高三摸底测试(数学文)
南京五中2024-2025学年高三7月数学摸底测试卷
南京五中2024-2025学年高三7月数学摸底测试卷一．选择题1．若集合，N＝{y|y＝3x2+1}，则M∪N＝（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．[4，+∞）D．[1，+∞）2．已知复数z满足z（1﹣i）＝|1+i|2，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．已知等比数列{a n}的公比为q，若a1+a2＝12，且a1，a2+6，a3成等差数列，则q＝（）A．B．C．3D．﹣34．已知，则sinαsinβ＝（）A．B．C．D．5.已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝（1﹣）sin x的图象的大致形状是（）A．B．C．D．7．某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球．记R1＝“第一次摸球时摸到红球”，G1＝“第一次摸球时摸到绿球”，R2＝“第二次摸球时摸到红球”，G2＝“第二次摸球时摸到绿球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（）A．P（R）＝P（R1）•P（R2）B．P（G）＝P（G1）+P（G2）C．D．P（G2|G1）+P（G1|G2）＝18．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C＝Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h，则该蓄电池的Peukert常数λ约为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（）A．1.12B．1.13C．1.14D．1.15二．多选题（多选）9．若正数a，b满足a+b＝1，则（）A．log2a+log2b≤﹣2B．C．a+lnb＜0D．（多选）10．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞）B．不等式f（x）＜1的解集是（﹣1，3）C．函数f（x）的图象关于x＝1对称D．函数f（x）的值域是R（多选）11．棱长为2的正方体．ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法正确的有（）A．动点F轨迹的长度为B．三棱锥B1﹣D1EF体积的最小值为C．B1F与A1B不可能垂直D．当三棱锥B1﹣D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为三．填空题12.已知平面向量，，若，则＝．13.在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到A，B，C三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加C项目，那么不同的志愿者分配方案共有种（用数字表示）．14.某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x（x＞0）千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f（x）千元与g（x）千元，其中f（x）＝2x，g（x）＝4ln（2x+1），如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投千元．四．解答题15．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且b＝2，a2＝（c﹣1）2+3．（1）求A；（2）若＝4，求cos C的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A﹣CD﹣P为直二面角．（1）求证：PB⊥PD；（2）当PC＝PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．17．无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．（1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表.是否有99.9%的把握认为消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关.晴天雨天命中4530不命中520附：其中n ＝a +b +c +dα0.150.100.050.0100.001x α2.0722.7063.8416.63510.828（2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立．无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭．（i X 的分布列及数学期望；（ii ）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．18．已知函数f （x ）＝a （x ﹣1）﹣lnx （a ∈R ）．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值集合．19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b的离心率为12，左､右焦点分别为1F ，2F ，上､下顶点分别为1A ，2A ，且四边形1122A F A F 的面积为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l ：(0)y kx m m 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且P ，Q 关于原点的对称点分别为M ，N ，若22OP OQ是一个与m无关的常数，则当四边形PQMN面积最大时，求直线l的方程.南京五中2024-2025学年高三7月数学摸底测试卷一．选择题1．若集合，N＝{y|y＝3x2+1}，则M∪N＝（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．[4，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由x﹣4≥0，得x≥4，故M＝[4，+∞），由y＝3x2+1，得y≥1，故N＝[1，+∞），故M∪N＝[1，+∞）．故选：D．2．已知复数z满足z（1﹣i）＝|1+i|2，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【解答】解：∵z（1﹣i）＝|1+i|2＝（）2＝2，∴z ＝＝＝1+i．故选：B．3．已知等比数列{a n}的公比为q，若a1+a2＝12，且a1，a2+6，a3成等差数列，则q＝（）A ．B ．C．3D．﹣3【解答】解：∵a1，a2+6，a3成等差数列，∴2（a2+6）＝a1+a3，又a1+a2＝12，∴2（12﹣a1+6）＝a1+a3，整理可得：，∴，解得：q＝0（舍）或q＝3．故选：C．4．已知，则sinαsinβ＝（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝，两式相减得sinαsinβ＝．故选：B．6.已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（）B．B．C．D．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，∵圆锥的轴截面为正三角形，∴l＝2r，h＝r，依题意，得πr2h＝πr2•r＝，∴r＝3，h＝3．故选：D．6．函数f（x）＝（1﹣）sin x的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝＝•sin x，则f（﹣x）＝•sin（﹣x）＝（﹣sin x）＝•sin x＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D，当x＞0，且x→0，f（x）＞0，排除B，故选：A．7．某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球．记R1＝“第一次摸球时摸到红球”，G1＝“第一次摸球时摸到绿球”，R2＝“第二次摸球时摸到红球”，G2＝“第二次摸球时摸到绿球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（）A．P（R）＝P（R1）•P（R2）B．P（G）＝P（G1）+P（G2）C．D．P（G2|G1）+P（G1|G2）＝1【解答】解：对于A，因为R＝R1∩R2，R1，R2不相互独立，所以P（R）≠P（R1）P（R2），故A错误；对于B，因为，所以P（G）≠P（G1）+P（G2），故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，则，故D错误．故选：C．8．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C＝Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h，则该蓄电池的Peukert常数λ约为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（）A．1.12B．1.13C．1.14D．1.15【解答】解：由题意可得，，所以60×7.5λ＝15×25λ，所以（）λ＝，则有＝，则λ＝＝＝≈1.15．故选：D．二．多选题（多选）9．若正数a，b满足a+b＝1，则（）A．log2a+log2b≤﹣2B．C．a+lnb＜0D．【解答】解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以ab＝，当且仅当a＝b＝时取等号，所以log2a+log2b＝log2ab≤log2＝﹣2，A正确；＝2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，B正确；a+lnb＝1﹣b+lnb，0＜b＜1，令f（x）＝1﹣x+lnx，0＜x＜1，则＝＞0，故f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）＜f（1）＝0，所以1﹣x+lnx＜0，所以1﹣b+lnb＜0，即a+lnb＜0，C正确；因为＝，当且仅当a＝b＝时取等号，D错误．故选：ABC．（多选）10．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞）B．不等式f（x）＜1的解集是（﹣1，3）C．函数f（x）的图象关于x＝1对称D．函数f（x）的值域是R【解答】解：对A：令x2﹣2x＞0，解得x＞2或x＜0，故f（x）的定义域为I＝（﹣∞，0）∪（2，+∞），∵y＝log3u在定义域内单调递增，u＝x2﹣2x在（﹣∞，0）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，A错误；对B：，且y＝log3x在定义域内单调递增，可得0＜x2﹣2x＜3，解得2＜x＜3或﹣1＜x＜0，故不等式f（x）＜1的解集是（﹣1，0）∪（2，3），B错误．对C：∵，即f（2﹣x）＝f（x），故函数f（x）的图象关于x＝1对称，C正确；对D：∵x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，即y＝x2﹣2x的值域M＝[﹣1，+∞），∵（0，+∞）⊆M，故函数f（x）的值域是R，D正确．故选：CD．（多选）11．棱长为2的正方体．ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法正确的有（）A．动点F轨迹的长度为B．三棱锥B1﹣D1EF体积的最小值为C．B1F与A1B不可能垂直D．当三棱锥B1﹣D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为【解答】解：对A选项，如图，分别取C1D1，CC1的中点G，H，则易知HG∥CD1∥BA1，B1H∥A1E，且HG∩B1H＝H，∴可得平面B1GH∥平面A1BE，∴当F为GH上的点时，B1F∥平面A1BE，∴动点F轨迹为线段GH，又易知GH＝D1C＝，∴A选项正确；对B选项，由A选项分析可知，当F与G点重合时，△EFD1的面积取得最小值为＝，∴三棱锥B1﹣EFD1的体积的最小值为＝，即三棱锥B1﹣D1EF的体积的最小值为，∴B选项正确；对C选项，由A选项分析可知A1B∥GH，又易知B1G＝B1F＝，∴当F为GH的中点时，B1F⊥GH，即B1F⊥A1B，∴C选项错误；对D选项，根据A选项分析可知，当F为CC1的中点时，△D1DF的面积最大，从而可得三棱锥B1﹣D1DF的体积最大，如图，取B1D的中点H，连接HF，则易证HF∥AC，且HF＝AC＝，又易证AC⊥平面BDD1B1，∴HF⊥平面BDD1B1，又H到D，D1，B1三点的距离相等，直线HF上的点到D，D1，B1三点的距离也相等，在FH的延长线上取点O，使得OF＝OD1，则O即为三棱锥B1﹣D1DF的外接球的球心，设三棱锥B1﹣D1DF的外接球的半径为R，则R＝OF＝OD1，又易知D1H＝BD1＝，∴在Rt△OD1H中，由勾股定理可得，解得R＝，∴当三棱锥B1﹣D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为4πR2＝，∴D选项正确．故选：ABD．三．填空题12.已知平面向量，，若，则＝．【解答】解：根据题意，平面向量，，若，则，解得k＝2，故，所以．故答案为：．13.在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到A，B，C三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加C项目，那么不同的志愿者分配方案共有种（用数字表示）．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①只有甲1人参加C项目，将其他3人分成2组，有种分组方法，将分好的2组全排列，对应AB两个项目，有＝2种情况，则此时有3×2＝6种分配方案；②甲和另外1人参加C项目，在乙、丙、丁中任选1人，有种选法，将其他2人全排列，对应AB两个项目，有＝2种情况，则此时有3×2＝6种分配方案；则一共有6+6＝12种不同的分配方案．故答案为：12．15.某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x（x＞0）千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f（x）千元与g（x）千元，其中f（x）＝2x，g（x）＝4ln（2x+1），如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投千元．【解答】解：设B商品需投x千元（0≤x≤5），则A商品为（5﹣x）千元，则：F（x）＝4ln（2x+1）+2（5﹣x）＝4ln（2x+1）﹣2x+10，x∈[0，5]，所以F′（x）＝，当0≤x＜1.5时，F′（x）＞0，函数F（x）在[0，1.5）上单调递增，当1.5＜x≤5时，F′（x）＜0，函数F（x）在（1.5，5]上单调递减，所以F（x）max＝F（1.5）＝4ln4+7，所以当B商品投入1.5千元时，总收益最大．故答案为：1.5．四．解答题15．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且b＝2，a2＝（c﹣1）2+3．（1）求A；（2）若＝4，求cos C的值．【解答】解：（1）由a2＝（c﹣1）2+3．得a2＝c2﹣2c+4，又b＝2，得cos A＝＝＝＝，又因为0＜A＜π，所以A＝；（2）∵＝4，∴＝2，在△ABC中，由正弦定理＝得＝，解得sin B＝，由A＝，得B＜，所以B＝，因为在△ABC中，A+B+C＝π，所以cos C＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝×﹣×＝．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A﹣CD﹣P为直二面角．（1）求证：PB⊥PD；（2）当PC＝PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：由于底面ABCD是边长为2的正方形，则BC⊥CD，由于二面角A﹣CD﹣P为直二面角，则BC⊥平面PCD，由于PD⊂平面PCD，则PD⊥BC，又PC⊥PD，PC∩BC＝C，PC、BC⊂平面PBC，则PD⊥平面PBC，由于PB⊂平面PBC，则PB⊥PD．（2）取CD中点F，连PF、BF，由PC＝PD知PF⊥CD，由于二面角A﹣CD﹣P为直二面角，则PF⊥平面ABC，于是PF⊥BF，由于底面ABCD是边长为2的正方形，则PF＝，BF＝，于是PB＝，同理PA＝，于是，又，设C到平面PAB距离为d，则由V P﹣ABC＝V C﹣PAB得：，于是解得：d＝，故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为：．17．无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．（1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表.是否有99.9%的把握认为消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关.晴天雨天命中4530不命中520附：其中n＝a+b+c+dα0.150.100.050.0100.001xα 2.072 2.706 3.841 6.63510.828（2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立．无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭．（i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望；（ii【解答】解：（1）零假设H0：消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关，2×2列联表如下：晴天雨天合计命中453075不命中52025合计5050100，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，零假设H0不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关．（2）（i）起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0，1，2，3，．X的分布列如下：X0123P∵，∴．（ii）击中一次被扑灭的概率为，击中两次被火扑灭的概率为，击中三次被火扑灭的概率为，所求概率．18．已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值集合．【解答】解：（1）由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），则，当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；当a＞0时，令f′（x）＝0，解得，∴当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为；综上所述：当a≤0时，则f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；当a＞0时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为；（2）当a≤0时，f（2）＝a﹣ln2＜0，不合题意；当a ＞0时，由（1）知；则1﹣a +lna ≥0；令g （a ）＝1﹣a +lna ，则，∴当a ∈（0，1）时，g ′（a ）＞0；当a ∈（1，+∞）时，g ′（a ）＜0；∴g （a ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴g （a ）max ＝g （1）＝0，∴实数a 的取值集合为{1}．19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b的离心率为12，左､右焦点分别为1F ，2F ，上､下顶点分别为1A ，2A ，且四边形1122A F A F 的面积为23.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l ：(0)y kx m m 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且P ，Q 关于原点的对称点分别为M ，N ，若22OP OQ 是一个与m 无关的常数，则当四边形PQMN 面积最大时，求直线l 的方程.【详解】（1）12c e a ，11221222232A F A F S c b bc四边形，所以3bc ，因为a 2＝b 2+c 2，所以a ＝2，3b ，c ＝1，所以椭圆方程为22143x y ．（2）如图，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），22222222221122112233||3344OP OQ x y x y x x x x2221212121166[)244x x x x x x，联立22143y kx mx y，消去y 整理得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，Δ＝（8km ）2﹣4（4m 2﹣12）（3+4k 2）＞0，即m 2＜3+4k 2，所以122834km x x k ，212241234m x x k .，22222218824||6[)43434km m OP OQ k k222222132********(34)k m m k k ，因为|OP |2+|OQ |2是一个与m 无关的常数，所以32k 2﹣24＝0，234k，32k ，1243km x x ，212263m x x ，PQ点O 到直线l 的距离O d，所以12POQO S PQ d，即m 2＝3，因为m ＞0，所以m 因为S 四边形MNPQ ＝4S △POQ ，所以S △POQ 最大时，S 四边形MNPQ 最大，所以32l y x：或32y x。
2023届江西省南昌市高三上学期摸底测试(零模)数学(文)试题(解析版)
江西省南昌市2023届高三上学期摸底测试（零模）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，2{|20}B x x x =+-<，则A B =（ ） A ．{1,0,1}- B ．{1,0}-C ．{21,1,2}--，D ．{01,2}， 2．复数112i+的虚部是（ ） A ．25-B ．15-C ．15D ．253．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（ ） A ．4B ．2C ．1D ．124．若变量,x y 满足约束条件200x y y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．“0ab >”是“2b aa b +≥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知点,,A B C 是球O 的小圆1O 上的三点，若133,4AB BC CA OO ====，则球O 的表面积为（ ） A ．64πB ．100πC ．144πD ．200π7．若直线2232x y =-与圆224x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OA AB ⋅=（ ） A ．22B ．4C ．22-D ．－48．如图，正四棱台1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别是棱111111,,C D D A A B 的中点，则下列判断中，不正确的是（ ）A ．11,,,B B D D 共面 B ．F ∈平面ACEC ．FG ⊥平面ACED ．11//A C 平面ACE9．冬残奥会闭幕式上，中国式浪漫再现，天干地支时辰钟表盘再现，由定音鼓构成的“表盘”形象上，60名残健共融表演者用行为模拟“指针”每圈60个时间刻度的行进轨迹．若以图中12点与圆心连线为始边，某时刻指向第1，21，41名残健共融表演者的“指针”为终边的角分别记为,,αβγ，则cos cos cos αβγ++的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．cos α10．设函数()f x 的定义域为R ，且(2)f x +是奇函数，(1)f x +是偶函数，则一定有（ ） A ．(4)0f =B ．(1)0f -=C ．(3)0f =D ．(5)0f =11．若2221(2)x x y -=-+，则2222(2)(2)x y x y +++-+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 的周期为4πB ．对任意的x ∈R ，都有()2π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间[]0,5π上恰好有三个零点D ．函数π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数二、填空题13．若函数()()sin f x x a x =+在πx =时取得极值，则=a _____. 14．执行如下程序框图，输出i 的值为_____.15．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是7，8，9，10，11，12，12，12，13，14，则这组数据的方差为_____.（参考数据：这组数据的平方和为1212）16．已知,OA OC 为正交基底，且,,1OB OA OD OC λμλμ==>>，,P Q 分别为,AC BD 的中点，若1AB CD =，则||PQ 的最小值为_____.三、解答题17．已知公差大于0的等差数列{}n a 满足11a =，且124,,a a a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令22na nb =，求数列{}n b 的前n 项和.18．如图是飞行棋部分棋盘图示，飞机的初始位置为0号格，抛掷一个质地均匀的骰子，若拋出的点数为1，2，飞机在原地不动；若抛出的点数为3，4，飞机向前移一格；若抛出的点数为5，6，飞机向前移两格.记抛掷骰子一次后，飞机到达1号格为事件A .记抛两次骰子后，飞机到达2号格为事件B .(1)求()P A ； (2)求()P B .19．如图，桌面上摆放了两个相同的正四面体PABD 和QABC .(1)求证：PQ AB ⊥；(2)若2AB =，求四面体APQB 的体积.20．已知函数()e (1)ln ln (0)x f x a x a x a =+--⋅>. (1)若e a =，求函数()f x 的极值； (2)讨论函数()f x 的单调性. 21．已知()2,0A ，()0,1B 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的两个顶点． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点()2,1P 的直线l 与椭圆E 交于C ，D ，与直线AB 交于点M ，求PM PMPC PD+的值． 22．已知曲线1C 的参数方程为3x ty t=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为21sin ρθ=-．(1)求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的直角坐标方程； (2)设曲线12,C C 的交点为,A B ，求||AB 的值． 23．已知函数()|26||36|f x x x =---． (1)求不等式()1f x >的解集；(2)若不等式()||f x k x ≤恒成立，求实数k 的取值范围参考答案：1．B【分析】由题可得{}|21B x x =-<<，再求A B 即可.【详解】∵{}{}2|20|21B x x x x x =+-<=-<<，{2,1,0,1,2}A =--所以{}1,0A B ⋂=-. 故选：B. 2．A【分析】根据复数的运算法则即可得到结果 【详解】22112i 12i 12i 12i 12i (12i)(12i)1(2i)555---====-++-- 所以虚部为25-故选：A 3．C【分析】利用抛物线的标准方程可得1p =，由焦点到准线的距离为p ，从而得到结果. 【详解】抛物线22y x =的焦点到准线的距离为p ， 由抛物线标准方程22y x =可得1p =， 故选：C. 4．D【分析】作出可行域，由2z x y =+可得122zy x =-+，根据数形结合求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由2z x y =+可得122zy x =-+，根据截距的几何意义可知，故当2z x y =+过点A 时，z 有最大值，由020y x x y -=⎧⎨+-=⎩解得1,1x y ==，即(1,1)A ， 所以max 1213z =+⨯=. 故选：D 5．C【分析】利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由2b a a b +≥可得()220a b b a a b ab-+-=≥， 由已知0a ≠且0b ≠，若0ab <，则0a b -≠，所以，()20a b ->，则()20a b ab-<，矛盾.若0ab >，则()20a b -≥，从而()220a b b a a b ab-+-=≥，合乎题意.综上所述，“0ab >”是“2b aa b +≥”的充要条件.故选：C. 6．B【分析】根据题意，求出小圆的半径r ，由1OO ⊥平面ABC ，结合勾股定理，可求得球O 的半径，计算其表面积得答案.【详解】因为AB BC CA ===ABC 是正三角形，1O 是其外接圆圆心，所以ABC 的外接圆半径1233r O A ==，球O的半径5R ==，所以球O 的表面积为24π4π25100πR =⨯=.故选：B. 7．D【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求出AB ，然后利用向量的数量积的定义及几何意义可求得结果.【详解】由题意得圆224x y +=的圆心(0,0)O到直线x =-d ==所以2AB=AB =所以()cos OA AB OA AB OAB π⋅=-∠ cos OA AB OAB =-∠242AB =-=-，故选：D 8．C【分析】根据正棱台的概念及正棱锥的性质结合条件逐项分析即得. 【详解】延长正四棱台1111ABCD A B C D -的侧棱相交于S ， 则三棱锥S ABCD -为正四棱锥，连接BD ，11,,,B B D D 都在平面SBD 内，故A 正确； 因为,E F 分别是棱1111,C D D A 的中点，所以11//EF A C ，由正棱锥的性质可知11//AC A C ， 所以//EF AC ，即F ∈平面ACE ，故B 正确； 因为点,E G 分别是棱1111,C D A B 的中点， 所以11//EG D B ，11EG AC ⊥，设1111A B C D O =，则SO ⊥平面1111D C B A ，EG ⊂平面1111D C B A ， ∴SO EG ⊥，11,SOAC SO O =⊂平面SAC ，11A C ⊂平面SAC ，∴EG ⊥平面SAC ，显然平面SAC 与平面ACE 不平行，故C 错误；因为11//AC A C ，AC ⊂平面ACE ，11A C ⊄平面ACE ， 所以11//A C 平面ACE ，故D 正确. 故选：C. 9．B【分析】根据两角和的余弦公式化简计算. 【详解】由已知得126030παπ=⨯=，212260330ππβπ=⨯=+，414260330ππγπ=⨯=+， 所以24cos cos cos coscos cos 30330330πππππαβγ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2244cos cos cos sin sin cos cos sin sin30330330330330πππππππππ=+-+-11coscos cos 0302303023030πππππ=--+=， 故选：B. 10．A【分析】根据图象平移变换与奇偶性，可得函数的对称性，可得答案. 【详解】()2f x +图象向右平移2个单位，可得()f x 的图象，且()2f x +是奇函数，()f x ∴的图象关于点()2,0成中心对称，()20f =，()1f x +图象向右平移1个单位，可得()f x 的图象，且()1f x +是偶函数， ()f x ∴的图象关于直线1x =成轴对称，由对称性，对称轴直线1x =关于()2,0成中心对称的直线为3x =， 对称中心()2,0关于直线3x =成轴对称的点为()4,0，即()40f =. 故选：A. 11．D【分析】求解定义域，确定1≥x ，用x 的表达式表示y 4x =，结合1≥x ，求出最小值.【详解】21x -210x -≥，解得：12x ≥， 两边平方得：()22222221(2143)4443x y x x x x x x ==-+-+-=----， 其中2330x -≥，解得：1≥x 或1x ≤-，综上：1≥x ，2121x x ===++-，因为1≥x ，所以210,210x x +>->， 所以原式212144x x x =++-=≥. 故选：D 12．C【分析】利用图象求出函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的周期性可判断A 选项；利用正弦型函数的最值可判断B 选项；在[]0,5πx ∈时，解方程()0f x =可判断C 选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断D 选项.【详解】因为()02sin 1f ϕ==，可得1sin 2ϕ=， 因为函数()f x 在0x =处附近单调递增，所以，()π2πZ 6k k ϕ=+∈， ()ππ2sin 2π2sin 66f x x k x ωω⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为3π3ππ2sin 1226f ω⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则3ππ1sin 262ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 因为函数()f x 在3π2x =处附近单调递减，且()f x 在0x >时在3π2x =处第一次取值为12-， 所以，3ππ7π266ω+=，可得23ω=， ()2π2sin 36x f x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为2π3π23T ==，A 错； 对于B 选项，2π4ππ2sin 2396f ⎛⎫⎛⎫=+≠ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，2π3⎛⎫⎪⎝⎭f 不是函数()f x 的最大值，B 错；对于C 选项，当05πx ≤≤时，π2π7π6362x ≤+≤， 由()0f x =可得{}2ππ,2π,3π36x +∈，可得5π11π17π,,444x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭， 所以，函数()f x 在区间[]0,5π上恰好有三个零点，C 对；对于D 选项，π2ππ22sin 2sin 43463x f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故函数π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数，D 错.故选：C. 13．π-【分析】求出函数的导数，由题意令导数等于0，求得a 的值，验证确定答案. 【详解】由()()sin f x x a x =+可得()sin ()cos f x x x a x '=++，函数()()sin f x x a x =+在πx =时取得极值，故(π)sin π(π)cos π0f a '=++=， 解得πa =- ，当π,πx x <→时，sin 0,(π)cos 0,()0x x x f x '>->∴>， 当π,πx x >→时，sin 0,(π)cos 0,()0x x x f x '<-<∴<， 即在πx =时，函数取得极值， 故πa =-， 故答案为：π- 14．5【分析】模拟运行循环体即可求解.【详解】第一次循环：121,=3233a i =⨯=，不满足15a =，第二次循环：131,=4344a i =⨯=，不满足15a =，第三次循环：141,=5455a i =⨯=，满足15a =，此时输出5i =，故答案为：5 15．4.56##11425【分析】将方差公式展开整理，代入相关数据计算，可得答案. 【详解】由题意得1(78910111231314)10.810x =+++++⨯++= ， 根据方差公式22222222121211[()()()][]n n s x x x x x x x x x nx nn=-+-++-=+++- ，可得221(12121010.8) 4.5610s =-⨯= ， 故答案为：4.5616【分析】由,OA OC 为正交基底，且,,1OB OA OD OC λμλμ==>>，结合向量的线性运算和数量积运算可得0AB CD ⋅=，再由,P Q 分别为,AC BD 的中点，可得()()1122PQ OB OD OA OC =+-+12AB CD =+，再利用基本不等式可求得其最小值.【详解】因为,OA OC 为正交基底，所以0OA OC ⋅=，因为,,1OB OA OD OC λμλμ==>>，所以(1),(1)AB OA CD OC λμ=-=-，所以(1)(1)0AB CD OA OC λμ⋅=--⋅=，因为,P Q 分别为,AC BD 的中点，PQ OQ OP =-， 所以()()1122PQ OB OD OA OC =+-+ 12AB CD =+ ()2AB CD =+ 222AB AB CD CD =+⋅+ 2212222AB CD AB CD =+≥=， 当且仅当AB CD 时取等号，所以||PQ17．(1)n a n =；(2)1443n +-.【分析】（1）利用等比中项的概念及等差数列基本量的运算即得；（2）利用等比数列求和公式即得.（1）设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等比数列，则2214a a a =，即2(1)1(13)d d +=⨯+，即20d d -=，解得1d =或0d =（舍），所以()1111n a a n d n n =+-=+-=；（2）由题可知22224n a n n n b ===，14b =，14n nb b +=， 所以{}n b 是以4为首项，4为公比的等比数列，所以()11241444143n n n n S b b b +⨯--=+++==-. 18．(1)13(2)13【分析】（1）直接利用古典概型的概率公式求解即可；（2）对事件B 的发生分三种情况：①第一次抛3，4，第二次抛3，4；②第一次抛1，2，第二次抛5，6；③第一次抛5，6，第二次抛1，2；可用独立事件的概率乘法公式求解，也可用列举法套用古典概型的概率公式求解；（1）抛掷一次骰子，出现的点数有1，2，3，4，5，6共6种等可能结果，事件A 包含3，4两种结果，所以()2163P A ==； （2）抛一次骰子，记点数为1，2是D ，点数为3，4是E ，点数为5，6是F ，抛一次骰子，D ，E ，F 等可能发生，抛两次骰子所有可能结果有(),D D ，(),D E ，(),D F ，(),E D ，(),E E ，(),E F ，(),F D ，(),F E ，(),F F 9种可能情况，其中到达2号格有(),E E ，(),D F ，(),F D 三种结果，所以()3193P B ==. 19．(1)证明见解析【分析】（1）连接CD 与AB 相交于点O ，证得O 为AB 的中点，连接PO ，QO ，利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面POQ ，即可得到PQ AB ⊥；（2）过点,P Q 分别作11,PP CD QQ CD ⊥⊥，得到11,P Q 分别为ABD △和ABC 的中心，分别求得1,,PP PQ OA 的长度，结合AO ⊥平面POQ ，及2A PQB A POQ V V --=，即可求解.（1）证明：因为ABD △与ABC 共面，所以连接CD 与AB 相交于点O ，因为PABD 和QABC 是相同的正四面体，所以四边形ACBD 为菱形，则O 为AB 的中点，连接PO ，QO ，因为PA PB =，QA QB =，所以,Q PO AB O AB ⊥⊥，又因为PO QO O ⋂=，所以AB ⊥平面POQ ，所以PQ AB ⊥；（2）解：在四边形DPQC 中，过点,P Q 分别作11,PP CD QQ CD ⊥⊥，垂足分别为11,P Q ，如图所示，可得11,P Q 分别为等边ABD △和等边ABC 的中心，因为2AB =，在等边ABD △中，可得3OD =，则1233DP =，133OP =， 在直角1DPP 中，可得2211263PP DP DP =-=， 同理可得133OQ =，所以1111233PQ PQ OQ OP ==+=， 由（1）知，AB ⊥平面POQ ，可得AO ⊥平面POQ ， 所以1422239A PQB A POQ POQ V V S OA --==⨯⨯⨯=△.20．(1)极小值为1，无极大值;(2)当01a <≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 的单调递减区间为()0,ln a ，单调递增区间为()ln ,a +∞.【分析】(1)根据题意求得()'1()e e 1x f x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，分01x <<和1x >讨论'()f x 的正负，从而确定函数()f x 的单调区间和极值；(2)求导得'e (1)ln ()(0)x x a x af x x x +--=>，令()e (1)ln xg x x a x a =+--，对()g x 求导，当01a <≤时，通过对()g x 的正负判断，从而得'()f x 的正负及()f x 的单调区间；当1a >时，求得'(ln )0f a =，从而分ln x a>和0ln x a <<讨论'()f x 的正负，从而确定函数()f x 的单调区间即可.（1）解：e a =时，()e (1e)ln x f x x x =+--，()'11()e (1e)e e 1x x f x x x ⎛⎫=+--=-+- ⎪⎝⎭， 当1x >时，e e 0x ->，110x->，所以()'0f x >，即()f x 在()1,+∞上单调递增， 当01x <<时，e e 0x -<，110x -<，所以()'0f x <，即()f x 在()0,1上单调递减， 则()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1；所以函数()f x 的极小值为()11f =，无极大值.（2） 解：因为'ln e (1)ln ()e (1)(0)x xa x a x a f x a x x x +--=+--=>， 令()e (1)ln x g x x a x a =+--，则'()(1)x x g x e xe a =++-，（i ）当01a <≤时， '()0g x > ，()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()0ln 0g x g a >=->，所以()'0f x >在()0,∞+上恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；（ii ）当1a >时，()'ln ln ln (ln )e 0ln a a a f a a a-=-+=， 当ln x a >时，e 0x a ->，ln 0x a x->，()'0f x >，即()f x 在()ln ,a +∞上递增， 当0ln x a <<时，e 0x a -<，ln 0x a x -<，()'0f x <，即()f x 在()0,ln a 上递减. 综上，当01a <≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 的单调递减区间为()0,ln a ，单调递增区间为()ln ,a +∞.21．(1)2214x y += (2)2PM PM PC PD+= 【分析】（1）根据椭圆顶点坐标直接可得椭圆方程；（2）设直线方程，可得点M ，联立直线与椭圆结合韦达定理，再根据两点间距离化简可得解.（1）由()2,0A ，()0,1B 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的两个顶点， 得2a =，1b =， 即22:14x E y +=； （2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆有且只有一个公共点，不成立，所以设()11,C x y ，()22,D x y ，()33,M x y ，直线l 的斜率为k ，则(12P x x PC x =-- 同理(22x P D =-(32x P M =-33122222PM P x x x x M PC PD +--=+--． 设l ：()12y k x -=-，而AB ：12x y +=，联立解得3421k x k =+， 所以342222121k x k k -=-=++； 联立直线l 与椭圆E 方程，消去y 得：()()2224182116160k x k k x k k +--+-=， 所以()12282141k k x x k -+=+，2122161641k k x x k -=+， 所以()()()1212121212124411222224x x x x x x x x x x x x +-+-+=-=------++()()2222821441218211616244141k k k k k k k k k k --+=-=+---⨯+++， 所以()33122222122221x x k x x k --+=⨯+=--+， 即2PM PM PC PD+=． 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．0y -=，244x y =+(2)16【分析】（1）消参可得曲线1C 的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化可得2C 的直角坐标方程；（2）根据极坐标的几何意义，将曲线1C 化成极坐标3πθ=，再分别代入3πθ=和43πθ=到2C 的极坐标方程求解即可.（1） 因为曲线1C的参数方程为y ==⎪⎩（t 为参数），所以曲线1C0y -=. 因为曲线2C 的极坐标方程为21sin ρθ=-，即sin 2ρρθ-=2y =，()()2222,2x y y y +=+≥-，所以曲线2C 的直角坐标方程为244x y =+；（2）因为曲线1C0y -=，所以曲线1C 的极坐标方程为3πθ=， 令3πθ=，则21sin 3A ρπ==-43πθ=，则241sin 3B ρπ==-所以16AB ==． 23．(1)111,5⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)[)1,+∞【分析】（1）分类讨论去绝对值后再求解不等式即可；（2）讨论0x =，当0x ≠时6623x k x ---≥，利用绝对值的三角不等式求解6623x x---的最大值即可； （1） (),22636512,23,3x x f x x x x x x x <⎧⎪=---=-+≤≤⎨⎪->⎩，当2x <时，1x >，即12x <<，当23x ≤≤时，5121x -+>，解得115x <，即1125x ≤<， 当3x >时，1x ->，解得1x <-，此时无解，综上：不等式()1f x >的解集为111,5⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）0x =时上述不等式显然成立，当0x ≠时，上述不等式可化为()26362366x x f x x k xx x ---=---≥=， 令()()666623231x x x f g x x xx ==---≤--+=，当且仅当02x <≤时等号成立， 所以1k，即实数k 的取值范围为[)1,+∞．。
东山中学高三摸底数学测试
东山中学高三摸底数学测试1、ii i ++-1)21)(1(＝（ C ）A i --2B i +-2C i -2D i +2 2、集合A ＝{}4,3,2的真子集的个数为（ A ） A 7 B 8 C 16 D 153、设)(x f 是定义在R 上的奇函数且当x ＞0时，32)(-=x x f ，则)2(-f ＝（ C ） A 1 B41 C -1 D 411-4、已知等差数列{}n a 的公差d ≠0，它的第1，5，17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比为（ B ）A 4B 3C 2D 215、11.02lg >x是1<x 的（ A ）条件A 充分不必要B 必要不充分C 冲要D 不充分不必要 6、已知函数)(x f ＝11-+x x ，[]4,2∈x ，则函数)(x f （ A ）A 最大值为3，最小值为35 B 最大值为3，无最小值 C 无最大值，最小值为35D 最大值为4，最小值为27、若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+yx的右焦点重合，则p 的值为( D )A -2B 2C -4D 48、具有性质：)1(x f ＝－)(x f 的函数我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①xx y 1-=②x x y 1+=③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<<)1(1)1(0)10(x xx x x 中满足“倒负”变换的函数是（ C ）A ①②B ②③C ①③D 只有① 9、在极坐标系中，圆ϑρcos 2=与方程)0(4>=ρπϑ所表示的图形的交点坐标为)4,3(π10、6)1)(1(+-x x 的展开式中3x 的系数为 －5 11、过A(2,3)的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ty t x 232（t 为参数）若此直线与直线03=+-y x 相交于点B 则AB ＝5212、直角坐标系xoy 中，i ，j 分别是与x,y 轴正方向同向的单位向量，在直角三角形ABC 中，若j k i AB +=,j i AC +=2,且∠C ＝︒90，则k 的值为 313、某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此，改学生不能同时报考这两所学校，则该学生不同的报名方法种数是 1614、若不等式121+->+a xx 对于一切非零实数x均成立，则实数a 的取值范围是31<<a15、甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为21和52投中得1分，投不中得0分（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的分布列和数学期望 （2）甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这4次投球中至少一次命中的概率。
广西七市联考2025届高三上学期10月摸底测试 数学含答案
2025届普通高中毕业班摸底测试数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上，2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
小本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{2}A x x =>∣，{23)B y y =<<∣，则A.=∅ A B B.= A B AC.= A B BD.= A B A2.曲线3113y x =+在点()3,8--处的切线斜率为A.9B.5C.-8D.103.若向量()2,5AB = ，(),1AC m m =+，且A ，B ，C 三点共线，则m =A.23-B.23 C.32-D.324.在四棱锥P ABCD -中，“∥BC AD ”是“∥BC 平面PAD ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.433cos sin cos sin 551010i i ππππ⎛⎫⎛⎫++=⎪⎝⎭⎝⎭A.1B.iC.-1D.-i6.已知双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 右支上一点，O 为坐标原点，Q 为线段1PF 的中点，T 为线段1QF 上一点，且QT OQ =，则1FT =A.3C.4D.57.定义在R 上的坷函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()202f x x - 的解集为A.)13⎛⎤-+ ⎥⎝⎦∞B.(11,,0,33⎡⎫⎡--⎪⎢⎢⎣⎭⎣ ∞C.{})103⎛⎤-+ ⎥⎝⎦∞D.(11,,0,33⎡⎤⎡--⎢⎥⎢⎣⎦⎣ ∞S.若数列{}n a 、{}n b 满足121a a ==，11+=-+n n b a n ，13+=-+n n b a n ，则数列{+n n a b 的前50项和为A.2500B.2525C.2550D.3000二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.广西壮族自治区有7个市区的面积大于1.3万平有千米，这7个市区为南宁市（22100平方千米）、柳州市（18596平方千米），桂林市（27800平方千米），百色市（36300平方千米），河池市（33500平方千米）。
2021-2022学年贵州省贵阳市高三(上)8月摸底数学试卷(文科)与祥细答案与解析
2021-2022学年贵州省贵阳市高三（上）8月摸底数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={−1, 0, 1, 2}，B ={x|x 2<4}，则A ∩B =( ) A.{−1, 0, 1} B.{0, 1} C.{−1, 1, 2} D.{1, 2}2. 已知复数z =2i1−i ，则复数z 为（ ） A.1+i B.−1+i C.1−i D.−1−i3. 已知向量a →=(1, m)，b →=(3, −2)且(a →−b →)⊥b →，则m =( ) A.−8 B.−5C.5D.84. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的体积是（ ）A.2B.2√2C.2√3D.3√35. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下．则下面结论中错误的一个是（ ）A.甲的极差是29B.乙的众数是21C.甲罚球命中率比乙高D.甲的中位数是246. 已知函数f(x)={sinπx6,x≤0log13x,x>0，则f（f(9)）＝（）A.12B.−12C.√32D.−√327. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17＝51，则2a10−a11＝（）A.2B.3C.4D.68. 已知a=243，b=323，c=2513，则（）A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b9. 函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（）A. B.C. D.10. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的有（）①直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4；②点C到平面ABC1D1的距离为√22；③两条异面直线D1C和BC1所成的角为π4；④三棱柱AA1D1−BB1C1外接球半径为√32．A.1个B.2个C.3个D.4个11. 已知函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，且为奇函数，若f(1)=−2，则满足−2≤f(x−2)≤2的x的取值范围是（）A.[−2, 2]B.[−1, 1]C.[0, 4]D.[1, 3]12. 设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离等于a+√a2+b2，则该双曲线的离心率e=()A.√2B.√3C.2D.√5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
江西省南昌市普通高中2022届高三毕业班上学期摸底考试(零模)数学(文)试题及答案
绝密★启用前江西省南昌市普通高中2022届高三毕业班上学期摸底考试(零模)数学(文)试题本试卷共4页，23小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合16N ,N A n x x x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭的元素个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．若z 为纯虚数，且1i z --=z =（ ）A ．i -B ．iC ．2i -D ．2i3．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若165a =，1552n n a a +=+，则5S =（ ） A ．265 B ．465 C ．10 D ．5654．设F 为抛物线2:16C x y =焦点,直线:1l y =-,点A 为C 上一点且5AF =过点A 作AP l ⊥于P ,则则AP =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．直线()1:110l ax a y ++-= ,()2:1230l a x y +-+= ,则“2a =”是“12l l ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,2cos210α+=,则cos α的值为（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．27．某市为打击出租车无证运营、漫天要价等不良风气,出台两套出租车计价方案,方案一：2公里以内收费8元（起步价）,超过2公里的部分每公里收费3元,不足1公里按1公里计算：方案二：3公里以内收费12元（起步价）,超过3公里不超过10公里的部分每公里收费2.5元,超过10公里的部分每公里收费3.5元,不足1公里按1公里计算．以下说法正确的是（ ）A ．方案二比方案一更优惠B ．乘客甲打车行驶4公里,他应该选择方案二C ．乘客乙打车行驶12公里,他应该选择方案二D ．乘客丙打车行驶16公里,他应该选择方案二8．函数()e xf x x x =-的图像大致为（ ） A ． B ．。
安徽省安庆市2022届高三上学期摸底数学试卷(文科) Word版含解析
2021-2022学年安徽省安庆市高三（上）摸底数学试卷（文科）一、选择题1．已知A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＞3}，则A∩B=( )A．{x|﹣2＜x＜4} B．{x|x＞3} C．{x|3＜x＜4} D．{x|﹣2＜x＜3}2．若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是( )A．2 B．3 C．4 D．53．下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是( )A．y=x2 B．y=﹣x3C．y=﹣lg|x| D．y=2x4．已知{a n}各项为正的等比数列，其前n项和为Sn，若a3=4，S3=7，则公比q等于( )A ．B ．C．2 D．35．在样本颇率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A．28 B．40 C．56 D．606．在△ABC中，sinA=，，则△ABC的面积为( )A．3 B．4 C．6 D ．7．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的( )A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件8．已知f（x）=2cos2x﹣6sinxcosx，则函数f（x）的最大值是( )A．3 B ． C ．+1 D ．﹣19．下列说法中正确的有（1）命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”；（2）“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件；（3）对于命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0（4）若P∧q为假命题，则P、q均为假命题．( )A．1个B．2个C．3个D．4个10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( ) A．4+2B．4+C．4+2D．4+11．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )A ．+2B ．+1C ．+1D ．+112．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为( )A．20+8B．44 C．20D．46二、填空题13．若tan（θ+）=，则tanθ=__________．14．若函数f（x）=4x﹣2x﹣a，x∈[﹣1，1]有零点，则实数a的取值范围是__________．15．已知程序框图如图，若a=0.62，b=30.5，c=log0.55，则输出的数是__________16．在边长为2的正方形ABCD中有一个不规章的图形M，用随机模拟方法来估量不规章图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规章图形M内的点数恰有2000个，则在这次模拟中，不规章图形M 的面积的估量值为__________．三、解答题17．己知等差数列{a n}满足a1=1，a4=7．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，证明：≤T n．18．某中学作为蓝色海洋训练特色学校，随机抽取100名同学，进行一次海洋学问测试，按测试成果分组如下：第一组[65，70），其次组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90）（假设考试成果均在[65，90）内），得到频率分布直方图如图：（1）求测试成果在[80，85）内的频率；（2）从第三、四、五组同学中用分层抽样的方法抽取6名同学组成海洋学问宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名同学中随机选取2名参与市组织的蓝色海洋训练义务宣讲队，求第四组至少有一名同学被抽中的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q 为AD的中点．（1）求证：AD⊥平面PQB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且，求四棱锥M﹣ABCD的体积．20．己知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都圆x2+y2=1上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线经过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点，摸索讨k为何值时，OA⊥OB．21．已知函数，其中k∈R且k≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k=1时，若存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，求实数a的取值范围．平面几何选讲22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．（1）求曲线C′的一般方程；（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0），当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的轨迹方程．不等式选讲24．函数f（x）=．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设a，b∈（﹣1，1），证明：＜|1+|．2021-2022学年安徽省安庆市高三（上）摸底数学试卷（文科）一、选择题1．已知A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＞3}，则A∩B=( )A．{x|﹣2＜x＜4} B．{x|x＞3} C．{x|3＜x＜4} D．{x|﹣2＜x＜3}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】直接利用交集的概念求解．【解答】解：由A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＞3}，则A∩B={x|﹣2＜x＜4}∩{x|x＞3}={x|3＜x＜4}．故选C．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础的概念题．2．若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是( )A．2 B．3 C．4 D．5【考点】复数求模；复数相等的充要条件．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．【解答】解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故选D．【点评】娴熟把握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．3．下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是( )A．y=x2 B．y=﹣x3C．y=﹣lg|x| D．y=2x【考点】函数单调性的推断与证明；函数奇偶性的推断．【专题】函数的性质及应用．【分析】依据函数的奇偶性和单调性加以判定．【解答】解：四个函数中，A，C是偶函数，B是奇函数，D是非奇非偶函数，又A，y=x2在（0，+∞）内单调递增，故选：C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．4．已知{a n}各项为正的等比数列，其前n项和为Sn，若a3=4，S3=7，则公比q等于( )A ．B ．C．2 D．3【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，由已知可得：q≠1．∵a3=4，S3=7，∴，简洁a1=1，q=2．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．5．在样本颇率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A．28 B．40 C．56 D．60【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】设中间一组的频数为x，利用中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，建立方程，即可求x．【解答】解：设中间一组的频数为x，由于中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，所以其他8组的频数和为，由x+=140，解得x=40．故选B．【点评】本题主要考查频率直方图的应用，比较基础．6．在△ABC中，sinA=，，则△ABC的面积为( )A．3 B．4 C．6 D ．【考点】平面对量数量积的运算．【专题】平面对量及应用．【分析】由题意结合数量积的运算可得，而△ABC的面积S=，代入数据计算可得．【解答】解：由题意可得，又sinA=，故可得cosA=，故=10故△ABC的面积S===3故选A【点评】本题考查平面对量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式，属中档题．7．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的( )A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的推断．【专题】常规题型．【分析】由题意a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，若a∥b，l与a垂直，且斜交，推不出l肯定垂直平面α，利用此对命题进行推断；【解答】解：∵a、b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，“∵l⊥a，l⊥b”，若a∥b，l可以与平面α斜交，推不出l⊥α，若“l⊥α，∵a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，∴l⊥a，l⊥b，∴“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要而不充分的条件，故选C．【点评】此题以平面立体几何为载体，考查了线线垂直和线面垂直的判定定了，还考查了必要条件和充分条件的定义，是一道基础题．8．已知f（x）=2cos2x﹣6sinxcosx，则函数f（x）的最大值是( )A．3 B ． C ．+1 D ．﹣1【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，依据余弦函数的值域即可确定出最大值．【解答】解：f（x）=2cos2x﹣6sinxcosx=1+cos2x﹣3sin2x=（cos2x ﹣sin2x）+1=cos（2x+α）（其中cosα=，sinα=），∵cos（2x+α）∈[﹣1，1]，即cos（2x+α）∈[﹣，]，∴f（x ）的最大值为+1．故选C．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域，娴熟把握公式是解本题的关键．9．下列说法中正确的有（1）命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”；（2）“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件；（3）对于命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0 （4）若P∧q为假命题，则P、q均为假命题．( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假推断与应用．【专题】简易规律．【分析】（1）由逆否命题的意义即可推断出正误；（2）由x2﹣3x+2＞0解得x＞2或x＜1，即可推断出结论；（3）由￢p的定义即可推断出正误；（4）若P∧q为假命题，则P、q至少有一个为假命题，即可推断出正误．【解答】解：（1）命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”，由逆否命题的意义可得：其逆否命题为“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”，正确；（2）由x2﹣3x+2＞0解得x＞2或x＜1，∴“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确；（3）对于命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，由￢p的定义可知￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0，正确；（4）若P∧q为假命题，则P、q至少有一个为假命题，因此不正确．综上可得：正确命题的个数为3．故选：C．【点评】本题考查了简易规律的判定方法，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A．4+2B．4+C．4+2D．4+【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面SAC⊥面ABC，△SAC，△ABC都是底边长为2，高为2的等腰三角形．据此可计算出表面积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面SAC⊥面ABC，△SAC，△ABC都是底边长为2，高为2的等腰三角形，过D作AB的垂线交AB于E，连SE，则SE⊥AB，在直角三角形ABD中，DE==，在直角三角形SDE中，SE===，于是此几何体的表面积S=S△SAC+S△ABC+2S△SAB =×2×2+×2×2+2×××=4+2．故选A．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键，属于基础题．11．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )A ．+2B ．+1C ．+1D ．+1【考点】抛物线的简洁性质；双曲线的简洁性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A的坐标，将A代入抛物线方程求出双曲线的三参数a，b，c的关系，则双曲线的渐近线的斜率可求．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0），∴p=2c，∵点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，将x=c代入双曲线方程得到A（c ，），将A 的坐标代入抛物线方程得到=2pc，即4a4+4a2b2﹣b4=0．解得，∴，解得：．故选：D．【点评】本题考查由圆锥曲线的方程求焦点坐标、考查双曲线中三参数的关系及由双曲线方程求双曲线的离心率，是中档题．12．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为( )A．20+8B．44 C．20D．46【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．【点评】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算力量，空间想象力量，常考题型．二、填空题13．若tan（θ+）=，则tanθ=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵tan（θ+）===，∴解得：tan．故答案为：．【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，娴熟把握公式是解题的关键，属于基础题．14．若函数f（x）=4x﹣2x﹣a，x∈[﹣1，1]有零点，则实数a 的取值范围是．【考点】根的存在性及根的个数推断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意可得方程4x﹣2x﹣a=0在[﹣1，1]上有解，从而化为求函数a=4x﹣2x=（2x ﹣）2﹣，x∈[﹣1，1]上的值域．【解答】解：∵函数f（x）=4x﹣2x﹣a，x∈[﹣1，1]有零点，∴方程4x﹣2x﹣a=0在[﹣1，1]上有解，即a=4x﹣2x=（2x ﹣）2﹣，∵x∈[﹣1，1]，∴2x∈[，2]，∴（2x ﹣）2﹣∈；故答案为：．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及函数的值域的求法．15．已知程序框图如图，若a=0.62，b=30.5，c=log0.55，则输出的数是【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是输出a，b，c 中最大的数，结合指数运算和对数运算的性质，a，b，c与1，0比较后易得到答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是：输出a，b，c中最大的数，∵a=0.62=0.36＜1，0＜b=30.5=＞1，c=log0.55=﹣＜0，∴输出的数为．故答案为：．【点评】依据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．16．在边长为2的正方形ABCD中有一个不规章的图形M，用随机模拟方法来估量不规章图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规章图形M内的点数恰有2000个，则在这次模拟中，不规章图形M 的面积的估量值为．【考点】模拟方法估量概率．【专题】概率与统计．【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求不规章图形M的面积的估量值．【解答】解：由题意，∵在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规章图形M内的点数恰有2000个，∴概率P==，∵边长为2的正方形ABCD的面积为4，∴不规章图形M 的面积的估量值为=．故答案为：【点评】本题考查古典概型概率公式，考查同学的计算力量，属于中档题．三、解答题17．己知等差数列{a n}满足a1=1，a4=7．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设c n =，数列{c n}的前n项和为T n ，证明：≤T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出；（II ），利用“裂项求和”即可证明右边；利用单调性即可证明左边．【解答】解：（I）设{a n}的公差为d，a1=1，b4=1+3d=7，∴d=2．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（II ），∴，∵n∈N*，∴；，∴数列{T n}是一个递增数列，∴．综上所述，．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．18．某中学作为蓝色海洋训练特色学校，随机抽取100名同学，进行一次海洋学问测试，按测试成果分组如下：第一组[65，70），其次组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90）（假设考试成果均在[65，90）内），得到频率分布直方图如图：（1）求测试成果在[80，85）内的频率；（2）从第三、四、五组同学中用分层抽样的方法抽取6名同学组成海洋学问宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名同学中随机选取2名参与市组织的蓝色海洋训练义务宣讲队，求第四组至少有一名同学被抽中的概率．【考点】列举法计算基本大事数及大事发生的概率；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）设测试成果在[80，85）内的频率为x，依据全部直方图的面积之和等于1求得x的值．（2）先求得抽取的这6名同学中，第三、四、五组同学的数量分别为3，2，1．在这6名同学中随机选取2名参与市组织的蓝色海洋训练义务宣讲队，全部的抽法共有种，而第四组至少有一名同学被抽中的抽法有•+=9种，由此求得第四组至少有一名同学被抽中的概率．【解答】解：（1）设测试成果在[80，85）内的频率为x，依据所给的频率分布直方图可得，0.01×5+0.07×5+0.06×5+x+0.02×5=1，解得x=0.2．（2）第三、四、五组同学的数量之比为0.3：0.2：0.1=3：2：1，故抽取的这6名同学中，第三、四、五组同学的数量分别为3，2，1．在这6名同学中随机选取2名参与市组织的蓝色海洋训练义务宣讲队，全部的抽法共有=15种，而第四组至少有一名同学被抽中的抽法有•+=9种，第四组至少有一名同学被抽中的概率为=．【点评】本题主要考查频率分步直方图的性质，分层抽样的定义和方法，古典概率及其计算公式，属于基础题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）求证：AD⊥平面PQB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD ，且，求四棱锥M﹣ABCD的体积．【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】（1）连接BD，等边三角形PAD中，中线PQ⊥AD；由于菱形ABCD中∠BAD=60°，所以AD⊥BQ，最终由线面垂直的判定定理即可证出AD⊥平面PQB；（2）连接QC，作MH⊥QC于H．由于平面PAD⊥平面ABCD，PQ⊥AD，结合面面垂直性质定理证出PQ⊥平面ABCD．而平面PQC中，PQ∥MH，可得MH⊥平面ABCD，即MH就是四棱锥M﹣ABCD的高线．最终利用锥体体积公式结合题中数据即可算出四棱锥M﹣ABCD的体积．【解答】解：（1）连接BD∵PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD又∵∠BAD=60°，底面ABCD为菱形，∴△ABD是等边三角形，∵Q为AD的中点，∴AD⊥BQ∵PQ、BQ是平面PQB内的相交直线，∴AD⊥平面PQB．（2）连接QC，作MH⊥QC于H．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD∴PQ⊥平面ABCD，结合QC⊂平面ABCD，可得PQ⊥QC∵平面PQC中，MH⊥QC且PQ⊥QC，∴PQ∥MH，可得MH⊥平面ABCD，即MH就是四棱锥M﹣ABCD的高线∵，可得，∴四棱锥M﹣ABCD的体积为V M﹣ABCD ==．【点评】本题给出特殊四棱锥，求证线面垂直并求锥体体积，着重考查了直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质和体积公式等学问，属于中档题．20．己知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都圆x2+y2=1上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线经过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点，摸索讨k为何值时，OA⊥OB．【考点】椭圆的简洁性质．【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得焦点为（±1，0），短轴的端点为（0，±1），可得b=c=1，求得a，进而得到椭圆方程；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=k（x﹣2），代入椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，化简计算即可得到所求k的值．【解答】解：（I）依题意椭圆的两个焦点和短轴的两个端点都圆x2+y2=1上，可得b=1，c=1所以a2=2，所以椭圆C 的方程；；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=k（x﹣2），由消去y得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，所以，由于OA⊥OB ，所以，即x1x2+y1y2=0，而，所以，所以，解得：，此时△＞0，所以．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和两直线垂直的条件，考查运算力量，属于中档题．21．已知函数，其中k∈R且k≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k=1时，若存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数争辩函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导函数，对k争辩，利用导数的正负，可得函数的单调区间；（2）分别参数，构造新函数，g（x）=（x＞0），存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等价于a＜g（x）max，由此可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为R，求导函数可得f′（x）=当k＜0时，令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＜0，可得0＜x＜2∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调减区间为（0，2）；当k＞0时，令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜2∴函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（﹣∞，0），（2，+∞）；（2）当k=1时，，x＞0，1nf（x）＞ax成立，等价于a ＜设g（x）=（x＞0）存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等价于a＜g（x）max，，当0＜x＜e时，g′（x）＞0；当x＞e时，g′（x）＜0∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减∴g（x）max=g（e）=∴a ＜．【点评】本题考查导数学问的运用，考查函数的单调性与最值，考查存在性问题，考查分类争辩的数学思想，属于中档题．平面几何选讲22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）连接OC，由于OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED ，从而有，故可求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，由于OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，由于CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又由于AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，连接CE，由于ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，所以，所以BC=2．【点评】本题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质．坐标系与参数方程23．已知曲线C 的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．（1）求曲线C′的一般方程；（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0），当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的轨迹方程．【考点】参数方程化成一般方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）利用坐标转移，代入参数方程，消去参数即可求曲线C′的一般方程；（2）设P（x，y），A（x0，y0），点A在曲线C′上，点B（3，0），点A在曲线C′上，列出方程组，即可求AB中点P的轨迹方程．【解答】解：（1）将代入，得C'的参数方程为∴曲线C'的一般方程为x2+y2=1．…（2）设P（x，y），A（x0，y0），又B（3，0），且AB中点为P所以有：又点A在曲线C'上，∴代入C'的一般方程得（2x﹣3）2+（2y）2=1∴动点P 的轨迹方程为．…【点评】本题考查参数方程和直角坐标的互化，利用直角坐标方程与参数方程间的关系，点到直线的距离公式的应用，考查计算力量．不等式选讲24．函数f（x）=．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设a，b∈（﹣1，1），证明：＜|1+|．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）把a=5代入，然后由根式内部的代数式大于等于0，求解确定值的不等式得答案；（Ⅱ）把要证的不等式转化为2|a+b|＜|4+ab|，然后利用平方作差证得答案．【解答】（Ⅰ）解：由|x+1|+|x+2|﹣5≥0，得x≤﹣4或x≥1．∴A={x|x≤﹣4或x≥1}；（Ⅱ）证明：∵，而4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=a2（4﹣b2）+4（b2﹣4）=（b2﹣4）（4﹣a2），又∵a，b∈（﹣1，1），∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，故．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了确定值不等式的解法，训练了利用作差法证明不等式，是中档题．。
安徽省泗县双语中学2014届高三9月摸底测试 数学(文)试题
泗县双语中学2014届高三9月摸底测试试题数学文试卷 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U=R ，集合M={|U x y C M ==则A ．{|11}x x -<<B ．{|11}x x -≤≤C ．{|1}x x <-或x>1D ．{|1}x x ≤-≥或x 12．函数()lg f x x =+A ．（0，2）B ．[0，2]C ．[0,2)D ． (0,2]3．设函数211(),(())ln 1x x f x f f e x x ⎧+≤=⎨>⎩则=A ．0B ．1C ．2D ．2ln(1)e +4．“函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”是"1"a =-的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数1()11f x x=+-的图象是6．下列函数中既是偶函数，又在区间（0，1）上是减函数的是A ．||y x =B ．2y x =-C ．x x y e e -=+D ．cos y x =7．若函数2()2(1)2(,4)f x x a x =+-+-∞在区间上是减函数，则实数a 的取值范围是A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．3a <-D ．3a >-8．已知集合A={0，1，2，3}，集合B={（x,y ）|,,,x A y A x y x y A ∈∈≠+∈},则B 中所含元素的个数为 A ．3B ．6C ．8D ．109．若抛物线2y x =在点（a,a 2）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16，则a=A ．4B ．±4C ．8D ．±810．函数131()2x f x x =-的零点所在区间是 A ．1(0,)6B ．11(,)63C ．11(,)32D ．1(,1)2第Ⅱ卷（非选择题，共100分）考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
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上海市奉贤区 高三摸底测试数学试题（文）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设全集U ={a 、b 、c 、d 、e}， 集合A={a 、b}，B={b 、c 、d}，则A∩C U B=________． 2．已知f （x ），则＝____________．3．等差数列{a n }中，a 5+a 8+ a 11+ a 14+ a 17=50，则S 21= ． 4．向量、满足||=2，||=3，且|+|=，则．= ．5．现有形状特征一样的若干个小球，每个小球上写着一个两位数，一个口袋里放有标着所有不同的两位数的小球，现任意取一个小球，取出小球上两位数的十位数字比个位数字大的概率是 ．6．方程2cos2x = 1的解是 ．78．设方程x 2–2x+m=0的两个根为α、β，且|α–β|=2，则实数m 的值是 ． 9．圆（x+2）2+（y –1）2 = 5关于原点对称的圆的方程为 ．10．给出下列命题：（1）常数列既是等差数列，又是等比数列；（2）实数等差数列中，若公差d<0，则数列必是递减数列；（3）实数等比数列中，若公比q>1，则数列必是递增数列；（4）；（5）首项为a 1，公比为q 的等比数列的前n 项和为S n =．其中正确命题的序号是 ．11．若点满足不等式组：则目标函数K=6x+8y 的最大值是 ．12．若在由正整数构成的无穷数列{a n }中，对任意的正整数n ，都有a n ≤ a n+1，且对任意的正整数k ，该数列中恰有k 个k ，则a= ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．112+-=x x )3(1-f 71)4142(lim =-+∞→nn n n qq a n --1)1(1),(y x P ,0,0625⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+y x y x y x13．下列函数图象中，正确的是 （ ）A B C D14．顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线上的一点P （m ，－2）到焦点距离为4，则m 的值为 （ ） A ．－2 B ．2或－2 C ．4 D ．4或－4 15．若存在，则r 的取值范围是（ ）A ．r ≥–或r ≤－1 B ．r>－或r<－1C ．r>－或r ≤－1D ．－1≤ r ≤－16．异面直线a ，b 成80°角，点P 是a ，b 外的一个定点，若过P 点有且仅有n 条直线与a ，b 所成的角相等且等于45°，则n 的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分12分）解不等式：．18．（本小题满分12分）已知、的值．19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2、3小题满分各5分） 已知边长为6的正方形ABCD 所在平面外一点P ，PD ⊥平面ABCD ，PD=8， （1）连接PB 、AC ，证明：PB ⊥ AC ；（2）求PB 与平面ABCD 所成的角的大小； （3）求点D 到平面PAC 的距离．12)21(lim +∞→+n n rr 31313131)22(log )2(log 222->--x x x απαααααsin ),2,0(,12cos cos 2sin 2sin 2求=-+αtan20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案。
第一种方案是每年年末（12月底）加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年（6月底和12月底）各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种． 根据上述条件，试问：（1）如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？（说明理由）（2）如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a 元，那么a 在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设有抛物线C ：y= –x 2+x –4，通过原点O 作C 的切线y=mx ，使切点P 在第一象限． （1）求m 的值，以及P 的坐标；（2）过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q ；（3）设C 上有一点R ，其横坐标为t ，为使∆OPQ 的面积小于∆PQR 的面积，试求t 的取值范围．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分） 由函数y=f （x ）确定数列{a n }，a n =f （n ），函数y=f （x ）的反函数y=f –1（x ）能确定数列{b n }，b n = f –1（n ），若对于任意n ∈N *，都有b n =a n ，则称数列{b n }是数列{a n }的“自反数列”．29（1）若函数f （x ）=确定数列{a n }的自反数列为{b n }，求a n ； （2）在（1）条件下，记为正数数列{x n }的调和平均数，若d n =，S n 为数列{d n }的前n 项之和，H n 为数列{S n }的调和平均数，求；（3）已知正数数列{c n }的前n 项之和 求T n 表达式．参考答案一、填空题1．{a} 2．－4 3．210 4．－3 5．0．5 6．x=k π k ∈Z 7．198．2 9．（x －2）2 + （y+1）2= 5 10．（2）、（4） 11．40 12．63 二、选择题13．C 14．D 15．A 16．B三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．解：原不等式变形为……………………………………4分…………………………………………8分，所以x>3………………………………………12分 18．解：由得11++x px nx x x n 11121 ++112-+n a nH nn ∞→lim).(21nn n c nc T +=6π±⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--222010222x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-03,01,0)1)(2(2x x x x x ⎩⎨⎧<<>30,2x x ,12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα…………………………3分………………………………………6分因为所以2sin －1=0，即sin =……………………………………………9分所以.........................................................12分 19．（1）证明：连接BD ，交AC 于O ，在正方形ABCD 中，AC ⊥ BD ， 又PD ⊥平面ABCD ，所以，PD ⊥AC ，..........................................2分 所以AC ⊥平面PBD ，故PB ⊥ A C ．..........................................4分 （2）解：因为PD ⊥平面ABCD ，则∠PBD 就是PB 与平面ABCD 所成的角， (6)分在∆PBD 中，PD=8，BD=6所以 tan ∠PBD =∠APO=arctan…………………………8分 PB 与平面ABCD 所成的角的大小为arctan……………………………………9分 （3）解：连接PC ，设点D 到平面PAC 的距离为h ，……………………………10分 则有V D –PAC =V P –ACD ，即：⨯ S ∆PAC ⨯ h =⨯PD ⨯AD ⨯DC ………………………12分在∆PAC 中，连结PO ，显然PO ⊥AC ，PO=h =所以点D 到平面PAC 的距离为……………………………………14分 20．解：（1）第10年末，依第一方案得 1000++…+10000=55000（元）……………………………………2分 依第二方案得300+300×2+300×3+…+300×20=63000（元）………………4分 ∵63000－55000=8000（元）0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα.0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα,0cos ,01sin ),2,0(≠≠+∈ααπα且所以αα2133tan ,6==απα即2322322322316182414124414124∴在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪8000元．............6分 （2）第n 年末，依第一方案，得：1000（1+2+3+...+n ）=500n （n+1）（元）......8分 依第二方案，得：a （1+2+3+...+2n ）=an （2n+1） (10)分 由题意an （2n+1）>500n （n+1）对所有正整数恒成立…………………………12分即a>． ∴当a>时，总是第二方案加薪多．……………………………………14分21．解：设点P 的坐标为（x 1， y 1），则y 1=kx 1……①，y 1= –+x 1 – 4……②，①代入②，得：+（k –）x 1+4=0……………………………………2分因为点P 为切点，所以 （k –）2–16=0，得：k=或k=……………………4分当k=时x 1= –2，y 1=－17；当k=时，x 1= 2，y 1= 1；因为点P 在第一象限，故所求的斜率k=，P 的坐标为 （2，1），……………6分（2）过 P 点作切线的垂线，其方程为：y=－2x+5……③，代入抛物线方程，得：x 2－x+9=0，设Q 点的坐标为 （x 2， y 2），则2x 2=9，所以x 2=，y 2= －4，所以Q 点的坐标为 （，－4），……………………………………10分（3）设C 上有一点R （t ，－t 2+t －4），它到直线PQ 的距离为：d==……………………………………12分 点O 到直线PQ 的距离PO =，S ∆OPQ =⨯PQ ⨯OP ，S ∆PQR =⨯PQ ⨯d ， 因为∆OPQ 的面积小于∆PQR 的面积，S ∆OPQ < S ∆PQR ， 即：OP < d ，即：>5，……………………………………14分+4>0或+14<0解之得：t<或t> 所以t 的取值范围为t<或t>．……………………………16分 3100032502501225025012)1(500=+≥++=++n n n 3100021x 2921x 29292172121721212132929295|5)429(2|2--+-+t t t 5|9213|2+-t t 52121|9213|2+-t t t t 2132-t t 2132-410513-410513+410513-410513+22．解：（1）由题意的：f –1（x ）== f （x ）=，所以p =－1，…………2分 所以a n =………………………………………………………………………3分 （2）a n =，，…………………………………………4分 为数列{d n }的前n 项和，，……………………………………5分 又H n 为数列{S n }的调和平均数，所以………8分………………………………………………………10分 （3）因为正数数列{c n }的前n 项之和所以解之得：c 1=1，T 1=1……………………………………11分当……………………………………14分所以，累加得：………………………………………………16分…………………18分p x x --111++x px 11++-n n 11++-n n n a d n n =-+=112n S 2)1(+=n n S n 2)1()1(232221211121+=+++⨯+⨯=++=n n n nS S S n H nn 2121lim lim=+=∞→→n n n H n n n ).(21nn n c nc T +=),(21111c nc c +=,2,,2111----+-=-=≥n n n n n n n n T T nT T T T T c n 所以时n T T T T nT T n n n n n n =--=+---21211,即,2,,2,1212223222221=--=--=-----T T n T T n T T n n n n ,432212n T T n ++++=- 2)1(,2)1(43212+=+=+++++=n n T n n n T n n。