第三章静力平衡问题7学时
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第三章 静力学平衡问题
Fy 0 M O ( F ) 0 Fx 0
平面一般力系有三个独立的平衡方程，可求解三个未知数。
M A ( F ) 0 限制条件 M ( F ) 0 2.二力矩形式 B Fx 0
M A (F ) 0 3.三力矩形式 M B ( F ) 0 限制条件 M C ( F ) 0
45°
_ 2
FC
2M 2 2M FA FC b) 45 l sin l
a)
例3-3
塔式起重机机架重W1=700kN，作用线通过塔架的
中心。最大起重量W2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的 间距为4m。平衡重W3到机身中心线距离为6m。试问：保证起 重机在满载和空载时都不致翻到，平衡重W3应为多少？ 解：取起重机为研究对象，起重机受平行 力系作用。 （一）满载 临界情况下，FA=0
第三章
静力学平衡问题
第一节 平面力系的平衡条件和平衡方程
第二节 物体系统的平衡问题 第三节 考虑摩擦的平衡问题 第四节 空间一般力系的平衡问题
本章重点：
平面力系平衡方程及其应用。
求解物体系统的平衡问题。
第一节 平面力系的平衡条件和平衡方程
一、平面一般力系的平衡条件
FR=0，MO=0。
二、 平面一般力系平衡方程的三种形式 1.一般形式
M D (F ) 0
F 'Cy 1.5 F 'Cx 2 FT 1.5 0
F 'Cx FCx 0.375 kN
(3)再考虑ACE，写出其第三个平衡方程，
Fx 0
解得
FCx FEx FT 0 FEx FCx FT 1.375 kN
平面一般力系有三个独立的平衡方程，可求解三个未知数。
M A ( F ) 0 限制条件 M ( F ) 0 2.二力矩形式 B Fx 0
M A (F ) 0 3.三力矩形式 M B ( F ) 0 限制条件 M C ( F ) 0
45°
_ 2
FC
2M 2 2M FA FC b) 45 l sin l
a)
例3-3
塔式起重机机架重W1=700kN，作用线通过塔架的
中心。最大起重量W2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的 间距为4m。平衡重W3到机身中心线距离为6m。试问：保证起 重机在满载和空载时都不致翻到，平衡重W3应为多少？ 解：取起重机为研究对象，起重机受平行 力系作用。 （一）满载 临界情况下，FA=0
第三章
静力学平衡问题
第一节 平面力系的平衡条件和平衡方程
第二节 物体系统的平衡问题 第三节 考虑摩擦的平衡问题 第四节 空间一般力系的平衡问题
本章重点：
平面力系平衡方程及其应用。
求解物体系统的平衡问题。
第一节 平面力系的平衡条件和平衡方程
一、平面一般力系的平衡条件
FR=0，MO=0。
二、 平面一般力系平衡方程的三种形式 1.一般形式
M D (F ) 0
F 'Cy 1.5 F 'Cx 2 FT 1.5 0
F 'Cx FCx 0.375 kN
(3)再考虑ACE，写出其第三个平衡方程，
Fx 0
解得
FCx FEx FT 0 FEx FCx FT 1.375 kN
静力学中的平衡问题与解法
静力学中的平衡问题与解法静力学是力学中的一个分支，研究物体在静止或匀速直线运动时的力、力之间的关系以及物体的平衡条件等内容。
在静力学中，平衡问题是一个重要的研究内容。
本文将讨论静力学中的平衡问题以及常见的解法。
静力学中，平衡是指物体所受的合外力合力矩为零的状态。
平衡可以分为两种类型：平衡在点和平衡在体。
1. 平衡在点平衡在点指的是物体受力的合力通过一个点，也就是力矩为零。
这要求物体所受的合外力矢量的代数和为零，并且力矩的代数和也为零。
平衡在点的解法一般包括以下步骤：步骤一：画出物体受力的示意图，并标注出力的大小、方向。
步骤二：通过几何图形或代数方法求出合外力的代数和，判断合外力的大小和方向。
步骤三：通过几何图形或代数方法求出力矩的代数和，判断力矩的大小和方向。
步骤四：根据力矩为零的条件，确定物体的平衡条件。
如果力矩不为零，则说明物体不处于平衡状态。
平衡在点的解法中，可以利用力矩的性质，如力矩的叠加原理、力矩的向量性质等，来简化计算。
此外，还可以运用平衡条件求解未知的力或力矩。
2. 平衡在体平衡在体指的是物体受力的合外力和合力矩都为零的状态。
这要求物体所受的合外力矢量的代数和为零，并且力矩的代数和也为零。
平衡在体的解法一般包括以下步骤：步骤一：画出物体受力的示意图，并标注出力的大小、方向。
步骤二：通过几何图形或代数方法求出合外力的代数和，判断合外力的大小和方向。
步骤三：通过几何图形或代数方法求出力矩的代数和，判断力矩的大小和方向。
步骤四：根据合外力和力矩都为零的条件，确定物体的平衡条件。
如果合外力或力矩不为零，则说明物体不处于平衡状态。
平衡在体的解法中，通常需要考虑物体所受力的叠加效应。
常见的方法有力的分解、力矩的叠加等。
除了上述两种平衡问题的解法，静力学中还有一些特殊情况的解法，如斜面上物体的平衡、悬挂物体的平衡等。
对于这些特殊情况，可以利用相关的几何关系和平衡条件，采取相应的解法进行求解。
总之，静力学中的平衡问题是一个重要的内容，通过合理的求解方法可以确定物体的平衡条件。
第3章工程构件的静力学平衡问题
以画出吊车大梁AB的受力图。
FAx、FAy和FTB均为未知约束力，与已知
的主动力P和W组成平面力系。因此，应
用平面力系的3个平衡方程可以求出全部
3个未知约束力。
14
3.1.1 例题3-1 悬臂式吊车
= 0 － × － × +T × sin＝0
2
× ＋ ×
2
= 0
= 0
=1
= 0
简写为
= 0
=1
= 0
= 0
=1
平面力系平衡的必要与充分条件是：力系中所有的力在直角坐标系Oxy的各
坐标轴上的投影的代数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零。
大连大学
12
3.1.1 例题3-1 悬臂式吊车
3
大连大学
25
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程——
3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式
大连大学
26
3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式
可以将一个或两个力平衡方程用力矩平衡方程代替，这样就可以得到平面
力系平衡方程的其他形式。
一般形式
大连大学
二矩式
三矩式
= 0
= 0
关于平衡的重要概念：整体平衡，局部必然平衡
大连大学
4
第3章 工程构件的静力学平衡问题
关于平衡的重要概念：整体平衡，局部必然平衡
FR1 ´
FRAx
FRAy
大连大学
5
第3章 工程构件的静力学平衡问题
▪ 3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
▪ 3.2 简单的刚体系统平衡问题
FAx、FAy和FTB均为未知约束力，与已知
的主动力P和W组成平面力系。因此，应
用平面力系的3个平衡方程可以求出全部
3个未知约束力。
14
3.1.1 例题3-1 悬臂式吊车
= 0 － × － × +T × sin＝0
2
× ＋ ×
2
= 0
= 0
=1
= 0
简写为
= 0
=1
= 0
= 0
=1
平面力系平衡的必要与充分条件是：力系中所有的力在直角坐标系Oxy的各
坐标轴上的投影的代数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零。
大连大学
12
3.1.1 例题3-1 悬臂式吊车
3
大连大学
25
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程——
3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式
大连大学
26
3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式
可以将一个或两个力平衡方程用力矩平衡方程代替，这样就可以得到平面
力系平衡方程的其他形式。
一般形式
大连大学
二矩式
三矩式
= 0
= 0
关于平衡的重要概念：整体平衡，局部必然平衡
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4
第3章 工程构件的静力学平衡问题
关于平衡的重要概念：整体平衡，局部必然平衡
FR1 ´
FRAx
FRAy
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5
第3章 工程构件的静力学平衡问题
▪ 3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
▪ 3.2 简单的刚体系统平衡问题
静力平衡
參考資料： 1.數值分析(Numerical Analysis) Richard L. Burden‧J.Douglas Faires 著，江 2 點處固定 ， 右下角 4 點處可以水平移動 ， 而1 、 2、 3 和 4 為連接點，在接點 3 處承受 100N 的力，各接點的受力分別為
、 、 、 和 。正值代表物件上承受張力，負值代表物件上承
受壓力。 2 點的接點處固定支撐點，可同時承受水平分量(F )和垂直分 量(F )，而 4 點處的接點處是可移動的支撐點，所以只會承受垂直分 量(F )。
2. 開始用 Jacobi＇s Iteration Method 來做運算 ， 當誤差小於10 時 疊代停止。 3. 最後疊代共 90 次後，誤差小於10 。 4. 最後疊代的答案為 -88.55066391783242 , -74.7704501302595, 3.703703703703731, -37.38522506512975。 所以我們學會數值方法，再把它撰寫出程式，把複雜的問題，讓電腦 去計算。 61.04940556149848, f3 =100.0 64.75310926520221, -64.75310926520221
用 Jacobi＇s Iteration Method 來解上面的聯立方程式。 1. 先把f 係數最大的，換到第一行，在看下面 7 行，找出f 係數最大
的，換到第二行，以此類堆，我們就可以把上面的矩陣改變成下 面的矩陣形式：
√2/2 0 0 √2/2 √2/2 0 √2/2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1/2 0 0 0 √3/2 √3/2 0 1/2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 100 0 0 0 0 0
第3章工程构件静力学平衡问题优秀课件
杆和轮的自重不计，接触处均光滑，已知图示位置的夹角
为 和 ，活塞气体总压力为P。求压板受到滚轮
的压力有多大？
3.1 汇交力系的平衡条件和方程 -例题
解：作用在活塞上的压力通过销钉A推动杆AB，AD, 使滚轮B,D压紧压板，故可首以销钉A为研究对象，再取 取B或D为研究对象。
3.1 汇交力系的平衡条件和方程 -例题
Xi 0 ， F B C F Ac B3 o 0 s T 1 c4 o 5 s 0 （1）
Yi 0 ， F As B 3 i n 0 T 1 s4 i n 5 T 2 0 （2）
T1 T2 G
（3）
由式（1）（2）（3）解得：
3.1 汇交力系的平衡条件和方程 -例题
FABG (1sis3 ni4 n 05 )5.1k 2N
解得：
FNAFNB62N5
3.2 力偶系的平衡条件和平衡方程 -例题
例题 3-4 已知: 结构受力如图所示, 图中M, r均为已知,且 l = 2r. 求: 画出AB和BDC杆的受
力图;并求A, C处的约束力. 解：
1. 取AB杆为研究对象;
AB杆为二力杆，受 力如图。
2. 取BDC杆，
B 处受力的方位可
例3-3 如图所示的减速箱的输入轴 Ⅰ上受到一主动力偶的作用，力偶 矩的大小为 M112N5m，输出轴 Ⅱ上受到一阻力偶作用，力偶 矩的大小为 M250N 0m；轴Ⅰ和 轴Ⅱ互相平行，减速箱的重 量不计，并于A,B处用螺栓和 支承面固联。求A,B处所受 铅直约束力。（设螺栓无 预紧力）
3.2 力偶系的平衡条件和平衡方程 -例题
F B C F Ac B3 o 0 s G c4 o 5 s 5 .4 k9 N
由于FAB和FBC均为正值，说明受力途中假定的各力 的指向正确，即AB杆受拉，BC杆受压。
为 和 ，活塞气体总压力为P。求压板受到滚轮
的压力有多大？
3.1 汇交力系的平衡条件和方程 -例题
解：作用在活塞上的压力通过销钉A推动杆AB，AD, 使滚轮B,D压紧压板，故可首以销钉A为研究对象，再取 取B或D为研究对象。
3.1 汇交力系的平衡条件和方程 -例题
Xi 0 ， F B C F Ac B3 o 0 s T 1 c4 o 5 s 0 （1）
Yi 0 ， F As B 3 i n 0 T 1 s4 i n 5 T 2 0 （2）
T1 T2 G
（3）
由式（1）（2）（3）解得：
3.1 汇交力系的平衡条件和方程 -例题
FABG (1sis3 ni4 n 05 )5.1k 2N
解得：
FNAFNB62N5
3.2 力偶系的平衡条件和平衡方程 -例题
例题 3-4 已知: 结构受力如图所示, 图中M, r均为已知,且 l = 2r. 求: 画出AB和BDC杆的受
力图;并求A, C处的约束力. 解：
1. 取AB杆为研究对象;
AB杆为二力杆，受 力如图。
2. 取BDC杆，
B 处受力的方位可
例3-3 如图所示的减速箱的输入轴 Ⅰ上受到一主动力偶的作用，力偶 矩的大小为 M112N5m，输出轴 Ⅱ上受到一阻力偶作用，力偶 矩的大小为 M250N 0m；轴Ⅰ和 轴Ⅱ互相平行，减速箱的重 量不计，并于A,B处用螺栓和 支承面固联。求A,B处所受 铅直约束力。（设螺栓无 预紧力）
3.2 力偶系的平衡条件和平衡方程 -例题
F B C F Ac B3 o 0 s G c4 o 5 s 5 .4 k9 N
由于FAB和FBC均为正值，说明受力途中假定的各力 的指向正确，即AB杆受拉，BC杆受压。
工程力学第三章静力平衡问题
6
平面一般力系平衡方程还可表达为下列二种形式：
M
Fx A(F )
0
0
M B (F ) 0
M M
A B
(F (F
) )
0 0
MC (F ) 0
二力矩式
三力矩式
（AB不垂直于x轴) (A、B、C三点不共线)
注意：平衡方程中，投影轴和矩心可任意选取，可 写出无数个平衡方程。但只要满足了其中一组，其 余方程均应自动满足，故独立平衡方程只有三个。
矩心取在二未知力交点A 解处：，1力）矩画方整程体中受只力有图一。个未 知量F注C，意可B直C为接二求力解杆。。 2）取坐标，列平衡方程。
Fx=FAx-FCcos30=0
Fy=FAy+FCsin30-F-Fq=0
MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=0
FC
y
C
Fq=2q=1 kN
FAy
x
FAx 30
26
讨论：判断下述分析的正误。
FACy FAy
FACx
2a
M
3a
P
F
aA
MA
FAyFAx
FAx
B
B FABy
FABx
C
CP
A
FAx FAy
P
A
FFABAyy
A
FFAABxxFFAACyy
FACxx
FAx =F ; FAy =P ;
MA = M ？
MA = M+Fa-2Pa
固定铰的约束力作用于销钉上。 多杆用同一销钉连接，讨论某杆时， 须考虑各杆与销钉间作用的不同。
5
平面力系的平衡条件
平面一般力系处于平衡，充分和必要条件为力系
平面一般力系平衡方程还可表达为下列二种形式：
M
Fx A(F )
0
0
M B (F ) 0
M M
A B
(F (F
) )
0 0
MC (F ) 0
二力矩式
三力矩式
（AB不垂直于x轴) (A、B、C三点不共线)
注意：平衡方程中，投影轴和矩心可任意选取，可 写出无数个平衡方程。但只要满足了其中一组，其 余方程均应自动满足，故独立平衡方程只有三个。
矩心取在二未知力交点A 解处：，1力）矩画方整程体中受只力有图一。个未 知量F注C，意可B直C为接二求力解杆。。 2）取坐标，列平衡方程。
Fx=FAx-FCcos30=0
Fy=FAy+FCsin30-F-Fq=0
MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=0
FC
y
C
Fq=2q=1 kN
FAy
x
FAx 30
26
讨论：判断下述分析的正误。
FACy FAy
FACx
2a
M
3a
P
F
aA
MA
FAyFAx
FAx
B
B FABy
FABx
C
CP
A
FAx FAy
P
A
FFABAyy
A
FFAABxxFFAACyy
FACxx
FAx =F ; FAy =P ;
MA = M ？
MA = M+Fa-2Pa
固定铰的约束力作用于销钉上。 多杆用同一销钉连接，讨论某杆时， 须考虑各杆与销钉间作用的不同。
5
平面力系的平衡条件
平面一般力系处于平衡，充分和必要条件为力系
第3章静力学平衡问题分析
ql
3l 2
0
FAy
由此解得： FAx ql FAy FP
M
A
M
FPl
3 2
ql 2
3-1-2 平面一般力系平衡方程的其它形式
y
F2
F4
F1
M
F3
F5
(a)
x
y
F R =0
B A
(b)
x
Fx 0 Fy 0
Mo(F) 0
M
Fx 0 A(F )
0
M
B
(F
)
0
二矩式（AB不垂直于x轴）
FAy q 2a FNB 0
FAy 2a
C a
4a
(b)
Mo (F ) 0 q 2a a Me FNB 4a 0
解得：
F Ax 0 ,
FN B
1 q a 2
M e, 4a
F Ay
3 q a 2
M e. 4a
Me Bx
D FNB
例例题1 3-2 求图示刚架的约束反力。
O n
MO
Mo Mo (Fi )
(b)
x
i 1
平面一般力系平衡的必要与充分条件是力系主矢和对任意
一点的主矩同时等于零(简称为平衡条件)。
n
n
FR Fi 0
FR FRx 2 FRy 2
i 1
n
Fix 2 Fiy 2
Mo Mo (Fi ) 0
i 1
Fix 0
i 1
解：
a
P
A
以刚架为研究对象，受力如图。
q
b
F x0:F A xqb0
P
Fy0:FAyP0 MA FAx
第3章 静力学平衡问题 理论力学
FP
FP
F2
F1
F3
(a)
F2 F1
F4 F3
(b) 图3-8
如图 3-8（a）所示的三脚凳， FP 为人和凳的总重，F1、F2、F3 为地对凳的约束力，以 上 4 个力组成空间平行力系，而空间平行力系有三个独立的平衡方程，因此 3 个未知的约束
力都可以通过独立的平衡方程加以求解，所以这是一个静定问题。
3.1.4 平衡方程的几种特殊形式
式（3-2）的 6 个平衡方程都是相互独立的，可以求解 6 个未知量。这 6 个平衡方程是 针对空间一般力系给出的，对于不同的特殊情形，例如力偶系、平行力系等，并不一定都有 6 个独立的平衡方程，其中的某些方程是自然满足的，因此独立的平衡方程数是有所不同。 下面介绍几种特殊的情况。
看作集中力 F ，如图 3-5（a）。柱子轴线到墙面的距离为 l 。求梁固定端的约束力。
q
l (a)
F
y
q
F
MA
x
FAx
A
B
FAy
(b)
图3-5
解：（1）取梁为研究对象。
（2）受力分析如图 3-5（b）所示。
梁 AB 用直线代替， A 端视为固定端约束。建立图 3-5（b）所示的直角坐标系。
（3）列平衡方程有
第 3 章ΣM z (F ) 0 自然满足。于是，平衡方程为
ΣFz 0
ΣM x (F ) 0
ΣM
y
(
F
)
0
（3-5）
可以求解三个未知量。
对于平面平行力系，若各力位于 Oxy 平面内且与 y 轴平行，则式（3-2）的 6 个平衡方
程中的 ΣFx 0 ， ΣFz 0 ， ΣM x (F ) 0 ， ΣM y (F ) 0 自然满足，注意平面上 ΣM z (F )
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P S' ctg( )Q ctg(30 15 ) 2000 5000 (N)
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
[例3.4] 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N， AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？
解：① 选整体研究
② 受力如图 ③ 选坐标、取矩点、Bxy,B点 ④ 列方程为:
再研究AB杆，受力如图
由mC 0, SB sinCBYAAC 0
解得:S
B
Y A AC
BC sin
(48)1.6 0.9 45
106.7
N
解题步骤及解题技巧
解题步骤 ：选研究对象------ 画受力图（受力分析）------ 选坐 标、取矩点、列平衡方程------ 解方程求出未知数
1 2
600
由②得NDQ-T2sin Q-2Psin 600Q 3P
[例3.2]在CD上作用有一力偶，力偶矩的大小m=40Nm，求
平衡时，A、B、C、D和E处的约束反力
m
m
解 （1）受力分析
C
C
RC
320 140 260
240
m
E
RD
D
D
C
B
A
E
（2）R列A 平衡方程R：B
D
W
A
C
P
B
本题作用于小车的是
平行于Y轴的平行力系， 系统 三个物体8个平衡方程； 约束 固定端3；中间铰2；活动铰、车轮接触
处各1共8个反力， 是静定问题。
2）静不定问题或超静定问题
完全约束的物体或系统，若约束力数>独立平衡方程 数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，称静不定问题。
约束反力数 m 系统中物体数 n
解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程
mB 0,YA 2.5P1.20
X ' 0, X Asin YAcos Psin 0
而sin
AC AD
12.6
45;
cos
CADD 12.2
3 5
解得: X A 136N;YA 48N
与SAB相关的D、B点和 ED、AB杆
C
系统二根杆六个平衡方程；
约束三处铰链六个反力，静定。
若将BC视为二力杆，
A
则平衡方程减少二个，
30 B
F
但B、C处约束力未知量也减少了二个。
未被完全约束住的物体及系统 约束力未知量
数少于独立的平衡方程数，有运动的可能。
如例3 系统三个物体9个方程， 反力只有8个。 小车可能发生水平运动。
滑，物块A最小 重量。
解：①研究B块，若使B块不下滑
由Y 0,Rsin( )Q0
R
Q
sin(
)
X 0,S Rcos( )0
S Rcos( ) csoins(())Q ctg( )Q
33
②再研究A块
X 0, S'F 0, S f N f P
时其全反力
ax
与法线的夹角 m 叫做摩擦角。
②计算：
tgm
Fmax N
f N N
f
24
四、自锁
①定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦 力 与正
压力（即全反力），自己把自己卡 紧，不会松开 （无论外力多大），这种现象称为自锁。
②自锁条件：
当 m时，永远平衡（即自锁）
m
X 0 X B 0; Y 0 YB P 0; YB P mB 0 M B P DE 0
解方程得
M B 100011000(Nm)
① 再研究CD杆 ② 受力如图
③ 取E为矩心，列方程 mE 0,SCAsin45o CE PED 0
一个刚体（平面任意力系），提供3个方程，n个刚体 提供3n个方程，能求解3n个未知量。对于题目要求的未 知量，若方程不够，可能是有些方程未找到。若多了， 可能列出了不独立方程或新增加了一些未要求的未知量， 此时，尽量不要引入新的未知量，以简化计算。不要出 现局部1+局部2=3的问题。
6、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未 知数。力系中各力在每个坐标轴上投影的代数和分别等于零.两 坐标轴不一定要垂直。只要不平行即可。
只是平衡场是一个范围
（从例子说明）。
[例3.7] 已知： =30º，G =100N，f =0.2 求：①物体静止时，
水平力Q的平衡范围。②当水平力Q = 60N时，物体能否平衡？
30
解：①先求使物体不致于上滑的Qmax 图(1)
由 X 0, Qmax cos Gsin Fmax 0
临界状态有： =;
自锁条件为：
FR1 FN1
F1max
F2max
FR2
问题：
2. 夹紧装置如图。夹紧后OA水平，欲在P力除去
后工件不松，求偏心距e.
F0 直径 D
A O
e
工件
B
FA A O
FR
自锁条件： 1
tg=e/(d/2) tgf =f
得Co:se=(1f+df/22)-1/2
m=6 n=2 m=3n 静定结构
n=3 m=1+2+2+4=9 m=3n 静定结构
二、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体）
3. 破碎机轧辊D=500mm，匀速转动破碎球形物料。
f=0.3, 求能破碎的最大物料直径d。（物重不计）
d
D
D
512
二力平衡必共线。
FR 临界状态: tg=f
(D+d)cos/2=256
解得：d34mm
五考虑滑动摩擦时的平衡问题
考虑摩擦时的平衡问题，一般是对临界状态求解，这时可
列出 Fmax f N 的补充方程。其它解法与平面任意力系相同。
25
③自锁应用举例
摩擦系数的测定：OA绕O 轴转动使物块刚开始下滑时测出
角，f=tg, (该两种材料间静摩 擦系数)
tg
m
Fmax N
f N N
f
26
利用自锁条件，研究下述问题：
1. 木楔打入墙内，摩擦角为 ， 试问为多大时木楔打入后才不致 退出？
2.夹紧装置如图。夹紧后 OA水平，欲在力F0除去后工 件不松，求偏心距e.
解题技巧
1、解物系问题的一般方法：
由整体 局部（常用），由局部 整体（用较少） 2、由整体，把能求的力，当作已知力（不一定要求出具体 值），以便进一步分析局部时，列出其他所需的方程。
3、找二力杆，作突破口； 4、正确画出约束力（固定端-3个；铰支-2个；滑槽/辊轴-1个）。
5、受平面任意力系作用的静止（平衡）系统，能且只能 列3个独立方程，能且只能求解3个未知量。平面力偶系 只有1个独立方程。平面汇交或平行力系只有2个独立方 程。
E
注意： BE=AB；AE= 2 AB 可解得：
F2=......F1
A 45
B
60
F2 FD
3.2 含摩擦的平衡问题
前面我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之 间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都 存在有摩擦。 [例]
平衡必计摩擦
22
一、静滑动摩擦力
1、定义：相接触物体，产生相对滑动（趋势）时，其接触面 产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。 （ 就是接触面对物体作用的切向约束反力）
<3n 未完全约束 m =3n 静定问题
>3n 静不定问题
静不定的次数为：
k=m-3n
3n=3; m=4 一次静不定
3n=3; m=6 三次静不定
3n=3; m=4 一次静不定
讨论：试判断下列问题的静定性。
A
B
F2 F1 60
C
DA
Ｃ
M
B
A
C D
B
F
约束力数 m=8 物体数 n=3
m<3n 未完全约束
在图示平衡位置时F1、 F2之关系。 C
A 45
B
F2 F1 60
D
问题2: 三铰拱受力偶M作用，
不计拱的重量，求A、
B处的约束力。
A
b
c
Ｃ
M a
B
问题3：试求图示双跨梁A端
的约束力。
q
F
C
A
B
45
2a a a
问题1. 不计杆重，求连杆机构在图示平衡位置时
F1、 F2之关系。
ME(F)=F2AE-F1sin60BE=0
求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？
解：研究B
由 X 0
N SB sin 0
Y 0
P SB cos 0
SB
c
P
os
,
N P
tg
再研究轮
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
解物系问题的一般方法：
由整体
局部（常用），由局部
整体（用较少）
[例3.1] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？