2009-2010北京市朝阳区高三一模数学文科答案

朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（一）
数学测试（文史类）答案 2010.4
三、解答题
（15） （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为34C π=
，sin A =，
所以cos A =
=. 由已知得4
B A π
=
-.
则sin sin(
)sin
cos cos
sin 4
4
4
B
A A A π
π
π
=-=-
=
=
. ……………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin B =
sin sin b a B A =,得a =. 又因为a b ⋅=，所以2a =，b =. …………………………………13分
（16） （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）ab ，ac ，ad ，ae , bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de. ………………………3分
(Ⅱ) 记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A ，
则事件A 包含的基本事件为ac ，ad ，ae , bc ，bd ，be ，共6个基本事件.
所以6
()0.610
P A =
=. 答：恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6. ………………………………8分
(Ⅲ)记“至少摸出1个黑球”为事件B ，则事件B 包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，ae , bc ，bd ，be ，共7个基本事件，
所以7
()0.710
P B =
=. 答：至少摸出1个黑球的概率为0.7 . ……………………………………13分 （17）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接OD .
因为O 为1AB 的中点，D 为AB 的中点，所以OD ∥1BB 且11
2
OD BB =. 又E 是1CC 中点， 则EC ∥1BB 且11
2
EC BB =
,即EC ∥OD 且EC OD =， 则四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥CD .
又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ，则CD ∥平面1A BE . ……………7分 (Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB BC ⊥， 所以1BB ⊥平面ABC .
因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥. 所以CD ⊥平面11A ABB .
由（Ⅰ）可知EO ∥CD ，所以EO ⊥平面11A ABB . 所以EO ⊥1AB .
因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.
又1EO A B O = ，EO ⊂平面1A EB ,1A B ⊂平面1A EB ,
所以1AB ⊥平面1A BE . ……………………………………………………13分 （18）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）()f x '=2
363mx x +-.
因为函数()f x 在1x =-处取得极值，所以(1)0f '-=，解得3m =.
于是函数32()333f x x x x =+-，(1)3f =,2
()963f x x x '=+-.
函数()f x 在点M (1,3)处的切线的斜率(1)12k f '==，
则()f x 在点M 处的切线方程为1290x y --=. …………………………6分 （Ⅱ）当0m <时，2()363f x mx x '=+-是开口向下的抛物线，要使()f x '在(2, )+∞上
存在子区间使()0f x '>，应满足0,
1
2,1
()m m f m ≥0,<⎧⎪⎪-⎨⎪⎪'->⎩
或0,1
2,(2.
m m f <⎧⎪⎪-<⎨⎪'⎪>⎩)0
解得102m -
<≤，或3142m -<<-，所以m 的取值范围是3, 04⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．……14分
(19）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b +=>>，由题意得222221
91,41,2.
a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩
解得2
4a =，2
3b =，故椭圆C 的方程为22
143
x y +=． ……………………5分 （Ⅱ）若存在直线l 满足条件，由题意可设直线l 的方程为(2)1y k x =-+，
由22
1,43
(2)1,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩
得222
(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=. 因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，设,A B 两点的坐标分别为
1122(,),(,)x y x y ，
所以2
2
2
[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---⋅+⋅-->. 整理得32(63)0k +>. 解得12
k >-
． 又1228(21)34k k x x k -+=+，2122
16168
34k k x x k --=+，
且2PA PB PM ⋅= ，即12125(2)(2)(1)(1)4
x x y y --+--=，
所以 22125(2)(2)(1)||4x x k PM --+==. 即 2
12125[2()4](1)4
x x x x k -+++=.
所以 222
222
161688(21)445[24](1)3434344
k k k k k k k k k ---+-++==+++，解得12k =±. 所以12k =
．于是存在直线l 满足条件，其的方程为1
2
y x =. ………………13分 （20）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）证明：因为12
12n n n a
a
a
n n n x x x ++++==，且数列{}n x 中各项都是正数，
所以 1122lg lg lg n n n n n n a x a x a x ++++==．
设1122lg lg lg n n n n n n a x a x a x p ++++===， ① 因为数列{}n a 是调和数列，故0n a ≠，
12
211
n n n a a a ++=+
． 所以
12
2n n n p p p
a a a ++=+
． ② 由①得
1212
lg , lg , lg n n n n n n p p p x x x a a a ++++===， 代入②式得12 2lg lg lg n n n x x x ++=+，即2
12 lg lg()n n n x x x ++=.
故212 n n n x x x ++=. 所以数列{}n x 是等比数列． ………………………………5分
（Ⅱ）设{}n x 的公比为q ，则437x q x =，即4
8128q =．由于0n x >，故2q =．
于是333822n n n n x x q --==⨯=． 注意到第 (1,2,3,)n n = 行共有n 个数，
所以三角形数表中第1行至第1m -行共含有(1)
123(1)2
m m m -++++-=
个数. 因此第m 行第1个数是数列{}n x 中的第2(1)2
122
m m m m --++=项. 故第m 行第1个数是222
2
22
2
m m m m x -+-+=，
所以第m 行各数的和为222
2
2
2
2
(21)
2
(21)21
m m m m m
m m S -+-+-=
=--． …………10分
（Ⅲ）由 3121
1
1
1
4444n
n b b b b b n x ----⋅⋅⋅⋅= ，得312)(4(2)n n b b n b b b n ++-++= ，
即312)]
(2[2
2n n b b n b b b n ++-++= ，所以122[()]n n b b b n nb +++-= ， ①
12112[()(1)](1)n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②
②—① 得 1122(1)n n n b n b nb ++-=+-， 即1(1)20n n n b nb +--+=， ③
21(1)20n n nb n b ++-++=， ④
④-③ 得 2120n n n nb nb nb ++-+=，即212n n n b b b +++=.
所以{}n b 为等差数列． ………………………………………………14分。