21.2.2公式法解一元二次方程
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21.2.2公式法-【高效课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步课件+练习(人教版)
人教版数学九年级上册
（2）b2-4ac=0时，
b 2 4ac
=0 ，由①可知，方程有两个相等的实数根
这时
2
4a
（3）b2-4ac＜0时，
b
x1 x2
2a
2
b
b 4ac
这时
＜0 ，而x取任何实数
＜0 ，由①可知 x
2
2a
4a
2
b
都不能使 x ＜0 ，因此方程无实数根.
根,求m的取值范围.
解：由题意得:Δ＞0且m2≠0.
即 (2m+1)2-4m2＞0且m≠0
解得：m＞-1/4且m≠0.
拓展训练
人教版数学九年级上册
2.已知关于x的一元二次方程kx2+(k+3)x+3(k≠0)．求证：方
程一定有两个实数根．
证明：方程kx2+(k+3)x+3(k≠0)，
其中a=k，b=k+3，c=3，
5
小试牛刀
人教版数学九年级上册
1．用公式法解方程 4x 2－12x=3，得到（ D
3 6
A．x=
2
3 6
B．x=
2
3 2 3
C．x=
2
3 2 3
D．x=
2
）．
小试牛刀
人教版数学九年级上册
2.不解方程，判别下列方程的根的情况.
(1)x2-6x+1=0 (2)2x2-x+2=0 (3)x2-4x+4=0 (4)(x-2)2+3=1
(2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号.
(3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解.
21.2.2用公式法求解一元二次方程(教案)
举例1：在推导公式法的过程中，学生需要理解为何要有“±”号，以及如何根据判别式来确定是两个实数根、一个重根还是无实数根。例如，判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；判别式等于0时，方程有一个重根；判别式小于0时，方程无实数根。
举例2：对于判别式的计算，学生可能会忘记在计算过程中先计算b^2，再减去4ac，或者在计算过程中符号出错。
2.教学难点
-公式法的推导过程理解：学生对公式法的推导过程可能感到难以理解，特别是对根号下的判别式的物理意义。
-判别式的计算与应用：学生在计算判别式时可能会出现错误，以及在根据判别式的值判断解的情况时可能会混淆。
-公式法的适用范围：学生可能不清楚何时应该使用公式法求解一元二次方程，以及何时该方法不适用。
21.2.2用公式法求解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第21章第2节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.公式法求解一元二次方程的基本概念：介绍一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0，以及求解该方程的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，但我也观察到一些小组在讨论时可能会偏离主题。这提醒我在引导讨论时，要更加明确主题，确保讨论的方向和深度。同时，我也发现有些学生在操作实验时，对公式的运用还不够熟练，这说明我们在操作练习上还需要加强。
在学生小组讨论时，我尽量以引导者的身份参与，鼓励学生们发表自己的观点，这有助于培养他们的独立思考能力。但我也发现，部分学生在分享成果时表达不够清晰，这提醒我在今后的教学中，要注重培养学生的表达和交流能力。
五、教学反思
今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的公式法求解表现出很大的兴趣，但也存在一些理解和操作上的难点。在导入新课的时候，通过日常生活中的问题引导学生思考，他们很快就进入了学习状态。但在理论介绍环节，我发现有些学生对标准形式的理解还不够深入，需要通过更多的例子来加强他们的理解。
举例2：对于判别式的计算，学生可能会忘记在计算过程中先计算b^2，再减去4ac，或者在计算过程中符号出错。
2.教学难点
-公式法的推导过程理解：学生对公式法的推导过程可能感到难以理解，特别是对根号下的判别式的物理意义。
-判别式的计算与应用：学生在计算判别式时可能会出现错误，以及在根据判别式的值判断解的情况时可能会混淆。
-公式法的适用范围：学生可能不清楚何时应该使用公式法求解一元二次方程，以及何时该方法不适用。
21.2.2用公式法求解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第21章第2节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.公式法求解一元二次方程的基本概念：介绍一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0，以及求解该方程的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，但我也观察到一些小组在讨论时可能会偏离主题。这提醒我在引导讨论时，要更加明确主题，确保讨论的方向和深度。同时，我也发现有些学生在操作实验时，对公式的运用还不够熟练，这说明我们在操作练习上还需要加强。
在学生小组讨论时，我尽量以引导者的身份参与，鼓励学生们发表自己的观点，这有助于培养他们的独立思考能力。但我也发现，部分学生在分享成果时表达不够清晰，这提醒我在今后的教学中，要注重培养学生的表达和交流能力。
五、教学反思
今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的公式法求解表现出很大的兴趣，但也存在一些理解和操作上的难点。在导入新课的时候，通过日常生活中的问题引导学生思考，他们很快就进入了学习状态。但在理论介绍环节，我发现有些学生对标准形式的理解还不够深入，需要通过更多的例子来加强他们的理解。
第二十一章21.2.2公式法
栏目索引
易错点二 对形如ax2+bx+c=0的方程有实数根的问题理解错误 例2 (2018河南新乡辉县二模)关于x的方程ax2-2x-1=0有实数根,则a的 取值范围是 ( ) A.a≥-1 B.a>-1 C.a≥-1且a≠0 D.a>-1且a≠0 解析 当a≠0时,∵原方程有实数根, ∴Δ=4+4a≥0,∴a≥-1; 当a=0时,-2x-1=0有实数根.故选A.
根的判别 式的应用
(1)不解方程直接判断一元二次方程根的情况; (2)已知一元二次方程根的情况,用根的判别式求方程中未知字母的值或取值范围
21.2.2 公式法
栏目索引
例1 (2017上海中考)下列方程中,没有实数根的是 ( ) A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0 C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0 解析 A选项,Δ=(-2)2-4×1×0=4>0,∴有两个不相等的实数根; B选项,Δ=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,∴有两个不相等的实数根; C选项,Δ=(-2)2-4×1×1=0,∴有两个相等的实数根; D选项,Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,∴D选项中的方程没有实数根,故选D. 答案 D 点拨 不解方程可通过计算Δ的值来判断根的情况.特殊的方程可不必 计算Δ的值,如:当a与c异号,或b≠0且c=0时,方程有两个不相等的实数 根.
答案 A 点拨 首先根据一次函数的定义确定字母的取值范围,然后由字母的取 值范围得出判别式的取值范围,最后得出根的情况.
21.2.2 公式法
栏目索引
题型三 根的判别式与三角形的综合应用
例3 已知a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,若关于x的一元二次方
21.2.2一元二次方程的解法——求根公式法(2)
例1. 解方程:
2
b b 4ac 2 x b 4ac 0 2a
2
(1)x(2)
2 -7x+2x =4
2 (4) 2x -9x+8=0
用公式法解一元二次方程的步骤: (1)化：把一元二次方程化为一般形式; (2)定：确定a、b、c的值; 2 (3)判：求出b -4ac的值,判断根的情况; 2 (4)代：若b -4ac≥0,则把a、b、c及 2 b -4ac代入求根公式,求出x1， 2 x2;若b -4ac＜0,则方程无解.
(4)写：写出x1，x2
2. 用公式法解下列方程:
(1) 3x 1 2 3x
2
(2) 0.2 x 1.2x 0.55 0
2
2 2 1 (3) x x 1 0 3 2
(4) (x-1)(6-x)=6
３. 用公式法解下列方程:
x(x+1)+7(x-1)=2(x+2)
2 2 2
(3)在b -4ac≥0的前提下，将a、b、c的 值代入求根公式求解.
拓展与提高
2 1.x是什么值时,y=x -5x+4
的值分别是0,4?
2.解下列关于x的方程： 2 2 2x -mx-m =0
拓展与提高
求差
3.试比较代数式2x2-x-5与x-7 的值的大小。
2 解：2x -x-5-（x-7）
2 =2x -2x+2
2 =2(x -
2 2 x+0.5 -0.5 )+2
2 =2(x-0.5) -0.5+2
2 =2(x-0.5) +1.5
7 145 7 145 方程的根x1= , x2= . 6 6
21.2.2_一元二次方程的解法_公式法ppt
b b 4ac x 2a
2
一元二次方程的 求根公式
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，
2
当b 4ac 0时, 一元二次方程才有实数根.
2
b b2 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
2
2 4 x 6 x 3, 解:移项，得：
二次项系数化为1，得
2
3 3 3 3 配方，得： x x , 2 4 4 4 3 2 21 3 21 (x ) 由此得: x 4 16 4 4
2
2
温 故 知 新
3 21 x1 , 4 4
课时训练
3.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论 正确的是 ( D ) A.当k=1/2时，方程两根互为相反数 B.当k=0时，方程的根是x=-1 C.当k=±1时，方程两根互为倒数 D.当k≤1/4时，方程有实数根
4.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实 数根，则m的取值范围是（ D ） A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0
即一元二次方程：ax 当 当 当
2
bx c 0 a 0
0 时，方程有两个不相等的实数根； 0 时，方程有两个相等的实数根； 0 时，方程没有实数根。 0；
反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时，
当方程有两个相等的实数根，
当方程没有实数根，
0；
二、用公式法解一元二次方
程的一般步骤：
九年级数学： 21.2.2解一元二次方程(公式法)教案
作
业
必做：课本12页练习。
自主学习中的能力提升部分。
选做：自主学习中的拓展问题.
教师布置作业，并提出要求.
学生课下独立完成，延续课堂.
三、【板书设计】
21.2.3解一元二次方程（公式法）教案
求根公式：
四、【教后反思】
教学
重点
推导求根公式的过程，理解根的判别式的作用．
教学
难点
熟练运用根的判别式解决根，字母系数的取值等相关问题.
二、【教学流程】
教学环节
教学问题设计
师生活动
二次备课
创
设
情
景
【问题1】
我们知道，任意一个一元二次方程都可以化为一般形式是：
ax2+bx+c=0(a≠0)
你能用配方法求得它的解吗？
通过问题，激发学生对旧知的回忆.即配方法的一般步骤.
小
结
1.通过本节课的学习你有什么收获？
2.你还有哪些疑惑？
学生独立思考，师生梳理本课的知识点及方法
1.求根公式的推导过程.
2．用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a、b、c的值、再算出判别式的值、最后代入求根公式求解．
3．用判别式判定一元二次方程根的情况.及求相关字母的取值范围.
注意：字母系数。
21.2.2解一元二次方程（公式法）教案
一、【教材分析】
教
学
目标知识目标 Nhomakorabea1.会用公式法解一元二次方程，理解用根的判别式判别根的情况及求相关的字母的取值范围.
能力
目标
1.经历推导求根公式的过程，加强推理技技能训练，进一步发展逻辑思维能力.体验类比、转化、降次的数学思想方法.
情感
目标
业
必做：课本12页练习。
自主学习中的能力提升部分。
选做：自主学习中的拓展问题.
教师布置作业，并提出要求.
学生课下独立完成，延续课堂.
三、【板书设计】
21.2.3解一元二次方程（公式法）教案
求根公式：
四、【教后反思】
教学
重点
推导求根公式的过程，理解根的判别式的作用．
教学
难点
熟练运用根的判别式解决根，字母系数的取值等相关问题.
二、【教学流程】
教学环节
教学问题设计
师生活动
二次备课
创
设
情
景
【问题1】
我们知道，任意一个一元二次方程都可以化为一般形式是：
ax2+bx+c=0(a≠0)
你能用配方法求得它的解吗？
通过问题，激发学生对旧知的回忆.即配方法的一般步骤.
小
结
1.通过本节课的学习你有什么收获？
2.你还有哪些疑惑？
学生独立思考，师生梳理本课的知识点及方法
1.求根公式的推导过程.
2．用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a、b、c的值、再算出判别式的值、最后代入求根公式求解．
3．用判别式判定一元二次方程根的情况.及求相关字母的取值范围.
注意：字母系数。
21.2.2解一元二次方程（公式法）教案
一、【教材分析】
教
学
目标知识目标 Nhomakorabea1.会用公式法解一元二次方程，理解用根的判别式判别根的情况及求相关的字母的取值范围.
能力
目标
1.经历推导求根公式的过程，加强推理技技能训练，进一步发展逻辑思维能力.体验类比、转化、降次的数学思想方法.
情感
目标
21.2.2_公式法
x b
b2
4ac
. b2
4ac
;
0.
7.定解:写出原方程的解
2a
.
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0) ∵a 0,4a2 0 当 b2 4ac 0
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
特别提醒
b b2 4ac x
b b2 4ac b b2 4ac
2a
2a
b b 2a 2a
b 0
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？
课后作业
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取。 2.完成状元导练中本课时练习的“课后作业”部分。
解：将x=0代入方程, 得m²+2m-3=0， 解得m1=1，m2=-3, 又∵m-1≠0，即m≠1. 故m的值为-3.
5.解下列方程：
（1）x²+x-6=0； （2）x2 3x 1 0 ；
4
（3）3x²-6x-2=0； （4）4x²-6x=0； （5）x²+4x+8=4x+11； （6）x（2x-4）=5-8x.
3.方程 2x2 4 3x 6 2 0 的根是（ D ）
A. x1 2, x2 3 B. x1 6, x2 2 C.x1 2 2, x2 2 D. x1 x2 6
4.关于x的一元二次方程（m-1）x²+x+m²+2m-3=0有 一个根为0，试求m的值.
2a
一元二次方程 的求根公式
x1 b
b2 2a
21.2.2_一元二次方程的解法-公式法
特别提醒
即
b b 4ac x 2a 2a
2
b b2 4ac x 2a
一元二次方程的 求根公式
一般地，式子b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式， 通常用希腊字母Δ表示它，即 Δ＝b2－4ac
归纳：
2－4ac Δ ＝ b 由根的判别式________________的值可以直接去判断方程
2
解：原方程变形为：x 2 2 3 x 3 0
a 1、 b= - 2 3、 c= 3
2 b2 4ac （ 2 3 ） 4 1 3 0
（- 2 3 ） 0 2 3 x 3 21 2
即：
x1 x2 3
b b 4ac 2 x (a 0, b 4ac 0) 2a 例 3 解方程： x 21 3 x 6
根的个数情况，而不用求解方程： 有两个不相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＞0 时，方程__________________________ ； 有两个相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程__________________________ ； 没有实数根 当Δ＝b2－4ac＜0 时，方程__________________________ ．
2
2 b b 4ac x 2a 4a 2 2
2
2
即
更多资源
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
2 当 4a 0 b 4ac 0 时 2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
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C. k<1
2
D. k<1 且k≠0
2
解:∵ b 4ac (2) 4k (1) 4 4k ＞0 ∴k＞-1 又∵k≠0 ∴ k＞-1且k≠0
小结与反思
1、这节课你获得了哪些知识与方法？ 2、这节课你在解决问题的过程中，有 哪些易错点？ 3、这节课你还有哪些疑惑未解决？
(3) x 4 x 8 4 x 11
2
解：化为一般式
x 3 0 . a 1, b 0, c 3.
2
b 4ac 0 4 1 3 12.
0 12 2 3 x , 2 1 2
x1 3
x2 3
(4) x2 x 4 5 8x
解：化为一般式
2 x 4 x 5 0 .
2
a 2, b 4, c 5. 2 2 b 4ac 4 4 2 5 56.
4 2 14 4 2 14 x , 2 2 4
2 14 2 14 x1 , x2 . 2 2
学以致用 求本章引言中的问题，雕像下部高度 x(m)满足方程 x 2 2 x 4 0 解：得
2
人教版数学九年级上册
21.2 降次——解一元二次方程
21.2.2
公式法
4x 6x 3 0
2
2 4 x 6 x 3, 解:移项，得：
3 3 x x , 二次项系数化为1，得 2 4
2
配方，得： x 2 3 x 3 3 3 ,
（3）当 b 2 4ac 0 时，没有实数根。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 2 4ac 的值，
2 b 4ac 0 时，方程无解。 注意：当 b b2 4ac 3、代入求根公式: x 2a
x2 4、写出方程的解： x1、
师生互动 巩固新知
1 3x
2
解：
6 x 2 0 a 3, b 6, c 2.
2
2
b 4ac 6 4 3 2 60.
6 60 6 2 15 3 15 x , 6 6 3
3 15 3 15 x1 , x2 . 3 3
b b2 4ac x 2a
解方程： x 7 x 18 0
2
b b2 4ac x 2a
解：
a 1 b 7 c 18
b2 4ac (7)2 4 1 (18) 121
7 121 7 11 x 21 2
即：
x1 9 x2 2
2
∵a 0,4a 0 当
2
b 4ac 0
2
即
b b2 4ac x 2a 2a
2
特别提醒 一元二次方程 的求根公式
b b 4ac x 2a
b b2 4ac b b2 4ac x1 , x2 . 2a 2a
2 ax bx c 0 （a 0）. 由上可知，一元二次方程
2
2
2
3 21 x , 4 4
2
4
4 4
温 故 知 新
由此得:
3 21 x , 4 2
3 21 x1 , 4 2
3 21 x2 . 4 2
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bxபைடு நூலகம் c 0 (a 0)
2
解:
移项，得
ax2 bx c
拓展延伸
1、关于x的一元二次方程 x 2 x m 0 有两个实根，则m的取值范围是—— .
2
解：b2 4ac (2) 2 4 1 m 4 4m 0 ∴ m 1 注意：一元二次方程有实根， 说明方程可能有两个不等实根 或两个相等实根的两种情况。
2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两 个不等的实根，则k的取值范围是 （ B Ａ） A.k>-1 B. k>-1 且k≠ 0
即：
x1 x2 3
解方程：
x 21 3 x 6
b b2 4ac x 2a
解：去括号，化简为一般式：
3x 7x 8 0
2
a 3、 b= - 7、 c= 8
2 b2 4ac （ 7 ） 4 3 8
49 96 - 47 0
2
2 2 4 1 4 2 20 x 1 5, 2 1 2
x1 1 5, x2 1 5
精确到0.001，x1≈ 1.236，x2≈ －3.236 但是其中只有x1≈1.236符合问题的 实际意义，所以雕像下部高度应设 计为约1.236m。
解方程：
x 3 2 3x
2
b b 4ac x 2a
2
解： 化简为一般式：x 2 2 3 x 3 0
a 1、 b= - 2 3、 c= 3
2 b2 4ac （ 2 3 ） 4 1 3 0
（- 2 3 ） 0 2 3 x 3 21 2
2 4x
解：
2
2
6x 0
a 4, b 6, c 0.
b 4ac 6 4 4 0 36.
2
6 36 6 6 x , 2 4 8
3 x1 0, x2 . 2
3 x
2
2
4x 8 4x 11
b c x x a a
2
2 2 2
方程两边都除以 a 配方，得 即
b c b b x x a a 2a 2a
b b 4ac x 2a 4a 2
2 2
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0 (a 0)
方程没有实数解。
一元二次方程的根的情况
ax bx c 0 （a 0） （1）当 b 2 4ac 0时，有两个不等的实数根。
2
b b2 4ac b b2 4ac x1 , x2 ; 2a 2a （2）当 b 2 4ac 0 时，有两个相等的实数根。 b x1 x 2 ; 2a
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一 元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 2 2 ，当 b 4ac 0 ax bx c 0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程 的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫 做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最 多有两个实数根。