2020届高三毕业班摸底测试数学答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集为R ，集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =≥，则A B ⋂=（ C ）A ．{|01}x x <≤B ．{|01}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．{|02}x x << 2.若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ D ） A ．1355i + B ．1355i -+ C ．1355i - D ．1355i -- 3．用数学归纳法证明：n n <-++++121...31211，（)1,*>∈n N n 时，第一步应验证的不等式是(D) （A ）2211<+（B ）331211<++ （C ）34131211<+++ （D ）231211<++4．在ABC ∆中，已知2BD DC =，则AD =(C) （A ）1322AB AC -+ （B ）1322AB AC +（C ）1233AB AC + （D ）1233AB AC -5.在公比为q 的正项等比数列{}n a 中，44a =，则当262a a +取得最小值时，2log q =（ A ） A ．14 B ．14- C ．18 D ．18- 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(D)（A ）180 （B ）200 （C ）220 （D ）2407.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为(B)（A ）3 （B ）4（C ）5 （D ）68．已知a ,b ,l 是不同的直线，α,β，γ是不重合的平面，有下列命题：(A)①若a β⊥,αβ⊥，则//a α； ②若//a α，a b ⊥，则b α⊥； ③若//a b ，l a ⊥，则l b ⊥； ④若αγ⊥，βγ⊥，，则//αβ. 其中正确命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 9.已知324πβαπ<<<，12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-，则sin 2α=（ B ）A ．5665 B ．5665- C ．6556 D ．6556- 10.若函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 为（ C ） A ．2或6 B ．2 C ．6 D ．-2或-611．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，A 为双曲线的右顶点，线段2AF 的垂直平分线交双曲线于P ，且123PF PF =，则该双曲线的离心率是(C)（A （B （C ）12-+ （D ）12+12.已知函数1(),()ln 22x x f x e g x ==+，对任意a R ∈，存在(0,)b ∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ D ）A ．1B ．212e - C.2ln2- D ．2ln2+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.计算1(1)x dx -+=⎰1214.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且bsinA=3a cosB. 角B= 60 ；15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则双曲线的方程是221520x y -= ． 16．已知函数2()()x f x x a e =-，的两个极值点为12,x x ，且1212x x x x +≥，则实数a 的取值范围是(]1,2-三、解答题.共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17、（本小题满分12分）某高校在一次自主招生中，对20名已选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中，随机抽取一名，抽到语言表达能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.（Ⅰ）求log n m 的值.（Ⅱ）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率. 17．解：（1）由题意得：62205n +=，1420m n ++=， 4,2m n ==，log 2n m =;（2）设至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率为P ；从语言表达能力良好的9名学生中任意抽取2名共有36个结果， 在这9人中逻辑思维能力都不优秀的有6人， 从这6人中任取2名学生共有15个结果；15713612P ∴=-=. 18．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的第一项11a =，且1()1nn na a n N a *+=∈+． （Ⅰ）设1n nb a =，求证：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）数列{}n c 前n 项的和记为n T ，若1n n n c a a +=，求n T 的取值范围．18．解：（1）11,1n n n n na ab a a +==+，11n n b b +∴-=，11b = {}n b ∴是等差数列． （2）1,n n n b b n a ==，1n a n∴=； 111(1)1n c n n n n ==-++，111n T n ∴=-+，1,12n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭19．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又030CAD ∠=，PA =,点N 在线段上，且13PN NB =. （Ⅰ）求证：//MN 平面PDC ；（Ⅱ）求二面角P BC A --的余弦值．19．解：(1)证明：在正三角形ABC 中，BM =在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥， 所以AD CD =，因为030CAD ∠=，所以3DM =， 所以:3:1BM MD =， 所以13PN DM NB MB ==，所以//MN PD ， 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ， 所以//MN 平面PDC .（2）建立如图直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(4,0,0)B，(2,C ，设二面角P BC A --的平面角为θ，平面PBC 的法向量1(,,)n x y z =，(4,0,4),(2,4)PB PC =-=-，440240x z x z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩令3x =，则y =3z =；1(3,3,3)n =， 平面ABC 的法向量2(0,0,1)n =， 121221cos n n n n θ∙==∙20．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(,0)a -，点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ⋅=，求0y 的值. .解：（1）由c e a ==2234a c =，再由222c a b =-，得2a b =， 由题意可知，12242a b ⨯⨯=，即2ab =. 解方程组22a b ab =⎧⎨=⎩得2a =，1b =，所以椭圆的方程为2214x y +=. （2）由（1）可知(2,0)A -.设B 点的坐标为11(,)x y ，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(2)y k x =+，于是A ，B 两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，由方程组消去y 整理，得2222(14)16(164)0k x k x k +++-=，由212164214k x k --=+，得2122814k x k -=+，从而12414ky k =+. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为22282(,)1414k kk k -++. 以下分两种情况：（1）当0k =时，点B 的坐标为(2,0).线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是0(2,)QA y =--，0(2,)QB y =-，由4QA QB ⋅=，得0y =±（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为222218()1414k k y x k k k -=-+++. 令0x =，解得02614ky k =-+.由0(2,)QA y =--，110(,)QB x y y =-，10102()QA QB x y y y ⋅=---222222(28)646()14141414k k k kk k k k --=++++++ 42224(16151)4(14)k k k +-==+.整理得272k =，故7k =±，所以05y =±.综上0y =±0y =.21．（本小题满分12分）已知函数2()(21)ln f x ax a x x=-+-，12()2ln g x a x x =-，其中a R ∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a >时，求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若存在21[,e ]ex ∈，使得不等式()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围． 解：（1）当2a =时，2()25ln f x x x x=--， 252()2f x x x'=-+/, (1)1f '=-/，又(1)0f =，∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=； （2）2212()a f x a x x +'=-+/=2(2)(1)x ax x--． 当12a =时，()0f x '≥/恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上为增函数； 当12a >时，当1(0,)x a∈,(2,)+∞时，()0f x '≥/，函数()f x 为增函数； 当1(,2)x a∈时，()0f x '≤/，函数()f x 为减函数；当102a <<时，当(0,2)x ∈,1(,)a+∞时，()0,f x '≥/函数f （x ）为增函数； 当1(2,)x a∈时，()0f x '≤/,函数()f x 为减函数；（3）()()f x g x ≥等价于22(21)ln 2ln ax a x a x x x-+-≥--， 即ln 0ax x -≥， 分离参数a 得ln x a x ≥，令ln ()xh x x =， 若存在21,a e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()f x g x ≥成立，即min ()a h x ≥．21ln ()xh x x -'=当1(,)x e e∈时，()0h x '>，()h x 为增函数；当2(,)x e e ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数．而1()h e e=-,222()h e e=． ∴h （x ）()h x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为e -，∴a e ≥-．22.选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(2,1)，求PA PB +的最小值. 22.【解】（1）由6cos ρθ=，得26cos ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y x +=，即22(3)9x y -+=.（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得2(2sin 2cos )70t t αα+--=， 因为0∆>，可设1t ，2t 是上述方程的两根，所以122(cos sin )t t αα+=-，127t t =-， 又因为(2,1)为直线所过定点， ∴1212PA PB t t t t +=+=-==≥=所以PA PB +的最小值为。