人教版高中数学必修4三角函数
高中人教版数学必修4课件:第1章-1.3-第1课时-公式二、公式三和公式四-

α+cos 2
α2-1=m22-1.]
(2)[解] ∵cos(α-75°)=-13<0,且 α 为第四象限角,
∴sin(α-75°)=- 1-cos2α-75°
=-
1--132=-2 3 2,
∴sin(105°+α)=sin[180°+(α-75°)]
=-sin(α-75°)=2
2 3.
1.例 3(2)条件不变,求 cos(255°-α)的值.
sin2α-75°+cos2α-75°=1,
由csoinsαα--7755°°=-5,
解得sinα-75°=-52626, 或
cosα-75°=
26 26
sinα-75°=5 2626,
(舍)
cosα-75°=-
26 26 .
所以sin(105°+α)=sin[180°+(α-75°)]
=-sin(α-75°)=5
(1)1 [cos-siαntπa-nα7π+α=cos αstainnαπ+α=cossαin·tαan α=ssiinn αα= 1.]
(2)[解] 原式=[-sinα+-1c8o0s°α]·c·soisn1α80°+α =sinα+1s8in0°αccoossα180°+α =-ssininααc-oscαos α=1.
[探究问题] 1.利用诱导公式化简 sin(kπ+α)(其中 k∈Z)时,化简结果与 k 是否有关? 提示:有关.因为k是奇数还是偶数不确定. 当k是奇数时,即k=2n+1(n∈Z),sin(kπ+α)=sin(π+α)=-sin α; 当k是偶数时,即k=2n(n∈Z),sin(kπ+α)=sin α.
明确三角函数式化简的原则和方向 1切化弦,统一名. 2用诱导公式,统一角. 3用因式分解将式子变形,化为最简.
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系

故 tan ������
1 sin2������
-1
=
tan
������
1-sin2������ sin2������
=
tan
������
cos������ sin������
=
sin������ cos������
·-scions������������
=
−1.
(2)证法一:sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α
sin������ 1 + cos������ ∴ 1-cos������ = sin������ .
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型四 已知 tan α 的值求其他代数式的值
【例4】 已知tan α=7,求下列各式的值.
(1)
sin������+cos������ 2sin������-cos������
则 sin α=−
1-cos2 ������
=
−
15 17
,
tan
������
=
sin������ cos������
=
185.
反思已知cos α(或sin α)求tan α时,先利用平方关系求出sin α(或 cos α),再利用商关系求出tan α.注意在求sin α(或cos α)时,往往需分 类讨论α所在的象限.
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统 一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种:
(1)直接法——从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比 较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)综合法——由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到 所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.
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第四章 三角函数
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考点目标定位
1.角的概念的推广.弧度制.
2.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.
3.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
4.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
5.正弦函数、余弦函数的图象和性质.周期函数.
6.函数y=Asin(ωx+φ)的图象.正切函数的图象和性质.已知三角函数值求角. 复习方略指南
本部分内容历来为高考命题的热点,其分值约占15%,一般都是二或三个小题,一个大题.小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用.大题则着重考查y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及三角函数式的恒等变形.试题大都来源于课本中的例题、习题的变形,一般为容易题或中档题.因此复习时应“立足于课本,着眼于提高”. 本章内容公式多,三角函数作为工具,和其他知识间的联系密切,因此复习中应注意:
1.弄清每个公式成立的条件,公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.切不可死记硬背,要在灵、活、巧上下功夫.
2.本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向.在本章复习中,应深刻理解数与形的内在联系,理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现等价转化思想.
3.通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法,并从中体会“变换美”.
4.有关三角函数方面的应用题,大都需要用“辅助角公式”asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定,φ角的值由tan φ=a
b 确定)将函数化成y=Asin(ωx+φ)+h
的形式,再求其最值或周期等.。
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高中数学必修4公式大全三角公式汇总一、特殊角的三角函数值二、任意角的三角函数在角α的终边上任取..一点),(y x P ,记:22y x r +=,正弦:r y =αsin 余弦:r x =αcos 正切:xy=αtan 三、同角三角函数的基本关系式商数关系:αααcos sin tan =, 平方关系:1cos sin 22=+αα αα2cos 1sin -±= αα2sin 1cos -±=四、诱导公式(记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限一般形式为(απ±2k)) ◆()()()zk , tan 2tan z k , cos 2cos zk , sin 2sin ∈=+∈=+∈=+απααπααπαk k k ❖()()()ααααααtan tan cos cossin sin -=-=--=- ♦()()()ααπααπααπtan tan cos cos sin sin -=--=-=- ⌧()()()ααπααπααπtan tan cos cos sin sin =+-=+-=+ ⍓ααπααπsin 2cos cos 2sin =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-ααπααπsin 2cos cos 2sin -=⎪⎭⎫ ⎝=⎪⎭⎫⎝⎛+五、两角和差的正弦、余弦和正切公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-六、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=七、降幂公式22sin cos sin ααα=22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+= 八、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a其中:角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同,ab=ϕtan 。
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高中三角函数公式大全三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB-1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB1tanB tanA +- cot(A+B) =cotAcotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =Atan 12tanA 2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a -sina-sinb=2cos 2ba +sin 2ba - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式sin(-a) = -sinacos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sinacos(π-a) = -cosasi n(π+a) = -sinacos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a acos sin万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2aa+ cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa +-tana=2)2(tan 12tan2a a- 其它公式 a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a•sin(a)-b•cos(a) =)b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2 其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =acos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin 〔2kπ+α〕= sinαcos 〔2kπ+α〕= cosαtan 〔2kπ+α〕= tanαcot 〔2kπ+α〕= cotα公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin 〔π+α〕= -sinαcos 〔π+α〕= -cosαtan 〔π+α〕= tanαcot 〔π+α〕= cotα公式三:任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:sin 〔-α〕= -sinαcos 〔-α〕= cosαtan 〔-α〕= -tanαcot 〔-α〕= -cotα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin 〔π-α〕= sinαcos 〔π-α〕= -cosαtan 〔π-α〕= -tanαcot 〔π-α〕= -cotα公式五:利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin 〔2π-α〕= -sinαcos 〔2π-α〕= cosαtan 〔2π-α〕= -tanαcot 〔2π-α〕= -co tα公式六:2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系: sin 〔2π+α〕= cosα cos 〔2π+α〕= -sinα tan 〔2π+α〕= -cotα cot 〔2π+α〕= -tanα sin 〔2π-α〕= cosα cos 〔2π-α〕= sinα tan 〔2π-α〕= cotα cot 〔2π-α〕= tanα sin 〔23π+α〕= -cosα cos 〔23π+α〕= sinα tan 〔23π+α〕= -cotα cot 〔23π+α〕= -tanα sin 〔23π-α〕= -cosαcos 〔23π-α〕= -sinα tan 〔23π-α〕= cotα cot 〔23π-α〕= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin)cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明〔全部〕2009-07-08 16:13公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根b2-4ac>0 注:方程有一个实根b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注:〔a,b〕是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注:其中,S'是直截面面积,L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h-----------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推,用两角和差的正余弦:cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减,可以得到2组积化和差:相加:cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减:sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减,可以得到2组积化和差:相加:sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减:sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差,然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐,实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论:(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1) tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。
高中数学必修四 角度制 三角函数关系及诱导公式讲解

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。
A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A7、正切、余切的增减性:一、任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是0r =>,那么sin ,cos y x r r αα==,()tan ,0y x x α=≠,cot x y α=(0)y ≠,sec rxα=()0x ≠,()csc 0ry yα=≠。
三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。
设角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P ,过P 作PM 垂直于x 轴于M ,则点M 是点P 在x 轴上的正射影.由三角函数的定义知,点P 的坐标为(cos_α,sin_α),即P (cos_α,sin_α),其中cos α=OM ,sin α=MP ,单位圆与x 轴的正半轴交于点A ,单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ,则tan α=AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线的特征是:正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线比较)2,0(∈x ,x sin ,x tan ,x 的大小关系:三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。
四、一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦.两个技巧(1)在利用三角函数定义时,点P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP |=r 一定是正值.(2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是: (1)用边界值定出角的终边位置; (2)根据不等式(组)定出角的范围; (3)求交集,找单位圆中公共的部分; (4)写出角的表达式.(1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第二类、第三类是区间角.(2)角度制与弧度制可利用180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.(3)α与2α的终边关系:由“两等分各象限、一二三四确定”.若α是第一象限,则2α是第一、三象限角;若α是第二象限,则2α是第一、三象限角;若α是第三象限角,则2α是第二、四象限;若α是第四象限角,则2α是第二、四象限。
高一数学(人教版)必修4三角函数知识点

三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角.第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l rα=. 6、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180π= ,180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭. 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+,21122S lr r α==.8、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是()0r r >,则sin y r α=,cos x r α=,()tan 0yx xα=≠. 9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.10、三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT .11、角三角函数的基本关系:()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-;()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭.12、函数的诱导公式:()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-.口诀:函数名称不变,符号看象限.()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.13、①的图象上所有点向左(右)平移ϕ个单位长度,得到函数()sin y x ϕ=+的图象;再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1ω倍(纵坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象.②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1ω倍(纵坐标不变),得到函数sin y x ω=的图象;再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左(右)平移ϕω个单位长度,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象.14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质: ①振幅:A ;②周期:2πωT =;③频率:12f ωπ==T ;④相位:x ωϕ+;⑤初相:ϕ. 函数()sin y x ωϕ=A ++B ,当1x x =时,取得最小值为min y ;当2x x =时,取得最大值为max y ,则()m a x m i n 12y y A =-,()max min 12y y B =+,()21122x x x x T=-<.15 周期问题◆()()()()()()ωπωϕωωπωϕωπωϕωωπωϕωωπωϕωπωϕω2T , 0b , 0 , 0A , b 2T , 0 b , 0 , 0A , b T , 0 , 0A , T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , =≠>>++==≠>>++==>>+==>>+==>>+==>>+=x ACos y x ASin y x ACos y x ASin y x ACos y x ASin y()()()()ωπωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕω=>>+==>>+==>>+==>>+=T , 0 , 0A , cot T , 0 , 0A , tan T, 0 , 0A , cot T , 0 , 0A , tan x A y x A y x A y x A yR ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+;⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ (()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+);⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ (()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-).2、二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴sin 22sin cos ααα=.222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=. ⑶22tan tan 21tan ααα=-.3、⇒(后两个不用判断符号,更加好用)4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。
人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】

任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系; 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法||。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式||,并能灵活运用于解题. (一)任意角的三角函数: 任意点到原点的距离公式:22y x r +=1.三角函数定义:在直角坐标系中||,设α是一个任意角||,α终边上任意一点P (除了原点)的坐标为(,)x y ||,它与原点的距离为(0)r r ==>||,那么(1)比值y r 叫做α的正弦||,记作sin α||,即sin y r α=; (2)比值x r 叫做α的余弦||,记作cos α||,即cos xr α=;(3)比值y x 叫做α的正切||,记作tan α||,即tan yxα=;(4)比值x y 叫做α的余切||,记作cot α||,即cot x yα=; 2.说明:(1)α的始边与x 轴的非负半轴重合||,α的终边没有表明α一定是正角或负角||,以及α的大小||,只表明与α的终边相同的角所在的位置;(2)根据相似三角形的知识||,对于确定的角α||,四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小; (3)当()2k k Z παπ=+∈时||,α的终边在y 轴上||,终边上任意一点的横坐标x 都等于0||,所以tan yxα=无意义;同理当()k k Z απ=∈时||,y x =αcot 无意义;(4)除以上两种情况外||,对于确定的值α||,比值y r 、x r 、y x、xy 分别是一个确定的实数||。
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任意角一、知识概述1、角的分类:正角、负角、零角.2、象限角:(1)象限角.(2)非象限角(也称象限间角、轴线角).3、终边相同的角的集合:所有与角终边相同的角,连同α角自身在内,都可以写成α+k·360°(k∈Z)的形式;反之,所有形如α+k·360°(k∈Z)的角都与α角的终边相同.4、准确区分几种角锐角:0°<α<90°;0°~90°:0°≤α<90°;第一象限角:.5、弧度角:弧长等于半径的弧所对应的角称为1弧度角(1 rad).1 rad=,1°=rad.6、弧长公式:l=αR.7、扇形面积公式:.二、例题讲解例1、写出下列终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式的元素写出来:(1)60°;(2)-21°;(3)363°14′.解:(1),S中满足的元素是(2),S中满足的元素是(3),S中满足的元素是例2、写出终边在y轴上的角的集合.解析:∴.注:终边在x轴非负半轴:.终边在x轴上:.终边在y=x上:.终边在坐标轴上:.变式:角α与β的终边关于x轴对称,则β=_______.答案:.角α与β的终边关于y轴对称,则β=_______.答案:任意角的三角函数一、知识概述1、定义:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P(x,y),那么sinα=y,cosα=x,tanα=.注:①对于确定的角α,其终边上取点,令,则.②α的终边没有表明α一定是正角或负角,以及α的大小,只表明与α的终边相同的角所在的位置.2、公式一:,,,其中.3、三角函数线角α的终边与单位圆交于P点,过P作PM⊥x轴于M,则sinα=MP(正弦线),cosα=OM (余弦线).过A作单位圆的切线,则α的终边或其反向延长线交此切线于点T,则tanα=AT (正切线).注:若,则.二、例题讲解例1、已知角α的终边上一点,且,求的值.解:,∴,.当时,,∴;当时,,∴;当时,,∴.例2、化简下列各式(1);(2).解:(1)(2)同角三角函数的基本关系一、知识概述1、平方关系:.2、商数关系:.二、例题讲解例1、已知tanα为非零实数,用tanα表示sinα,cosα.解:∵,,∴.∴,即有,又∵为非零实数,∴为象限角.当在第一、四象限时,即有,从而,;当在第二、三象限时,即有,从而,.例2、已知,试确定使等式成立的角α的集合.例3、已知,求sinx,cosx的值.解:由等式两边平方:.∴,即,∴为一元二次方程的两个根,解得.又∵,∴.因此.例4、化简:.解法一:原式=.解法二:原式=.解法三:原式=.例5、已知,则(1)____________________.(2)____________________.(3)____________________.解:(1);(2);三角函数的诱导公式一、知识概述诱导公式一:.诱导公式二:.诱导公式三:,,.诱导公式四:,,.诱导公式五:,.诱导公式六:,.引申:诱导公式七:,.诱导公式八:,.记忆公式的口诀“奇变偶不变,符号看象限”.二、例题讲解例1、化简:(1);(2)(3).(4)(5).解:(1)原式.(2)原式=.(5)例2、已知求的值.解:由得,所以例3、已知则________.解:.正弦函数、余弦函数的图象与性质(一)一、知识概述1、正弦函数、余弦函数的图象2、性质:①定义域:x∈R②值域:[-1,1]③周期性:都是周期函数,且最小正周期为.二、例题讲解例1、作函数的简图.(2)描点连线(图象见视频).例2、求下列函数的周期(1);(2);(3);(4).解:(1)令,则.∵f(x+T)=f(x)恒成立,.∴周期为4.注:.(2).注:.(3)T=π.(4)T=.假设,使令x=0,得,,与时矛盾.例3、求下列函数的定义域:(1); (2) y=lg(2sinx+1)+.解:(1),∴,∴.(2) ,∴.∴其定义域为.正弦函数与余弦函数的图象与性质(二)一、知识概述1、图象(见视频)2、性质:(1)定义域:都为R.(2)值域:都为[-1,1].(3)周期性:都是周期函数,且T=2π.(4)奇偶性:y=sinx是奇函数,y=cosx是偶函数.(5)对称性:y=sinx的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),对称轴为.y=cosx的对称中心为,对称轴为.(6)单调性:y=sinx在上单调递增;在上单调递减.y=cosx在上单调递减;在上单调递增.二、例题讲解例1、在中,,若函数y=f(x)在[0,1]上为单调递减函数,则下列命题正确的是()A.B.C.D.解:∵,∴,.所以.例2、求下列函数的单调递增区间:(1);(2);(3);(4)y=-|sin(x+)|解:(1)法一:图象法(图象见视频).法二:令,∴.所以,函数单调递增区间为.(2)令,∴,所以,函数单调递增区间是.(3)令.所以,函数单调递增区间是.法二:∵,令,,所以,函数的递增区间是.(4)函数的递增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).(图象见视频)法二:令.解得.∴函数的递增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).正切函数的图象与性质一、知识概述1、图象:(1)定义域:;(2)值域:R;(3)周期性:;(4)奇偶性:奇函数;(5)对称性:y=tanx的对称中心为.(6)单调性:在内单调递增.二、例题讲解例1、求下列函数的定义域:(1);(2);(3).解:(1)由,得,∴.∴的定义域为.(2)令,∵sinx∈[-1,1]且,∴定义域为R.(3)由已知,得,∴,∴原函数的定义域为(备注:视频中区间书写有误,后面一个应该是半开半闭区间).例2、求函数的定义域,周期和单调区间.函数y=Asin(ωx+φ)的图象一、知识概述的图象可由y=sinx的图象经过以下的变换得到:①将y=sinx的图象向左(右)平移个单位得到的图象;②将的图象保持纵坐标不变,横坐标伸长(缩短)到原来的倍,得到的图象;③将的图象保持横坐标不变,纵坐标伸长(缩短)到原来的A倍,得到的图象.A表示振幅,为周期,为频率,为初相,为相位.二、例题讲解例1、函数的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到.解:①将的图象向左平移个单位,得到的图象;②将的图象保持纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,得到的图象;③将的图象保持横坐标不变,纵坐标伸长到原来的3倍,得到的图象.变式1:y=sinx的图象由的图象经过怎样的变换得到.解:横坐标不变,纵坐标缩短到原来的,得到的图象;再将的图象向右平移个单位,得到y=sin2x的图象;再将y=sin2x的图象纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sinx 的图象.变式2:函数y=f(x)的图象先向右平移个单位,再保持纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,得到的图象,求f(x)的解析式.答案:.例2、已知函数(,)一个周期内的函数图象,如下图所示,求函数的一个解析式.解:由图知:函数最大值为,最小值为,又∵,∴,由图知,∴,∴,法一:∴,∴,∴.,代入上面两式检验,得满足条件.∴.法二:..法三:令,.三角函数模型的简单应用例1、已知电流在一个周期内的图象如图:(1)根据图中数据求的解析式.(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?例2、某港口水的深度y(米)是时间,单位:时)的函数,记作,下面是某日水深的数据:经长期观察,的曲线可以近似地看成函数的图象.(1)试根据以上数据,求出函数的近似表达式;(2)一般情况下船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?解:(1)由已知数据,易知函数的周期T=12,振幅A=3,b=10,(视频板书中应为f(t)).(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+=11.5米,,解得:,在同一天内,取.∴该船可在当日凌晨1时进港,17时出港,在港口内最多停留16个小时.例3、如图所示,一个摩天轮半径为10米,轮子的底部在地面上2米处,如果此摩天轮按逆时针方向每20秒转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时:(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式;(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米.解:(1)以O为坐标原点,以OP所在直线为x轴建立直角坐标系,在t秒内摩天轮转过的角为,∴此人相对于地面的高度为(米).(2)令,则,,,故约有秒此人相对于地面的高度不超过10米.例4、某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动,已知3月份达到最高价格8元,7月份价格最低为4元.该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动,5月份销售价格最高为10元,9月份销售价最低为6元.(1)试建立出厂价格、销售价格的模型,并求出函数解析式;(2)假设商店每月购进这种商品m件,且当月销完,试写出该商品的月利润函数.三角函数的综合应用例1、求下列函数的值域:(1);(2);(3);(4);(5).解:(1)∵,∴,∴,所以,值域为.(2)..另解:,∴,∴,解得,.(3),,.(4)由题意,∴,∵,∴时,,但,∴,∴原函数的值域为.(5)∵,又∵,∴,∴,∴函数的值域为.例2、是否存在α、β,α∈(-,),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos(-β),cos(-α)=-cos(π+β)同时成立?若存在,求出α、β的值;若不存在,请说明理由.解:由条件得①2+②2得sin2α+3cos2α=2,∴cos2α=,∴.∵α∈(-,),∴,α=或-.由②得cosβ=.又β∈(0,π),∴β=,又.∴存在α=,β=满足条件.例3、已知函数上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,求的值.解:由是偶函数,得,即,或对任意x∈R恒成立.,,.又f(x)图象关于对称,.,则k=1时,,满足条件.当k=2时,,此时,满足条件.当k≥3时,不合要求.综上.。