简易逻辑
简易逻辑及充要条
•逻辑基础•充分必要条件•简易逻辑的应用•逻辑推理•逻辑谬误011 2 3命题逻辑联结词举例命题与逻辑联结词命题的真假真值表举例复合命题的真假010203复合命题判断方法举例02如果条件A存在，则结果B一定存在，那么我们就说条件A是结果B的充分条件。
例如如果天下雨（条件A），那么地面会湿（结果B）。
在这里，下雨是地面湿润的充分条件。
充分条件的定义VS必要条件的定义例如充分必要条件的定义那么我们就说条件A是结果B的充分必要条件。
例如充分必要条件的定义03通过逻辑推理，证明数学中的定理和命题。
解题思路利用逻辑分析，寻找数学问题的解决方案。
数学结构在数学中的应用决策制定在讨论和争辩中，运用逻辑推理来支持自己的观点。
论证观点解决问题利用逻辑方法，分析问题并找到有效的解决方案。
实验设计科学论证科学方法通过逻辑分析，评估科学假设和理论的合理性。
科学研究中的观察、实验和推理都离不开逻辑思维的指导。
03020104间接推理是通过引入额外的假设或信息来推导出结论的推理方式。
间接推理通常用于处理复杂的问题或需要引入额外的信息来解决问题的情况。
常见的间接推理方法包括反证法、排除法、归纳法等。
二难推理是一种特殊的间接推理，它涉及到两个或多个相互矛盾的命题，并试图通过引入额外的假设或信息来解决这些矛盾。
二难推理通常用于处理道德、伦理或哲学问题，其中涉及到的命题通常是价值判断而非事实陈述。
常见的二难推理方法包括道德悖论、逻辑悖论等。
05偷换概念在同一思维过程中，论证者故意将两个不同的概念当做一个概念使用，或者用一个概念偷换另一个概念。
转移论题在同一思维过程中，论证者从一个论题转移到另一个论题，这种转移论题的错误也被称作“跑题”。
自相矛盾在同一思维过程中，论证者所持的论题和论据是相互矛盾的，即肯定和否定同一对象。
形式逻辑谬误以人废言以言废人诉诸同情非形式逻辑谬误避免逻辑谬误的方法检查论据和结论是否矛盾确保论题明确保持概念的一致性考虑反例注意逻辑推理的合理性。
简易逻辑精选练习题和答案
简易逻辑精选练习题和答案1.“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=与直线(m-2)x+(m+2)y-3=相互垂直”的充要条件。
2.设集合A={x| |x-1|<}。
B={x| |x-1|<1}。
若a=1，则A∩B≠。
3.命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则┐p是“所有三角形不是等腰三角形”。
4.命题“¬p”、“¬q”、“p∧q”、“p∨q”中假命题的个数为2.5.“a>b>0”是“a2+b2<”的必要而不充分条件。
6.实数a的取值范围是a≥1.7.“∀x∈R，x²-22x + 2≥0”的非命题为“∃x∈R，x²-22x + 2<0”。
8.a<是方程ax+2x+1=至少有一个负数根的充分不必要条件。
9.(1)“∀x∈R，x2+x+1≥0” (2)“∃x∈R，x2-x+3≤0” (3)“存在x∈{x|-2<x<4}，|x-2|≥3” (4)“∃x，y∈R，x²+y²<” (5)“x≥-3且x≤2时，x+x-6≤0” (6)“∃a，b∈R，ab＞且a≤” (7)“△ABC中，若∠A或∠B是钝角，则∠C是锐角”。
10.选项不完整，无法填空。
11.(1)充分条件 (2)必要条件 (3)充分条件 (4)必要条件12.(1)假(2)m≤3 (3)x≤-2或x≥4 (4)真13.a≤-1或a≥214.解得A={1,2}，B={1-m,2/m}，则A是B的必要不充分条件，即1-m∈A但2/m∉A，解得m∈(-∞,1)U(2,∞)15.解得p的判别式D<0且m<0，q的判别式D<0且m∈(0,2)，则m∈(0,2)16.解得p的解集为[-1,1]，q无实根且判别式D<0，解得a∈(-∞,-1)U(1/2,∞)17.(1)不存在 (2)存在，m>0。
简易逻辑
逻辑联结词Mike2017年7月16日一、命题1.命题：可以判·断·真·假·的陈·述·句·叫做命题.例如：①12>5；②3是12的约数；③0.5是整数，这些语句都是命题.其中①、②是真命题，③是假命题.二、逻辑联结词由简单的命题可以组合成新的比较复杂的命题，如：④10可以被2或5整除；⑤菱形的对角线互相垂直且平分；⑥0.5非整数.“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.像①、②、③这样的命题，不含逻辑联结词，是简单命题；像④、⑤、⑥这样的命题，它们由简单命题与逻辑联结词构成，是复合命题.我们常用小写的拉丁字母p,q,r,q,s，…表示命题，上面复合命题④、⑤、⑥的构成形式分别是：p或q（记作p∨q）；p且q（记作p∧q）；非p（记作¬p）.非p也叫做命题p的否定.二、真值表或、且、非三种复合命题的真假关系如下表：p q非p（¬p）p或q（p∨q）p且q（p∧q）真真真假假真假假图1-6-1：真值表【例1】分别指出下列复合命题的形式及构成它的命题的简单命题：（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；（3）平行线不相交.练习1分别写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题：（1）p：5是15的约数，q：5是20的约数.（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分.【例2】分别写出下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并判断真假：（1）p：2+2=5，q：3>2.（2）p：9是质数，q：8是12的约数.（3）p：1∈{1,2}，q：{1}⊆{1,2}.（4）p：∅⊆{0}，q：∅={0}.练习2（1）分别写出下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并判断真假：①p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}.②p：2是偶数，q：2不是质数.③p：正方形的四条边相等，q正方形的四个角相等.（2）指出下列复合命题的形式及其构成，并判断该复合命题的真假：①12是48与36的公约数；②方程x2+x=0没有实数根；③10或15是5的倍数；④3≥2.。
简易逻辑
2、三种复合命题的真、假情况是 怎样的？用真值表说明。
（1）p或q：只要一个为真则p或q为真； （2）p且q：只要一个为假则p且q为假；
（3）p与 p的真假相反。
3、四种命题分别指什么？ 原命题： 若p则q 逆命题： 若q则p 否命题： 若 p则 q 逆否命题： 若 q则 p
4、p: (x-2)(x-3)=0,q: x-2=0,p是 q的_必__要__不__充__分___条件
5、条件p:x+y≠-2，条件q:x,y不 都是-1，则p是q的_充__要__条件。
例4、已知p,q都是r的必要条件， s是r的充分条件，q是s的充分条 件，则 1、s是q的什么条件？ 充要条件
p且q为假，非p真的是（ D ） A、p:3是偶数，q:4是奇数
B、 p:3+2=6， q:5>3 C、p:a∈{a,b}, q:{a} {a,b} D、Q R, q:N=Z
例2、若p,q是两个简单命题，如 果p真q假，试判别下列命题的真 假，并列出个命题的真值表。 （1）p或q的否定 （2）p且q的否定
（3） p或 q （4） p且 q
(5) p
例3、填空：
1、A {x | x 2 0}, B {x || x 4 |1}， 则
x3
A是B的__充__分___不__必__要____ 条件；
2、p:x=y, q:x2=y2, p是q的 __充__分__不__必__要__ 条件
3、p:两三角形相似，q:两三角形 面积相等。p是q_必__要__不__充__题与 否命题的真假相同
4、充分、必要、充要条件 p => q
p为q的充分条件;q为p的必要条件
p ≠> q
简易逻辑知识点
简易逻辑知识点1. 逻辑的基础概念- 命题：一个可以判断为真或假的陈述。
- 论证：由一个或多个前提和一个结论组成的逻辑结构。
- 推理：从已知信息推导出新信息的过程。
2. 逻辑运算- 否定（NOT）：对一个命题进行否定，如果原命题为真，则否定后为假；如果原命题为假，则否定后为真。
- 合取（AND）：两个命题都为真时，合取的结果才为真。
- 析取（OR）：两个命题中至少有一个为真时，析取的结果为真。
- 蕴含（IMPLIES）：如果前提为假或结论为真，则蕴含的命题为真；仅当前提是真而结论为假时，蕴含的命题为假。
3. 逻辑形式- 条件语句：一种表达式，包含条件（如果...）和结果（那么...）。
- 逻辑等价：两个逻辑表达式在所有可能情况下都有相同的真值。
- 逻辑谬误：在推理过程中出现的逻辑错误，导致无效的论证。
4. 逻辑证明- 直接证明：通过一系列已知的命题直接推导出要证明的命题。
- 间接证明：通过证明相反假设导致的矛盾来证明原命题。
5. 逻辑的分类- 形式逻辑：研究逻辑形式和推理规则的学科。
- 非形式逻辑：研究日常语言中的推理和论证，不严格遵循形式逻辑的规则。
6. 逻辑的应用- 计算机科学：逻辑用于设计算法、编程语言和人工智能。
- 哲学：逻辑用于构建哲学理论和分析论证。
- 数学：逻辑是数学推理的基础，用于证明定理和公式。
7. 逻辑的局限性- 逻辑不能处理所有类型的推理，如基于直觉、情感或价值判断的推理。
- 逻辑无法解决所有问题，特别是那些需要创造性和想象力的问题。
8. 逻辑的学习方法- 练习：通过解决逻辑谜题和练习题来提高逻辑推理能力。
- 阅读：阅读逻辑和哲学相关的书籍和文章，了解逻辑的历史和应用。
- 讨论：与他人讨论逻辑问题，通过交流不同的观点来提高理解力。
以上是简易逻辑知识点的概述，每个知识点都可以进一步深入学习和探索。
逻辑是理解世界和解决问题的重要工具，掌握基本的逻辑知识对于提高思维能力和决策质量至关重要。
高中数学简易逻辑知识点
高中数学简易逻辑知识点
摘要：
一、简易逻辑的概念
二、命题与命题联结词
三、逻辑运算规则
四、逻辑表达式的化简
五、逻辑运算的应用
正文：
简易逻辑是高中数学中的一个重要知识点，它主要研究逻辑推理的基本方法和原则。
通过学习简易逻辑，我们可以更好地理解和把握逻辑思维的本质，提高我们的推理能力。
首先，我们需要了解简易逻辑的概念。
简易逻辑，又称直觉逻辑或日常逻辑，是研究人们思维形式和推理规律的逻辑学科。
它以自然语言为载体，通过对命题和命题联结词的分析，探讨推理的基本规律。
命题是简易逻辑的基本概念，它是对事物性质或关系的判断。
命题可以分为肯定命题和否定命题，两者之间的联结词有“且”、“或”、“非”等。
通过命题联结词的组合，我们可以形成复杂的逻辑表达式。
逻辑运算规则是简易逻辑的核心内容。
逻辑运算主要包括合取、析取、蕴含、等价等。
这些运算规则可以帮助我们更好地理解和把握逻辑表达式的意义，从而进行有效的推理。
逻辑表达式的化简是简易逻辑的重要任务之一。
通过对逻辑表达式进行化
简，我们可以简化推理过程，提高推理效率。
化简方法主要包括：去除蕴含符号、否定前提等。
最后，逻辑运算在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在计算机科学中，逻辑运算被用于编程和算法设计；在哲学和人文社会科学中，逻辑运算被用于分析和论证观点。
掌握简易逻辑的知识，可以提高我们的逻辑思维能力，更好地应对生活和工作的挑战。
总之，简易逻辑是高中数学中的一个重要知识点，它主要研究逻辑推理的基本方法和原则。
集合和简易逻辑
集合和简易逻辑
集合是由一组确定的元素组成的。
集合中的元素是无序的，且每个元素在集合中只能出现一次。
集合可以以各种形式表示，例如用大括号{}包围元素列表，或使用特定的集合符号表示。
例如，给定两个集合A和B，可以定义集合的交集（表示为A∩B）为包含同时属于A和B的所有元素的集合。
集合的并集（表示为A∪B）是包含属于A或B （或两者）的所有元素的集合。
集合的差集（表示为A-B）是指所有属于A但不属于B的元素的集合。
简易逻辑是一种基于真和假的推理系统。
它使用逻辑运算符（如与、或、非）对命题进行组合，并根据预定义的逻辑规则推导出其他命题。
简易逻辑中的命题可以是真（真命题）或假（假命题）。
逻辑运算符包括：
- 与运算（表示为∧或&&）：只有在两个命题都为真时，整个表达式才为真。
- 或运算（表示为∨或）：只要有一个命题为真，整个表达式就为真。
- 非运算（表示为¬ 或!）：将真命题变为假命题，将假命题变为真命题。
逻辑推理可以通过应用真值表来确定整个逻辑表达式的真假。
真值表列出了逻辑表达式中各个命题的真值，并根据逻辑运算符确定整个表达式的真值。
集合和简易逻辑在数学和计算机科学中都有广泛的应用，用于构建和解决各种问题。
第2讲 简易逻辑
第2讲简易逻辑一、命题（一）知识归纳：1．可以判断真假的语句叫命题。
①含有逻辑联结词，如“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题称复合命题。
②复合命题的真值表：“非p”形式的复合命题与p的真假相反；“p或q”形式的复合命题当p与q同时为假时为假，其它情况时为真；“p且q“形式的复合命题当p与q同时为真时为真，其它情况时为假。
2．命题的四种形式：①原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q 则p。
②一个命题与它的逆否命题是等价的。
③（p或q）= p且q，（p且q）= （p或q）。
（二）学习要点：1．复合命题真假的判断提学习上的难点，应从“真值表”、“集合”、“逆命题”等多个角度进行分析。
2．由简单命题构成复合命题，不一定是简单地加是“或、且、非”等逻辑联结词，另外应注意含“或、且、非”等词汇的命题也不一定是复合命题，在进行命题的合成或分解时一定要检验是否符合复合命题的“真值表”，如果不符要作语言上的调整。
3．命题的“否定”是学习上的重点，因为这是“反证法”证明的第一步，必须注意，命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题p的否定（即非p）是否定命题p所作的判断，而“否命题”是对“若p则q“形式的命题而言，同时否定它的条件与结论。
但应注意，关于命题的学习只需作一般性的了解，不必过分钻牛角尖，高考基本上没有要求。
【例1】写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。
{解析}由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”如果不符要作语言上的调整。
（1）p：9是144的约数，q：9是225的约数.（2）p：方程x2－1=0的解是x=1,q：方程x2－1=0的解是x=－1,（3）p：实数的平方是正数，q：实数的平方是0.{解析}（1）p或q：9是144或225的约数；p且q：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）；非p：9不是144的约数.∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，而“非p”为假.（2）p或q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能写成“方程x2－1=0的解是x=±1”，这与真值表不符）；p且q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；非p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）；∵p假，q假，∴“p或q”与，“p且q”均为假，而“非p”为真.（3）p或q：实数的平方都是正数或实数的平方都是0；p且q：实数的平方都是正数且实数的平方都是0；非p：实数的平方不都是正数，（或：存在实数，其平方不是正数）；∵p假，q假，∴“p或q”与“p且q”均为假，而“非p”为真.{评析}在命题p或命题q的语句中，由于中文表达的习惯常常会有些省略，这种情况下应作词语上的调整。
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新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
∵p 是 q 的充分而不必要条件， m>0， ∴P Q，∴1－m<－2， 1＋m≥10， 即 m≥9 或 m>9，∴m≥9. 故实数 m 的取值范围是[9，＋∞)．
【答案】 [9，＋∞)
m>0， 或1－m≤－2， 1＋m>10，
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第一章
集合与简易逻辑
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
4．(2014·安徽理)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的(
)
A．充分不必要条件
C．充分必要条件 答案 B 解析
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
∵ln(x＋1)<0，∴0<x＋1<1，∴－1< x<0.∵x<0是
－1<x<0的必要不充分条件，故选B.
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思考题1
以下命题：
①“若f(x)是奇函数，则f(－x)也是奇函数”的逆命题；
②“若x，y是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题；
③“正三角形的三个内角均为60°”的否命题； ④“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．
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第一章
集合与简易逻辑
高考调研
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1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)语句“2a＋1>0”是命题．
(2)语句“2 016≥2 015”是真命题．
(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形 的内角和不是180°”． (4)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.
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第一章
集合与简易逻辑
高考调研
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(3)逆命题：若实数x，y全为零，则x2＋y2＝0.真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则实数x，y不全为零．真命题． 逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2＋y2≠0.真命题． 【答案】 略
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第一章
集合与简易逻辑
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题型三 充分条件与必要条件的应用 例3 已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且
綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围． 【解析】 方法一：由q：x2－2x＋1－m2≤0， 得1－m≤x≤1＋m.
∴綈q：A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}．
∵p：－2≤x≤10， ∴綈p：B＝{x|x>10或x<－2}．
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第一章
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思考题2
判断下列各题中p是q的什么条件？
(1)p：x2－2x－3≥0，q：x≤1或x≥2；
3 (2)在△ABC 中，p：∠A≠60° ，q：sinA≠ ； 2
(3)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB； (4)非空集合A，B中，p：x∈A∪B，q：x∈B.
是(
)
A．0 C．4 答案 B 解析 当 a<0时， Δ＝1－ 4a>0，所以方程x2 ＋x＋a＝ 0 有 B．2 D．不确定
实数，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可 知其逆否命题为真；逆命题为： “ 若方程 x 2 ＋ x ＋ a ＝ 0 有实 根，则a<0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a≥0，
第一章
集合与简易逻辑
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思考题3 (1)(2015·延 安 质 检 ) 函 数
log2x，x>0， x － 2 ＋a，x≤0
f(x) ＝
有且只有一个零点的充分不必要条件是
(
) A．a<0 1 C.2<a<1
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1 B．0<a<2 D．a≤0 或 a>1
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3．“a>0”是“|a|>0”的(
)
A．充分不必要条件
C．充要条件 答案 A 解析
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
因为|a|>0⇔a>0或a<0，所以a>0⇒|a|>0.但
|a|>0⇒/a>0，所以a>0是|a|>0的充分不必要条件．故选A.
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方法二：∵綈p是綈q的必要而不充分条件， ∴p是q的充分而不必要条件． 由q：x2－2x＋1－m2≤0， 得1－m≤x≤1＋m. ∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}． ∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．
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第一章
集合与简易逻辑
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第一章
(1) 逆命题：全等三角形的面积相等．真命
否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形．真
命题． 逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等．假命 题． (2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1.假命题． 否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根．假命题． 逆否命题：若方程 x 2 ＋ 2 x ＋ q ＝ 0 无实根，则有 q ≥ 1. 真命 题．
(1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证
明．若判断其为假命题只需举出一个反例． (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表． (3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否 命题的真假．
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第一章
集合与简易逻辑
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2．充分、必要条件的判定方法． (1)定义法． (2)传递法．
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的 等价．
第一章 集合与简易逻辑
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3．充分条件与必要条件 (1)若 ，则p是q的充分非必要条件．
(2)若
(3)若 (4)若
，则p是q的必要非充分条件．
，则p是q的充要条件． ，则p是q的非充分非必要条件．
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第一章
集合与简易逻辑
高考调研
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第一章
集合与简易逻辑
高考调研
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∵綈p是綈q的必要而不充分条件，
m>0， ∴A B，∴1－m<－2， 1＋m≥10，
即m≥9或m>9.∴m≥9.
m>0， 或1－m≤－2， 1＋m>10，
故实数m的取值范围是[9，＋∞)．
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第一章
集合与简易逻辑
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(5)p是q的充分不必要条件等价于綈q是綈p的充分不必要 条件． 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
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第一章
集合与简易逻辑
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2．(课本改编题)命题“若a<0，则一元二次方程x2＋x＋a ＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数
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第一章
集合与简易逻辑
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5．写出下列命题的否定形式和否命题： (1)若xy＝0，则x，y中至少有一个为零；
(2)若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零；
(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等； (4)有理数都能写成分数． 答案 略 解析 (1)否定形式：若xy＝0，则x，y都不为零． 否命题：若xy≠0，则x，y都不为零． (2)否定形式：若a＋b＝0，则a，b都大于零． 否命题：若a＋b≠0，则a，b都大于零．
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第一章
集合与简易逻辑
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题型二
充要条件的判定
例2 判断下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a>b，q：a>b－1；
(2)p：a>b，q：lga>lgb；
(3)p：a>b，q：2a>2b； (4)p：a>b，q：a2>b2.
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第一章
集合与简易逻辑
(3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出
现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件； ③若A＝B，则p是q的充要条件． (4)等价命题法：利用原命题和逆否命题是等价的这个结
论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础．
题型一 例1
四种命题及其真假的判定
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，
并判断它们的真假．
(1)面积相等的两个三角形是全等三角形；
(2)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根； (3)若x2＋y2＝0，则实数x，y全为零．
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第一章
集合与简易逻辑
高考调研
【解析】 题．
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
綈 q：(x－a)(x－a－1)≤0，∴a≤x≤a＋1.
由 p 是綈 q 的 充 分 不 必 要 条 件 知 ：
1 a≤ ， 2 a＋1≥1，
1 ∴0≤a≤ . 2
1 【答案】 [0， ] 2
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