武汉大学数学与统计学院2007至2008第二学期线性代数B试卷
2007-2008-2线性代数试卷(肖)解答
2007-2008-2线性代数期考试卷B 参考答案和评分标准一、单项选择题（每题3分，共30分）1．D 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．B 8．C 9．D 10. A 。
二、填空题（每题4分，共20分）1. 0； 2. 3 ； 3. n+a ，()1,1, (1)n R ∈； 4. 2221232y y y -++，222123z z z -++； 5. n 。
三、解答题（每题10分，共40分）1．解：系数矩阵初等变换过程如下：121323(1)(1)(1)11111111110110121121000E E E λλλμλμλμμλμμ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， ——-（4分） 当0μ≠而且1λ≠时，齐次线性方程组只有零解。
——-（7分） 当0μ=或者1λ=时，齐次线性方程组有非零解。
——-（10分）2．解：()()()322001112442113λλλλλλλ----=--+=---， ——-（3分） 2λ=是3重特征值。
——-（4分） 000000111111111000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得两个线性无关的特征向量 ()11,1,0T x =，()20,1,1Tx =。
——-（8分） 矩阵A 的属于特征值2的特征向量为 1122x k x k x =+，其中12,k k 不全为零。
——————————-（10分）3．解：（1）()123123100101,,,,,110012111110αααβββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭—————（2分） 1β在基{}123,,ααα的坐标是()1,1,1T -；2β在基{}123,,ααα的坐标是()0,1,2T -；3β在基{}123,,ααα的坐标是()1,1,2T -。
基{}123,,ααα到基{}123,,βββ的过渡矩阵为101111122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭———————————-（7分） （2）()()123123231231232222223ααααβββββββββββ=-+=-+--++-=-+ 所求的坐标为()2,2,3T -。
武汉大学大一高数下五年期末考试试题
[ey f (y) + y − x] dσ ≥ (e − 1)
பைடு நூலகம்
1 0
f (y) dy. 其中 D = {( x, y)|0 ≤
x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
3
武汉大学 2007 – 2008 学年第二学期
《 高等数学B 》 试题
一. (36 分) 试解下列各题 ⎧ ⎪ ⎪ 2x + y = 0 x y z ⎨ 1. (6 分) 求通过直线 ⎪ 且平行于直线 = = 的平面方程. ⎪ ⎩ 4 x + 2y + 3z = 6 1 2 4
x2 y2 z2 + + 在点 M (1, 2, 3) 处的梯度及方向导数的最大值. 6 12 18
x2 + y2 在点 (0, 0) 处的连续性, 偏导数的存在性.
4. 已知以 2π 为周期的连续函数 f ( x) 的傅里叶系数为 a0 , an , bn (n = 1, 2, · · · ), 求函数 f (− x) 的傅里叶系数.
D
∂2 z . ∂ x ∂y
xy d x dy, 其中 D = {( x, y)| x2 + y2 ≤ a2 , x ≥ 0, y ≥ 0}.
0 −1
6. (6 分) 交换积分次序
dx
1− x 2 x +1
√
f ( x, y) dy.
二. (10 分) 求函数 z = x + y +
1 ( x > 0, y > 0) 的极值. xy
x2 + y2 = 0
性. 三. (10 分) 验证变换 x = et 可将微分方程 x2 微分方程
d2 y dy −3 + 2y = tet 的通解. dt dt2
07-08线代BA卷答案
2007-2008学年第二学期期末试卷-A 卷线性代数B课程号： 11020063B 课序号： 01-13 开课系： 数学与数量经济学院一、填空题（每小题3分，共15分）1．6427811694143211111= 12 。
2．设 A 为3阶可逆矩阵，1=A ，则=-*1)(A 1 。
3. 设321,,ααα线性无关,则321211,,αααααα+++线性____无 ___关。
4. 设A 为4阶方阵，且()3=A r ，则齐次线性方程组*0A X =（*A 是A 的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关向量的个数为 3 。
5．设T T T ===),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321t ααα，若向量组321,,ααα线性相关，则=t 5 。
二、单项选择题(每小题2分，共10分)1．非齐次线性方程组AX B =中未知量的个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ， 则 B 。
（A ）r = m 时，方程组AX B =有解（B ）r = n 时，方程组AX B =有唯一解（C ）m = n 时，方程组AX B =有唯一解（D ）r 〈 n 时，方程组AX B =有无穷多解2．设A 为n 阶矩阵，且0A =，则A 的列向量中C 。
（A ）必有两个向量对应分量成比例（B ）必有一个向量为零向量（C ）必有一个向量是其余向量的线性组合（D ）任一向量是其余向量的线性组合3．设A 为n 阶单位矩阵，则矩阵A 的特征值为 B。
（A ）0λ= （B ）1λ= （C ）2λ= （D ）3λ=4．下面结论不正确的是C 。
（A ）相似矩阵有相同的特征值（B ）相似矩阵有相同的行列式（C ）相似矩阵的秩一定不相同（D ）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的5．123(2,1,3),(3,1,1),(1,1,2)ααα==-=-，则向量组1α，2α，3α是A。
（A ） 线性无关 （B ）线性相关（C ）1α可以由2α，3α线性表示 （D ）3α可以由1α，2α线性表示三（10分）计算下列n 阶行列式 ab b b a b bb a D n==1[(1)]()n a n b a b -+-- 四（10分）解矩阵方程 A 2X AX =+，其中A = 3 0 1 1 1 00 1 4⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 5 -2 -2 4 -3 -2 -2 2 3X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭五（10分） 已知向量组()5,4,3,11-=α，()9,7,2,22-=α，()12,9,3,33=α试求这个向量组的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。
武汉大学数学与统计学院《高等数学B》期末考试试题及答案(A卷)
武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算n →∞2、计算0ln(1)limcos 1x x xx →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、 计算4x ⎰5、计算0d x xe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。
7、已知2200d cos d y x te t t t =⎰⎰，求x y d d8、设11xy x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)x y x =-求：1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。
三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d xf xg t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续； 四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x 轴旋转一周所形成的立体体积；2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。
五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0f b f f b bξξ'-=∈ 对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题参考答案一、 试解下列各题：（87'⨯） 1、解：n →∞n =l i 2n == 2、解：00011ln(1)1lim lim lim 1cos 1sin (1)sin x x x x x x x x x x x →→→-+--+===---+ 3、解：原式222211111arctan d arctan arctan 222221x x x x x x x x c x =-=-+++⎰ 4222220002111dt 2dt 2(1)dt 2dt111t t t t t t -+==-++++⎰⎰⎰22200(1)|2ln(1)|2ln3t t =-++=5、解：000||1x x x x xe dx xe e dx e +∞+∞--+∞--+∞=-+=-=⎰⎰6、解：因为4t π=时，x =，0y =，442sin 2cos t t dy t dx t ππ==-==-故曲线在点处的切线方程为：y x =--， 7、解：两边微分得： 222cos y e dy x x dx = 222c o s y dyx x e dx-= 8、解：由12212(1)1,2(1)(1)1y x y x x--'=-+=+-=⋅-⋅++ 3()(12(1)(2)(1),,(1)2!(1)n n ny x y n x --+''=⋅-⋅-⋅+=-⋅⋅⋅+ 二、（15分）解：定义域为：(,1)(1,)-∞+∞ 23(3)(1)x x y x -'=- 令⇒='0y 驻点0,3x =46(1)xy x ''=- 令⇒=''0y 0x =极小值为：27(3)4f =，无极大值。
《2008线性代数》试卷参考答案(不完整版)
2 3 10
0
3
C1 证明：β = AZ 有解，Z0 = ⋮ ,则β = C1α1 + ⋯ + Cnαn，故（A，β）的列向 Cn 量组与 A 的列向量组等价，从而秩相等 反过来， （A，β）的列向量组与 A 的列向量组等价 故β可用α1， ⋯ ，αn线性表示 令β = C1α1 + ⋯ + Cnαn,则 Z0= C1 ⋮ 为 AZ=β的解 Cn
1 1 = (a + 2)(a − 1)2 a
当 a≠ −2, a ≠ 1 时，有唯一解； 当 a= 1时，无解； 当 a=-2 时，有无数解。 方程为-2x1+x2+x3=2，,x1+x2-2x3=4 对应齐次方程组基础解为 −1， − 1，1
T
求一特解为 x1=3，x2= 3 ，x3=0
2
10
−1 故通解为 a −1 + −1 六、证明题
n −2 n −1
n
=nn −1
1 + n +n + ⋯+ 0 0 ⋮ 0 0
n+1 2
n −1
0 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 −1 −1 0
n+1 2
0 −1 ⋮ 0 0
n
−1 0 ⋮ 0 0
n
=nn −1 五、 a 1 解： A = 1 a 1 1
(−1)n+
n (n +1) 2
= nn −1
(−1)n(n+1)
1 1 1 3、解： A = ⋮ 1 1
2 1 1 ⋮ 1 1−n
3 1 1 ⋮ 1−n 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯
2 n
⋯ n−2 n−1 ⋯ 1 1 ⋯ 1 1−n ⋱ ⋮ ⋮ ⋯ 1 1 ⋯ 1 1
线性代数期末试题(2007-2008)
线性代数期末试题(A)2007-2008一、选择题（每小题3分，共15分）1. 关于线性方程组β=⨯⨯1n n n X A 的克莱姆法则成立的条件是___________2.设A,B 都是3阶方阵，且|A|=1,|B|=2，则=||||T A B _________3.设矩阵A 与⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--100220321相似，E A A B 332+-=，则|B|=_________4.二次型⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=321321321101000321),,(),,(x x x x x x x x x f 的秩为__________5.设A 为n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P ，使得Λ=-AP P 1，其中Λ是以_____________________为对角元素的对角阵.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 向量组)2(,,,21>s s ααα (I)线性无关的充要条件是( )(A) 存在不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211≠+++s s k k k ααα (B) (I)中任何1-s 个向量都线性无关(C) (I)中有一个向量不能由其余向量线性表示 (D) (I)中任何向量都不能由其余向量线性表示2. n 阶方阵A 的各行元素之和为a ，下列中( )不成立(A) a 是A 的特征值 (B) 有列向量0≠X ，满足aX AX = (C) 0||=-aE A (D) 以上不全对3. 设A 为n 阶方阵，秩βα,,1-=n A 是0=AX 的两个不同解，则0=AX 的通解为( ) (A) αk (B) βk (C) )(βα-k (D) )(βα+k4. 已知A,B 均为n 阶矩阵，满足AB=0，若2-=n r A ，则B 的秩满足( ) (A) 2)(=B R (B) 2)(<B R (C) 2)(≤B R (D) 1)(≥B R5. 设A 为n m ⨯矩阵，n m <，且m A R =)(则( ) (A) 非齐次线性方程组β=AX 无解(B) 非齐次线性方程组β=AX 一定有无穷多个解 (C) 非齐次线性方程组β=AX 有唯一解 (D) 存在m 阶可逆矩阵Q ，使得],[O E QA m =三、计算题（每小题10分，共30分）1. 计算行列式1111111111111111--+---+---x x x x .2. 设A,B 均为3阶方阵，E 为3阶单位矩阵，且有：ABA=2A+BA ，其中⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=651451232A ，求矩阵B.3. 设有向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=021114703213042114321αααα，，，，求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示.四、解答题（每小题12分，共24分）1. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++2214321321321x x x x kx x kx x x ，试问：（1）k 取什么值时，方程组有唯一解、无穷多个解、无解；（2）有无穷多个解时，求出通解；（3）方程组有唯一解时，求出唯一解.2. 设323121232221321444444),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，（1）写出二次型的矩阵；（2）用正交变换将二次型化为标准型；（3）问该二次型是否正定？五、证明题（每小题8分，共16分）1. 设n 阶矩阵A 满足E A A ||2=，其中E 为n 阶单位矩阵，证明：A 的伴随矩阵A*满足：A A =*.2. 已知321ααα，，线性无关，设有向量组，3313212111:αααl l l L ++ααα23222121l l l ++，333232131αααl l l ++.证明：向量组L 线性无关的充要条件是：0333231232221131211≠=l l l l l l l l l d。
2007-2008第二学期线性代数及答案工科36学时
武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期《线性代数D 》 （A 卷，工科36学时）学院 专业 学号 姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、(10分)设123,,ααα均为三维向量 ，记三阶矩阵123123123123(,,),(,24,39).A B αααααααααααα==++++++ 已知1A =，求B ．二、(10分) 设211120212-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,023214014-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，-=+AC E B C ,求矩阵C ．三、（15分）已知向量组123418210:2,4,1,53826A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξξ求向量组A 的秩及一个最大无关组，并把其它的向量用最大无关组表示出来．四、(15分）设线性方程组为123123123(2)2212(5)4224(5)31x x x x x x x x x λλλλ++-=⎧⎪++-=⎨⎪--++=+⎩问λ为何值时，该方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其解.五、(15分）已知1，1，－1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量T 1(1, 1, 1)α＝，T2(2, 2, 1)α＝是A 的对应于121λλ＝＝的特征向量，1） 能否求得A 的属于31λ＝－的特征向量？若能，试求出该特征向量，若不能，则说明理由。
2）能否由此求得实对称阵A ？若能，试求之，若不能则说明理由。
六、(15分) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，E 是n 阶单位矩阵().n n ⨯已知,BA E = 试判断A的列向量组是否线性相关？为什么？七、(20分)设二次型的矩阵为5212233a b a b cc c --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，,,a b c 为常数，则 （1).写出二次型),,321x x x f （的具体形式；(2).求A 的全部特征值与特征向量；(3).求一个正交变换X PY =,把二次型f 化为标准形；(4).在1x =的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。
2008-2009第二学期线性代数试卷及标答(B卷)
12n n n b b b ；12312⎛⎫ ⎪，2⎛武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、2A E +；2、1；3、4；4、3；5、 0.二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、C3、A4、D 5 、B三、解答题（每小题7分，共35分）1、 2212111nn nn i i n b b a b b D a b b a b =+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦+∑ ………………………………………………………（3分） 11n i iaa b a =⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑ ………………………………………………………………（6分）11n n i i a b a -=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑…………………………………………………………………………………（7分） 2、 因为()123240,312402231024A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………………（2分） 553100444333010444131001222r r ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪−−→−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………………………………………………（6分）所以 X=55313334262-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（7分） 3、 因 22|3|3||T AA A =29||A = ……………………………………………………（5分）2229()a b =+。
……………………………………………………（7分）4、设10,T X α= 即123220x x x ++= ……………………………………… （2分）解得基础解系12221,001ηη--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
……………………………………… （4分）Schmidt 正交化12,ηη，得到222132222252[,]41,[,]501ηααηαηααα⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭即为所求。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
武汉大学数学与统计学院2007至2008第二学期线性代数B试卷
（A卷，工54）
学院专业学号姓名
注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、（10分）计算下列行列式；
1. ;
2. 若都是四维列向量，且四阶行列式求四
阶行列式.
二、（10分）若有不全为零的数使成立，则
线性相关，也线性相关.试讨论该结论是否正确？
三、（12分）设3阶方阵，试求：
1、的特征值和特征向量；
2、（为正整数）及其特征值和特征向量。
四、（15分）当为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解？在有解时，
求出方程组的解.
五、（15分）设二次型其中二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为
1、的值；
2、用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换与正交矩阵.
六（18分）在四维实向量构成的线性空间中,已知：
；。
1、求使为的基；
2、求由基的过渡矩阵；
3、设线性变换为：,求在基下的变换矩阵C.
七（20分）
1. 设阶方阵的伴随矩阵为证明：若则；
2. 设为阶矩阵，且满足，，，证明：。
武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期
《线性代数B》（工54，A卷答案）
一、1、从第2行开始，每一行乘以（-1）加到上一行，然后从第1列开始，每列加到后1列，得
2、由行列式的性质，可得
.
二、由题设能断定向量组线性相关，但其部分向量组不一定别线性相关.
例如取
则当时，有从而线性相关，但其部
分向量组却分别线性无关.
三、1、
故的特征值为。
当时，解线性方程组，由
，
可得基础解系，故对应于的全部特征向量为（）；
当时，解，可得基础解系，，故对应于的全部特征向量为(不全为零）；
2、令，则有，即有
，
从而
的特征值为。
且的特征值对应的特征向量与相应特征值对应的特征向量相同。
四、解: 对方程组的增广矩阵施以初等行变换：
（1）当且时，从而方程组有惟一解.
（2）当时，由于方程组无解.
（3）当时，有可见故方程组有无穷多组解.
又由此可得与原方程组同解的方程组为令得其特解
与原方程组的导出组同解的方程组为：由此可得基础解系为
于是，原方程组的全部解为其中是任意常数.
五、1、次型的矩阵为设的特征值为由题设，有
解得
2、矩阵的特征多项式得的特征值
对于解方程组得其基础解系
对于解齐次线性方程组得基础解系
由于已是正交向量组，为得到规范正交向量组，只需将单位化，由此得
令矩阵则为正交矩阵.在正交变换下，有
且二次型的标准形为
六、解：1、；
2、设,, 则
，。
设, 则
3由,求在基下的变换矩阵C=P。
七、1、下分两种情况证明：
（1）若此时显然有因而
（2）若此时因有
下证用反证法证之.若则为可逆矩阵，存在，由得到
即这与矛盾，故再由（1）与（2）知，若则
2、证: 因为
，，
由为可逆矩阵，可得：
，，所以，。