据函数y＝|2x－1|的图像，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？习题课双基演练1．B [只有③中y ＝3x是指数函数．]2．A [因f(x)为定义在R 上的奇函数，所以f(0)＝0， 即1＋b ＝0，b ＝－1.所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.]3．A [当x ≤0时，f(x)＝2x； 当x>0时，f(x)＝－x ＋1. 显然，其最大值是1.] 4．342 解析22＝122×11222⎛⎫ ⎪⎝⎭＝122×142＝342.5．b<a<c解析 a ＝20.4，b ＝20.3，c ＝20.5.又指数函数y ＝2x在R 上是增函数， ∴b<a<c. 6．解 由12x ＋12x -＝3得(12x ＋12x-)2＝9，即x ＋21122x-＋x －1＝9，则x ＋x －1＝7，即x ＋1x ＝7.作业设计 1．C [原式＝122-＝12＝22.] 2．C [原式＝(a －b)＋|a －2b|＝⎩⎨⎧b ， a ≤2b ，2a －3b ， a>2b.]3．D [当0<x<1时，2x>1，(12)x<1，对于(12)x ，(0.2)x不妨令x ＝12，则有0.5>0.2.]4．A [f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝2－3＝18.]5．D [f(x)＝a x －b的图像是由y ＝a x的图像左右平移|b|个单位得到的，由图像可知f(x)在R 上是递减函数，所以0<a<1，由y ＝a x 过点(0,1)得知y ＝a x的图像向左平移|b|个单位得f(x)的图像，所以b<0.]6．D [∵f(－x)＝4－x ＋12－x ＝1＋4x 2x ＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图像关于y 轴对称．]7.485 解析 原式＝()1330.4-－1＋()3442＋()1220.1＝0.4－1－1＋23＋0.1＝52－1＋8＋110＝485.8.83解析 因为10m＝4,10n＝9，所以3210m n-＝103m －n＝103m ÷10n ＝43÷9＝83.9．[－8，23]解析 因为y ＝3x是R 上的单调增函数，所以当x ∈[－1,2]时，3x∈[3－1,32]，即－3x∈[－9，－13]，所以y ＝1－3x∈[－8，23]．10．解 (1)考察函数y ＝0.6x.因为0<0.6<1，所以函数y ＝0.6x在实数集R 上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7. (2)考察函数y ＝(2)x.因为2>1，所以函数y ＝(2)x在实数集R 上是单调增函数． 又因为－1.2>－1.4， 所以(2)－1.2>(2)－1.4.(3)考察函数y ＝(32)x .因为32>1，所以函数y ＝(32)x 在实数集R 上是单调增函数．又因为13<23，所以1332⎛⎫⎪⎝⎭<2332⎛⎫ ⎪⎝⎭. (4)∵π－2＝(1π)2<1，(13)－1.3＝31.3>1，∴π－2<(13)－1.3.11．解 (1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．(2)若0<a<1，则f(x)在[1,2]上递减，∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)．综上所述，所求a 的值为12或32.12．解 ∵f(x)＝a a 2－1(a x－1a x )，∴函数定义域为R ，设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，f(x 1)－f(x 2)＝a a 2－1(1x a －11x a －2x a ＋21x a) ＝a a 2－1(1x a －2xa ＋21x a －11x a ) ＝a a 2－1(1x a －2x a ＋1212x x x x a a a a ) ＝a a 2－1(1x a －2x a )(1＋121x x a a) ∵1＋121x x a a>0，∴当a>1时，1x a <2x a ，a a 2－1>0， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，f(x 1)<f(x 2)，f(x)为增函数，当0<a<1时，1xa >2x a ，a a 2－1<0，∴f(x 1)－f(x 2)<0，f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)为增函数． 综上，f(x)在R 上为增函数． 13.解 函数y ＝|2x－1|的图像可由指数函数y ＝2x的图像先向下平移一个单位长度，然后再作x 轴下方的部分关于x 轴的对称图形，如图所示．函数y ＝m 的图像是与x 轴平行的直线，观察两图像的关系可知：当m<0时，两函数图像没有公共点，此时方程|2x－1|＝m 无解；当m ＝0或m ≥1时，两函数图像只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m 有一解；当0<m<1时，两函数图像有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m 有两解．。
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? ＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.
所以， n (a－b)n＋n (a＋b)n
＝?????2－a2a
n为奇数 n为偶数 .
[例 2] 已知 x＋y＝12，xy＝9，且 x<y，求
的
值．
11 11
[分析] x2＋y2与 x2－y2可构成平方差关系，故可先用
乘法公式化简，再代入求值．
[解析] ∵x＋y＝12，xy＝9，∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy
知，f(x)>0，又由条件知 f(x)＝f[(x－y)＋y]＝f(x－y)·f(y)，
∴f(x－y)＝ff((xy))(f(y)≠0)．
5.已知函数 f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x 的定义域为 [0, 1]. (1)求 g(x) 的解析式; (2)求 g(x) 的单调区间, 确定其增减 性并用定义证明; (3)求 g(x) 的值域. 解: (1)∵f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, ∴f(a+2)=3a+2=18. ∴3a=2.
x的取值范围，故 t>0，这就是换元后的以 t
为自变量的函数 y＝t2＋t＋1的定义域．
一、选择题
1．关于 x 的方程???12???|x|＝a＋1 有解，则 a 的取值范围是
()
A．0<a≤1
B．－1<a≤0
C．a≥1
D．a>0
? [ 答案] B
[分析]
当a＋1的值在函数 y＝
?1? ??2??
|x|的值域内时，方
程有解，否则无解．
[解析 ]
设
f(x)＝
?1 ??2
??|x ?
|，其图象如下
∴0< f(x)≤1
∴0< a＋1≤1
∴ － 1< a≤ 0.
? 2．设a4x≥ax2＋4(a>0，且a≠1)，则a的取值 范围是( )
? A．a>1
B．0<a<1
? C．a>0，且a≠1
D．不确定
? [ 答案] B
? [答因案为]4x>0C，－4x<0，所以0≤16－4x<16，
即0≤u<16，∴y＝ u∈[0,4，) 故选C.
? 二、解答题 ? 4．若函数y＝f(x)满足以下条件： ? ①对于任意的x∈R，y∈R，恒有f(x＋y)＝
f(x)f(y)； ? ②x∈(0，＋∞)时，f(x)∈(1，＋∞)． ? (1)求f(0)的值；
[例1] 已知a<b<0，n>1，n∈N*，化简 n (a－b)n ＋
n (a＋b)n.
[ 分析 ]
应用 n
an＝???
??
a －a
a>0或n为奇数 a<0且n为偶数
求解．
? [ 解析] ∵a<b<0，∴a－b<0，a＋b<0，
当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
? 当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|
? [ 解析] ∵(x2＋4)－4x＝(x－2)2≥0， ? ∴x2＋4≥4x，又a4x≥ax2＋4，
? ∴函数y＝ax是减函数，∴0<a<1.选B.
? 3．(2010·重庆文，4)函数 域是
的值
()
? A．[0，＋∞)
B．[0,4]
? C．[解[0析,4] ) 令u＝16－4x，则y＝Du．，u(0≥,40，)
＋2 (x≤1)都是增函数，且在 (－∞，1]上的最大值
不．大．于．在(1，＋∞)上的最小值．
[解析] 因为f(x)在R上是增函数，故结合图象知
?a>1
?
? ?
4－a2>0
? ??
4－a2＋2≤a
，解得 4≤a<8，故选 D.
? 3．注意将指数型函数的问题转化为指数函 数的图象与性质问题．
[例5] [解析]
＝108，又 x<y，∴x－y＝－6 3，
∴原式＝
＝1－2－62
9＝－ 3
3 3.
＝(x＋yx)－－y2 xy
? 2．要注意结合指数函数的图象掌握指数函 数的性质，灵活运用指数函数的图象与性 质解决有关问题．
[例 3] 已知函数 f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点 (2，12)， 其中 a>0 且 a≠1.
(1)求 a 的值； (2)求函数 y＝f(x)(x≥0)的值域． [分析] 由函数 f(x)的图象过点 (2，12)知，f(2)＝12可求 得 a 的值，由 f(x)的单调性可求 f(x)的值域．
[解析] (1)∵函数图象过点 (2，12)， ∴a2－1＝12，则a＝12. (2)f(x)＝(12)x－1(x≥0)， 由x≥0得，x－1≥－1， ∵y＝???12???u是减函数， u＝x－1≥－1，∴0<y≤2， 所以函数的值域为 (0,2]．
∴g(x)=(3a)x-4x=2x-4x. 即 g(x)=2x-4x.
(2)令 t=2x, 则函数 g(x) 由 y=t-t2 及 t=2x 复合而得. 由已知 x? [0, 1], 则 t? [1, 2], ∵t=2x 在 [0, 1] 上单调递增, y=t-t2 在 [1, 2] 上单调递减,
[例 4]
??ax 若函数 f(x)＝??????4－a2???x＋2
x>1 x≤1
是 R 上的
增函数，则实数 a 的取值范围为( )
A．(1，＋∞)
B．(1,8)
C．(4,8)
D．[4,8)
[分析] f(x)在Hale Waihona Puke R 上是增函数，故在(－∞，1]上
和(1，＋∞)上都单调增，即 y＝ax(x>1)和 y＝(4－a2)x
? [解析] (1)∵f(x＋y)＝f(x)f(y)对一切实数 x， y成立，
? ∴取x＝y＝0，有f(0)＝f2(0)， ? ∴f(0)＝0或f(0)＝1， ? 若f(0)＝0，则f(x＋0)＝f(0)f(x)＝0， ? 这与x>0时，f(x)>1矛盾，∴f(0)＝1.
(2)证明：对任意 x∈R，f(x)＝f(2x＋2x)＝f 2(2x)结合(1)
习题课
? 本节重点：①分数指数幂的运算性质． ? ②指数函数的图象与性质． ? 本节难点：指数型复合函数的性质．
1．在指数幂的运算中，要注意n an与(n a)n 的区别．牢 固掌握：
①分数指数幂的定义
m
an＝
n
am及限制条件 (a>0，m，
n∈N*，n>1)；②a－x＝a1x；③指数幂的运算性质．
求函数 y＝???14???x＋???12???x＋1的值域． 令t＝???12???x，则t>0，
∴y＝t2＋t＋1＝(t＋
1 2
)2＋
3 4
，在(0，＋∞)上为增函
数，∴y>1，
∴此函数值域为 (1，＋∞)．
[点评] 注意换元后用 t代替了 ???12???x，故“新元” t的取
值范围应是
?1? ??2??