第7课时11-3 多边形的对角线、内角和
人教版数学八年级上册11 3 2多边形的内角教学设计(表格式)
教学设计已知：四边形ABCD ，求证：∠A +∠B +∠C +∠D=360∘证明思路：分割成2个三角形,180°×2=360°【学习任务二】用不同的分割方法探究五边形的内角和，探究多边形内角和公式.1.学生先独立思考；2.教师引导学生思考: 你添加辅助线的目的是什么？ 你能求出n 边形的内角和是多少度吗? 你还有其他的证明方法吗？ 3．学生填表：总结归纳:从n 边形的一个顶点出发,可以作(n-3)条对角线,它们将n 边形分为(n-2)个三角形,这(n-2)个三角形的内角和就是n 边形的内和,所以,n 边形的内角和等于(n-2)·180°4．教师引导：我们在前面的探究中是在多边形的顶点处取一点引对角线将多边形分为三角形来研究内角和,那么这个点除了取在顶点处,还可以取在什么位置时,也能将多边形分成几个三角形,进而得出它的内角和?我们以五边形为例探究。
让学生四人一组进行探究，展示思路。
D CBA方法1：从五边形的一个顶点引对角线，将五边形分成了3个三角形：方法2：从五边形的一条边上的一个点引对角线五边形内角和:4×180°-180°= 3 ×180°= 540°教师提问:若按这种分法,分一个n边形,内角和如何得出吗?n边形内角和：（n-1）×180°－180°=（n-1-1）×180°=（n-2）×180°方法3 ：在五边形内部取点分割成5个三角形五边形内角和：=5×180°－360°= 5×180°－2×180°=（5-2）×180°= 540°n边形内角和：=n×180°－2×180°=（n-2）×180°方法4：从五边形外部的一个点引对角线五边形内角和: =4×180°－180 ° =3×180° =540° n 边形内角和：=（n-1）×180°－180° =（n-1-1）×180° =（n-2）×180°归纳:四种方法都能探究出n 边形的内角和等于（n-2）×180°，可以运用多种方法时,要学会择优选择。
人教版数学八年级上册11.3 多边形及其内角和 同步练习
多变性及其内角和多边形1．在平面内，由一些线段组成的封闭图形叫做多边形。
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……是最简单的多边形。
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做。
2．多边形组成的角叫做它的内角。
多边形的边与它的邻边的组成的角叫做多边形的外角。
3．连接多边形的线段，叫做多边形的对角线。
4．我们知道，正方形的各个角都，各条边都。
像正方形这样，各个角都，各条边都的多边形叫做正多边形。
5．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，那么原多边形纸片的边数不可能是〔〕A．16 B．17 C．18 D．196．以下图形中，是四边形的是〔〕A．B．C．D．7．下面四个图形中是多边形的是〔〕A．B．C．D．8．如图，以下图形不是凸多边形的是〔〕A．B．C．D．9．对正方形剪一刀能得到边形．10．以下图是边形，它有个内角，条边，从一个顶点出发的对角线有条．同步小题12道1．以下图形中，多边形有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个2．以下各图中，是凸多边形的是〔〕A．B．C．D．3．以下各图形中，具有稳定性的是〔〕A．B．C．D．4．以下图形中不可能是正多边形的是〔〕A．三角形B．正方形C．四边形D．梯形5．以下关于正六边形的说法错误的选项是〔〕A．边都相等B．对角线都相等C．内角都相等D．外角都相等6．从多边形一条边上的一点〔不是顶点〕出发，连接各个顶点得到2003个三角形，那么这个多边形的边数为〔〕A．2001 B．2005 C．2004 D．2006二．填空题7．如图，以下图形是多边形的有〔填序号〕．8．正三角形、正方形、正六边形都是大家熟悉的特殊多边形，它们有很多共同特征，请写出其中的两点：〔1〕；〔2〕．9．一个凸多边形的内角中，最多有个锐角．10．假设一个多边形截去一个角后，变成六边形，那么原来多边形的边数可能是．11．如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上几根木条，请画出相应木条所在线段．12．我们知道各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，小明却说各边都相等的多边形就是正多边形，各角都相等的多边形也是正多边形，他的说法对吗？如果不对，你能举反例〔画出相应图形〕说明吗？多边形的内角和1．多边形内角和公式〔1〕从五边形的一个顶点出发，可以作条对角线，它们将五边形分为个三角形，五边形的内角和等于180°×。
人教版八年级数学上册精品教学课件 第十一章 三角形 多边形的内角和
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°， 用列方程的方法确定x．
解：依题意有 （n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°， 解得x=2． 故x的值是2．
A 方法1：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为 180°×2=360°.
B C
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
解：∵1800÷180＝10， ∴原多边形边数为10＋2＝12. ∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，
可能不变，也可能加1， ∴新多边形的边数可能是11，12，13， ∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.
【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为 1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内 角是多少度？他求的是几边形的内角和？
思路点拨：多边形的内角的度数在0°~180°之间. 解：设此多边形的内角和为x， 则有1125°＜x＜1125°＋180°， 即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°， 因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数， 所以x＝180°×7＝1260°. 所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°. 因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
2020年人教版八年级数学上册11.3.2多边形、多边形的内角和外角和
11.3 多边形及其内角和基础闯关全练知识点一多边形及其相关概念1．下列图形中，不是多边形的是( )A. B. C. D.2．（2019湖北武汉研口期中）若某多边形从一个顶点一共可引出4条对角线，则这个多边形是( )A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形知识点二多边形的分类及正多边形3．一个正多边形的周长是100，边长为10，则该正多边形的边数为.知识点三多边形的内角和4．（2018云南中考）一个五边形的内角和为( )A.540°B.450°C.360°D.180°5．（2018江苏南通中考）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为( )A.4B.5 C．6 D．7知识点四多边形的外角和6．若多边形的边数由3增加到n（n为大于3的整数），则其外角和的度数( ) A．增加B．减少C．不变D．不能确定7．（2018山西中考）图11-3 -1①是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图11-3-1②是从图11-3-1①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=____ 度．能力提升全练1．将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是( )A.360°B.540°C.720°D.900°2．小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形是( )A. B. C. D.3．如图11-3 -2，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4相邻的外角的和等于210°，则∠BOD的度数为( )A.30°B.35°C.40°D.45°三年模拟全练一、选择题1．（2019内蒙古巴彦淖尔期末，5．★★☆）一个多边形的边数增加1，则内角和与外角和增加的度数之和是( )A.60°B.90°C.180°D.360°2．（2019湖北荆门沙洋期中．5．★★☆）一个多边形的内角和为540°，则它的对角线共有( )A.3条B.5条C.6条D.12条3．（2019山东济宁微山期中．5．★★☆）一个正多边形的一个内角是它相邻外角的5倍，则这个正多边形的边数是( )A．12 B．10 C．8 D.6二、填空题4．（2019吉林白城期中，9．★★☆）如图11-3 -3，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= .5．（2018山东滨州期末，18，★★★）一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2 520°．则原多边形的边数为.三、解答题6．（2019四川绵阳期中，23．★★☆）如图11-3 -4，在六边形ABCDEF中，AF∥CD,AB∥DE，且∠BAF= 100°，∠BCD=120°，求∠ABC和∠D的度数．五年中考全练一、选择题1．（2018贵州铜仁中考．7．★☆☆）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是( )A.8 B．9 C．10 D．112．（2018山东济宁中考，8，★★☆）如图11-3 -5，在五边形ABCDE中，∠A+ ∠B+ ∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是( )A.50°B.55°C.60°D.65°二、填空题3．（2018上海中考．16，★★☆）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题，如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是度．4．（2018湖南邵阳中考，14，★★☆）如图11-3 -6所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C= 110°，它的一个外角∠ADE= 60°，则∠B的大小是.5．（2018山东聊城中考，14．★★★）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是.三、解答题6．（2016河北中考．22，★：★☆）已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．(1)甲同学说：“θ能取360°，”而乙同学说：“θ也能取630°．”甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由：(2)若n边形变为(n+x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.核心素养全练1．(1)如图11-3-7①②，试探究∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系：(2)请你用文字语言描述(1)中的关系；(3)用你发现的结论解决下列问题：如图11-3-7③，AE、DE分别平分四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA，∠B+ ∠C=240°，求∠E的度数．2．（独家原创试题）李华学习了人教版八上第十一章第3节“多边形及其内角和”后，对几何学习产生了浓厚的兴趣，人教版八上课本第29页第11题如下：如图11-3 -8．△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G．求证：(1) ∠BGC= 180°-21（∠ABC+∠ACB ）； (2)∠BCC= 90°+21∠A ．李华发现这个题目其实是解决“三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系”这个问题，他把这个问题改编如下：问题1：若将△ABC 改为任意四边形ABCD 呢？已知：如图11-3 -9①，在四边形ABCD 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，请你利用上述结论探究∠P 与∠A+∠B 的数量关系，并说明理由；问题2：若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF 呢？如图11-3 -9②所示，请你利用上述结论探究∠P 与∠A+ ∠B+ ∠E+ ∠F 的数量关系，并说明理由.11.3 多边形及其内角和1.C A 中的图形是四边形，是多边形；B 中的图形是五边形，是多边形：C 中的图形不是多边形；D 中的图形是五边形，是多边形．2.C 设这个多边形的边数为n ．∵该多边形从一个顶点出发可引出4条对角线，∴n-3=4．解得n=7．即这个多边形是七边形，故选C ．3．答案10解析∵正多边形的周长是100，边长为10， ∴该正多边形的边数为10100=10，故答案为10. 4.A 180°×(5-2)=540°，故选A ．5.C 设这个多边形的边数为n ．则（n-2）×180°=7200，解得n=6，故选C ．6．C 因为多边形的外角和为360°，所以外角和的度数是不变的．故选C ．7．答案360解析由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3十∠4+∠5= 360°．故答案为360.1.D 如图①，将长方形纸片沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和之和为180°+180°=360°；如图②，将长方形纸片从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和之和为180°+360°=540°：如图③，将长方形纸片沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和之翮为360°+360°=720°；如图④将长方形纸片沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，两个多边形的内角和之和为180°+540°= 720°．故选D．2.B设新多边形的边数是n，则(n-2)·180°= 720°，解得n=6．故选B．3.A∵∠1、∠2、∠3、∠4相邻的外角的和为210°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+210°=4×180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=510°，∵五边形OAGFE的内角和为(5-2) ×180°= 540°.∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD= 540°,∴∠BOD= 540°-510°= 30°，故选A．一、选择题1.C由多边形的内角和公式可知，一个多边形边数增加1．则这个多边形内角和增加180°；由任意多边形的外角和是360°可知，外角和增加0°，则内角和与外角和增加的度数之和是180°．故选C．1 2.B设该多边形的边数为n，∴（n-2）·180°=540°，解得n=5，∴这个多边形共有2×5×( 5-3)=5条对角线．故选B．3.A设这个正多边形的每个外角为x°，由题意得x+5x= 180．解得x= 30,360°÷30°= 12.故选A．二、填空题4．答案540°解析如图．∵∠6+∠7=∠8+∠9．∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9=( 5-2) ×180°= 540°，故答案为540°．5．答案15或16或17解析设新多边形的边数是n，则（n-2）·180°=2 520°，解得n=16．∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，也可以多1或少1，∴原多边形的边数是15或16或17.三、解答题6．解析连接AD，∵AF∥CD，AB∥DE，∴∠FAD= ∠ADC,∠BAD= ∠ADE,∴∠BAF= ∠CDE= 100°．∵∠ABC+∠DCB+∠BAD+∠ADC=360°,∠FAB= ∠FAD+∠BAD= ∠ADC+∠BAD= 100°.∴∠ABC=360°-120°-100°=140°.一、选择题1．A 多边形的外角和是360°，设这个多边形的边数为n ，根据题意得180°·（n-2）=3×360°，解得n=8．故选A ．2．C ∵在五边形ABCDE 中，∠4+∠B+∠E=300°，五边形的内角和为( 5-2)×180°=540°，∴∠EDC+∠BCD=240°．又∵DP 、CP 分别平分∠EDC 、∠BCD ，∴∠PDC+∠PCD=120°．∴∠P= 180°-(∠PDC+∠PCD)= 180°-120°=60°.故选C.二、填空题3．答案540解析以多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形，所以该多边形的内角和是3×180°=540°．故答案为540.4．答案40°解析 ∵∠ADE= 60°，∴∠ADC=120°，∵AD ⊥AB,∴∠DAB= 90°．∴∠B=360°-∠C-∠ADC-∠A=40°．故答案为40°．5．答案540°或360°或180°解析一个正方形截掉一个角后，所得新多边形的边数可能增加1，可能不变，也可能减少1．边数增加1时，新多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°；边数不变时，新多边形的内角和是(4-2)×180°=360°；边数减少1时，新多边形的内角和是( 4-1-2) x180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°，三、解答题6．解析(1)甲对，乙不对，∵θ= 360°，∴（n-2）×180= 360.解得n=4．∵θ= 630°，∴（n-2）×180= 630，解得n=211． ∵n 为整数，∴θ不能取630°．(2)依题意，得（n-2）×180+360=（n+x-2）×180，解得x=2．1．解析(1)∵∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角，∴∠3+∠4+∠5+∠6= 360°,∴∠3+∠4= 360°-(∠5+∠6),∵∠1+∠5=180°,∠2+∠6=180°,∴∠1+∠2=360°-(∠5+∠6),∴∠1+∠2=∠3+∠4．(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和．(3)∵∠B+∠C=240°,∴∠MDA+∠NAD= 240°,∵AE.DE 分别平分∠NAD 、∠MDA,∴∠DAE=21∠NAD,∠ADE=21∠MDA, ∴∠ADE+∠DAE=21（∠MDA+∠NAD ）=21×240°= 120°, ∴∠E= 180°-( ∠ADE+∠DAE)= 180°-120°= 60°.2．解析问题1：∠P=21（∠A+∠B ） 理由：∵DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD,∴∠PDC=21∠ADC,∠PCD=21∠BCD, ∴∠P=180°-∠PDC- ∠PCD= 180°-21∠ADC-21∠BCD=180°-21(∠ADC+ ∠BCD)=180°-21（360° - ∠A-∠B ）=21(∠A+∠B) 问题2：∠P=÷(∠A+∠B+∠E+∠F)-180°．理由：六边形ABCDEF 的内角和为(6-2)×180°=720°,∵DP 、CP 分别平分∠EDC 和∠BCD,∴PDC=21∠EDC,∠PCD= 21∠BCD, ∴∠P= 180°-∠PDC- ∠PCD= 180°-21∠EDC-21∠BCD=180°-21(∠EDC+ ∠BCD)= 180°-21（720°-∠A-∠B-∠E-∠F ） =21（∠A+∠B+∠E+∠F ）-180°．。
人教版八年级数学上册说课稿11.3 多边形及其内角和
人教版八年级数学上册说课稿11.3 多边形及其内角和一. 教材分析《多边形及其内角和》是人教版八年级数学上册第11章“几何初步”中的一个知识点。
本节课主要介绍了多边形的定义、性质以及多边形的内角和公式。
通过学习本节课，学生能够理解多边形的概念，掌握多边形的性质，推导出多边形的内角和公式，并为后续学习圆和其他几何图形打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的相关知识，具备了一定的几何思维能力。
然而，多边形的概念和性质对于学生来说较为抽象，需要通过具体的实例和操作来理解和掌握。
此外，学生对于多边形的内角和公式的推导过程可能存在一定的困难，需要教师耐心引导和讲解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解多边形的定义和性质，掌握多边形的内角和公式，并能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、操作、推理等过程，培养直观想象能力和逻辑推理能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，增强对数学的兴趣和自信心，培养合作意识和探究精神。
四. 说教学重难点1.重点：学生能够理解多边形的定义和性质，掌握多边形的内角和公式。
2.难点：学生能够通过推理和证明，理解并掌握多边形的内角和公式的推导过程。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，激发学生的学习兴趣，培养学生的几何思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学工具，直观展示多边形的性质和内角和公式，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的多边形图片，如足球、轮胎等，引导学生思考多边形的定义和性质。
2.新课导入：介绍多边形的定义和性质，通过示例和练习，让学生掌握多边形的基本概念。
3.内角和公式的推导：引导学生观察多边形的内角和外角，发现规律，引导学生通过推理和证明，推导出多边形的内角和公式。
4.巩固练习：通过一些具有代表性的练习题，让学生运用所学知识解决问题，加深对多边形内角和公式的理解和掌握。
2019秋人教版八年级数学上册测试试题：11.3 多边形及其内角和
11．3.1多边形[学生用书A9]1．下列选项中不是凸多边形的是(D)A B C D2．下列命题正确的是(D)A．各角都相等的多边形为正多边形B．各边都相等的多边形为正多边形C．经过n边形的一个顶点可引(n－2)条对角线D．正方形是正多边形3．如图11－3－1，五边形ABCDE是一个__凸__五边形，∠E是它的一个__内角__，∠FAE是它的一个__外角__，AD是它的一条__对角线__．图11－3－14．过四边形一个顶点的对角线可以把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点的对角线有__2__条，可以把五边形分成__3__个三角形；过n边形的一个顶点的对角线有多少条，可以把n边形分成多少个三角形？(用含n的代数式表示)【解析】运用不完全归纳法，从特例出发，进行归纳和小结(如答图所示)．第4题答图解： 如答图，从n 边形的一个顶点出发可以画(n －3) 条对角线，它们把n 边形分成(n －2) 个三角形．5．若一个多边形从一个顶点可以引5条对角线，则它是( D )A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形【解析】 设它是n 边形，则从一个顶点可以引(n －3) 条对角线，∴n －3＝5，∴n ＝8.6．从一个n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n 的值是( C )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 根据从一个n 边形的某个顶点出发，可以引(n －3) 条对角线，把n 边形分为(n －2) 个三角形，则n －2＝6，解得n ＝8.7．P n 表示n 边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么P n 与n 的关系式是P n ＝n （n －1）24·(n 2－an ＋b )(其中a ，b 是常数，n ≥4)．(1)通过画图，可得四边形时，P 4＝__1__(填数字)；五边形时，P 5＝__5__(填数字)；(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a ，b 的值． 解： (1)如答图，第7题答图当n ＝4时，P 4＝1；当n ＝5时，P 5＝5；(2)将上述数值代入公式，得⎩⎨⎧4×（4－1）24×（16－4a ＋b ）＝1，①5×（5－1）24×（25－5a ＋b ）＝5，②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6.8．你会用画多边形的对角线来解决生活中的数学问题吗？比如，学校举办足球赛，共有5个班级的足球队参加，每个队都要和其他各队比赛一场，最后根据积分排列名次．请问学校一共要安排多少场比赛？我们画出5个点，每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每个队都要与其他各队比赛一场，这样每个点与另外4个点都会有一条线段连接，如图11－3－2所示．现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了．由图可知，五边形的边数和对角线条数都是5，所以学校一共要安排10场比赛．同学们，请用类似的方法来解决下面的问题：姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手．图11－3－2 第8题答图解：先画出6个点，A，B，C，D，E，F各个点依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜，凡是两人之间握过手，就把代表他们的这两点用一条线段连接起来，如答图所示．先看姣姣A和红红E，姣姣已握手5次，说明姣姣与另外5人都握了手，因此代表姣姣的A点与B，C，D，E，F这5点都有一条线段连接；红红握手1次，他只能是与姣姣握的手了，所以E点只能与A点之间有线段连接，与其他各点没有线段连接；然后看林林B，林林已握手4次，由于他不可能与红红握过手，所以只能是与剩下的四个人姣姣、可可、飞飞和娜娜握过手了，因此，点B与A，C，D，F四点之间有线段连接；再看飞飞D，飞飞已握手2次，而代表飞飞的D点已与A，B两点有线段连接了，所以D点与其他的点不再有线段连接；最后看可可C，可可与3人握了手，但不是与飞飞和红红握手，所以代表可可的点C只能与A，B，F三点有线段连接．现在观察图形，与代表娜娜的点F连接的线段有3条，即AF，BF和CF，这说明姣姣、林林和可可三人已与娜娜握了手．11.3.2多边形的内角和[学生用书B8]1．[2018·云南]一个五边形的内角和为(A)A．540°B．450°C．360°D．180°2．[2017·莱芜]一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是(C)A．12 B．13 C．14 D．15【解析】设多边形的边数是n，据题意，得(n－2)×180°＝2×360°＋180°，解得n＝7.七边形的对角线的条数是7×（7－3）2＝14.3．如图11－3－3，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为(C)图11－3－3A．120°B．180°C．240°D．300°【解析】∠1＋∠2＝360°－(180°－60°)＝240°.4．如图11－3－4，小华从A点出发，沿直线前进10 m后左转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是(B)图11－3－4A．140 m B．150 mC．160 m D．240 m【解析】∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，∴多边形的边数为360°÷24°＝15，∴一共走的路程是15×10＝150(m)．5．[2018·白银]若正多边形的内角和是1 080°，则该正多边的边数是__8__．6．[2018·山东]若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是__8__．7．[2018·郴州]一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是__720°__．8．[2018·宿迁]一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是__8__．【解析】设边数为n，则(n－2)×180°＝360°×3，解得n＝8. 9．[2018·上海]通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形的内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是__540__°.【解析】由从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，可知将此多边形分成3个三角形，故其内角和为3×180°＝540°.10．[2018·聊城]如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__180°或360°或540°__．【解析】如答图，一个正方形被截掉一个角后，可能得到如下的多边形：第10题答图∴这个多边形的内角和是180°或360°或540°.11．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数．解：设这个多边形的边数为n.根据题意，得(n－2)×180°＝360°×4＋180°，解得n＝11，(n－2)×180°＝1 620°.答：这个多边形的边数是11，内角和是1 620°.12．已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，请说明理由；(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x. 解：(1)∵把θ＝360°代入公式可解得n＝4，而把θ＝630°代入公式解得n不是正整数，∴甲的说法对，乙的说法不对，甲同学说的边数n是4；(2)根据题意，得(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，解得x＝2.13．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为(D)A．7 B．7或8C．8或9 D．7或8或9【解析】设内角和为1 080°的多边形的边数是n，则(n －2)×180°＝1 080°，解得n ＝8.∴原多边形的边数为7或8或9.14．[2017·资阳]边长相等的正五边形和正六边形如图11－3－5所示拼接在一起，则∠ABC ＝__24__°.图11－3－5【解析】 正六边形的一个内角＝16×(6－2)×180°＝120°.正五边形的一个内角＝15×(5－2)×180°＝108°.∴∠BAC ＝360°－(120°＋108°)＝132°. ∵两个正多边形的边长相等，即AB ＝AC ，∴∠ABC ＝12×(180°－132°)＝24°.15．如图11－3－6，将一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，如图②)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图①中的四边形AGA ′H ，那么∠GA ′H 的大小是__60°__．图11－3－6【解析】 由题图可知A ′H 与A ′G 重合，纸盒的六个侧面均为矩形，即当∠A ′HA ＝∠A ′GA ＝90°时才能满足这个条件．∵∠A ′HA ＋∠A ′GA ＋∠HAG ＋∠GA ′H ＝360°，6∠HAG ＝(6－2)×180°＝720°，∴∠HAG＝120°，∴∠GA′H＝60°.16．如图11－3－7，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF 平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．图11－3－7证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC＋∠ADC＝360°－180°＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF＋∠EBF＝90°，∵BE∥DF，∴∠EBF＝∠DFC，∴∠CDF＋∠DFC＝90°，∴△DCF为直角三角形．17．[2017·青岛模拟](1)阅读理解：如图11－3－8①是二环三角形，可得S＝∠A2A1A6＋∠A2＋…＋∠A6＝360°.图11－3－8①理由：连接A1A4，∵∠1＋∠2＋∠A1OA4＝180°，∠A5＋∠A6＋∠A5OA6＝180°，又∵∠A1OA4＝∠A5OA6，∴∠1＋∠2＝∠A5＋∠A6，∴∠A2＋∠3＋∠1＋∠2＋∠4＋∠A3＝360°，∴∠A2＋∠3＋∠A5＋∠A6＋∠4＋∠A3＝360°，即S＝360°；(2)延伸探究：图11－3－8②图11－3－8③Ⅰ.如图②是二环四边形，可得S＝∠A1＋∠A2＋…＋∠A8＝720°，请你加以证明；Ⅱ.如图③是二环五边形，可得S＝__1__080°__，聪明的你，请根据以上的规律直接写出二环n边形(n≥3的整数)中，S＝__(n－2)×360__°.(用含n的代数式表示最后的结果)解：(2)Ⅰ.如答图①所示，第17题答图则S＝∠A2A1A8＋∠A2＋…＋∠A8＝∠A1＋∠A2＋…＋∠A4A5A6＋∠M＋∠1＋∠2＝(6－2)×180°＝720°；Ⅱ.如答图②，当是二环五边形时，S为(5＋5－2) 边形内角和，即S＝(5＋5－2－2)×180°＝1 080°.以此类推，当是二环n边形时，补全图形后，S相当于补全图形的内角和，该图2019秋人教版八年级数学上册测试试题：11.3多边形及其内角和形原有n条边，补全后增加了(n－2) 条边，为(n＋n－2) 边形，即S＝(n＋n－2－2)×180°＝(n－2)×360°.11 / 11。
数学人教版八年级上册四边形内角和
11.3.2多边形的内角和知识与能力1.理解多边形内角和公式及外角和的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式。
（重点）2.灵活运用多边形的内角和与外角和进行相关的计算与证明。
（难点）过程与方法1.让学生经历猜想.探索.推理.归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力。
2.通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并有效的解决问题。
情感态度与价值观通过学生间的交流.探索，进一步激发学生学习数学的热情与求知欲望，培养良好的数学思维品质。
教学过程一、复习引入问题：你知道三角形内角和是多少度吗？1、教师提问：学生思考作答。
2、教师总结：三角形内角和等于180°。
3、引出课题：你想知道任意一个多边形的内角和吗？今天我们就来进一步探讨多边形的内角和与外角和。
设计意图：回顾已学知识：三角形内角和等于180度，为后边的问题的解决作铺垫，利用学生的好奇心设疑，激发学生的求知欲望，使他们能自觉地参与下面多边形内角和探索的活动中去。
二、探究新知（一）四边形的内角和问题：你知道任意一个四边形是多少度吗？学生展示探究成果。
分成两个三角形180°×2=360°分成四个三角形，180°×4－360°=360°分成三个三角形，180°×3－180°=360°引导学生猜想：四边形的内角和等于360°学生分小组交流与探究，进一步来论证自己的猜想。
由各小组成员汇报探索的思路和方法，讲明理由。
教师江总学生所探索出的不同方法，除测量与拼凑法外，并提出疑问：你们添加辅助线的目的是什么？说一说你的想法。
教师在学生回答的基础上小结：借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和定理求得四边形内角和。
教师可点拨学生从正方形、长方形这两个特殊的多边形的内角和入手，进而猜测出四边形的内角和等于360°设计意图：“解放学生的手，解放学生的大脑”，鼓励学生积极参与，合作交流，用自己的语言表达解决问题的方式方法，发展学生的语言表达能力与推理能力。
人教版-数学-八年级上册-11-3-2 多边形的内角和 学案1
多边形的内角和【学习目标】：掌握多边形的内角、外角等概念，并会应用它们进行有关计算． 【学习重点】：（1）多边形的内角和公式． （2）多边形的外角和公式． 【学习难点】：多边形的内角和定理的推导．学 习 过 程【活动一】探究（阅读教材81---83页，动手操作后与同学交流，时间7分钟）1、操作完后填写下列表格：综上所述，能得到多边形内角和公式，设多边形的边数为n ，则n 边形的内角和等于 ． 【活动二】跟踪练习（独立完成5分钟）2、 四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是（ ）A ．80°B ．90°C ．170°D ．20°3、一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．64、已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形为（ ） A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形 D ．六边形5、七边形的内角和等于_______度．6、 一个十边形有 个内角， 条对角线。
7、一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为 边形． 8、已知：四边形ABCD 的∠A ＋∠C ＝180°．求：∠B 与∠D 的关系．结论：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角____________A BCD【活动三】新知延伸（独立完成，10分钟） 9、 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？问：将上题中换成七边形情况又怎样呢?八边呢?（小组讨论）结论：多边形的外角和等于 ，所以我们说多边形的外角和与它的 无关． 【活动四】巩固新知（独立完成，10分钟）10、一个多边形的内角和是外角和的一半，它是 形. 11、一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是 边形. 12、内角和等于外角和的多边形是 边形．13、四边形的∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的内角之比为1：2：3：4，那么∠D= ． 14、在四边形中，︒=∠90A ,B ∠、C ∠、D ∠的度数之比为1：2：3，则B ∠= ，C ∠= ，D ∠= . 15、一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，外角和增加 ． 16、一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为 边形． 17、内角和为外角和3倍的多边形是 边形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1（1）七边形的内角和等于（ ）度. （2）一个多边形的内角和等于720°， 则这个多边形是（ ）边形. （3）2008年奥运会时，小明想画一个 内角和为2008°的多边形，他能实现吗？
(4) 有一张长方形的木板面，如图 所示砍掉了它的一个角，剩下残 余木板面上∠1+∠2是多少度？
4 3 1 2
1.在平面内，由一些线段首尾顺次 相接组成的图形叫做多边形． 2．多边形的边、顶点、内角和外角．
A E B
C
D
1.三角形 2.四边形 3.五边形 4.六边形
n边形有n条边，n个顶点， n个内角; 各个角都相等，各条边都相等的多边形 叫做正多边形．
3．凸多边形与凹多边形
D A
D
B
B
C
A C
凸多边形
例3 如图，CD∥AF，∠A=∠D， ∠B=90°，∠C=124°，∠E=80°， 试求∠F的度数.
小结
• 多边形的内角和为(n-2)·180° • 外角和360 °
• 转化的思想 • 运动的观点
练一练
B 1 C
P
N
A
3 F
2 D
M
E
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝
360°.
(3)求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数
A 有没有什么 规律呢？ F
B
C D
E
n(n 3) n边形共有 ________ 条对角线。 2
六边形ABCDEF共有9条对角线。
例1：（1）七边形从一个顶点出发有 4 条对角线； ______ （2）若一个多边形从一个顶点出发有5条 八 对角线，则这个多边形为_______ 边形。
35 条对角线； 例2：（1）十边形共有______ （2）若一个多边形共有27条对角线，则 九 边形。 这个多边形为_______
例2 如图，在六边形的每个顶点处各 取一个外角，这些外角的和叫做六 边形的外角和.六边形的外角和等于 A 6 F 多少？ 1
B
2 4 5
• 思考：任意一个多边形的外 角和等于多少？
E C
3
D
• 多边形的外角和等于360 °.
n边形的外角和 ＝n×180°－ (n-2)×180° = 360°
多边形的外角和＝ 360°
被分成 三角形 n A2 个数 n边形 的内角 180°n-360° A3 和
A1
P
A6 A5 A4
正多边形的内角度数
因为正多边形的每个角相等,所以知道 正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数.
（n－2）×180°÷ n
探索多边形的外角(和)
• 多边形的一个外角与相邻的内角互补.
2 1
4
3
五边形，六边形，n边形的外角和？
五边形的外角和就是5X 180°- 540°= 360 ° 六边形的外角和就是6X 180°- 720°= 360°
……
n边形的外角和 ＝n×180°－ (n-2)×180° = 360°
多边形的外角和＝ 360° 正n边形的每个外角＝ 360°÷n
B1 B 2
第26题(2) A A 1 2 F2 F
第
1
1
C2 D C1 2 D1
E2
E1
例 如图，凸六边形ABCDEF的六个角都 是120°，边长为：AB=2cm，BC=8cm， CD=11cm，DE=6cm.求这个六边形的周长.
探索多边形的内角和, 还有其它办法吗?
探索多边形的内角和
An A8 A7
1
A2
2
C1
B1 C2
C1
B2
C2
D2 D1
B1 B2 C2 C1
D
1)
第26题(2)
第26题
例 4 （3）请你猜一猜，2 环 n 边形的内角和 A1 A2 A1 为多少度？
A2
K
A1
C1
B1 C2
C1
B2
B1
A1 B1 B2
A2
E 2 E1
C2 C1
D2 D1
A
B
E
D
C
例 4 （1）如图，如果把它称为 2 环三角形， 它 的 内 角 和 A1 B1 C1 A2 B2 C 2 为 多 少 度？
A1
A2
K
A1
C1
A2 D
B1 C2
C1
B2
B1
C2
第26题(2)
B2
第26题(1)
例 4 （2）如图，如果把它称为 2 环四边形， 内角和 A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 为多少度？ A1 A2 A1 A A
凹多边形
画出多边形的任何一条边所在的直线，整个图形 都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做 凸多边形，反之叫凹多边形.
4．多边形的对角线 连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫 做多边形的对角线.
A D A D
B
C
B
C
凸多边形的对角线都在多边形内部.
1 条对角线？ 四边形从一个顶点出发，能引出___
11.3.2 多边形的内角和
多边形 图形
四
五
六
n
找规律
多边形的 内角和
多边形 图形
四
五
六
n
分成三角 形的个数
2
3
4
n-2
多边形的 内角和
360°
540°
720°
(n-2)· 180°
多边形内角和公式： n边形的内角和=
0 (n-2)×180
1.知道多边形的边数，可以求出多边形的内角和. 2.知道多边形的内角和，可以求出多边形的边数.
2 条对角线？ 五边形从一个顶点出发，能引出___
3 条对角线？ 六边形从一个顶点出发，能引出___
n-3 条对角线？ n边形从一个顶点出发，能引出_______
……
A
A
D B
B C C D
E
四边形ABCD共有____条对角线。
5 五边形ABCDE共有_____ 条对角线。
2
六边形ABCDEF共有几条对角线呢？