陕西省西安交大阳光中学高中数学 第二章 平面向量数量积的坐标表示学案 新人教版必修4
陕西省西安交大阳光中学高中数学 第二章 平面向量数量
自
主
学
习
1．复习回顾：
①已知向量 、 ，则 =； =； =，特别的， =.
②若 ，则 =，反之可得.
③设 ， ，则 与 平行 .
2．新知探究：
①设 、 分别是x轴和y轴方向上的单位向量， ， ，则 =，即两向量的数量积等于.
②（模长公式）设 ，则 =，或 ；
如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 和 ，那么 =， ；
陕西省西安交大阳光中学高中数学 第二章 平面向量数量积的坐标表示学案 新人教版必修4
目标
1、通过探究平面向量数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；
2、掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题。
重点
平面向量数量积的坐标表示.
二次备课
难点
达
标
训
练
1．练习1、2；
2．已知 ＝（２，－１）， ＝（３，－２），求（３ － ）·（ －２ ）；
3．已知向量 ，若 与 垂直，则实数k=_____.
4. 平行，则x=_______.
5.已知 ，且 的夹角为钝角，求实数m的取值范围.
6.设向量 ，其中
⑴、试计算 的值； ⑵、求向量 的夹角大小。
作业
③（夹角公式）设 ， ， 与 的夹角为 ，则 =；
④（垂直）设 ， ，则 .
问题生成记录：
精
讲
互
动
1求平面曲线方程的方法与步骤：
② 若圆C: ，则与圆C相切于点 的切线方程为，特别的，若a=0，b=0，则与圆C相切于点 的切线方程为.
③若直线 的斜率为 ，则 的方向向量Байду номын сангаас.
陕西省西安交大阳光中学高中数学 第二章 平面向量基本定理学案 新人教版必修4
达
标
训
练
（1）p84练习：1、2.
（2）教辅资料
（3）（选做）设 是平面内的一组基底，如果 =3 --2 ， =4 + , =8 -9 ,求证：A，B，D三点共线。提示：欲证A，B，D三点共线，只需证明共起点的两个向量 与 共线,即证明 =
作业
反思
板书
设计
③向量共线定理？
问题：①由平行四边形想到：是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？
②对于平面上两个不共线向量 ， 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？
1.阅读课本p83回答下面问题：
①平面向量基本定理内容：
②基底：
问题生成记录：
精
讲
互
动
(1)解析“自主学习”;
(2)例题解析
例1：（课本p84例4）
陕西省西安交大阳光中学高中数学第二章平面向量基本定理学案新人教版必修4
目标
了解平面向量的基本定理及意义；能用两个不共线向量表示一个向量；能把一个向量分解为两个向量。
重点
能用两个不共线向量表示一个向量
二次备课
难点Байду номын сангаас
对向量共线的的进一步理解
自
主
学
习
复习：①向量的加法运算（平行四边形法则）？
②实数与向量的积？
陕西省西安交大阳光中学高中数学教案 选修2-1 第二章 空间向量与立体几何
第二章空间向量与立体几何教材解析本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想．需注意：（1）根据问题的特点，以适当的方式（例如构建向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系.（2）通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等）.（3）对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题．（4）通过例题，引导学生对解决立体几何问题的二种方法（向量方法、坐标法）进行比较，分析各自的优势，因题而宜作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力．课时安排2．1 从平面向量到空间向量 1课时2．2 空间向量的运算 1课时2．3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3课时2.3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示2.3.2 空间向量基本定理2.3.3 空间向量运算的坐标表示2．4 用向量讨论垂直与平行 1课时2．5 夹角的计算 3课时2.5.1 直线间的夹角2.5.2 平面间的夹角2.5.3 直线与平面的夹角2．6 距离的计算 1课时小结 1课时§2.1从平面向量到空间向量§2.2空间向量的运算§2.3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示§2.3.2向量基本定理§2.3.3空间向量运算的坐标表示§2.4用向量讨论垂直与平行§2.5.1直线间的夹角a b a b⋅； 图1图2§2.5.2平面间的夹角§2.5.3直线和平面所成的角a b=，我们可以ba bAB nn=.AB n§2.6距离的计算§2.7小结与复习。
高中数学 第二章 平面向量 242 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案 新人教A版必修4 学案
2．4．2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、三维目标：知识与技能：掌握平面向量数量积的坐标表示；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用 两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题。
过程与方法：通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度。
情感态度与价值观：培养运算能力，创新能力，提高数学素质。
二、学习重、难点：重点：平面向量数量积的坐标表示。
难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用。
三、学法指导：通过数量积的坐标表示的学习，会求夹角及两点间距离公式。
四、知识链接：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量cos a b θ，叫a 与b 的数量积，记作a b ，即有cos a b a b θ=，(0)θπ≤≤。
并规定0与任何向量的数量积为0.2．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影cos b θ的乘积。
3．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量。
1 cos e a a e a θ==； 2 0a b a b ⊥⇔=3当a 与b 同向时，a b ab =；当a 与b 反向时，a b ab =-。
特别的2a a a=或||a a a =⋅4 cos =||||a ba b ⋅ ；5a b ab ≤5．平面向量数量积的运算律 交换律：a b b a =数乘结合律：()a b λ=()a b λ=()a b λ 分配律：()a b c a c b c +=+五、学习过程：问题1.在直角坐标系中，已知两个非零向量a =（x 1，y 1）,b =（x 2，y 2），如何用a 与b 的坐标表示a b （x 轴上的单位向量i ，y 轴上的单位向量j ）这就是说：问题2. 平面内两点间的距离公式设(,)a x y =，则（ ）或（ ）（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么(平面内两点间的距离公式) 问题3 向量垂直的判定设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（ ） 问题4两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）cos= （ ）B 例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明。
陕西省西安交大阳光中学高中数学 第二章 数乘向量学案 新人教版必修4
例1：（课本p81例1）
例2：（课本p78例5）
达
标
训
练
（1）p82练习：1-5.
（பைடு நூலகம்）教辅资料
作业
反思
板书
设计
(2)向量的减法？特点是什么？
1.阅读课本p80回答下面问题：
（1）已知向量 如何作出 和
（2）向量 与向量 有什么关系?向量 与向量 有什么关系?
（3）向量的数乘运算的定义？它的长度和方向规定
（4）数乘向量的几何意义？运算律又有哪些？
问题生成记录：
精
讲
互
动
(1)解析“自主学习”;
(2)向量平行的判定定理和性质定理
陕西省西安交大阳光中学高中数学第二章数乘向量学案新人教版必修4
目标
(1)理解数乘向量的意义及其几何意义；
(2)掌握向量的运算律，并能熟练地运用运算律对向量的线性组合进行化简；
(3)掌握向量共线的判定定理和性质定理。
重点
向量的数乘运算
二次备课
难点
向量共线的判定定理和性质定理
自
主
学
习
复习：
(1)向量加法三角形法则和向量加法平行四边形法则？它们的特点是什么？
陕西省高中数学必修四(北师大版)第二章学案 平面向量数量积的坐标表示
435【导学案】平面向量数量积的坐标表示班级 姓名 组号 编写人：王松涛 审核人：【学习目标】1. 通过自主学习、合作讨论、探究出平面向量数量积的坐标表示及其应用；2.理解向量垂直的坐标表示，夹角公式；3、了解直线的方向向量的的概念，知道斜率为k 的直线的方向向量。
【学习重点】面向量数量积的坐标表示【学习难点】线的方向向量的的概念【学习过程】一、预习自学（阅读书第98页—99页内容，思考回答下列问题）1. .以向量坐标形式及数量积的运算为基础，推导出向量数量积的坐标运算公式。
2．在理解数量积的几何运算和代数运算的基础上，填写下列内容：1.向量模长的坐标表示（1） 设),(y x a = ，则= 或a （2）.若()11,A x y ，()22,B x y ，则AB = (这就是A,B 两点间的距离公式)2.向量数量积的坐标表示设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则a ⋅b =3.向量垂直平行的坐标表示设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则_______;________a b a b ⊥⇔//⇔4.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）， cos θ = =5、什么叫直线的方向向量？；斜率为k 的直线的方向向量是 ，直线Ax+By+C=0的方向向量是 ；还可以为 。
二、合作探究（深化理解）探究1．已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），求a 与b 的夹角。
探究2：已知()()4,2,3,2-==b a ，求()();a b a b a b +∙-+。
探究3：已知直线12:34120:7280,l x y l x y +-=+-=和求直线12l l 和的夹角。
探究4：已知()1,1=m ，n 与m 的夹角为4π且1m n ⋅= （1）求n ；（2）设()()x x b a sin ,cos ,0,1== 其中R x ∈，若0n a ∙=，试求b n +的取值范围三、达标检测1 . （书第99页练习第1题）2,23-4(1,1),a b ==已知（），求：1.a b a b ∙（） (2)与的夹角的大小2. 已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a =BC ,b =CA ,求a 与b 的夹角。
陕西省西安市高中数学 第二章《平面向量数量积的坐标表示》教案 北师大版必修4
2.6平面向量数量积的坐标表示（1课时）一.教学目标：1.知识与技能（1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. （3）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁移知识的能力.二.教学重、难点重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示.难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】[展示投影]引入：请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共线的坐标表示：【探究新知】平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？1. 推导坐标公式：设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：i•i = 1，j•j = 1，i•j = j•i = 0.∵a = x1i + y1j, b = x2i + y2j∴a•b = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1i•j + x2y1i•j + y1y2j2= x1x2 + y1y2从而获得公式：a•b = x1x2 + y1y22.长度、角度、垂直的坐标表示①a = (x, y) ⇒ |a|2 = x2 + y2 ⇒ |a| =2 2y x+②若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则−→−AB=221221)()(yyxx-+-③cosθ =||||baba••222221212121yxyxyyxx+++=④∵a⊥b ⇔ a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）【巩固深化，发展思维】1.设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a•b2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(-2, 5)，求证：△ABC是直角三角形.3.教材P114练习1、2题.4.已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x•a = 9与x•b = -4的向量x. [展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1. 教材P113例1.例2. 教材P113例2.[展示投影]思考1.什么是方向向量？2.怎样把一个已知向量转化为单位向量？[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例3. 教材P114例3.【巩固深化，发展思维】教材P115习题A第1、2、3、4、5、6题.[学习小结]①a = (x, y) ⇒ |a|2 = x2 + y2 ⇒ |a| =2 2y x+②若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则|−→−AB|=221221)()(yyxx-+-③cosθ =||||baba••222221212121yxyxyyxx+++=④∵a⊥b ⇔ a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0五、评价设计1．作业：习题2.6 B组第1,2,3，4题．2．（备选题）：①如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使∠B = 90︒，求点B和向量AB的坐标。
陕西省西安交大阳光中学高中数学 第二章 从力做的功到向量的数量积学案 新人教版必修4
反思
板书
设计
当两向量都是单位向量时，其数量积等于，记作。
⑤向量数量积的物理意义是
⑥平面向量数
问题生成记录：
精
讲
互
动
1．向量数量积的几何意义；向量数量积的重要性质；向量数量积满足的运算定律。
2．应用：
例2(余弦定理)
达
标
训
练
练习1-5题。
已知 ， ，且 与 不共线，当k为何值时，向量 与 互相垂直？
难点
平面向量的数量积的定义及其运算律的理解和平面向量的数量积的应用。
自
主
学
习
1．复习回顾：
①向量 和向量 的和与差是，其大小和方向可以通过法则和法则来表示。
②向量 和实数 的数量积是，其大小为，方向为
。
2．新知探究：
①如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可以表示为，其中 是。力和位移是，功是。
②设 、 是同一平面内的两个任意向量，则 与 的积可以表示为，
其中 是。 的结果是一个，称为 与 的或。
③设 、 是两个非零向量，则其夹角定义为，两向量夹角的范围是。当 时， 与 ； 时， 与 ； 时， 与 ，
记作。特别规定：零向量可与任意向量。
④向量 与 的数量积的几何意义是
或。
当两向量相等时，其数量积等于，记作；
陕西省西安交大阳光中学高中数学 第二章 从力做的功到向量的数量积学案 新人教版必修4
目标
1．通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量的数量积的重要性质及运算律。
2．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握两个向量垂直的条件。
重点
平面向量的数量积的定义
二次备课
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学
习
1．复习回顾：
①已知向量 、 ，则 =； =； =，特别的， =.
②若 ，则 =，反之可得.
③设 ， ，则 与 平行 .
2．新知探究：
①设 、 分别是x轴和y轴方向上的单位向量， ， ，则 =，即两向量的数量积等于.
②（模长公式）设 ，则 =，或 ；
如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 和 ，那么 =， ；
板书
设计
达
标
训
练
1．练习1、2；
2．已知 ＝（２，－１）， ＝（３，－２），求（３ － ）·（ －２ ）；
3．已知向量 ，若 与 垂直，则实数k=_____.
4. 平行，则x=_______.
5.已知 ，且 的夹角为钝角，求实数m的取值范围.
6.设向量 ，其中
⑴、试计算 的值；⑵、求向量 的夹角大小。
作业
反思
③（夹角公式）设 ， ， 与 的夹角为 ，则 =；
④（垂直）设 ， ，则 .
问题生成记录：
精
讲
互
动
1求平面曲线方程的方法与步骤：
②若圆C: ，则与圆C相切于点 的切线方程为，特别的，若a=0，b=0，则与圆C相切于点 的切线方程为.
③若直线 的斜率为 ，则 的方向向量为.
④直线 与 的夹角是指，其范围是.
陕西省西安交大阳光中学高中数学第二章平面向量数量积的坐标表示学案新人教版必修4
目标
1、通过探究平面向量数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；
2、掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题。
重点
平面向量数量积的坐标表示.
二次备课
难点
向量数量积的坐标表示的应用.