【人教版】2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《选修坐标系》(知识梳理+典例讲解+习题自测,38ppt)

π 解析：圆心的极坐标为(1,0)，半径为 1，θ＝ 与圆的交点 4 π 的极坐标为 2，4. π 答案：(1,0)， 2，4
疑点清源 1.极坐标系与直角坐标系在满足极点、极轴分别与原点、x 轴正半轴重合时，可用 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 将直角坐标方程化 y 2 2 2 为极坐标方程；反之；利用 ρ ＝x ＋y ，tanθ＝x(x≠0)可以将 直角坐标方程化为极坐标方程． 2．求解与极坐标有关的问题，应注意先化为直角坐标后 解决较为方便． 3．求解与极坐标有关的问题，主要有两种方法：一是直 接利用极坐标求解，求解时可与数形结合思想结合在一起应 用；二是转化为直角坐标后，用直角坐标求解，使用后一种时 应注意， 若结果要求的是极坐标， 还应将直角坐标化为极坐标.
考点梳理 1.极坐标的概念 (1)极坐标系：
如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做①______，从 O 点引一条射线 Ox，叫做②______，选定一个单位长度和角及 其正方向(通常取逆时针方向)，这样应确定了一个平面极坐标 系，简称为③__________.
(2)极坐标： 对于平面内任意一点 M，用 ρ 表示线段 OM 的长，θ 表示 以 Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ 叫做点 M 的④______，θ 叫做点 M 的⑤______，有序实数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标， 记作 M(ρ，θ)． 当点 M 在极点时，它的极径⑥____ ，极角 θ 可以取⑦ ______.
续表
答案：①极点 ②极轴 ③极坐标系 ④极径 ⑤极角 ⑥ρ＝0 ⑦任意值 ⑧同一个点 ⑨ρcosθ ⑩ρsinθ ⑪ x2＋y2 π π y ⑫ x (x≠0) ⑬ ρ ＝ r(0≤θ ＜ 2π) ⑭ ρ ＝ 2rcosθ －2≤θ＜2 ⑮ρ＝2rsinθ(0≤θ＜π) ⑯ρcosθ＝a ⑰ρsinθ＝a(0＜θ＜π) ⑱ρsin(α－θ)＝asinα
新题速递 1.(2012· 陕西卷)直线 2ρcosθ＝1 与圆 ρ＝2cosθ 相交的弦长 为__________．
1 解析：将极坐标方程直角化，得直线的方程是 x＝2，圆的 1 2 2 方程是(x－1) ＋y ＝1，圆心到直线的距离 d＝2，所以直线被 1 圆所截得的弦长为 2 1－ ＝ 3. 4 答案： 3
点评：直线和圆的极坐标方程的综合性问题多是以直线和 圆的位置关系(如相切或相交)为考查重点，通常将直线和圆的 极坐标方程化为直角坐标方程解决．
变式探究 2 已知一条曲线的极坐标方程为 ρ ＝ 2sinθ＋ 4cosθ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则 该曲线的直角坐标方程为__________．
解析：由圆 ρ＝2cosθ 得 ρ2＝2ρcosθ， x＝ρcosθ， ∵ ∴ρ2＝x2＋y2， y＝ρsinθ， 所以圆 ρ＝2cosθ 与直线 3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0 的直角坐标 方程分别为 x2＋y2＝2x,3x＋4y＋a＝0. 将圆的方程配方得(x－1)2＋y2＝1， |3＋4×0＋a| 依题意，得圆心 C(1,0)到直线的距离为 1，即 32＋42 ＝1，整理，得|3＋a|＝5，解得 a＝2 或 a＝－8. 所以实数 a 的值为 2 或－8.
变式探究 1
方程 x2 ＋ y2 ＝ 1 对应的图形经过伸缩变换
x′＝4x， 后，对应图形的方程为__________． 3 y′＝2y
x2 y2 答案：16＋ 9 ＝1 4
题型二 极坐标与直角坐标的互化 例 2.在极坐标系中，已知圆 ρ ＝2cosθ 与直线 3ρcosθ＋ 4ρsinθ＋a＝0 相切，求实数 a 的值．
选修 4－4－1 坐标系 考纲点击 1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化 情况． 2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐 标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标 和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在 极点的圆)的方程． 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐 标系中的方程.
互化公式
x＝⑨ y＝⑩
在一般情况下，由 tanθ 确定角时，可根据点 M 所在的象限取最 小正角．
3．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 圆心在极点， 半 径为 r 的圆 圆心为(r,0)，半 径为 r 的圆 π 圆心为r，2， 半径为 r 的圆
极坐标方程 ⑬__________________ ⑭__________________ ⑮__________________
1 x＝ x′， (2)设直线 l′上任意一点 P′(x′，y′)，则 3 y＝2y′， 1 x＝ x′， 1 将 3 代入 y＝6x 得 2y′＝6×3x′，即 y′＝x′， y ＝ 2 y ′ ， ∴直线 l′的方程为 y＝x.
点评：在坐标变换公式中，点(x′，y′)是变换后的点的 坐标，利用方程思想合理代入即可求解．
π π 解析：原方程可化为 ρ＝6cosθcos ＋6sinθsin ， 3 3 方程两边同乘 ρ，得 ρ2＝3ρcosθ＋3 3ρsinθ， 由 ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y， 得所求的直角坐标方程为 x2＋y2－3x－3 3y＝0. 答案：x2＋y2－3x－3 3y＝0
5 ． 在 极 坐 标 系 中 ， 圆 ρ ＝ 2cosθ 的 圆 心 的 极 坐 标 是 π __________，它与方程 θ＝4(ρ＞0)所表示的图形的交点的极坐 标是__________．
题型探究 题型一 直角坐标系中的伸缩变换 例 1. 在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 伸 缩 变 换 φ ： x′＝3x， 2y′＝y. 1 (1)求点 A3，－2经过 φ 变换所得的点 A′的坐标； (2)求直线 l：y＝6x，经过 φ 变换后所得的直线 l′的方程．
(3)点与极坐标的关系： 平面内一点的极坐标可以有无数对，当 k∈Z 时，(ρ，θ)， (ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示⑧________，而用平面 直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的． 如果规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除极点 外，平面内的点和极坐标就一一对应了．
2．极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的 正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的 单位长度，如图所示．
(2)互化公式： 设 M 是坐标平面内任意一点， 它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是极坐标与直角坐标的互 化公式如表： 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) ρ2＝⑪ ______________ tanθ＝⑫ ______________
解析：因为 x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ，所以原方程可化为 ρ2 －8ρsinθ＝0. 所以 ρ＝0 或 ρ＝8sinθ. 经检验，得所求的极坐标方程为 ρ＝8sinθ. 答案：ρ＝8sinθ
4．极坐标方程 __________．
π ρ ＝ 6cos θ－3 的 直 角 坐 标 方 程 为
2．在极坐标系中，已知两点 PQ 的长度为__________．
5π π P5， 4 ，Q1，4，则线段
π 解析：P，Q 在过极点且与极轴成4角的直线上，它们位于 极点的两侧，因此 PQ＝5＋1＝6. 答案：6
3 ． 直 角 坐 标 方 程 x2 ＋ y2 － 8y ＝ 0 的 极 坐 标 方 程 为 __________．
解析：(1)设 A′(x′，y′)，由伸缩变换
x′＝3x， φ： 2y′＝y
x′＝3x， 1 得到 由于 A(x，y)为3，－2， 1 y′＝ y， 2 1 1 ∴x′＝3× ＝1， y′＝ ×(－2)＝－1， ∴A′的坐标为(1， 3 2 －1)．
2． (2013· 湖南卷)在极坐标系中， 曲线 C1： ρ( 2cosθ＋sinθ) ＝ 1 与曲线 C2 ： ρ ＝ a(a>0) 的一个交点在极轴上，则 a ＝ __________.
解析：曲线 C1 的直角坐标方程为 2x＋y＝1，曲线 C2 的 直角坐标方程为 x2 ＋ y2 ＝ a2 ， C1 与极轴的交点直角坐标为 2 2 2 ，0，代入 C2 的直角坐标方程，得 a＝ 2 . 2 答案： 2
归纳总结 •方法与技巧 1．极坐标方程与普通方程互化核心公式
2 2 2 ρ ＝ x ＋ y ， x＝ρcosθ， y y＝ρsinθ， tanθ＝ x≠0. x 2．常用图形如圆，直线等的极坐标方程．
•失误与防范 1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位； ④角度单位和它的正方向，四者缺一不可． 2．由极径的意义知 ρ≥0，当极角 θ 的取值范围是[0,2π] 时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应 关系，约定极点的极坐标是极径 ρ＝0，极角可取任意角． 3．极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．在直角坐标 系中，点与直角坐标是“一对一”的关系；在极坐标系中，由 于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯一，因此点与极坐 标是“一对多”的关系，但不同的极坐标可以写出统一的表达 式．如果(ρ，θ)是点 M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作为点 M 的极坐标.
把②代入①， 得点 P 的轨迹的极坐标方程为 由
π 2ρcosθ－4＝4 π 2ρcosθ－4＝4.
得 ρ(cosθ＋sinθ)＝4.
∴点 P 的轨迹的普通方程为 x＋y＝4，是过点(4,0)且倾斜 3π 角为 的直线． 4
点评： ①建立适当极坐标帮助分析问题． ②掌握常见的圆、 直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式，对提高解题速度至关重 要．
答案：x2＋y2－4x－2y＝0
题型三 极坐标的应用