新(浙江专用)高考数学二轮专题突破 专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 理

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1．(2015·福建)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D ．32．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52C ．3D ．2 3．(2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝b cx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．4．(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质特别是离心率.2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系弦长、中点等热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4，则∠F 1PF 2等于( )A ．30° B．60° C．120° D．150°(2)(2015·杭州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为( ) A.x 22－y 26＝1 B.x 26－y 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.x 23－y 2＝1思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)(2014·大纲全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 (2)(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝ 1－b a 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．(2)(2015·杭州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±22xC ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．跟踪演练2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 (2)(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标； (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 (2015·江苏改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a2c的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程．思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 (1)(2015·四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.433B ．2 3C ．6D ．4 3(2)(2015·浙江杭州二中月考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝11．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上有两点A ，B ，若直线l 的方程为x ＋2y －2＝0，且AB ⊥l ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率为( )A.14B.12C.22D.322．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点(1，32)在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．提醒：完成作业 专题五 第2讲二轮专题强化练专题五第2讲 椭圆、双曲线、抛物线A 组 专题通关1．已知椭圆x 29＋y 2m＝1(0<m <9)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|＋|BF 2|的最大值为10，则m 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1D. 32．(2015·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 3．(2015·课标全国Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3 D. 24．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y5．(2014·课标全国Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.946．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．7．已知点P (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，线段PF 与抛物线C 的交点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，若∠PQF ＝90°，则p ＝________.8．(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________． 9．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．10．(2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．B 组 能力提高11．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12 B.23 C.34D.4312．(2015·浙江六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P为双曲线上任一点，且PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是[－34c 2，－12c 2]，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(1，2] B ．[2，2] C ．(1，2)D ．[2，＋∞)13．已知抛物线y 2＝4x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且与双曲线交于A ，B两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积为32，则双曲线的离心率为________．14．已知椭圆C 的长轴左、右顶点分别为A ，B ，离心率e ＝22，右焦点为F ，且AF →·BF →＝－1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P 是椭圆C 上的一动点，点P 关于坐标原点的对称点为Q ，点P 在x 轴上的射影点为M ，连接QM 并延长交椭圆于点N ，求证：∠QPN ＝90°.学生用书答案精析第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 高考真题体验1．B [由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3， ∴|PF 2|－|PF 1|＝6， ∴|PF 2|＝9，故选B.]2．C [∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34. 如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′， 设l 与x 轴的交点为A ， 则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.] 3.22解析 方法一 设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝bcx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |. 在Rt△MOF 中，tan∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc，|OF |＝c ， 可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bc a ，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c2a.由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c2a＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22. 方法二 设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ＝y 0x 0－c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ y 02＝b c ·x 0＋c 2，y 0x 0－c ·b c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝c 2c 2－a 2a 2，y 0＝2bc 2a 2，又∵(x 0，y 0)在椭圆上，∴c 22c 2－a 22a 6＋4c4a4＝1，令e ＝c a，则4e 6＋e 2＝1， ∴离心率e ＝22. 4．x 2＋32y 2＝1解析 设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.热点分类突破 例1 (1)C (2)C解析 (1)由题意得a ＝3，c ＝7， 所以|PF 1|＝2. 在△F 2PF 1中，由余弦定理可得cos∠F 2PF 1＝42＋22－2722×4×2＝－12.又因为cos∠F 2PF 1∈(0°，180°)，所以∠F 2PF 1＝120°.(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，故可知ba＝3，又∵焦点坐标为(2,0)， ∴c ＝a 2＋b 2＝2， 解得a ＝1，b ＝ 3. ∴双曲线方程为x 2－y 23＝1.跟踪演练1 (1)A (2)D 解析 (1)由e ＝33得c a ＝33.① 又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3， 代入①得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2， 故C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba＝3，即2b＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7， 由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7，② 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3， 所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.例2 (1)3－1 (2)C解析 (1)直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt△MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c ＝3－1.(2)由题意作出示意图， 易得直线BC 的斜率为a b，cos∠CF 1F 2＝b c，又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2| 可得|CF 1|－ |CF 2|＝|BF 1| ＝2a ， |BF 2|－|BF 1| ＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a 22×2a ×2c ⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒(b a )2－2(b a )－2＝0⇒b a＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x . 跟踪演练2 (1)D (2)A解析 (1)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2， 当kQF 2存在时，则kF 1P ＝cya 2＋c 2，kQF 2＝cyb 2－2c 2，由kF 1P ·kQF 2＝－1，得y 2＝a 2＋c 2·2c 2－b 2c2，y 2≥0， 但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0， 即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当kQF 2不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0，此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1， 即所求的椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. (2)由题作出图象如图所示．由x 2a 2－y 2b2＝1可知A (a,0)，F (c,0)． 易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a c －a，∴k CD ＝a a －cb 2. ∵k AC ＝b 2aa －c ＝b 2a a －c，∴k BD ＝－a a －cb 2. ∴l BD ：y －b 2a ＝－a a －cb 2(x －c )，即y ＝－a a －c b 2x ＋ac a －c b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a a －cb 2(x －c )，即y ＝a a －c b 2x －ac a －c b 2－b 2a.∴x D ＝c ＋b 4a 2a －c. ∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2a －c .∴b 4a 2c －a<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ， ∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2，∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<ba<1.例3 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝2， 又|CP |＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±21＋k21＋2k2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2x 2－x 12＝221＋k 21＋2k2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与直线l 平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2， 从而|PC |＝23k 2＋11＋k2|k |1＋2k2. 因为|PC |＝2|AB |， 所以23k 2＋11＋k 2|k |1＋2k 2＝421＋k21＋2k2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1. 跟踪演练3 (1)D (2)D解析 (1)由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆的方程有，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， 两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0.∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)， ∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2代入上式得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2. ∵直线AB 的斜率为0＋13－1＝12，∴b 2a 2＝12⇒a 2＝2b 2， ∵右焦点为F (3,0)，∴a 2－b 2＝c 2＝9， 解得a 2＝18，b 2＝9， 又此时点(1，－1)在椭圆内， ∴椭圆方程为x 218＋y 29＝1.高考押题精练1．C [由条件可知直线l 的斜率为－22，又AB ⊥l ，可知直线AB 的斜率为2，故ab＝2，故a 2b 2＝2，由此可知a >b >0，则椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的焦距为2c ，则a 2a 2－c 2＝2，解得椭圆的离心率为ca ＝22.] 2．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点(1，32)，所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a ＝2，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y23＝1消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2， 所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝36t24＋3t22＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t2，所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627， 化简得18t 4－t 2－17＝0， 即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0， 解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)，又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t2＝11＋t 2， 所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.二轮专题强化练答案精析第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1．A [已知椭圆x 29＋y 2m＝1(0<m <9)中，a 2＝9，b 2＝m .|AF 2|＋|BF 2|＝4a －|AB |≤10，∴|AB |≥2，|AB |min ＝2b 2a ＝2m3＝2，解得m ＝3.]2．C [因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.]3．D [如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.] 4．D [∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .] 5．D [由已知得焦点坐标为F (34，0)，因此直线AB 的方程为y ＝33(x －34)， 即4x －43y －3＝0.方法一 联立抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝y A ＋y B2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋－432＝38， 因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝94.]6．7解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为 |PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7. 7. 2解析 由抛物线的定义可得|MQ |＝|MF |，F (p 2，0)，又PQ ⊥QF ，故M 为线段PF 的中点，所以M (p 4，1)，把M (p4，1)，代入抛物线y 2＝2px (p >0)得，1＝2p ×p4，解得p ＝2，故答案为 2. 8.32解析 由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－b ax .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·bax ，∴x ＝2pb a，y ＝2pb 2a2，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴k AF ＝2pb2a 2－p22pba.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ， ∴k AF ·k OB ＝－1，∴2pb2a 2－p22pb a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.9．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AM →＝2MB →，得x 1＝－2x 2， 又⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k 3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2得(8k 3＋4k 2)2＝43＋4k 2，解得k 2＝14，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.10．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为 y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2，②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22.当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 11．D [抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2,3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12.因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8,8)，所以直线BF 的斜率为43.]12．B [设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2(1＋n 2b 2)，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －m ，－n )，PF 2→＝(c －m ，－n )，则PF 1→·PF 2→＝m 2－c 2＋n 2＝a 2(1＋n 2b 2)－c 2＋n 2＝n 2(1＋a 2b 2)＋a 2－c 2≥a 2－c 2(当n ＝0时取等号)．则PF 1→·PF 2→的最小值为a 2－c 2，由题意可得－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，即14c 2≤a 2≤12c 2，即12c ≤a ≤22c ，则2≤e ≤2，故选B.]13．2解析 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，由题意知，双曲线的左焦点坐标为(－1,0)，即c ＝1，且A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )， 因为△AOB 的面积为32， 所以12×2×b2a ×1＝32，即b 2a ＝32，所以，1－a2a ＝32，解得a ＝12，∴e ＝c a ＝112＝2.14．(1)解 依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则A (－a,0)，B (a,0)，F (c,0)， 由e ＝c a ＝22，得a ＝2c .①由AF →·BF →＝－1，得(c ＋a,0)·(c －a,0)＝c 2－a 2＝－1.② 联立①②，解得a ＝2，c ＝1， 所以b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由题意知x i ≠0，y i ≠0(i ＝1,2)， 且x 1≠x 2，又Q (－x 1，－y 1)，M (x 1,0)．由Q ，M ，N 三点共线，知k QM ＝k QN ， 所以y 12x 1＝y 2＋y 1x 2＋x 1.③又k PQ k PN ＋1＝y 1x 1·y 2－y 1x 2－x 1＋1.④把③代入④，得k PQ k PN ＋1＝2y 2＋y 1x 2＋x 1·y 2－y 1x 2－x 1＋1＝x 22＋2y 22－x 21＋2y 21x 22－x 21.⑤因为点P ，N 在椭圆上，所以x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，⑥把⑥代入⑤，得k PQ k PN＋1＝2－2x22－x21＝0，即k PQ k PN＝－1，所以∠QPN＝90°.。