中考复习：中点及中心对称类全等问题 (无答案)

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．
中线中位线相关问题(涉及中点的问题)
见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．
【例1】 如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：
AE EC CD =+
F
E D
C
B A
中考要求
例题精讲
中点及中心对称类全等问题
【例2】 在四边形ABCD 中，设M ,N 分别为CD ,AB 的中点，求证()1
2
MN AD BC +≤
，当且仅当AD BC ∥时等号成立．
N M
D
C
B
A
【例3】 在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD 中点，试判断EC 与EB
的位置关系，并写出推理过程．
A
B
C
D
E
【例4】 如图所示，在ABC ∆的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：
A C
B
C +>E C F C
+． F E C
B
A
【例5】 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接
DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．
⑴如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ；线段AM 与DE 的数量关系是 ；
⑵将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
图①
N
M E
D
C
B A
图②
N M E
D
C
B
A
【例6】 在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：如图1，已知ABC ∆，
90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，分别以AB BC ，
为边向外作ABD ∆和BCE ∆，且DA DB =，EB EC =，90ADB BEC ∠=∠=︒，连接DE 交AB 于点F ，探究线段DF 与EF 的数量关系。

小慧同学的思路是：过点D 作DG AB ⊥于G ，构造全等三角形，通过推理使问题得解 小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，30ABC ∠=︒，60ADB BEC ∠=∠=︒ 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。

请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题： （1）写出原问题中DF 与EF 的数量关系
（2）如图2，若30ABC ∠=︒，60ADB BED ∠=∠=︒，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若2,ADB BEC ABC ∠=∠=∠原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明。

图1
F
E
D
C
B
A
图2
F
E
D
C
B
A
图3
F
E
D
C
B
A
【例7】 已知：在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM
和BM ．
⑴ 若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明；
⑵ 如果将图①中的ADE ∆绕点A 逆时针旋转小于45︒的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
图1
A
B
C
D
E
M
图2
M
E
D
C
B
A
【巩固】已知：如图，在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，且D 在边AB 上，连结EC ，取
EC 的中点M ，连结DM 和BM ．将等腰直角三角形ADE 绕A 点按逆时针方向旋转45︒，结论：BMD ∆为等腰直角三角形，成立吗?
M
D E C
B
A
【巩固】如图，在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，且AD AC ⊥，连结EC ，取EC 的中
点M ，连结DM 和BM ．结论：BMD ∆为等腰直角三角形还成立吗?
M
D
E
C
B
A
【巩固】如图，在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，且A 在线段EC 上，连结EC ，取EC
的中点M ，连结DM 和BM ．证明：MBD MDB ∠=∠．
M
D
E C B
A
【巩固】如图，在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，且AD AC ⊥，连结EC ，取EC 的中
点M ，连结DM 和BM ．结论MBD MDB ∠=∠成立吗?
A
B
C
E
D
M
【巩固】如图，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点，求证：MBD MDB ∠=∠．
M
D E
C
B
A
【例8】 已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF
中点，连接EG ，CG ． ⑴求证：EG CG =；
⑵将图①中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问⑴中的
结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
⑶将图①中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问⑴中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
图①
G
F E
D
C B
A
图②
A
B C
D
E
F
G
图③
A
B
C
D
E F
【例9】 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，
连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG
PC
的值．
小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
图1
P
G
F
E
D
C
B
A
图2
A
B C
D
E
F
G P
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及
PG
PC
的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边
AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）
．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=︒<<︒，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问
题中的其他条件不变，请你直接写出PG
PC
的值（用含α的式子表示）．
1. 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90C ∠=︒，点M ，N 分别是边AC 和BC 的中点，点D 在射线BM 上，
且2BD BM =，点E 在射线NA 上，且2NE NA =，求证：BD DE ⊥．
课后作业
D
E
M
C
N
B
A
2. 如图，在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，且E 在线段AC 上，连结EC ，取EC 的中
点M ，连结DM 和BM ，结论MBD MDB ∠=∠成立吗?
M
D
E C
B
A。