2019届江苏省南京市高三9月学情调研测试数学试题

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2019-2020学年江苏省南京市高三上学期学情调研(9月) 数学

2019-2020学年江苏省南京市高三上学期学情调研（9月）数学（考试时间：120分钟满分：160分）一、填空题（满分每小题5分，共70分）1. 若a ＋i1－i(i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值是____________． 2. 已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∪B ＝____________.3. 命题“若实数a 满足a ≤2，则a 2＜4”的否命题是______ (填“真”或“假”)命题．4.在如图所示的算法流程图中，若输入m ＝4，n ＝3，则输出的a ＝__________.(第4题)5.把一个体积为27 cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为____________．6. 在约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1下，则x －12＋y 2的最小值为__________．7.设α、β是空间两个不同的平面，m 、n 是平面α及β外的两条不同直线．从“① m ⊥n ；② α⊥β；③ n ⊥β；④ m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________.(填序号)．8.在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin A －sin Bsin C的值是____________．9. 已知点A (0,2)，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝__________.10. 若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ＜0，－2－x，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是____________． 11. 如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝4，BC ＝CC 1＝2.若用平行于三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．(第11题)12. 已知椭圆x24＋y22＝1，A、B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连结AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q 的坐标为____________．13. 在△ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交边AB、AC于M、N两点，设AM→＝xAB→，AN→＝yAC→(x、y≠0)，则4x＋y的最小值是______________．14.设m∈N，若函数f(x)＝2x－m10－x－m＋10存在整数零点，则m的取值集合为______________．二、解答题（共六大题，满分90分）15．（本小题满分14分）已知函数的定义域为集合A，B={x|x＜a或x＞a+1}（1）求集合A；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．16、（本题满分14分）设p：实数x满足x2－5ax＋4a2<0(其中a>0)，q：实数x满足2<x≤5.(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17、（本题满分15分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且．(1)确定角的大小：（2）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值．18、（本题满分15分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．19．（本题满分16分）已知定义在R上的函数f（x）满足为常数（1）求函数f（x）的表达式；（2）如果f（x）为偶函数，求a的值；（3）当f（x）为偶函数时，若方程f（x）=m有两个实数根x1，x2；其中x1＜0，0＜x2＜1；求实数m的范围．20．（本题满分16分）设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：∀x∈R都有f （x）+f（﹣x）=0，且x=1时，f（x）取极小值．（1）f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直：（3）设F（x）=|xf（x）|，证明：时，．2019-2020学年江苏省南京市高三上学期学情调研（9月）数学参考答案一、填空题：（每题满分5分共70分）1. －12. {x|x＞0}3. 真4. 125. 26276.2557. ①③④⇒②(或②③④⇒①)8. －129. 210.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎪⎫12，111. 2412. (0,0)13.9414.{0,3,14,30}二、解答题：（共六道题）15、（本题满分14分）解：（1）由，得：，解得：x≤﹣1或x＞2，所以A=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）-----------------------7分．（2）A=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），B={x|x＜a或x＞a+1}因为A⊆B，所以，解得：﹣1＜a≤1，所以实数a的取值范围是（﹣1，1]-------------------14分．16、（本题满分14分）解(1)当a＝1时，x2－5ax＋4a2<0即为x2－5x＋4<0，解得1<x<4，当p为真时，实数x的取值范围是1<x<4.若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(2,4)-----------7分．(2)綈q是綈p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件．设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则B A.由x2－5ax＋4a2<0得(x－4a)(x－a)<0，∵a>0，∴A＝{x|a<x<4a}，又B＝{x|2<x≤5}，则a≤2且4a>5，解得54<a≤2.∴实数a的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤54，2.----14分17、（本题满分15分）17．（本小题满分15分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且．(1)确定角的大小：（2）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值．解（1）由及正弦定理得，， ·························· 2分,············································································ 4分是锐角三角形，，．················································ 7分（2）解法1：由面积公式得，由余弦定理得····················11分由②变形得·································································15分解法2：前同解法1，联立①、②得， ········································11分消去b并整理得，解得，所以故． ···································15分18、（本题满分15分）解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因r>0，又由h>0可得0＜r<53，故函数V(r)的定义域为(0,53)---------7分．(2)因V(r)＝π5(300r－4r3)(0＜r＜53)，故V′(r)＝π5(300－12r2)，令V′(r)＝0，解得r＝5或－5(因r＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．------------------------13分答：----------------， ----------------------------------15分（答，单位各一分）19．（本题满分16分）解：（1）∵为常数令t=则x=∴f（t）==2﹣t+a•2t 从而有f（x）=2﹣x+a•2x；------------------4分（2）∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x）∴2x+a•2﹣x=2﹣x+a•2x整理可得，（a﹣1）•2x=（a﹣1）•2﹣x∴a=1------------------------------------------------------------------------------------8分（3）由（2）可得f（x）为偶函数，a=1，f（x）=2x+2﹣x令n=2x，n＞0，f（n）=n+，n＞0的图象如图，结合图象可得方程f（x）=m有两个实数根x1，x2，其中x1＜0，0＜x2＜1⇔f（n）=m有两个实数根n1，n2其中0＜n1＜1，1＜n2＜2而函数f（n）=n+在（0，1）上单调递减，在（1，2）单调递增结合图象可得，函数有两个交点-------------------------------------------------16分20．（16分）解：（1）因为，∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，所以：b=d=0，由：f'（1）=0，得3a+c=0，由：，得解之得：，c=﹣1从而，函数解析式为：----------------------------------5分（2）由于，f'（x）=x2﹣1，设：任意两数x1，x2∈[﹣1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，则这两点的切线的斜率分别是：k1=f'（x1）=x12﹣1，k2=f'（x2）=x22﹣1又因为：﹣1≤x1≤1，﹣1≤x2≤1，所以，k1≤0，k2≤0，得：k1k2≥0知：k1k2≠﹣1故，当x∈[﹣1，1]是函数f（x）图象上任意两点的切线不可能垂直（10分）（3）当：时，x2∈（0，3）且3﹣x2＞0此时F（x）=|xf（x）|===当且仅当：x2=3﹣x2，即，取等号，故；（16分）。

2019-2020学年江苏省南京市高三(上)9月新题速递数学试卷

2019-2020学年江苏省南京市高三（上）9月新题速递数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1. 设集合A＝{0, 1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B＝⌀，则实数a的取值范围是________．【答案】[1, +∞)【考点】交集及其运算【解析】根据集合A，B以及A∩B＝⌀即可得出a≥1，即得出a的取值范围．【解答】∵A＝{0, 1}，B＝{x|x>a}，且A∩B＝⌀，∴a≥1，∴实数a的取值范围是[1, +∞)．2. 复数z满足(1+2i)z＝2（i为虚数单位），则z的虚部是________【答案】−4 5【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由(1+2i)z＝2，得z=21+2i =2(1−2i)(1+2i)(1−2i)=25−45i．∴z的虚部是−45．3. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12、8、10、11、9，则这组数据的方差为________．【答案】2【考点】极差、方差与标准差【解析】根据数据求出平均值，代入方差公式即可．【解答】依题意，5次上班途中所花的时间平均值x=12+8+10+11+95=10，所以这组数据的方差s2=15[(12−10)2+(8−10)2+(10−10)2+(11−10)2+(9−10)2]＝2，4. 甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负．则一次游戏中甲胜出的概率是________．【答案】14【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】根据题意，分析可得甲、乙、丙出的方法种数都有2种，由分步计数原理可得三人进行游戏的全部情况数目，进而可得甲胜出的情况数目，由等可能事件的概率，计算可得答案．【解答】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有23=8种方案，而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”共2种，所以甲胜出的概率为28=14.故答案为：14.5. 根据如图所示的伪代码，则输出S的值为________．【答案】20【考点】程序框图【解析】根据条件进行模拟计算即可．【解答】解：第一次I=1，满足条件I≤5，I=1+1=2，S=0+2=2，第二次I=2，满足条件I≤5，I=2+1=3，S=2+3=5，第三次I=3，满足条件I≤5，I=3+1=4，S=5+4=9，第四次I=4，满足条件I≤5，I=4+1=5，S=9+5=14，第五次I=5，满足条件I≤5，I=5+1=6，S=14+6=20，第六次I=6不满足条件I≤5，查询终止，故输出S=20.故答案为：20.6. 函数y＝cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后，与函数y=sin(2x−π6)的图象重合，则φ＝________．【答案】π3【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用诱导公式，函数y ＝Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得sin(2x +π2−2φ)＝sin(2x −π6)，故有 π2−2φ＝2kπ−π6，k ∈Z ，由此求得φ的值．【解答】∵ 函数y ＝cos2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后，可得y ＝cos(2x −2φ)＝sin(2x +π2−2φ)的图象． ∵ 所得图象与函数y =sin(2x −π6)的图象重合，∴ π2−2φ＝2kπ−π6，k ∈Z ，∴ 取k ＝0，可得 φ=π3，7. 若1+cosαsinα=12，则cosα+2sinα＝________．【答案】1【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】由已知求得tan α2，再由倍角公式与同角三角函数基本关系式把cosα+2sinα化弦为切求解．【解答】由1+cosαsinα=12，得2cos 2α22sin α2cos α2=12，即1tan α2=12，则tan α2=2． ∴ cosα+2sinα=cos 2α2−sin 2α2+4sin α2cosα2sin 2α2+cos 2α2=1−tan 2α2+4tan α2tan 2α2+1=1．8. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =3n −1，n ∈N ∗．若b n ＝log 3a n ，则b 1+b 2+b 3+b 4的值为________．【答案】6【考点】等比数列的前n 项和【解析】当n＝1时，a1＝1，当n≥2时，2a n＝2S n−2S n−1＝2×3n−1，又a1=31−1=1，故a n=3n−1．再将a n代入求出b n，即可得到b1+b2+b3+b4．【解答】依题意，对于数列{a n}，①当n＝1时，a1＝1，②当n≥2时，2a n＝2S n−2S n−1＝2×3n−1，又知道a1=31−1=1，所以a n=3n−1．所以b n＝log3a n=log33n−1=n−1，所以b1+b2+b3+b4＝0+1+2+3＝6．9. 已知定义在R上的可导函数的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)且y=f(x+1)为偶函数，f(2)=1，则不等式f(x)<e x的解集为________．【答案】(0, +∞)【考点】函数的单调性与导数的关系其他不等式的解法【解析】首先构造函数g(x)=f(x)e x，研究g(x)的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.【解答】解：∵y=f(x+1)为偶函数,∴y=f(x+1)的图象关于x=0对称,∴y=f(x)的图象关于x=1对称,∴f(2)=f(0).又∵f(2)=1,∴f(0)=1.设g(x)=f(x)e x(x∈R)，则g′(x)=f′(x)e x−f(x)e x(e x)2=f′(x)−f(x)e x.又∵f′(x)<f(x),∴f′(x)−f(x)<0,∴g′(x)<0,∴y=g(x)单调递减.∵f(x)<e x,∴f(x)e x<1,即g(x)<1.又∵g(0)=f(0)e0=1,∴g(x)<g(0),∴x>0.故答案为：(0, +∞).10. 两圆x2+y2+2√ax+a−4=0(a∈R+)和x2+y2−4√by−1+4b=0(b∈R+)恰有三条公切线，则1a +1b的最小值为________．【答案】1【考点】圆与圆的位置关系及其判定基本不等式及其应用【解析】把两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，由条件得两圆相外切，故|AB|＝3，化简可得a9+4b9=1，代入要求的式子化简后，利用基本不等式求出它的最小值．【解答】两圆的方程分别为圆A:(x+√a)2+y2=4，表示以A(−√a, 0)为圆心，以2为半径的圆，a>0．圆B:x2+(y−2√b)2=1，表示B(0, 2√b)为圆心，以1为半径的圆，b>0．由于两圆恰有三条公切线，故两圆相外切，故|AB|＝2+1＝3，即√a+4b=3，a+4b＝9，a9+4b9=1．∴1a +1b=a9+4b9a+a9+4b9b=59+4b9a+a9b≥59+2√481=1，当且仅当4b9a =a9b时，等号成立，则1a+1b的最小值为1，11. 已知函数f(x)＝x|x2−a|，若存在x∈[1, 2]，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是________．【答案】(−1, 5)【考点】分段函数的应用【解析】由题意可得f(x)<2可得−2<x3−ax<2，即为−x2−2x <−a<−x2+2x，等价为(−x2−2x )min<−a<(−x2+2x)max，分别判断不等式左右两边函数的单调性，求得最值，解不等式即可得到a的范围．【解答】当x∈[1, 2]时，f(x)＝|x3−ax|，由f(x)<2可得−2<x3−ax<2，即为−x2−2x <−a<−x2+2x，设g(x)＝−x2−2x，导数为g′(x)＝−2x+2x2，当x∈[1, 2]时，g′(x)≤0，即g(x)递减，（可由单调性的定义得到），可得g(x)min＝−4−1＝−5，即有−a>−5，即a<5；设ℎ(x)＝−x2+2x ，导数为ℎ′(x)＝−2x−2x2，当x∈[1, 2]时，ℎ′(x)<0，即ℎ(x)递减，（可由减+减＝减得到），可得ℎ(x)max＝−1+2＝1．即有−a<1，即a>−1．综上可得，a的范围是−1<a<5．12. 在△ABC中，若AC⊥BC，BC＝a，AC＝b，则△ABC的外接圆半径为r=√a2+b22，将此结论类比到空间，可得到正确的结论：在四面体S−ABC中，若SA，SB，SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，则四面体S−ABC的外接球半径为R＝________√a2+b2+c22．【答案】√a2+b2+c22【考点】类比推理【解析】可将图形补成以SA，SB，SC为相邻的边的长方体，运用长方体的对角线即为外接球的直径，即可得出结论．【解答】由平面图形的性质类比推理空间图形的性质时一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由圆的性质推理到球的性质．由已知在平面几何中，△ABC中，若AB⊥AC，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r=√a2+b22，我们可以类比这一性质，推理出：在四面体S−ABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，则构造以S为顶点，SA，SB，SC为长方体的相邻的三条棱，其外接球的直径为长方体的对角线，可得四面体S−ABC的外接球半径R=√a2+b2+c22．13. 在平面四边形ABCD中，AB=1，AC=√5，BD⊥BC，BD=2BC，则AD的最小值为________．【答案】√5【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】设BC=t，BD=2t，∠ABD=θ，在△ABD和△ABC中，分别运用余弦定理，结合同角平方关系，可令f(t)=1+4t2−2√20−(6−t2)2，0<t<2，求得导数和单调性，可得最小值．【解答】可得f(t)的最小值为f(√2)=1+8−2√20−16=5，则AD 的最小值为√5，故答案为：√5．另由推广的托勒密定理可得四边形ABCD 中，AC ⋅BD ≤AB ⋅CD +AD ⋅BC ，当且仅当四边形ABCD 为圆内接四边形，取得等号．设BC =t ，BD =2t ，BD ⊥BC ，可得CD =√5t ，则2√5t ≤√5t +ADt ，可得AD ≥√5，当且仅当四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 取得最小值√5．故答案为：√5．14. 已知偶函数f(x)满足f(4+x)＝f(4−x)，且当x ∈(0, 4]时，f(x)=ln(2x)x ，关于x的不等式f 2(x)+af(x)>0在[−200, 200]上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是________−ln63，−31n24] ．【答案】（【考点】函数零点的判定定理【解析】判断f(x)的周期和对称性，得出不等式在(0, 4]上有3个整数解，再根据f(x)在(0, 4]上的单调性得出三个解为1，2，3，列出不等式组求出a 的范围．【解答】∵ f(x)是偶函数，∴ f(−x)＝f(x)，∵ f(4+x)＝f(4−x)，∴ f(8+x)＝f （4−(4+x)）＝f(−x)＝f(x)， ∴ f(x)的周期为T ＝8．当x ∈(0, 4]时，f′(x)=1−ln(2x)x 2， ∴ 当0<x <e 2时，f′(x)>0，当e 2<x ≤4时，f′(x)<0，∴ f(x)在(0, e 2)上单调递增，在(e 2, 4]上单调递减．又f(1)＝ln2>0，f(4)=ln84=31n24>0，且f(x)是以8为周期的偶函数，∴ 当x 为整数时，f(x)>0，∵ f 2(x)+af(x)>0在[−200, 200]上有300个整数解，∴ f 2(x)+af(x)>0在(0, 4]上有3个整数解，显然这三个整数解为1，2，3，即f(x)+a >0在(0, 4]上有三个整数解1，2，3．∴ {f(3)+a >0f(4)+a ≤0 ，即{ln63+a >031n24+a ≤0 ，解得：−ln63<a ≤−31n24．故答案为：(−ln63, −31n24]．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知AB =AC ，M ，N ，P 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点．求证：(1)平面AMP ⊥平面BB 1C 1C ；(2)A 1N // 平面AMP .【答案】证明：(1)∵ 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，M 是BB 1的中点，∴ AM ⊥BC ，AM ⊥BB 1.∵ BC ∩BB 1=B ，∴ AM ⊥平面BB 1C 1C .∵ AM ⊂平面AMP ，∴ 平面AMP ⊥平面BB 1C 1C .(2)取B 1C 1中点E ，连结A 1E ，NE ，B 1C ，∵ M ，N ，P 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，∴ NE // BC 1 // PM ，A 1E // AM .∵ PM ∩AM =M ，A 1E ∩NE =E ，PM ，AM ⊂平面APM ，A 1E ，NE ⊂平面A 1EN ，∴ 平面A 1NE // 平面APM .∵ A 1N ⊂平面A 1NE ，∴ A 1N // 平面AMP .【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】（1）由已知条件推导出AM ⊥BC ，AM ⊥BB 1，从而AM ⊥平面BB 1C 1C ，由此能证明平面AMP ⊥平面BB 1C 1C ．（2）取B 1C 1中点E ，连结A 1E 、NE 、B 1C ，推导出平面A 1NE // 平面APM ，由此能证明A 1N // 平面AMP ．【解答】证明：(1)∵ 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，M 是BB 1的中点， ∴ AM ⊥BC ，AM ⊥BB 1.∵ BC ∩BB 1=B ，∴ AM ⊥平面BB 1C 1C .∵ AM ⊂平面AMP ，∴ 平面AMP ⊥平面BB 1C 1C .(2)取B 1C 1中点E ，连结A 1E ，NE ，B 1C ，∵ M ，N ，P 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，∴ NE // BC 1 // PM ，A 1E // AM .∵ PM ∩AM =M ，A 1E ∩NE =E ，PM ，AM ⊂平面APM ，A 1E ，NE ⊂平面A 1EN ，∴ 平面A 1NE // 平面APM .∵ A 1N ⊂平面A 1NE ，∴ A 1N // 平面AMP .已知函数f(x)＝2sin(x +φ)(0<φ<π2)，且f(π3)＝2．（1）求φ的值；（2）若f(θ)+f(−θ)=85，θ∈(0, π2)，求f(2θ−π6)．【答案】∵ f(π3)＝2sin(π3+φ)＝2．∴ 解得：sin(π3+φ)＝1，有π3+φ＝2kπ+π2，k ∈Z ，∴ 解得：φ＝2kπ+π6，k ∈Z ，∵ 0<φ<π2，∴ 解得：φ=π6．∵f(θ)+f(−θ)=85，⇒2sin(θ+π6)−2sin(θ−π6)=85，⇒4cosθsinπ6=2cosθ=85，⇒cosθ=45，∵θ∈(0, π2)，∴可得：sinθ=√1−cos2θ=35．∴f(2θ−π6)＝2sin[(2θ−π6)+π6]＝2sin2θ＝4sinθcosθ＝4×45×35=4825．【考点】正弦函数的图象【解析】（1）由f(π3)＝2sin(π3+φ)＝2，可解得φ＝2kπ+π6，k∈Z，结合范围0<φ<π2，即可求得φ的值．（2）由f(θ)+f(−θ)=85，利用两角和与差的正弦函数公式化简可得cosθ的值，结合范围θ∈(0, π2)，可求sinθ，利用二倍角公式化简f(2θ−π6)＝4sinθcosθ，即可得解．【解答】∵f(π3)＝2sin(π3+φ)＝2．∴解得：sin(π3+φ)＝1，有π3+φ＝2kπ+π2，k∈Z，∴解得：φ＝2kπ+π6，k∈Z，∵0<φ<π2，∴解得：φ=π6．∵f(θ)+f(−θ)=85，⇒2sin(θ+π6)−2sin(θ−π6)=85，⇒4cosθsinπ6=2cosθ=85，⇒cosθ=45，∵θ∈(0, π2)，∴可得：sinθ=√1−cos2θ=35．∴f(2θ−π6)＝2sin[(2θ−π6)+π6]＝2sin2θ＝4sinθcosθ＝4×45×35=4825．某校园内有一块三角形绿地AEF（如图1），其中AE＝20m，AF＝10m，∠EAF=2π3，绿地内种植有一呈扇形AMN的花卉景观，扇形AMN的两边分别落在AE和AF上，圆弧MN与EF相切于点P．（1）求扇形花卉景观的面积；（2）学校计划2017年年整治校园环境，为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成平行四边形ABCD（如图2），其中∠BAD=2π3，并种植两块面积相同的扇形花卉景观，两扇形的边都分别落在平行四边形ABCD的边上，圆弧都与BD相切，若扇形的半径为8m，求平行四边形ABCD绿地占地面积的最小值．【答案】△AEF中，由余弦定理可得EF=√400+100−400cos2π3=10√7m．设扇形花卉景观的半径为r，则由EF⋅r＝AE⋅AF⋅sin∠EAF，得到r=200×√32 10√7=10√217m，∴扇形花卉景观的面积S=13πr2=1007πcm2；设AB＝xm，AD＝ym，则BD=√x2+y2+xym，由平行四边形ABCD的面积得8√x2+y2+xy=√32xy，∵√x2+y2+xy≥√2xy+xy=√3⋅√xy，∴√32xy≥8√3⋅√xy，即xy≥256，当且仅当x＝y＝16时，xy的最小值为256，∴平行四边形ABCD的面积的最小值为128√3m2．【考点】三角函数模型的应用【解析】（1）△AEF中，由余弦定理可得EF，设扇形花卉景观的半径为r，则由EF⋅r＝AE⋅AF⋅sin∠EAF，得到r，即可求扇形花卉景观的面积；（2）设AB＝xm，AD＝ym，则BD=√x2+y2+xym，由平行四边形ABCD的面积得8√x2+y2+xy=√32xy，求出xy的最小值，即可得出结论．【解答】△AEF中，由余弦定理可得EF=√400+100−400cos2π3=10√7m．设扇形花卉景观的半径为r，则由EF⋅r＝AE⋅AF⋅sin∠EAF，得到r=200×√32 10√7=10√217m，∴ 扇形花卉景观的面积S =13πr 2=1007πcm 2；设AB ＝xm ，AD ＝ym ，则BD =√x 2+y 2+xym ，由平行四边形ABCD 的面积得8√x 2+y 2+xy =√32xy ，∵ √x 2+y 2+xy ≥√2xy +xy =√3⋅√xy ，∴ √32xy ≥8√3⋅√xy ，即xy ≥256，当且仅当x ＝y ＝16时，xy 的最小值为256，∴ 平行四边形ABCD 的面积的最小值为128√3m 2．已知△ABC 的三个顶点A(−1, 0)，B(1, 0)，C(3, 2)，其外接圆为⊙D ．（1）若直线l 过点C ，且被⊙D 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）对于线段BD 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得PM →=MN →，求⊙C 的半径r 的取值范围．【答案】线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x +y −3＝0，∴ △ABC 外接圆圆心D(0, 3)，半径√12+32=√10， ⊙D 的方程为x 2+(y −3)2＝10．设圆心D 到直线l 的距离为d ，∵ 直线l 被⊙D 截得的弦长为2，∴ d =√(√10)2−1=3．当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y −2＝k(x −3)，则√1+k 2=3，解得k =43，综上，直线l 的方程为x ＝3或4x −3y −6＝0；直线BD 的方程为3x +y −3＝0，设P(m, n)(0≤m ≤1)，N(x, y)， ∵ PM →=MN →，∴ M(m+x 2, n+y 2)，又M ，N 都在半径为r 的⊙C 上，∴ {(x −3)2+(y −2)2=r 2(m+x 2−3)2+(n+y2−2)2=r 2 ，即{(x −3)2+(y −2)2=r 2(x +m −6)2+(y +n −4)2=(2r)2 ． ∵ 该关于x ，y 的方程组有解，即以(3, 2)为圆心，r 为半径的圆与以(6−m, 4−n)为圆心，2r 为半径的圆有公共点，∴ (2r −r)2≤(3−6+m)2+(2−4+n)2≤(r +2r)2，又3m +n −3＝0，∴ r 2≤10m 2−12m +10≤9r 2对∀m ∈[0, 1]成立．而f(m)＝10m 2−12m +10在[0, 1]上的值域为[325, 10]， ∴ r 2≤325且10≤9r 2．又线段BD 与圆C 无公共点，∴ (m −3)2+(3−3m −2)2>r 2对∀m ∈[0, 1]成立，即r 2<325．故⊙C 的半径r 的取值范围为[√103, 4√105)．【考点】直线与圆的位置关系【解析】（1）分别求出线段AB 的垂直平分线方程与线段BC 的垂直平分线方程，联立求得圆心坐标，再求出圆的半径，则圆的方程可求．然后分直线l 垂直于x 轴与直线l 不垂直于x 轴求解满足条件的直线方程；（2）直线BD 的方程为3x +y −3＝0，设P(m, n)(0≤m ≤1)，N(x, y)，由已知向量等式求得M(m+x 2, n+y 2)，再由M ，N 都在半径为r 的⊙C 上，可得{(x −3)2+(y −2)2=r 2(x +m −6)2+(y +n −4)2=(2r)2．由该关于x ，y 的方程组有解，即以(3, 2)为圆心，r 为半径的圆与以(6−m, 4−n)为圆心，2r 为半径的圆有公共点，得到(2r −r)2≤(3−6+m)2+(2−4+n)2≤(r +2r)2，结合3m +n −3＝0，得到r 2≤10m 2−12m +10≤9r 2对∀m ∈[0, 1]成立．求出f(m)＝10m 2−12m +10在[0, 1]上的值域，可得r 的范围，再结合线段BD 与圆C 无公共点求出r 的范围，取交集得答案．【解答】线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x +y −3＝0，∴ △ABC 外接圆圆心D(0, 3)，半径√12+32=√10， ⊙D 的方程为x 2+(y −3)2＝10．设圆心D 到直线l 的距离为d ，∵ 直线l 被⊙D 截得的弦长为2，∴ d =√(√10)2−1=3．当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y −2＝k(x −3)，则√1+k 2=3，解得k =43，综上，直线l 的方程为x ＝3或4x −3y −6＝0；直线BD 的方程为3x +y −3＝0，设P(m, n)(0≤m ≤1)，N(x, y)， ∵ PM →=MN →，∴ M(m+x 2, n+y 2)，又M ，N 都在半径为r 的⊙C 上，∴ {(x −3)2+(y −2)2=r 2(m+x 2−3)2+(n+y2−2)2=r 2 ，即{(x −3)2+(y −2)2=r 2(x +m −6)2+(y +n −4)2=(2r)2 ． ∵ 该关于x ，y 的方程组有解，即以(3, 2)为圆心，r 为半径的圆与以(6−m, 4−n)为圆心，2r 为半径的圆有公共点，∴ (2r −r)2≤(3−6+m)2+(2−4+n)2≤(r +2r)2，又3m +n −3＝0，∴ r 2≤10m 2−12m +10≤9r 2对∀m ∈[0, 1]成立．而f(m)＝10m 2−12m +10在[0, 1]上的值域为[325, 10]， ∴ r 2≤325且10≤9r 2．又线段BD与圆C无公共点，∴(m−3)2+(3−3m−2)2>r2对∀m∈[0, 1]成立，即r2<325．故⊙C的半径r的取值范围为[√103, 4√105)．已知函数f(x)＝clnx，c∈R．（1）当c＝e时，求曲线y＝f(x)在点（e, f(e)）处的切线方程；（2）当c＝2时，求函数g(x)＝f(x)−x+2−2ln2的零点个数；（3）当c＝1时，试探究：是否存在常数p，q使得x22e−p−qx≥0和p+qx−f(x)≥0对任意的x>0恒成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，请说明理由．【答案】当c＝e时，f(x)＝elnx，则f′(x)=ex，所以f′(e)＝1，又f(e)＝e，故曲线y＝f(x)在点（e, f(e)）处的切线方程为y＝x．当c＝2时，g(x)＝2lnx−x+2−2ln2，则g′(x)=2x−1，令g′(x)＝0，得x＝2，列表如下：所以函数g(x)的最大值为g(2)＝0，故g(x)有且只有一个零点2．当c＝1时，p+qx−f(x)≥0即p+qx−lnx≥0．假设存在常数p，q使得x22e−p−qx≥0和p+qx−lnx≥0恒成立，即lnx≤p+qx≤x22e恒成立．而当x=√e时，lnx=x22e =12，所以12≤p+q√e≤12，所以p+q√e=12，则p=12−q√e，所以x22e −p−qx=x22e−qx+q√e−12≥0恒成立，则q2−2e (q√e−12)≤0，即(qe)2≤0，所以q=√e ，则p=−12．令φ(x)=√e −12−lnx，则φ′(x)=√e√ex，令φ′(x)＝0，得x=√e，当0<x<√e时，φ′(x)<0，φ(x)在(0,√e)上单调减；当x>√e时，φ′(x)>0，φ(x)在(√e,+∞)上单调增．所以φ(x)的最小值φ(√e)=0．则√e −12−lnx≥0恒成立，即c＝1时，√e −12−f(x)≥0恒成立．故存在p=−12，q=√e符合题意．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）由导数的几何意义求曲线在点（e, f(e)）处的切线方程；（2）由导数的应用，先求函数的单调性，再求极值及最值即可；（3）由导数的符合研究函数的单调性，再求最值从而解决不等式恒成立问题即可得解．【解答】当c＝e时，f(x)＝elnx，则f′(x)=ex，所以f′(e)＝1，又f(e)＝e，故曲线y＝f(x)在点（e, f(e)）处的切线方程为y＝x．当c＝2时，g(x)＝2lnx−x+2−2ln2，则g′(x)=2x−1，令g′(x)＝0，得x＝2，列表如下：所以函数g(x)的最大值为g(2)＝0，故g(x)有且只有一个零点2．当c＝1时，p+qx−f(x)≥0即p+qx−lnx≥0．假设存在常数p，q使得x22e−p−qx≥0和p+qx−lnx≥0恒成立，即lnx≤p+qx≤x22e恒成立．而当x=√e时，lnx=x22e =12，所以12≤p +q √e ≤12，所以p +q √e =12，则p =12−q √e ，所以x 22e −p −qx =x 22e−qx +q √e −12≥0恒成立，则q 2−2e (q √e −12)≤0，即(q e )2≤0，所以q =√e ，则p =−12．令φ(x)=√e −12−lnx ，则φ′(x)=√e ex ，令φ′(x)＝0，得x =√e ，当0<x <√e 时，φ′(x)<0，φ(x)在(0,√e)上单调减；当x >√e 时，φ′(x)>0，φ(x)在(√e,+∞)上单调增．所以φ(x)的最小值φ(√e)=0．则√e −12−lnx ≥0恒成立，即c ＝1时，√e −12−f(x)≥0恒成立．故存在p =−12，q =√e 符合题意．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a ，(a n +1)(a n+1+1)＝6(S n +n)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若对于∀n ∈N ∗，都有S n ≤n(3n +1)成立，求实数a 取值范围；（3）当a ＝2时，将数列{a n }中的部分项按原来的顺序构成数列{b n }，且b 1＝a 2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{b n }．【答案】当n ＝1时，(a 1+1)(a 2+1)＝6(S 1+1)，故a 2＝5；当n ≥2时，(a n−1+1)(a n +1)＝6(S n−1+n −1)，所以(a n +1)(a n+1+1)−(a n−1+1)(a n +1)＝6(S n +n)−6(S n−1+n −1)，即(a n +1)(a n+1−a n−1)＝6(a n +1)，又a n >0，所以a n+1−a n−1＝6，所以a 2k−1＝a +6(k −1)＝6k +a −6，a 2k ＝5+6(k −1)＝6k −1，k ∈N ∗，故a n ={3n +a −3,n,n ∈N ∗3n −1,n,n ∈N ∗.⋯ 当n 为奇数时，S n =16(3n +a −2)(3n +3)−n ，由S n ≤n(3n +1)得，a ≤3n 2+3n+2n+1恒成立，令f(n)=3n 2+3n+2n+1，则f(n +1)−f(n)=3n 2+9n+4(n+2)(n+1)>0，所以a ≤f(1)＝4．当n 为偶数时，S n =16⋅3n(3n +a +1)−n ，由S n ≤n(3n +1)得，a ≤3(n +1)恒成立，所以a ≤9．又a 1＝a >0，所以实数a 的取值范围是(0, 4]．证明：当a ＝2时，若n 为奇数，则a n ＝3n −1，所以a n ＝3n −1．解法1：令等比数列{b n }的公比q ＝4m (m ∈N ∗)，则b n =b 1q n−1=5×4m(n−1)．设k ＝m(n −1)，因为1+4+42+⋯+4k−1=4k −13，所以5×4m(n−1)＝5×[3(1+4+42+...+4k−1)+1]，＝3[5(1+4+42+...+4k−1)+2]−1，因为5(1+4+42+...+4k−1)+2为正整数，所以数列{b n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，因为公比q ＝4m (m ∈N ∗)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{b n }有无数个．解法2：设b 2=a k 2=3k 2−1(k 2≥3)，所以公比q =3k 2−15．因为等比数列{b n }的各项为整数，所以q 为整数，取k 2=5m +2(m ∈N ∗)，则q ＝3m +1，故b n =5⋅(3m +1)n−1，由3k n −1=5⋅(3m +1)n−1得，k n =13[5(3m +1)n−1+1](n ∈N ∗)，而当n ≥2时，k n −k n−1=53[(3m +1)n−1−(3m +1)n−2]=5m(3m +1)n−2，即k n =k n−1+5m(3m +1)n−2，又因为k 1＝2，5m(3m +1)n−2都是正整数，所以k n 也都是正整数，所以数列{b n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，因为公比q ＝3m +1(m ∈N ∗)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{b n }有无数个．【考点】等比数列的通项公式数列的求和【解析】（1）当n ＝1时，(a 1+1)(a 2+1)＝6(S 1+1)，故a 2＝5；当n ≥2时，(a n−1+1)(a n +1)＝6(S n−1+n −1)，可得(a n +1)(a n+1−a n−1)＝6(a n +1)，因此a n+1−a n−1＝6，分奇数偶数即可得出．（2）当n 为奇数时，S n =16(3n +a −2)(3n +3)−n ，由S n ≤n(3n +1)得，a ≤3n 2+3n+2n+1恒成立，利用单调性即可得出．当n 为偶数时，S n =16⋅3n(3n +a +1)−n ，由S n ≤n(3n +1)得，a ≤3(n +1)恒成立，即可得出．（3）证明：当a ＝2时，若n 为奇数，则a n ＝3n −1，所以a n ＝3n −1．解法1：令等比数列{b n }的公比q ＝4m (m ∈N ∗)，则b n =b 1q n−1=5×4m(n−1)．设k ＝m(n −1)，可得5×4m(n−1)＝5×[3(1+4+42+...+4k−1)+1]，＝3[5(1+4+42+...+4k−1)+2]−1，…．因为5(1+4+42+...+4k−1)+2为正整数，可得数列{b n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，进而证明结论．解法2：设b 2=a k 2=3k 2−1(k 2≥3)，所以公比q =3k 2−15．因为等比数列{b n }的各项为整数，所以q 为整数，取k 2=5m +2(m ∈N ∗)，则q ＝3m +1，故b n =5⋅(3m +1)n−1，由3k n −1=5⋅(3m +1)n−1得，k n =13[5(3m +1)n−1+1](n ∈N ∗)，n ≥2时，k n =k n−1+5m(3m +1)n−2，可得k n 是正整数，因此以数列{b n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，即可证明．【解答】当n ＝1时，(a 1+1)(a 2+1)＝6(S 1+1)，故a 2＝5；当n ≥2时，(a n−1+1)(a n +1)＝6(S n−1+n −1)，所以(a n +1)(a n+1+1)−(a n−1+1)(a n +1)＝6(S n +n)−6(S n−1+n −1)，即(a n +1)(a n+1−a n−1)＝6(a n +1)，又a n >0，所以a n+1−a n−1＝6，所以a 2k−1＝a +6(k −1)＝6k +a −6，a 2k ＝5+6(k −1)＝6k −1，k ∈N ∗，故a n ={3n +a −3,n,n ∈N ∗3n −1,n,n ∈N ∗.⋯ 当n 为奇数时，S n =16(3n +a −2)(3n +3)−n ，由S n ≤n(3n +1)得，a ≤3n 2+3n+2n+1恒成立，令f(n)=3n 2+3n+2n+1，则f(n +1)−f(n)=3n 2+9n+4(n+2)(n+1)>0，所以a ≤f(1)＝4．当n 为偶数时，S n =16⋅3n(3n +a +1)−n ，由S n ≤n(3n +1)得，a ≤3(n +1)恒成立，所以a ≤9．又a 1＝a >0，所以实数a 的取值范围是(0, 4]．证明：当a ＝2时，若n 为奇数，则a n ＝3n −1，所以a n ＝3n −1．解法1：令等比数列{b n }的公比q ＝4m (m ∈N ∗)，则b n =b 1q n−1=5×4m(n−1)．设k ＝m(n −1)，因为1+4+42+⋯+4k−1=4k −13，所以5×4m(n−1)＝5×[3(1+4+42+...+4k−1)+1]，＝3[5(1+4+42+...+4k−1)+2]−1，因为5(1+4+42+...+4k−1)+2为正整数，所以数列{b n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，因为公比q ＝4m (m ∈N ∗)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{b n }有无数个．解法2：设b 2=a k 2=3k 2−1(k 2≥3)，所以公比q =3k 2−15．因为等比数列{b n }的各项为整数，所以q 为整数，取k 2=5m +2(m ∈N ∗)，则q ＝3m +1，故b n =5⋅(3m +1)n−1，由3k n −1=5⋅(3m +1)n−1得，k n =13[5(3m +1)n−1+1](n ∈N ∗)，[(3m+1)n−1−(3m+1)n−2]=5m(3m+1)n−2，而当n≥2时，k n−k n−1=53即k n=k n−1+5m(3m+1)n−2，又因为k1＝2，5m(3m+1)n−2都是正整数，所以k n也都是正整数，所以数列{b n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q＝3m+1(m∈N∗)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{b n}有无数个．。

南京市2019届高三年级学情调研卷

2. 复数 z (1 bi )(2 i ) ，其中 b R ， i 为虚数单位，若 z 是纯虚数，则实数 b 的值为________. 【答案】 2 解： z (1 bi )(2 i ) 2 i 2bi bi 2 (b 2) (2b 1)i ，又 z 为纯虚数， b 2 0 ， b 2 .
四边形 BB1C1C 为平行四边形
B1C1 平面 A1 B1C1
取 B1C1 中点 E ，连接 A1 E
正三棱柱 ABC A1 B1C1 A1 B1C1 为正三角形 A1 B1 A1C1
A1 E 平面 A1 B1C1 B1 B A1 E ， B1 B B1C1 平行四边形 BB1C1C 为矩形 B1 B A1 E ， A1 E B1C1
（2） sin
3 ，且为钝角 5
3 4 cos 1 sin 2 1 ( ) 2 5 5 4 3 7 cos 2 cos 2 sin 2 ( ) 2 ( ) 2 5 5 25 3 4 24 sin 2 2 sin cos 2 ( ) 5 5 25 cos( 2 ) cos 2 cos sin 2 sin 2 7 5 24 2 5 41 5 . ( ) ( ) 25 5 25 5 125
1
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y 2 4 x 的准线与双曲线点的纵坐标为 2 ，则该双曲线的离心率是___________. 【答案】 5 解：抛物线 y 2 4 x
准线方程为 x 1 双曲线 x2 y2 b 2 1 的渐近线为 y x 2 a a b

高三数学一轮复习典型题专题训练：函数(含解析)

高三数学一轮复习典型题专题训练函数一、填空题1、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中考试）函数()27log 43y x x =-+的定义域为_____________2、（南京市2019届高三9月学情调研）若函数f (x )＝a ＋12x －1 是奇函数，则实数a 的值为 ▲3、（苏州市2019届高三上学期期中调研）函数()lg(2)2f x x x =-++的定义域是 ▲ ．4、（无锡市2019届高三上学期期中考试）已知8a ＝2，log a x ＝3a ，则实数x ＝5、（徐州市2019届高三上学期期中质量抽测）已知奇函数()y f x =是R 上的单调函数，若函数2()()()g x f x f a x =+-只有一个零点，则实数a 的值为 ▲ ．6、（盐城市2019届高三第一学期期中考试）已知函数21()()(1)2xf x x m e x m x =+--+在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为．7、（扬州市2019届高三上学期期中调研）已知函数()f x 为偶函数，且x ＞0时，32()f x x x =+，则(1)f -＝．8、（常州市武进区2019届高三上学期期中考试）已知函数()(1)()f x x px q =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f x -<的解集为 ▲9、（常州市2019届高三上学期期末）函数1ln y x =-的定义域为________.10、（海安市2019届高三上学期期末）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －4，x ＜0，log 2x ，x ＞0，若关于x 的不等式f (x )＞a 的解集为(a 2，＋∞)，则实数a 的所有可能值之和为．11、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）已知y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝e x ＋1，则f (－ln2)的值为 ▲ ．12、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）函数有3个不同的零点，则实数a 的取值范围为＿＿＿＿13、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知,a b ∈R ，函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则关于x 的不等式(2)0f x ->的解集为．14、（苏州市2019届高三上学期期末）设函数220()20x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，，，若方程()3f x kx -=有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是．15、（南京市2018高三9月学情调研）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2，x ≤0，－3|x －1|＋3，x ＞0．若存在唯一的整数x ，使得f (x )－a x ＞0成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．16、（苏州市2018高三上期初调研）已知函数()()0af x x a x=+>，当[]1,3x ∈时，函数()f x 的值域为A ，若[]8,16A ⊆，则a 的值是．17、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）已知k 为常数，函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+=0ln 0,12)(x x x x x x f ，若关于x 的方程2)(+=kx x f 有且只有4个不同的解，则实数k 的取值集合为18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））已知函数2log (3)0()210x x x f x x -≤⎧=⎨->⎩，，，若1(1)2f a -=，则实数a ＝． 19、（盐城市2019届高三第三次模拟）若函数)1lg()1lg()(ax x x f +++=是偶函数，则实数a 的值_____.20、（江苏省2019年百校大联考）已知函数2,1(),1x x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩ ，则不等式2()f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是．21、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））已知函数()()()2|||2|(0)f x x a x a x a a =+-++<．若(1)(2)(3)f f f +++…(672)0f +=，则满足()2019f x =的x 的值为 ▲ ．22、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区间[)24，上，223()434x x f x x x -<⎧=⎨-<⎩≤≤，，，，则函数5()log y f x x =-| |的零点的个数为 ▲ ．23、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-．若对任意[]103x ∈，，总存在[]223x ∈，，使得 12()()f x g x ≤成立，则实数a 的值为 ▲ ．二、解答题1、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中）已知k R ∈,函数2()(1)2f x x k x k =+-=-(1)解关于x 的不等式()2f x ＜(2)对任意(1,2),()1x f x ∈-≥恒成立，求实数k 的取值范围2、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中）已知函数4()log log (0a f x x x a =+>且a ≠1）为增函数。

江苏省南京市届三9月学情调研数学试题x

江苏省南京市届三9月学情调研数学试题x南京市 20xx 届高三年级学情调研卷数学20xx.09．．．．．．．一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．22▲．1．函数 f(x)＝ cos x－ sin x 的最小正周期为1，其中 i 是虚数单位，则 |z|＝▲．2．已知复数 z＝ 1＋i3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3： 3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80 的样本，则应从高一年级抽取▲名学生．4．从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是▲．5．已知向量a＝ (2， 1)， b＝ (0，－ 1)．若 (a＋λb) ⊥ a，则实数λ＝▲．6．右图是一个算法流程图，则输出S 的值是▲．开始S←0k← 1k←k＋2 S←S＋ k2 Nk＞5Y输出 S7．已知双曲线x2y2结束2－ 2＝ 1(a＞ 0， b＞0)的渐近线方程ab（第 6为 y＝±3x，则该双曲线的离心率为▲．题图）8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2 的半圆，则这个圆锥的高是▲．9．设 f(x)＝ x2－ 3x＋ a．若函数 f(x)在区间 (1，3) 内有零点，则实数 a 的取值范围为▲．10．在△ ABC 中，角 A，B， C 所对边的长分别为a， b，c．已知 a＋2c＝ 2b， sinB＝ 2sinC，则 cosA＝▲．a，x 1，11．若 f(x)＝ xa 的取值范围为是 R 上的单调函数，则实数▲．x＋ 3a， x＜112．记数列 { an} 的前 n 项和为 Sn．若 a1＝ 1，Sn ＝2(a1 ＋an )(n≥2，n∈ N*) ，则 Sn ＝▲．13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋ y2－ 6x＋ 5＝ 0，点 A，B 在圆 C 上，且 AB＝ 23，则→→| OA ＋ OB |的最大值是▲．14．已知函数f(x)＝ x－ 1－ (e－ 1)ln x，其中e 为自然对数的底，则满足f(ex)＜ 0的x 的取值范围为▲．二、解答题：本大题共 6 小题，共计．．．．．．．． 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14 分）π已知函数f(x)＝ 2sin(2x＋φ)(0 ＜φ＜2π)的图象过点 (2 ，－2)．（ 1）求φ的值；α 6，－πα－π（ 2）若 f()＝＜α＜ 0，求 sin(2) 的值．252616．（本小题满分14 分）如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中， M， N 分别为 AB， B1C1 的中点．1）求证：MN ∥平面 AA1C1C；2）若 CC1＝ CB1， CA＝CB ，平面CC1B1B⊥平面 ABC，求证： AB 平面 CMN ．C1NB1 A1CB M A（第 16 题图）17．（本小题满分14 分）已知 { an} 是等差数列，其前n 项的和为Sn， { bn} 是等比数列，且a1＝ b1＝ 2， a4＋ b4＝ 21，S4＋ b4＝ 30．1）求数列 { an} 和 { bn} 的通项公式；2）记 cn＝ an bn，n∈ N* ，求数列 { cn} 的前 n 项和．18．（本小题满分16 分）x2y22222给定椭圆 C：a2＋b2＝ 1(a＞ b＞ 0)，称圆 C1： x＋ y＝a ＋ b为椭圆 C 的“伴随圆”．已知椭圆3C 的离心率为 2 ，且经过点 (0， 1)．（ 1）求实数 a， b 的值；（ 2）若过点 P(0， m)(m＞ 0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，且 l 被椭圆 C 的伴随圆 C1所截得的弦长为 2 2，求实数m 的值．19．（本小题满分16 分）如图（示意），公路AM、 AN 围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－ 2．在该块土地中 P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM ，AN 的距离分别为3km，5km ．现要过点P 修建一条直线公路 BC，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定 B 点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．NC·PαMA B（第 19 题图）20．（本小题满分16 分）已知函数f(x)＝ ax3＋ |x－ a|，a∈ R ．1）若 a＝－ 1，求函数 y＝f(x) (x∈ [0，＋∞ ))的图象在 x＝ 1 处的切线方程；2）若 g(x)＝ x4，试讨论方程 f(x)＝ g(x)的实数解的个数；（ 3）当 a＞ 0 时，若对于任意的x1∈ [a，a＋ 2]，都存在x2∈[a ＋2，＋∞ )，使得 f(x1)f(x2)＝ 1024，求满足条件的正整数 a 的取值的集合．南京市 20xx 届高三年级学情调研卷数学附加题20xx.09．．．．21．【选做题】在 A、 B、C、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题10 分，共计 20 分．请在答卷卡指．．．．定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修 4— 1：几何证明选讲如图， PA 是圆 O 的切线， A 为切点， PO 与圆 O 交于点 B、C，AQ OP，垂足为 Q．若 PA＝ 4，PC＝ 2，求 AQ 的长．AP C Q O BB．选修 4— 2：矩阵与变换（第 21 题 A 图）已知矩阵 A＝2b113属于特征值的一个特征向量为α＝－ 1．（ 1）求实数 b，的值；（ 2）若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下，得到的曲线为 C ： x2＋2y2＝ 2，求曲线 C 的方程．C．选修 4— 4：坐标系与参数方程3在平面直角坐标系xOy 中，已知直线x＝3＋2 t，)，圆 C 的参数l 的参数方程为1(t 为参数y＝ 2＋2t方程为 x＝ 3＋cosθ，(θ为参数 ) ．若点 P 是圆 C 上的动点，求点P 到直线 l 的距离的最小值．y＝sinθD．选修 4— 5：不等式选讲已知 a， b 是正数，且a＋ b＝ 1，求证： (ax＋ by)( bx＋ay)≥xy．．．．．．．．．【必做题】第 22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，已知长方体ABCD － A1B1C1D1 中， AB＝ 3，BC ＝2，CC1＝ 5，E 是棱 CC1 上不同于端→→点的点，且CE ＝λCC1．（ 1）当∠ BEA1 为钝角时，求实数λ的取值范围；2（ 2）若λ＝ 5，记二面角 B1－ A1B－ E 的的大小为θ，求|cosθ|．D 1 C1B1A1EDCA B（第 22 题图）23．某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有 1 个红球， 1 个白球， 3 个黑球的袋中一次随机的摸2 个球，设计奖励方式如下表：结果奖励1 红 1 白10 元1 红 1 黑5 元2 黑2 元1 白 1 黑不获奖1）某顾客在一次摸球中获得奖励X 元，求 X 的概率分布表与数学期望； 2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．20xx 届高三年级学情调研卷数学参考答案及评分标准20xx.09一、填空题：本大题共14小题，每小题5 分，共 70分．1．π2．24． 15． 522926． 357． 28． 39． (0， 4]10． 411． [1，＋∞ )12． 2－ 2n－ 113． 814．(0， 1)2二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分．15．（本小题满分14 分）π解：（ 1）因为函数 f(x)＝2sin(2 x＋φ)(0 ＜φ＜2π)的图象过点( ，－ 2)，2π所以 f(2)＝2sin(π＋φ)＝－ 2，即sinφ＝ 1．,,,,,,,,,,,,,,,,,π因为 0＜φ＜2π，所以φ＝2．,,,,,,,,,,,,,,,,,6 分（ 2）由（ 1）得， f( x)＝ 2cos2x．,,,,,,,,,,,,,,,,8 分α63因为 f()＝5，所以cosα＝．25又因为－π4．,,,,,,,,,,,,,,10 分＜α＜ 0，所以sinα＝－252427所以sin2α＝2sinαcosα＝－ 25，cos2α＝2cos α－ 1＝－25．,,,,,,,,12 分从而sin(2α－πππ7－ 24 3,,,,,,,,14 分6)＝sin2αcos －cos2αsin ＝．665016．（本小题满分 14 分）证明：（ 1）取 A1C1 的中点 P，连接 AP， NP．C1NP1因为 C1 N＝ NB1， C1P＝ PA1 ，所以NP∥ A1B1， NP＝B12 分A1B1 ． ,,,,,,,,A12在三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，A1B1∥ AB， A1B1＝ AB． C故NP∥ AB，且1NP＝AB ．2BMA（第 16 题图）因为 M 为 AB 的中点，所以1AM ＝ AB．2所以 NP＝ AM，且NP∥ AM．所以四边形 AMNP 为平行四边形．所以MN ∥ AP．,,,,,,,,,,,,,,,4 分因为 AP平面 AA1C1C，MN平面 AA1C1C，所以MN ∥平面 AA1C1C．,,,,,,,,,,,,,,,,,,6 分（ 2）因为 CA＝ CB， M 为 AB 的中点，所以CM ⊥ AB． ,,,,,,,,,,,8 分因为 CC1＝ CB1， N 为 B1C1 的中点，所以CN⊥B1C1．在三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，BC∥B1C1，所以 CN BC．因为平面CC 1B1B⊥平面 ABC ，平面CC1B1B∩平面 ABC＝ BC． CN平面 CC1B1B，所以CN⊥平面 ABC．,,,,,,,,,,,,,,10 分因为 AB平面 ABC ，所以CN⊥ AB．,,,,,,,,,,,,,,12 分因为 CM平面 CMN ， CN 平面 CMN ，CM ∩ CN＝ C，所以AB⊥平面 CMN ．,,,,,,,,,,,,,,14 分17．（本小题满分 14 分）解：（1）设等差数列 { an } 的公差为 d，等比数列 { bn} 的公比为q．由 a1＝ b1＝ 2，得 a4＝ 2＋ 3d， b4＝ 2q3， S4＝ 8＋ 6d．,,,,,,,,,,,, 3 分由条件 a4＋ b4＝21， S4＋ b4＝ 30，得方程组2＋ 3d＋ 2q3＝ 21，解得d＝ 1，3q＝ 2．8＋ 6d＋ 2q ＝ 30，所以 an＝ n＋1， bn＝ 2n，n∈ N* ．,,,,,,,,,,,,7 分（ 2）由题意知， cn＝ (n＋1)× 2n．Tn＝ c1＋ c2＋ c3＋, ＋ cn．Tn＝ c1＋ c2＋ c3＋, ＋ cn＝2× 2＋3× 22＋4× 23＋, ＋n× 2n－ 1＋(n＋1)× 2n，2 Tn＝2× 22＋3× 23 ＋, ＋ (n－1)× 2n－ 1＋n× 2n＋(n＋ 1)2n＋ 1，232n)－ (n＋n＋1， ,,,,,,,,,,,11 分所以－ Tn ＝2× 2＋ (2 ＋ 2 ＋, ＋1)× 2即 Tn＝n· 2n＋ 1，n∈ N* ．,,,,,,,,,,,,14 分18．（本小题满分16 分）解：（1）记椭圆C 的半焦距为 c．由题意，得b＝ 1， ac＝ 23， c2＝ a2＋ b2，解得 a＝ 2， b＝ 1．,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分22）由（ 1）知，椭圆 C 的方程为 x ＋ y2＝ 1，圆 C1 的方程为 x2＋ y2＝ 5． 4显然直线l 的斜率存在．设直线 l的方程为 y＝ kx＋m，即 kx－ y＋ m＝ 0． ,,,,,,,,,,,,,, 6 分因为直线l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，y＝ kx＋ m，2故方程组x ＋ y2＝ 1 （ * ）有且只有一组解．由（ * ）得 (1＋ 4k2)x2＋ 8kmx＋ 4m2－ 4＝0．从而△＝ (8km)2－ 4(1＋ 4k2)( 4m2－ 4)＝ 0．化简，得 m2＝ 1＋4k2．①,,,,,,,,,,,,,,,,10 分因为直线 l 被圆 x2＋ y2＝ 5所截得的弦长为 22，所以圆心到直线l 的距离 d＝5－ 2＝ 3．即|m|＝ 3．②,,,,,,,,,,,,,,,14 分k2＋ 1由①②，解得 k2＝ 2， m2＝ 9．因为 m＞ 0，所以 m＝ 3．,,,,,,,,,,,,,,,16 分19．（本小题满分 16 分）解：（方法一）如图 1，以 A 为原点， AB 为 x 轴，建立平面直角坐标系． Ny因为tanα＝－ 2，故直线 AN 的方程是 y＝－ 2x．C设点 P(x0， y0)．P·因为点 P 到 AM 的距离为 3，故 y0＝ 3．由 P 到直线 AN 的距离为5，(A) OBx（第 19 题图 1）得∣ 2x0＋y0∣ ＝5，解得 x ＝ 1 或 x ＝－ 4(舍去 )，5所以点 P(1， 3)．,,,,,,,,,,,,4 分显然直线 BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为y－ 3＝ k(x－ 1)，k∈ (－ 2， 0)．令 y＝ 0得 x ＝ 1－ 3．,,,,,,,,,,,,6 分Bk由 y－ 3＝k(x－1)，解得 y＝6－ 2k．,,,,,,,,,,,,8 分y＝－ 2xCk＋ 21－ k2＋ 6k－ 98k－ 9设△ ABC 的面积为 S，则S＝ 2 xB yC＝k2＋ 2k＝－ 1＋k2＋ 2k．,,,,,10 分－ 2(4k＋ 3)(k－ 3)＝ 0 得 k＝－ 3或 k＝3．由 S ＝2＋ 2k)24当－ 2＜ k＜－ 3时， S ＜ 0， S 单调递减；当－ 3＜k＜ 0 时， S ＞0， S 单调递增．,13 分443所以当 k＝－4时，即 AB＝5 时， S 取极小值，也为最小值15．答：当 AB＝ 5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．,,,,,,16 分（方法二）如图 1，以 A 为原点， AB 为 x 轴，建立平面直角坐标系．因为tanα＝－ 2，故直线AN 的方程是 y＝－ 2x．设点 P(x0， y0)．因为点 P 到 AM 的距离为 3，故 y0＝ 3．由 P 到直线 AN 的距离为5，得∣ 2x0＋y0∣5，解得 x0＝ 1 或 x0＝－ 4(舍去 )，＝5所以点 P(1， 3)．显然直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为令 y＝ 0 得 xB＝ 1－ k．y－ 3＝k(x－1)，解得 yC＝6－ 2k． y＝－ 2x＋ 2k,,,,,,,,,,,,y－ 3＝ k(x－ 1)，k∈ (－ 2， 0)． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,分分分设△ ABC 的面积为 S，则 S＝ 1xB yC＝－ k2＋ 6k－ 98k2－ 9 ． ,,,,,2＝－ 1＋2k＋ 2kk ＋ 2kt＋ 9令 8k－ 9＝ t，则t∈ (－25，－ 9)，从而 k＝8 ．因此 S＝－ 1＋t＝－ 1＋ 264t＝－ 1＋64．,,,,t＋9 2t＋ 9＋ 34t＋225(＋2×t34＋ t＋2258)8t因为当t∈ (－ 25，－ 9)时， t＋225∈ (－ 34，－ 30] ， t分分当且仅当t＝－ 15 时，此时 AB＝ 5， 34＋ t＋225的最大值为4．从而 S 有最小值为 15．t答：当 AB＝ 5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．,,,,,,16 分（方法三）如图 2，过点 P 作PE⊥AM ， PF ⊥ AN，垂足为E、 F ，连接 PA．设 AB ＝ x，AC ＝ y．因为 P 到 AM ， AN 的距离分别为3，5，NCP·FA EMPE＝ 3， PF ＝ 5．S△ABC ＝S△ ABP＋S△ APC ＝1112 x 3＋ 2 y5 ＝2(3x＋ 5y)．① ,,4 分因为 tan ＝－ 2，所以 sin＝ 2 ．5所以S△ABC ＝ 1 x y2 ．②,,,,,,,,,,,,,,,8 分25由①②可得1x y212＝ (3x＋ 5y)．52即 3 5x＋ 5y＝ 2xy．③,,,,,,,,,,,,,,,10 分因为 3 5x＋5y≥ 2155xy，所以2xy≥ 2 155xy．解得xy≥ 15 5．,,,,,,,,,,,,,,,13 分当且仅当 35x＝5y 取“＝”，结合③解得x＝5， y＝ 35．所以S△ABC ＝ 1 x y2 有最小值 15．25答：当 AB＝ 5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．,,,,,,16 分20．（本小题满分16 分）解：（1）当 a＝－ 1，x∈[0 ，＋∞ )时， f(x) ＝－ x3＋ x＋ 1，从而 f ′(x)＝－ 3x2＋ 1．x＝ 1 时， f(1)＝ 1，f ′(1)＝－ 2，所以函数y＝f(x) (x∈ [0，＋∞ )) 的图象在 x＝ 1 处的切线方程为y－1＝－ 2(x－ 1)，即 2x＋ y－ 3＝ 0． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 分2） f(x)＝ g(x)即为 ax3＋ |x－ a|＝ x4．所以 x4－ ax3＝ |x－ a|，从而 x3(x－ a)＝ |x－ a|．此方程等价于x＝ a 或 x＞ a，或 x＜ a，,,,,,,,,,,,,,,,,6 分x＝ 1x＝－ 1．所以当a≥1 时，方程 f(x)＝g(x)有两个不同的解 a，－ 1；当－ 1＜ a＜1时，方程 f( x)＝ g(x)有三个不同的解 a，－ 1， 1；当a≤－ 1 时，方程 f(x)＝ g(x)有两个不同的解a， 1．,,,,,,,,,,,9 分3）当 a＞ 0，x∈ (a，＋∞ )时， f(x)＝ ax3＋ x－ a，f ′(x)＝ 3ax2＋ 1＞ 0，所以函数 f(x)在 (a，＋∞ )上是增函数，且 f(x) ＞f(a)＝ a4＞ 0．所以当x∈[a，a＋ 2]时，f(x)∈ [f(a)， f( a＋ 2)] ，1024∈ [1024， 1024f( x)f(a＋ 2)f(a) ] ，当x∈ [a＋ 2，＋∞ )时，f(x)∈ [ f(a＋ 2)，＋∞ )． ,,,,,,,,,,,,,, 11 分因为对任意的x1∈ [a， a＋ 2]，都存在x2∈ [a＋ 2，＋∞ )，使得 f(x1)f(x2)＝1024，所以 [1024，1024[ f(a＋2) ，＋∞ )．,,,,,,,,,,,,,,,,13 分f( a＋ 2)f(a) ]?从而1024 ≥ f(a＋ 2)．f(a＋ 2)所以 f 2(a＋2)≤ 1024 ，即 f(a＋2) ≤32，也即 a(a＋ 2)3＋2≤ 32．因为 a＞ 0，显然 a＝1 满足，而a≥ 2 时，均不满足．所以满足条件的正整数a 的取值的集合为 {1}．,,,,,,,,,,,,,,16 分20xx 届高三年级学情调研卷数学附加题参考答案及评分标准20xx.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 21．【选做题】在A 、 B、 C、 D 四小题中只能选做2 题，每小题 10 分，共计20 分．A．选修 4— 1：几何证明选讲证明：连接 AO．设圆 O 的半径为 r．A因为 PA 是圆 O 的切线， PBC 是圆 O 的割线，所以 PA2＝PC· PB．,,,,,,,,,,,,PCQOB3 分因为 PA＝ 4，PC＝ 2，所以 42＝2×(2＋ 2r)，解得 r ＝ 3．,,,,,,5 分（第 21 题 A 图）所以 PO＝PC＋ CO＝ 2＋ 3＝ 5， AO＝ r ＝ 3．由 PA 是圆 O 的切线得PA⊥ AO，故在Rt△ APO 中，因为AQ⊥PO，由面积法可知，1× AQ× PO＝1×AP ×AO ，22AP× AO 4× 312即 AQ＝PO5＝5 ．,,,,,,,,10 分B．选修 4— 2：矩阵与变换解：（1）因为矩阵 A＝2b113 属于特征值的一个特征向量为α＝－ 1，2b12－ b． ,,,,,,,,,3 分所以＝1 ，即＝13－ 1－ 1－2－ b＝，从而－ 2＝－．解得 b＝ 0，＝ 2．,,,,,,,,,,5 分（ 2）由（ 1）知， A＝20 ．13设曲线 C 上任一点 M(x， y)在矩阵 A 对应的变换作用后变为曲线 C 上一点 P(x0， y0 )，则x02x＝2x，＝3yx＋ 3y从而x0＝2x，,,,,,,,,,,,7 分y0＝ x＋ 3y．因为点 P 在曲线 C 上，所以 x02＋ 2y02＝ 2，即 (2x)2＋ 2(x＋3y)2＝ 2，从而 3x2＋ 6xy＋ 9y2＝ 1．所以曲线 C 的方程为3x2＋6xy＋ 9y2＝ 1．,,,,,,,,,,,,10 分C．选修 4— 4：坐标系与参数方程解：（方法一）直线 l 的普通方程为 x－3y＋3＝ 0．,,,,,,,,,,,,,,3 分因为点 P 在圆 C 上，故设 P(3＋cosθ，sinθ)，从而点 P 到直线 l 的距离π|2 3－2sin(θ－)|d＝| 3＋cosθ－3sinθ＋ 3|＝．,,,,,,,,7 分1222＋ (－ 3)所以 dmin＝ 3－ 1．即点 P 到直线 l 的距离的最小值为3－ 1．,,,,,,,,,,,,10 分( 方法二 )直线 l 的普通方程为x－ 3y＋3＝ 0．,,,,,,,,,,,,3 分圆 C 的圆心坐标为 (3，0) ，半径为 1．从而圆心 C 到直线 l 的距离为 d＝ | 3－ 0＋ 3| ＝ 3．,,,,,,,,,,6 分12＋( － 3)2所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为 3－ 1．,,,,,,,,,,10 分D．选修 4— 5：不等式选讲证明：因为 a，b 是正数，且 a＋ b＝1，所以 (ax＋ by)(bx＋ ay)＝ abx2＋ ( a2 ＋ b2 )xy＋ aby2＝ ab(x2＋ y2)＋ (a2＋ b2)xy,,,,,,,,,,,3 分≥ ab 2xy＋ (a2＋ b2)xy,,,,,,,,,,,,8 分＝ (a＋ b)2xy＝ xy即 (ax＋ by)(bx＋ay)≥ xy 成立．,,,,,,,,,,,,10 分【必做题】第 22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分．22．解：（ 1）以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 1 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设，知 B(2， 3， 0)， A1(2， 0， 5)，C(0， 3，0) ，C1(0， 3，5)．z→→D 1C1因为 CE＝λCC1，所以 E(0， 3，5λ)．→A1B12 分从而 EB＝ (2， 0，－5λ)， EA1＝(2，－ 3， 5－5λ)．,, 当∠ BEA1 为钝角时，cos∠ BEA 1＜ 0，E→→DC y2× 2－5λ(5－5λ＜)0，所以EB · EA1＜0，即AB1＜λ＜ 4．x（第 22 题图）解得 5514,,,,,,,,,,,,,,5 分即实数λ的取值范围是 ( ， )．55→→（ 2）当λ＝时， EB ＝(2， 0，－ 2)， EA1＝ (2，－ 3， 3)． 5设平面 BEA1 的一个法向量为n1＝ (x，y， z)，→2x－ 2z＝ 0，由n1· EB ＝0，→得2x－ 3y＋ 3z＝ 0，n1· EA1＝ 05取 x＝ 1，得 y＝ 3， z＝ 1，所以平面 BEA1 的一个法向量为n1＝ (1，5， 1)．,,,,,,,,,,,,,7 分3易知，平面 BA1B1 的一个法向量为n2＝ (1， 0， 0)．因为 cos＝n1· n2 ＝143，| n1|· |n2|43439343,,,,,,,,,,,,,,10 分从而|cosθ|＝ 43 ．123．解：（ 1）因为 P(X＝ 10)＝ 12＝1C3＝ 3 ，， P(X＝ 5)＝ 2C510C51021C3＝ 3 ， P(X＝ 0)＝C3＝ 3 ，P(X＝ 2)＝ 2210C5C5所以 X 的概率分布表为： X1052P133310101010,,,,,,,,,,,4 分1333从而 E(X)＝10 10＋5 10＋210＋ 010＝ 3.1 元．,,,,,,,,,,,6 分（ 2）记该顾客一次摸球中奖为事件A，由（ 1）知， P(A)＝ 7 ，10291从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率 P＝1－[1－ P(A)] ＝100．答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率为 91 ．,,,,,,,,,,,10 分．100。

江苏省南京市2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷含解析

江苏省南京市2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =-的图像（）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位【答案】A 【解析】【分析】运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭以及2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭对比，从而可选出正确答案. 【详解】解：1sin 22sin 22sin 22sin 22233y x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 222sin 222sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.2．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】将z 整理成a bi +的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【详解】解：221()()2313z i i i i i =++=++=+，所以z 所对应的点为()1,3在第一象限.故选:A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把2i 当成1进行计算. 3．已知i 是虚数单位，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】利用复数的运算法则即可化简得出结果【详解】故选【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

2019-2020学年江苏省南京市高三上学期9月学情调研测试数学试题

2019-2020学年江苏省南京市高三上学期9月学情调研测试数学试题1．若集合P ＝{－1，0，1，2}，Q ＝{0，2，3}，则P ∩Q ＝ ▲ ．2．若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ▲ ． 3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为 ▲ ．4．如图所示的算法流程图，若输出y 的值为12，则输入x 的值为 ▲ ．5．记函数f (x )＝4－3x －x 2 的定义域为D ．若在区间[－5，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率为▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 216－y 29＝1的焦点到其渐近线的距离为 ▲ ．7．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，y ≥3，x ＋y ≤8，则z =3x －2y 的最大值为 ▲ ．8所得圆柱的体积为27πcm 3，则该圆柱的侧面积为 ▲（第4题）4cm 2.9．若函数f (x )＝A sin(x ＋)(A ＞0，＞0，||)的部分图象如图所示，则f ()的值为 ▲ ．10．记等差数列{a n }前n 项和为S n ．若a m ＝10，S 2m －1＝110，则m 的值为 ▲ ． 11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是 ▲ ． 12．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120→BM ＝λ→BC ．若→AM ·→BC ＝－173，则实数λ 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为 ▲ ． 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，x ≤0，－3|x －1|＋3，x ＞0．若存在唯一的整数x ，使得f (x )－ax＞0成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．15．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点,,A B C 均在单位圆上,已知点A 在第一象限的横坐标是3,5点B 在第二象限,点()1,0.C（1）设,COA θ∠=求sin 2θ的值；（2）若AOB ∆为正三角形,求点B 的坐标16．如图,在四面体ABCD 中,,AB AC DB DC ===点E 是BC 的中点,点F 在AC 上，且.AFACλ=（1）若//EF 平面,ABD 求实数λ的值；（2）求证：平面BCD ⊥平面AED17．如图,有两条相交直线成060角的直路,,X X Y Y ''交点是,O 甲、乙两人分别在,OX OY 上，甲的起始位置距离O 点3,km 乙的起始位置距离O 点1,km 后来甲沿XX '的方向,乙沿Y Y '的方向,两人同时以4/km h 的速度步行（1）求甲乙在起始位置时两人之间的距离；（2）设th 后甲乙两人的距离为(),d t 写出()d t 的表达式；当t 为何值时,甲乙两人的距离最短,并求出此时两人的最短距离18．如图,,A B 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点,M 是椭圆上异于,A B的任意一点,直线l 是椭圆的右准线（1）若椭圆C 的离心率为1,2直线:4,l x =求椭圆C 的方程；（2）设直线AM 交l 于点,P 以MP 为直径的圆交MB 于,Q 若直线PQ 恰好过原点,求椭圆C 的离心率19．已知数列{}n a 共有2k 项()*2,k N ≤∈数列{}n a 的前n 项的和为,n S 满足12,a =()()1121,2,3,,21,n n a p S n n +=-+=-其中常数1p >（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若2212,k p -=数列{}n b 满足()()2121log 1,2,,2,n n b a a a n n n==求数列{}n b 的通项公式（3）对于（2）中的数列{},n b 记3,2n n c b =-求数列{}n c 的前2k 项的 20．设函数()()x f x ax e a R =+∈（1）若函数()f x 有且只有两个零点()1212,,x x x x <求实数a 的取值范围；（2）当1a =时,若曲线()f x 上存在横坐标成等差数列的三个点,,A B C ①证明：ABC ∆为钝角三角形；②试判断ABC ∆能否为等腰三角形,并说明理由2019-2020学年江苏省南京市高三上学期9月学情调研测试数学试题1．{0，2} 2．7 3．16 4．－ 2 5．126．3 7． 6 8．189．－1 10．611．(－∞，2] 12．13 13．－43 14．[0，2]∪[3，8]15．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点,,A B C 均在单位圆上,已知点A 在第一象限的横坐标是3,5点B 在第二象限,点()1,0.C（1）设,COA θ∠=求sin 2θ的值；（2）若AOB ∆为正三角形,求点B 的坐标【答案】()24125()342,1010B ⎛-+ ⎝⎭ 【解析】试题分析：（1）因为点A 在单位圆上,点A 在第一象限，点A 的横坐标是3,5所以点A 的坐标为34,.55⎛⎫⎪⎝⎭根据三角函数定义有34cos ,sin 55x y r r θθ====，从而24sin 22sin cos .25θθθ==（2）因为点B 在单位圆上,,3COB πθ∠=+根据三角函数定义有11cos()cos sin()sin 3232x r y r ππθθθθθθ=+===+=+=因此点B 的坐标为34.1010⎛-+ ⎝⎭试题解析：（1）因为点A 在单位圆上,点A 在第一象限，点A 的横坐标是3,5所以点A 的坐标为34,.55⎛⎫⎪⎝⎭根据三角函数定义有34cos ,sin 55x y r r θθ====，从而24sin 22sin cos .25θθθ==（2）因为点B 在单位圆上,,3COB πθ∠=+根据三角函数定义有1314cos()cos sin()cos sin ,3221032210x r y r ππθθθθθθ-=+=-==+=+=因此点B 的坐标为.⎝⎭考点：三角函数定义，二倍角公式16．如图,在四面体ABCD 中,,AB AC DB DC ===点E 是BC 的中点,点F 在AC 上，且.AFACλ=（1）若//EF 平面,ABD 求实数λ的值；（2）求证：平面BCD ⊥平面AED【答案】()112λ=()2详见解析【解析】试题分析：（1）因为//EF 平面,ABD EF ⊂平面,ABC 平面ABD 平面ABC AB =,所以根据线面平行性质定理得：//.EF AB 因此1.2AF BE AC BC λ=== （2）,AB AC =点E 是BC 的中点,.AE BC ∴⊥同理由,DB DC =点E 是BC 的中点,.DE BC ∴⊥又AE ⊂平面,AED DE ⊂平面,AED AE DE E =,因此BC ⊥平面,AED 而BC ⊂平面,BCD 所以平面BCD ⊥平面AED .试题解析：（1）因为//EF 平面,ABD EF ⊂平面,ABC 平面ABD 平面ABC AB =,所以根据线面平行性质定理得：//.EF AB 因此1.2AF BE AC BC λ=== （2）,AB AC =点E 是BC 的中点,.AE BC ∴⊥同理由,DB DC =点E 是BC 的中点,.DE BC ∴⊥又AE ⊂平面,AED DE ⊂平面,AED AE DE E =,因此BC ⊥平面,AED 而BC ⊂平面,BCD 所以平面BCD ⊥平面AED . 考点：线面平行性质定理，面面垂直判定定理17．如图,有两条相交直线成060角的直路,,X X Y Y ''交点是,O 甲、乙两人分别在,OX OY 上，甲的起始位置距离O 点3,km 乙的起始位置距离O 点1,km 后来甲沿XX '的方向,乙沿Y Y '的方向,两人同时以4/km h 的速度步行（1）求甲乙在起始位置时两人之间的距离；（2）设th 后甲乙两人的距离为(),d t 写出()d t 的表达式；当t 为何值时,甲乙两人的距离最短,并求出此时两人的最短距离【答案】(1 ()124t km =当时,最短距离为2【解析】试题分析：（1）由余弦定理得：7AB ==，所以甲乙在起始位置时两人之间的距离为.（2）当3[0,)4t ∈时，4048247A B t ⨯-+，因此当1=4t 时，两人的最短距离为2km. 当3[,+4t ∈∞）时，))c o s 120A B t t =-=-+，因此当3=4t 时，两人的最短距离为4km. 综上，当1=4t 时，两人的最短距离为2km.试题解析：（1）由余弦定理得：7AB ==，所以甲乙在起始位置时两人之间的距离为.（2）当3[0,)4t ∈时，4048247A B t ⨯-+，因此当1=4t 时，两人的最短距离为2km. 当3[,+4t ∈∞）时，))c o s 120A B t t =-=-+，因此当3=4t 时，两人的最短距离为4km. 综上，当1=4t 时，两人的最短距离为2km. 考点：余弦定理18．如图,,A B 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点,M 是椭圆上异于,A B的任意一点,直线l 是椭圆的右准线（1）若椭圆C 的离心率为1,2直线:4,l x =求椭圆C 的方程；（2）设直线AM 交l 于点,P 以MP 为直径的圆交MB 于,Q 若直线PQ 恰好过原点,求椭圆C 的离心率【答案】()221143x y += ()2e =【解析】试题分析：（1）由题意得：2c 1,42a a c ==，解得：22,1,3,a c b ===因此椭圆C 的方程为221.43x y += （2）设(,)M x y ，则直线:()y AM y x a x a =++，因此22(,()).y a a P a c x a c++因为MB OP ⊥，所以22()1y a a x a c y a x a c++⋅=--，222c(1)1y x a a +=--，又2222222221,x y y b a b x a a+==--，因此222c (1)1,(1)(1)1b e e a a -+=--+=，210e e +-=，又01e <<，所以1.2e =试题解析：（1）由题意得：2c 1,42a a c ==，解得：22,1,3,a c b ===因此椭圆C 的方程为221.43x y += （2）设(,)M x y ，则直线:()y AM y x a x a =++，因此22(,()).y a a P a c x a c++因为MB OP ⊥，所以22()1y a a x a c y a x a c++⋅=--，222c(1)1y x a a +=--，又2222222221,x y y b a b x a a+==--，因此222c (1)1,(1)(1)1b e e a a -+=--+=，210e e +-=，又01e <<，所以1.2e =考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系19．已知数列{}n a 共有2k 项()*2,k N ≤∈数列{}n a 的前n 项的和为,n S 满足12,a =()()1121,2,3,,21,n n a p S n n +=-+=-其中常数1p >（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若2212,k p -=数列{}n b 满足()()2121log 1,2,,2,n n b a a a n n n==求数列{}n b 的通项公式（3）对于（2）中的数列{},n b 记3,2n n c b =-求数列{}n c 的前2k 项的和【答案】（1）详见解析（2）()12121n n b k -=+-()22321k k T k =- 【解析】试题分析：（1）证明：因为()112,n n a p S +=-+当2n ≥时，()112n n a p S -=-+。

江苏省南京市2019届高三9月学情调研测试数学试题含答案

（第4题图）江苏省南京市2019届高三9月学情调研测试数学试题注意事项：1．本试卷共4页,包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分,考试时间为120分钟．2．答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后,交回答题卡．参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高．样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n(x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置．．．．上． 1．已知集合A ＝{ x |1＜x ＜5，x ∈R }，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，那么集合A ∩B 中有 ▲ 个元素．2．复数z ＝(1＋b i)(2－i)，其中b ∈R ，i 纯虚数，则实数b 的值为 ▲ ．3．已知某地连续5天的最低气温(21，22，24，254为 ▲ ．5．若函数f (x )＝a ＋12x －1 6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则该双曲线的离心率是 ▲ ．7．不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是 ▲ ． 8．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ) (－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝π6对称，则f (0)的值为 ▲ ．9．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，则四棱锥A 1－ B 1C 1CB 的体积是 ▲ ．10．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)，则a 10 的值为 ▲ ．11．已知△ABC 的面积为315，且AC －AB ＝2，cos A ＝－14，则 BC 的长为 ▲ ．12．在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， E 为边BC 上一点，且AB →·AE →＝6， AD →·AE →＝32，则AB →·AD →的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (1，－1)，点P 为圆(x －4)2＋y 2＝4上任意一点，记△OAP 和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则 S 1S 2的最小值是 ▲ ．14．若函数f (x )＝12ax 2－e x ＋1在x ＝x 1和x ＝x 2两处取到极值，且 x 2x 1≥2，则实数a 的取值范围AB CA 1B 1C 1（第9题图）是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，已知四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BC ＝EC ，F 是BE 的中点．（1）求证：DE ∥平面ACF ；（2）求证：平面AFC ⊥平面ABE ．16．（本小题满分14分）已知α，β为钝角，且sin α＝35，cos2β＝－35．（1）求tan β的值；（2）求cos(2α＋β)的值．17．（本小题满分14分）销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式PAEDFBC（第15题图）＝att＋1，销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q＝bt，其中a，b为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为 94万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f (x)万元．（1）求函数f (x) 的解析式；（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且直线l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆E于P，Q 两点，且PQ的中点R在直线l上．点M(1，0)（1）求椭圆E的方程；（2）求证：MR⊥PQ．19．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x2．（1）求过原点(0，0)，且与函数f(x)的图象相切的直线l的方程；（第18题图）（2）若a ＞0，求函数φ(x )＝|g (x )－2a 2f (x )|在区间[1，＋∞) 上的最小值．20．（本小题满分16分）如果数列{a n }共有k (k ∈N *，k ≥4)项，且满足条件：① a 1＋a 2＋…＋a k ＝0； ② |a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |＝1，则称数列{a n }为P (k )数列．（1）若等比数列{a n }为P (4)数列，求a 1的值；（2）已知m 为给定的正整数，且m ≥2．① 若公差为正数的等差数列{a n }是P (2m ＋3)数列，求数列{a n }的公差；② 若a n＝⎩⎪⎨⎪⎧q n －13 ，1≤n ≤m ，n ∈N *，m －n 12，m ＋1≤n ≤2m ，n ∈N *，其中q 为常数，q ＜－1．判断数列{a n }是否为P (2m )数列，说明理由．南京市2019届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准 2018.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．2 2．－2 3．6 4．8 5．126． 5 7．25 8．1 9．23 10．191011．8 12．－92 13．2－3 14．[ 2ln2，＋∞）二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．证明：（1）连结BD ，交AC 于点O ，连结OF ．因为四边形ABCD 是矩形，O 是矩形ABCD 对角线的交点，所以O 为BD 的中点．又因为F 是BE 的中点，所以在△BED 中，OF ∥DE ．……………… 4分因为OF 平面AFC ，DE 平面AFC ，所以DE ∥平面AFC ． ……………… 6分（2）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥BC ．又因为平面ABCD ⊥平面BCE ，且平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB ⊂面ABCD ，所以AB ⊥平面BCE ． …………………… 9分因为CF ⊂平面BCE ，所以AB ⊥CF ．在△BCE 中，因为CE ＝CB ， F 是BE 的中点，所以CF ⊥BE ． …………………… 11分AE DFBC（第15题图）O因为AB平面ABE，BE 平面ABE，AB∩BE＝B，所以CF⊥面ABE．又CF 平面AFC，所以平面AFC⊥平面ABE．…………………… 14分16．解：（1）因为cos2β＝－35，cos2β＝2cos2β－1，所以 2cos2β－1＝－35，解得cos2β＝15．…………………… 2分因为β为钝角，所以cosβ＝－55．从而sinβ＝1－cos2β＝1－15＝255． (5)分所以tanβ＝sinβcosβ＝255－55＝－2． (7)分（2）因为α为钝角，sinα＝3 5，所以cosα＝－1－sin2α＝－1－(35)2＝－45． (9)分所以 sin2α＝2sinαcosα＝2×35×(－45)＝－2425，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(35)2＝725． (11)分从而cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝725×(－55)－(－2425)×255＝415125．…………………… 14分17．解：（1）由题意，P＝att＋1，Q＝bt，故当t＝3时，P＝3a3＋1＝94，Q＝3b＝1．…………………… 3分解得a＝3，b＝13．…………………… 5分所以P＝3tt＋1，Q＝13t．从而f(x)＝3xx＋1＋3－x3，x∈[0，3]．…………………… 7分（2）由（1）可得：f(x)＝3xx＋1＋3－x3＝133－(3x＋1＋x＋13)．…………………… 9分因为x∈[0，3]，所以x＋1∈[1，4]，故3x＋1＋x＋13≥2，从而f(x)≤133－2＝73．…………………… 11分当且仅当3x＋1＝x＋13，即x＝2时取等号．所以f (x )的最大值为 73．答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是73万元． ……………………14分18．解：（1）因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2． …………………… 2分因为直线l ：x ＝2被椭圆E 截得的弦长为2，所以点(2，1)在椭圆上，即 4a 2＋1b2＝1．解得a 2＝6，b 2＝3，所以椭圆E 的方程为 x 26＋y 23＝1． …………………… 6分（2）解法一：因为直线PQ 与坐标轴不垂直，故设PQ 所在直线的方程为y ＝kx ＋m ．设 P (x 1，y 1)，Q (x 2， y 2) ．因为PQ 的中点R 在直线 l ：x ＝2上，故R (2，2k ＋m )．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ＋m ，x 26＋y 23＝1，消去y ，并化简得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0， …………………… 9分所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2．（*）由x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2＝4，得1＋2k 2＝－km ． ① ………………… 12分因为M (1，0)，故k MR ＝2k ＋m2－1＝2k ＋m ，所以k MR ·k PQ ＝(2k ＋m )k ＝2k 2＋km ＝2k 2－(1＋2k 2)＝－1，所以MR ⊥PQ ． …………………… 16分解法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2， y 2)．因为PQ 的中点R 在直线 l ：x ＝2上，故设R (2，t )．因为点P ，Q 在椭圆E ：x 26＋y 23＝1上，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x 126＋y 123＝1，x 226＋y 223＝1，两式相减得 (x 1＋x 2) (x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2) (y 1－y 2)＝0．………………… 9分因为线段PQ 的中点为R ，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2t ．代入上式并化简得 (x 1－x 2)＋t (y 1－y 2)＝0． …………………… 12分又M (1，0)，所以 MR →·PQ →＝(2－1)×(x 2－x 1)＋(t －0)×(y 2－y 1)＝0，因此 MR ⊥PQ ． …………………… 16分19．解：（1）因为f (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝1x(x ＞0)．设直线l 与函数f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则直线l 的方程为 y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即 y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)． (3)因为直线l 经过点(0，0)，所以0－ln x 0＝1x 0(0－x 0)，即ln x 0＝1，解得x 0＝e ．因此直线l 的方程为 y ＝1e x ，即x －e y ＝0． (6)分（2）考察函数H (x )＝g (x )－2a 2f (x )＝x 2－2a 2ln x ．H ′(x )＝2x －2a 2x＝2(x －a )( x ＋a )x(x ＞0)．因为a ＞0，故由H ′(x )＝0，解得x ＝a ． …………………… 8分① 当0＜a ≤1时，H ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，H (x )在区间[1，＋∞)上递增，所以 H (x )min ＝H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝1． (11)分② 当a ＞1时，H (x )在区间[1，a ]上递减，在区间[a ，＋∞)上递增，所以 H (x )min ＝H (a )＝a 2(1－2ln a ) ．(ⅰ) 当1－2ln a ≤0，即a ∈[e ，＋∞) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )≤0，又H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝0．(ⅱ) 当1－2ln a ＞0，a ∈(1，e) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )＞0，所以φ(x )min ＝a 2(1－2ln a ) ．综上 φ(x )min＝⎩⎨⎧1， 0＜a ≤1，a 2(1－2ln a )，1＜a ＜e ，0， a ≥ e ．…………………… 16分20．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ．因为数列{a n }为P (4)数列，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，从而 1＋q ＋q 2＋q 3＝0，即 (1＋q )( 1＋q 2)＝0．所以q ＝－1．又因为|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＝1，所以4|a 1|＝1，解得a 1＝－14 或 14． (3)分（2）① 设等差数列{a n }的公差为d ．因为数列{a n }为P (2m ＋3)数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 2m ＋3＝0，即 (a 1＋a 2m ＋3)(2m ＋3)2＝0．因为1＋2m ＋3＝2(m ＋2)，所以a 1＋a 2m ＋3＝2a m ＋2，从而 (2m ＋3)a m ＋2＝0，即a m ＋2＝0． …………………… 6分又因为 |a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2m ＋3|＝1，且d ＞0，所以－(a 1＋a 2＋…＋a m ＋1)＋(a m ＋3＋a m ＋4＋…＋a 2m ＋3)＝1，即 (m ＋2)(m ＋1)d ＝1，解得 d ＝1(m ＋1)(m ＋2)．因此等差数列{a n }的公差为d ＝1(m ＋1)(m ＋2)． …………………… 9分②若数列{a n }是P (2m )数列，则有：a 1＋a 2＋…＋a 2m ＝0；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2m |＝1．因为 a n＝⎩⎪⎨⎪⎧q n －13 ，1≤n ≤m ，n ∈N *，m －n 12，m ＋1≤n ≤2m ，n ∈N *，且q ＜－1，所以13×1－q m1－q－m(m＋1)24＝0；（*）13×1－|q|m1－|q|＋m(m＋1)24＝1．（**）当m为偶数时，在（*）中，13×1－q m1－q＜0，－m(m＋1)24＜0，所以（*）不成立．…………………… 12分当m为奇数时，由（*）＋（**）得：1－q m1－q＋1－|q|m1－|q|＝3．又因为q＜－1，所以1－q m1－q＋1＋q m1＋q＝3，解得q m＋1＝3q2－12．因为m (m≥2)为奇数，所以q m＋1≥q4，所以3q2－12≥q4，整理得(2q2－1)(q2－1)≤0，即12≤q2≤1，与q＜－1矛盾．综上可知，数列{a n}不是P(2m)数列．…………………… 16分南京市2019届高三学情调研考试数学附加题参考答案及评分标准 2018．0921．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）因为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3 ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 2 ，β＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，且Aβ＝α，所以 Aβ ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －2y x －3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 2． …………………… 3分所以 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝－4，x －3y ＝2，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2． …………………… 5分（2）因为矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (ad －bc ≠0)的逆矩阵为M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc ，且矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －2 1 －3 ， …………………… 8分所以 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤34 －12 14 －12 ． …………………… 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：将曲线 C ：ρ＝6sin θ的极坐标方程化为直角坐标方程，得x 2＋(y －3)2＝9，因此，曲线C 是以(0，3)为圆心、半径为3的圆． …………………… 3分将直线l ：ρcos(θ－ π4)＝2的极坐标方程化为直角坐标方程，得x ＋y－2＝0．…………………… 6分因为圆心(0，3)到的直线l 距离d ＝|0＋3－2|2＝22，所以AB ＝2r 2－d 2＝29－(22)2＝34． (10)分C ．选修4—5：不等式选讲解：由a ，b ，c 是正数及柯西不等式，得(a ＋b ＋c )( 1a ＋4b ＋4c )≥(a ．1a ＋b ． 4b ＋c ． 4c)2＝25．…………………… 4分因为a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋4b ＋4c≥25． …………………… 6分当且仅当a 1a＝b 4b＝c 4c时，不等式取等号，此时 a ＝15，b ＝c ＝25．所以1a ＋4b ＋4c的最小值为25. …………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分． 22．解：在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以{DA →，DC →，DD 1→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ．因为AB ＝3，AA 1＝2，E 是CC 1的中点，AF →＝2FB →，所以E (0，3，1)，F (3，2，0)，B 1(3，3，2)．…………………… 2分（1）从而 FE →＝(－3，1，1)，DB 1→＝(3，3，2)．设异面直线FE 和DB 1所成的角为α，则cos α＝|cos<FE →，DB 1→>|＝|－3×3＋1×3＋1×2 11× 22|＝4 11×22＝2211．因此，异面直线FE 和DB 1所成角的余弦值为2211． …………………… 5分（2）设平面B 1FE 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )．因为FE →＝(－3，1，1)，FB 1→＝(0，1，2)，由 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·FE →＝0，n 1·FB 1→＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＋z ＝0，y ＋2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13z ，y ＝－2z ．取z ＝－3，则平面B 1FE 的一个法向量为n 1＝(1，6，－3)． (8)分又因为平面AB 1F 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)，所以cos< n 1，n 2>＝1 46×1＝4646．因此|cos θ|＝| cos< n 1，n 2>|＝4646． …………………… 10分23．解：（1）由于两人租车时间都不会超过3小时，根据题意，每人所付费用可能为0，2，4元．因此，两人都付0元的概率为P 1＝14×12＝18，都付2元的概率为P 2＝12×14＝18，都付4元的概率为为P 3＝14×14＝116．所以，两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝516． (4)分（2）根据题意，X所有可能的取值为0，2，4，6，8．P(X＝0)＝14×12＝18；P(X＝2)＝14×14＋12×12＝516；P(X＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516；P(X＝6)＝12×14＋14×14＝316；P(X＝8)＝14×14＝116．因此，随机变量X的分布列为：…………………… 8分随机变量X的数学期望E(X)＝58＋54＋98＋12＝72． (10)分。

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（第4题图）南京市2019届高三年级学情调研数学 2018.09注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑nx i ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置．．．．上． 1．已知集合A ＝{ x |1＜x ＜5，x ∈R }，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，那么集合A ∩B 中有 ▲ 个元素． 2．复数z ＝(1＋b i)(2－i)，其中b ∈R ，i 为虚数单位．若z 是纯虚数，则实数b 的值为 ▲ ．3．已知某地连续5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18， 21，22，24，25，那么这组数据的方差为 ▲ ． 4．执行右图所示的算法流程图，则最后输出的S 的值为 ▲ ．5．若函数f (x )＝a ＋12x －1 是奇函数，则实数a 的值为 ▲ ． 6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则该双曲线的离心率是 ▲ ．7．不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是 ▲ ．8．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ) (－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝π6 对称，则f (0)的值为 ▲ ． 9．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，则四棱锥A 1－ B 1C 1CB 的体积是 ▲ ． 10．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1) (n ∈N *)，则a 10 的值为 ▲ ．11．已知△ABC 的面积为315，且AC －AB ＝2，cos A ＝－14，则 BC 的长为 ▲ ．ACA 1B 1C 112．在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， E 为边BC 上一点，且AB →·AE →＝6， AD →·AE →＝32，则AB →·AD →的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (1，－1)，点P 为圆(x －4)2＋y 2＝4上任意一点，记△OAP 和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则 S 1S 2的最小值是 ▲ ．14．若函数f (x )＝12ax 2－e x ＋1在x ＝x 1和x ＝x 2两处取到极值，且 x 2x 1≥2，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，已知四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BC ＝EC ，F 是BE 的中点．（1）求证：DE ∥平面ACF ；（2）求证：平面AFC ⊥平面ABE ．16．（本小题满分14分）已知α，β为钝角，且sin α＝35，cos2β＝－35．（1）求tan β的值；（2）求cos(2α＋β)的值．17．（本小题满分14分）AEDFBC（第15题图）销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P ＝att ＋1，销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q ＝bt ，其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为 94 万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f (x )万元．（1）求函数f (x ) 的解析式；（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且直线l ：x ＝2被椭圆E 截得的弦长为2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，且PQ 的中点R 在直线l 上．点M (1，0)．（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：MR ⊥PQ ．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2．（1）求过原点(0，0)，且与函数f (x )的图象相切的直线l 的方程；（2）若a ＞0，求函数φ(x )＝|g (x )－2a 2f (x )|在区间[1，＋∞) 上的最小值．（第18题图）20．（本小题满分16分）如果数列{a n }共有k (k ∈N *，k ≥4)项，且满足条件：① a 1＋a 2＋…＋a k ＝0； ② |a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |＝1，则称数列{a n }为P (k )数列．（1）若等比数列{a n }为P (4)数列，求a 1的值；（2）已知m 为给定的正整数，且m ≥2．① 若公差为正数的等差数列{a n }是P (2m ＋3)数列，求数列{a n }的公差；② 若a n ＝⎩⎨⎧q n －13 ，1≤n ≤m ，n ∈N *，m －n 12，m ＋1≤n ≤2m ，n ∈N *，其中q 为常数，q ＜－1．判断数列{a n }是否为P (2m )数列，说明理由．南京市2019届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准 2018.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．2 2．－2 3．6 4．8 5．12 6． 5 7．25 8．1 9．23 10．191011．8 12．－92 13．2－ 3 14．[ 2ln2，＋∞）二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．证明：（1）连结BD ，交AC 于点O ，连结OF ．因为四边形ABCD 是矩形，O 是矩形ABCD 对角线的交点，所以O 为BD 的中点．又因为F 是BE 的中点，所以在△BED 中，OF ∥DE ．……………… 4分因为OF ⊂ 平面AFC ，DE ⊄ 平面AFC ，所以DE ∥平面AFC ． ……………… 6分（2）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥BC ．又因为平面ABCD ⊥平面BCE ，且平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB ⊂面ABCD ，所以AB ⊥平面BCE ． …………………… 9分因为CF ⊂平面BCE ，所以AB ⊥CF ．在△BCE 中，因为CE ＝CB ， F 是BE 的中点，所以CF ⊥BE ． …………………… 11分因为AB ⊂ 平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，AB ∩BE ＝B ，所以CF ⊥面ABE ．又CF ⊂平面AFC ，所以平面AFC ⊥平面ABE ． …………………… 14分16．解：（1）因为cos2β＝－35，cos2β＝2cos 2β－1，所以 2cos 2β－1＝－35，解得cos 2β＝15． …………………… 2分因为β为钝角，所以cos β＝－55．从而sin β＝1－cos 2β＝1－15＝255． …………………… 5分所以tan β＝sin βcos β＝255－55＝－2． …………………… 7分（2）因为α为钝角，sin α＝35，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－(35)2＝－45． …………………… 9分所以 sin2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(35)2＝725． …………………… 11分从而cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin βAEDFBC（第15题图）O＝725×(－55)－(－2425)×255＝415125． …………………… 14分17．解：（1）由题意，P ＝att ＋1，Q ＝bt ，故当t ＝3时，P ＝3a 3＋1＝94，Q ＝3b ＝1． …………………… 3分解得 a ＝3，b ＝13． …………………… 5分所以 P ＝3t t ＋1，Q ＝13t ．从而 f (x )＝3x x ＋1＋3－x3，x ∈[0，3]． …………………… 7分（2）由（1）可得：f (x )＝3x x ＋1＋3－x 3＝133－(3x ＋1＋x ＋13)．…………………… 9分因为x ∈[0，3]，所以x ＋1∈[1，4]，故3x ＋1＋x ＋13≥2，从而 f (x )≤133－2＝73． …………………… 11分当且仅当3x ＋1＝x ＋13，即x ＝2时取等号．所以f (x )的最大值为 73．答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是73万元． …………………… 14分18．解：（1）因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2． …………………… 2分因为直线l ：x ＝2被椭圆E 截得的弦长为2，所以点(2，1)在椭圆上，即 4a 2＋1b 2＝1．解得a 2＝6，b 2＝3，所以椭圆E 的方程为 x 26＋y 23＝1． …………………… 6分（2）解法一：因为直线PQ 与坐标轴不垂直，故设PQ 所在直线的方程为y ＝kx ＋m ．设 P (x 1，y 1)，Q (x 2， y 2) ．因为PQ 的中点R 在直线 l ：x ＝2上，故R (2，2k ＋m )．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ＋m ，x 26＋y 23＝1，消去y ，并化简得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0， …………………… 9分所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2．（*）由x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2＝4，得1＋2k 2＝－km ． ① ………………… 12分因为M (1，0)，故k MR ＝2k ＋m2－1＝2k ＋m ，所以k MR ·k PQ ＝(2k ＋m )k ＝2k 2＋km ＝2k 2－(1＋2k 2)＝－1，所以MR ⊥PQ ． …………………… 16分解法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2， y 2)．因为PQ 的中点R 在直线 l ：x ＝2上，故设R (2，t )．因为点P ，Q 在椭圆E ：x 26＋y 23＝1上，所以⎩⎨⎧x 126＋y 123＝1，x 226＋y 223＝1，两式相减得 (x 1＋x 2) (x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2) (y 1－y 2)＝0．………………… 9分因为线段PQ 的中点为R ，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2t ．代入上式并化简得 (x 1－x 2)＋t (y 1－y 2)＝0． …………………… 12分又M (1，0)，所以 MR →·PQ →＝(2－1)×(x 2－x 1)＋(t －0)×(y 2－y 1)＝0，因此 MR ⊥PQ ． …………………… 16分19．解：（1）因为f (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝1x (x ＞0)．设直线l 与函数f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则直线l 的方程为 y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即 y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．…………………… 3分因为直线l 经过点(0，0)，所以0－ln x 0＝1x 0(0－x 0)，即ln x 0＝1，解得x 0＝e ．因此直线l 的方程为 y ＝1e x ，即x －e y ＝0． …………………… 6分（2）考察函数H (x )＝g (x )－2a 2f (x )＝x 2－2a 2ln x ．H ′(x )＝2x －2a 2x ＝2(x －a )( x ＋a )x(x ＞0)．因为a ＞0，故由H ′(x )＝0，解得x ＝a ． …………………… 8分 ① 当0＜a ≤1时，H ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，H (x )在区间[1，＋∞)上递增，所以 H (x )min ＝H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝1． …………………… 11分 ② 当a ＞1时，H (x )在区间[1，a ]上递减，在区间[a ，＋∞)上递增，所以 H (x )min ＝H (a )＝a 2(1－2ln a ) ．(ⅰ) 当1－2ln a ≤0，即a ∈[e ，＋∞) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )≤0，又H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝0．(ⅱ) 当1－2ln a ＞0，a ∈(1，e) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )＞0，所以φ(x )min ＝a 2(1－2ln a ) ．综上 φ(x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜a ≤1，a 2(1－2ln a )，1＜a ＜e ，0， a ≥e ．…………………… 16分20．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ．因为数列{a n }为P (4)数列，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，从而 1＋q ＋q 2＋q 3＝0，即 (1＋q )( 1＋q 2)＝0．所以q ＝－1．又因为|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＝1，所以4|a 1|＝1，解得a 1＝－14 或 14． …………………… 3分（2）① 设等差数列{a n }的公差为d ．因为数列{a n }为P (2m ＋3)数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 2m ＋3＝0，即(a 1＋a 2m ＋3)(2m ＋3)2＝0．因为1＋2m ＋3＝2(m ＋2)，所以a 1＋a 2m ＋3＝2a m ＋2，从而 (2m ＋3)a m ＋2＝0，即a m ＋2＝0． …………………… 6分又因为 |a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2m ＋3|＝1，且d ＞0，所以－(a 1＋a 2＋…＋a m ＋1)＋(a m ＋3＋a m ＋4＋…＋a 2m ＋3)＝1，即 (m ＋2)(m ＋1)d ＝1，解得 d ＝1(m ＋1)(m ＋2)．因此等差数列{a n }的公差为d ＝1(m ＋1)(m ＋2) ． …………………… 9分②若数列{a n }是P (2m )数列，则有：a 1＋a 2＋…＋a 2m ＝0；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2m |＝1．因为 a n ＝⎩⎨⎧q n －13 ，1≤n ≤m ，n ∈N *，m －n 12，m ＋1≤n ≤2m ，n ∈N *，且q ＜－1，所以 13×1－q m 1－q－m (m ＋1)24＝0；（*）13×1－|q |m 1－|q |＋m (m ＋1)24＝1．（**）当m 为偶数时，在（*）中，13×1－q m1－q＜0，－m (m ＋1)24＜0，所以（*）不成立． …………………… 12分当m 为奇数时，由（*）＋（**）得： 1－q m 1－q ＋1－|q |m1－|q |＝3．又因为 q ＜－1，所以 1－q m 1－q ＋1＋q m 1＋q ＝3，解得q m＋1＝3q 2－12．因为m (m ≥2)为奇数，所以q m ＋1≥q 4，所以 3q 2－12≥q 4，整理得(2q 2－1)(q 2－1)≤0，即 12≤q 2≤1，与q ＜－1矛盾．综上可知，数列{a n }不是P (2m )数列． …………………… 16分南京市2019届高三学情调研考试数学附加题参考答案及评分标准 2018．0921．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）因为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3 ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 2 ，β＝ ⎣⎡⎦⎤x y ，且Aβ＝α，所以 Aβ ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤2x －2y x －3y ＝⎣⎡⎦⎤－4 2． …………………… 3分所以 ⎩⎨⎧2x －2y ＝－4，x －3y ＝2，解得 ⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－2．…………………… 5分（2）因为矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤a b c d (ad －bc ≠0)的逆矩阵为M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d ad －bc －bad －bc－c ad －bca ad －bc，且矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －2 1 －3 ， …………………… 8分所以 A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34 －12 14 －12 ． …………………… 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：将曲线 C ：ρ＝6sin θ的极坐标方程化为直角坐标方程，得x 2＋(y －3)2＝9，因此，曲线C 是以(0，3)为圆心、半径为3的圆． …………………… 3分将直线l ：ρcos(θ－ π4)＝2的极坐标方程化为直角坐标方程，得x ＋y －2＝0．…………………… 6分因为圆心(0，3)到的直线l 距离d ＝ |0＋3－2|2＝ 22，所以AB ＝2r 2－d 2＝29－(22)2＝34． …………………… 10分C ．选修4—5：不等式选讲解：由a ，b ，c 是正数及柯西不等式，得(a ＋b ＋c )( 1a ＋4b ＋4c )≥( a ． 1a ＋ b ． 4b ＋ c ． 4c )2＝25．…………………… 4分因为a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋4b ＋4c ≥25． …………………… 6分当且仅当a1a ＝b4b ＝c4c时，不等式取等号，此时 a ＝15，b ＝c ＝25．所以1a ＋4b ＋4c 的最小值为25. …………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分． 22．解：在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以{DA →，DC →，DD 1→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ．因为AB ＝3，AA 1＝2， E 是CC 1的中点，AF →＝2FB →，所以E (0，3，1)，F (3，2，0)，B 1(3，3，2)．…………………… 2分（1）从而 FE →＝(－3，1，1)，DB 1→＝(3，3，2)．设异面直线FE 和DB 1所成的角为α，则cos α＝|cos <FE →，DB 1→>|＝|－3×3＋1×3＋1×211×22|＝411×22＝2211．因此，异面直线FE 和DB 1所成角的余弦值为2211． …………………… 5分（2）设平面B 1FE 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )．因为FE →＝(－3，1，1)，FB 1→＝(0，1，2)，由 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·FE →＝0，n 1·FB 1→＝0，得 ⎩⎨⎧－3x ＋y ＋z ＝0， y ＋2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13z ，y ＝－2z ．取z ＝－3，则平面B 1FE 的一个法向量为n 1＝(1，6，－3)．…………………… 8分又因为平面AB 1F 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)，所以cos < n 1，n 2>＝146×1＝4646．因此|cos θ|＝| cos < n 1，n 2>|＝4646． …………………… 10分23．解：（1）由于两人租车时间都不会超过3小时，根据题意，每人所付费用可能为0，2，4元．因此，两人都付0元的概率为P 1＝14×12＝18，都付2元的概率为P 2＝12×14＝18，都付4元的概率为为P 3＝14×14＝116．所以，两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝516．…………………… 4分（2）根据题意，X 所有可能的取值为0，2，4，6，8．P (X ＝0)＝14×12＝18 ；P (X ＝2)＝14×14＋12×12＝516；P (X ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516；P (X ＝6)＝12×14＋14×14＝316；P (X ＝8)＝14×14＝116．因此，随机变量X 的分布列为：…………………… 8分随机变量X 的数学期望E (X )＝58＋54＋98＋12＝72． …………………… 10分。