钻井布局

问题一的分析
条件假设 1、不需考虑总井数，利用旧井不会导致总井 数的增加，只要考虑尽可能多利用旧井 2、网格充分大 3、给出的旧井均在勘探区域内 4、地形对误差无影响，无需考虑地形因素
符号约定：
[X] 取整，等于X的整数部分 在没有说明的情况下代表题设误差，即0.05单位 Pi 第i口旧井(ai,bi)所在的点 Pi´ 第i口旧井平移(m,n)个单位后的点(ai+m,bi+n)(m,nZ) Xi 代表Pi附近的网格结点 Q 一个边长2 为的只可平移不可转动的正方形 W 结点(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)所围成的一网格
问题一的简化
根据题意，网格的方 向是固定的,对于任 意一点Pi，当网格纵 横平移整数个单位时， Pi相对于最近的网格 结点的距离是不变的, 即当Pi在网格上纵横 平移整数个单位至Pi´ 时，Pi相对同一网格 的距离不变,于是， 我们把所有的旧井点 都纵横平移整数个单 元,使他们都落在同 一网格单元W中,此时， 各点相对于最近网格 结点的距离保持不变。

对所有的旧井点进行坐标变换，使它们平移到网格w中， 即设原井点坐标（x,y）,则新的坐标为（x’,y’）,其中 x’=x-[x] y’=y-[y] 特别，对位于离网格边界≤ε的点，映射到[1,1+ε]处理。 对于网格w’中的旧井点，按x,y坐标进行分组，设 Ai={(x,y)|x∈[ai,ai+2ε],(x,y) ∈{(a1,b1)(a2,b2)…(an,bn)} (i=1,2, …,n) Bi={(x,y)|y∈[bi,bi+2 ε],(x,y) ∈{(a1,b1)(a2,b2)…(an,bn)} (i=1,2, …,n) 令Cij= Ai∩ Bj。 找到元素最多的Cij，再构造一个正方形来盖住这些点， 则此正方形的中心即为达到盖住最多旧井点的结点，把网 格原点移到这个结点，此时的网格N即为所求

结论：最大可利用四口旧井编号为
（４，１０，５，２） 此时网格结点为（ ０．４０，０．５５） 分析：实际得到的应是结点所在的区域 对应为x∈[0.36,0.41] y∈[0.46,0.55]
问题二的分析与求解
将问题一中的坐标旋转一定角度后得到一个新的坐标后,利 用坐标变换公式，可得原来的点在新的坐标系中的坐标. X´= X cos() - Y sin() Y´= X sin() + Y cos() 考虑到网格是正方形,故转角只需变化/2便可以穷举,故可 取为网格纵边与横边与X轴的正向夹角,并满足0/2. 除距离的定义变换外,类同于题一的做法，对每一个α都能 得到相应可利用的最大点数． 至于网格相对于原坐标的位移量,对点的纵横坐标取最大值 即可；
钻井布局问题
D题 钻井布局（同 B 题）
勘探部门在某地区找矿。初步勘探时期已零散地在若干位 置上钻井，取得了地质资料。进入系统勘探时期后，要在一个区 域内按纵横等距的网格点来布置井位，进行“撒网式”全面钻探。 由于钻一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合 （或相当接近），便可利用旧井的地质资料，不必打这口新井。 因此，应该尽量利用旧井，少打新井，以节约钻探费用。比如钻 一口新井的费用为500万元，利用旧井资料的费用为10万元，则 利用一口旧井就节约费用490万元。 设平面上有n个点Pi，其坐标为(ai,bi),i=1,2,…,n，表示已有 的n个井位。新布置的井位是一个正方形网格N的所有结点（所 谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格；结点是指纵 线和横线的交叉点）。假定每个格子的边长（井位的纵横间距） 都是1单位（比如100米）。整个网格是可以在平面上任意移动 的。若一个已知点Pi与某个网格结点Xi的距离不超过给定误差ε （=0.05单位），则认为Pi处的旧井资料可以利用，不必在结点 Xi处打新井。



为进行辅助决策，勘探部门要求我们研究如下问题： 1)假定网格的横向和纵向是固定的（比如东西向和南北向），并 规定两点间的距离为其横向距离（横坐标之差绝对值）及纵向距 离（纵坐标之差绝对值）的最大值。在平面上平行移动网格N， 使可利用的旧井数尽可能大。试提供数值计算方法，并对下面的 数值例子用计算机进行计算。 2)在欧氏距离的误差意义下，考虑网格的横向和纵向不固定（可 以旋转）的情形，给出算法及计算结果。 3)如果有n口旧井，给出判定这些井均可利用的条件和算法（你 可以任意选定一种距离）。
问题一的分析
在题一的距离意义<棋盘距离>下，要使尽可
能多的网格结点与旧井点的距离不大于ε， 等价于让尽可能多的旧井点落在以结点为中 心，２ε为边长的正方形内。此时，如果正 方形的中心为某种网格的网格结点，则正方 形里面的点都可以利用。这样，原问题就转 化为用小正方形Q去盖住尽可能多的点。
基本步骤:
结论说明
得到六个点（１，６，７，８，９，１１） 网格所处的角度应是一个范围（０.７７３，０.７９９） 对应每一个角度α，网格的位移量也应是一个范 围，类同于题一，故不赘述；

数值例子n=12个点的坐标如下表所示：

i ai bi
1 0.50 2.00
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 8.98 3.41
12 9.50 0.80
1.41 3.00 3.37 3.40 4.72 4.72 5.43 7.57 8.38 3.50 1.50 3.51 5.50 2.00 6.24 4.10 2.01 4.50
问题限定条件
1、设平面上n个点Pi,其坐标为(ai,bi) i=1,2,„,n. 表示已有的n个井位.新布置的井位是一个正方形网 格的所有结点(所谓正方形网格是指每个格子都是正 方形的网格; 结点是指纵线和横线的交叉点). 2、假定每个格子的边长(井位的纵横间距)都是1个单 位.整个网格是可以在平面上任意移动的. 3、若已知点Pi与某个网格结点的距离不超过给定误差 (ε=0.05单位),则认为处的旧井资料可以利用,不必 在结点处打新井.
问题重述
为进行辅助决策,勘探部门要求我们研究如下问题: 1)假定网格的横向和纵向是固定的(比如东西向和南北 向),并规定两点间的距离为其横向距离(横坐标之差 绝对值)及纵向距离(纵坐标之差绝对值)的最大值. 在平面上平行移动网格,使可利用的旧井数尽可能大. 试提供数值计算方法,并对下面的数值例子用计算机 进行计算. 2)在欧式距离的误差意义下,考虑网格的横向和纵向不 固定(可以旋转)的情形,给出算法及计算结果. 3)如果有n口井,给出判定这些井均可利用的条件和算 法(可以任意选定一种距离).
数值例子：
Hale Waihona Puke 12个点的坐标如下表所示i ai bi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.98 3.41 12 9.50 0.80
0.50 1.41 3.00 3.37 3.40 4.72 4.72 5.43 7.57 8.38 2.00 3.50 1.50 3.51 5.50 2.00 6.24 4.10 2.01 4.50