第三章 三角函数与解三角形 第七节 正弦定理和余弦定理
第七节 正弦定理和余弦定理
课 前 ·双 基 落 实
课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
正弦定理和余弦定理 结 束
跟踪练习:
sin A a 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ＝ , sin B c (b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC 的形状为( A．直角三角形 C．等边三角形 )
正弦定理和余弦定理 结 束
课堂小结：
同学们这节课，你们收获了什么？
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B．等腰非等边三角形 D．钝角三角形
sin A a a a 解析：∵ ＝ ，∴b＝ c，∴b＝c． sin B c 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc， b2＋c2－a2 bc 1 ∴cos A＝ ＝ ＝ ． 2bc 2bc 2 π ∵A∈(0，π)，∴A＝ ，∴△ABC 是等边三角形． 3 答案：C
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正弦定理和余弦定理 结 束
考点一
利用正、余弦定理解三角形
例 1.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
sin A 3 cos A 0 , a 2 7 , b 2
(1)求角 A （2）求 c
2 (1) 3
c 2 a 2 b2 2ab cosC
内容
（R为 ABC 外接圆的半径）
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正弦定理和余弦定理 结 束
定理
正弦定理 cos cos cos
余弦定理
b2 c2 a 2 A＝__________ 2bc
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(2)由(1)得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C. 1 又 sin B＋sin C＝1，得 sin B＝sin C＝2. 因为 0° ＜B＜90° ，0° ＜C＜90° ，故 B＝C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
答案：A
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5．(2012· 苏北四市联考)在△ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc. (1)求角A的大小； (2)若sin B· sin C＝sin2A，试判断△ABC的形状．
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b2＋c2－a2 bc 1 解：(1)由已知得cos A＝ 2bc ＝2bc＝2， π 又∠A是△ABC的内角，∴A＝3. (2)由正弦定理，得bc＝a2， 又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc. ∴(b－c)2＝0，即b＝c.∴△ABC是等边三角形．
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1．(教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，a＝4 3，b＝4 2， 则 B＝ A．45° 或135° C．45° B．135° ( )
D．60° 4 3 4 2 解析：由正弦定理知sin 60° ＝sin B，
2 ∴sin B＝ 2 ，又a＞b，∴A＞B，∴B＝45° .
答案： C 返回
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1 解：因为cos 2C＝1－2sin2C＝－4，及0<C<π， 10 所以sin C＝ 4 . (2)当a＝2,2sin A＝sin C时， a c 由正弦定理sin A＝sin C，得c＝4. 1 由cos 2C＝2cos2C－1＝－4，
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6 及0<C<π得cos C＝± 4 . 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得b2± 6b－12＝0， 解得b＝ 6或2 6，
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考纲解读 1.利用正、余弦定理求解三角形的边、角或面积； 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状；
3.利用正、余弦定理解决四边形及三角形实际应用问题．
第三章
第七节 正弦定理和余弦定理
回顾教材·夯实基础 典例剖析·突破考点 真题感悟·体验考场
课时规范练
[基础梳理]
1．正弦定理
a sin
A＝sinb
B＝sinc C＝2R，其中 R 是△ABC 的外接圆半径．
正弦定理的常用变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
(2)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
第三章
第七节 正弦定理和余弦定理
考点二
考点三
课时规范练
(2)由 cos B＝1157得 sin B＝187， 故 S△ABC＝12acsin B＝147ac. 又 S△ABC＝2，则 ac＝127. 由余弦定理及 a＋c＝6 得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－
2ac(1＋cos B)＝36－2×127×1＋1157＝4. 所以 b＝2.
解析 答案
5．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)在△ABC 中，若 acos C＋ccos A ＝1，则 b＝____1______.
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考点一
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正、余弦定理的简单应用|方法突破
[例 1] (1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，
高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理课件文
2Rsin C； 变形形
cos A＝b2＋2cb2c－a2；
式(边角 sin A＝2aR，sin B＝2bR， 转化) sin C＝2cR；
cos B＝c2＋2ac2a－b2； cos C＝ a2＋b2－c2
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
2ab
2．三角形中常用的面积公式
(1)S＝12ah(h 表示边 a 上的高)；
3．在△ABC 中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝13，则△ABC 的面 积为________．
答案：4 3
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另 一边的对角时易忽视解的判断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式， 应移项提取公因式，以免漏解．
3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定 理对角的范围的限制．
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)∵S△ABC＝12absin C＝12asin C＝ 23，∴sin C＝ a3， ∵a＋1a＝4cos C，sin C＝ a3，∴14a＋1a2＋ a32＝1， 化简得(a2－7)2＝0，∴a＝ 7，从而 c＝ a2＋b2－2abcos C ＝ 72＋12－2× 7×1×277＝2．
[由题悟法] 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A， 一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦 定理进行边和角的转化．
[即时应用]
(2016·河北三市二联)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C
∴b＝c，∴bc＝1． 答案：1
[由题悟法] (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式， 要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时， 则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理 都有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是 确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具 有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理 进行判断．
三角函数与解三角形：正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理【考点梳理】1．正弦定理和余弦定理(1)S＝12a·h a(h a表示边a上的高)；(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．【考点突破】考点一、利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，∠BAC＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．[解析] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.又由正弦定理得sin B＝b sin∠BACa＝3310＝1010，由题设知0＜B＜π4，所以cos B＝1－sin 2B＝1－110＝31010.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sin Bsin(π－2B)＝6sin B2sin B cos B＝3cos B＝10.【类题通法】1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．【对点训练】1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B ＋sin C)＝(a－3c)sin A，则角B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°[答案]A[解析] 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.[答案] 2113[解析] 在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1×636535＝2113.考点二、判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形(2)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B ＜C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] (1)D (2)A[解析] (1)因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＜C ，可得C ＞π2，故三角形ABC 为钝角三角形，反之不成立．故选A. 【类题通法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能． 【对点训练】1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] 法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .2．在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形[答案] D[解析]根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D．考点三、与三角形面积有关的问题【例3】已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sinC.(1)若a＝b，求cos B；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．[解析] (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝ 2.所以△ABC的面积为12×2×2＝1.【类题通法】三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【对点训练】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．[解析] (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C，即2cos C sin(A＋B)＝sin C，故2sin C cos C＝sin C.可得cos C＝12，所以C＝π3.(2)由已知得12ab sin C＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2ab cos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.。
第七节 正弦定理和余弦定理
课前自修
2.已知△ABC 的内角 A，B，C 对边分别是 a，b，c，若 c＝ 2， b＝ 6，B＝120°，则 a＝（ A. 2 B.2 2 C. 3 D.2 3
A）
栏 目 链 接
解析：由余弦定理可知 b2＝a2＋c2－2accos B，即 6＝a2＋2＋ 2 a，即 a2＋ 2a－4＝0，故 a＝ 2(a＝－2 2舍去)，故选 A.
考点探究
考点1 用正弦定理求边、角
【例 1】 （1） （2014· 湖北卷）在△ABC 中，角 A，B，C 所对 的边分别为 a，b，c，已知 A＝ ，a＝1，b＝ 3，则 B＝ 6
π
.
（2）在△ABC 中，B＝60°，AC＝ 3，则△ABC 周长的最大 值为 .
栏 目 链 接
考点探究
点评：1.正弦定理的应用技巧： bsin A asin B asin C （1）求边：利用公式 a＝ ，b＝ ， c＝ 或其他 sin B sin A sin A 相应变形公式求解. asin B （2）求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 sin A＝ ， b bsin A csin A sin B＝ ，sin C＝ 或其他相应变形公式求解. a a a sin A b sin B c （3）相同的元素归到等号的一边：即 ＝ ， ＝ ， ＝ b sin B c sin C a sin C ，可应用这些公式解决边或角的比例关系问题 . sin A
课前自修
基 础 自 测
1.（2013· 湖南卷）在锐角 ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b. 若 2asin B＝ 3b，则角 A 等于（ A. C.
A） 栏 目 链 接
π
3 6 D.
B.
π
4
高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.7 正弦定理和余弦定理课件 文
三角函数、解三角形
第七节 正弦定理和余弦定理
考纲下载 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形 度量问题.
请注意
正弦定理和余弦定理是每年高考的必考内容，其考查题 型为选择题、填空题和解答题都有，选择、填空题主要考 查利用正弦定理和余弦定理解三角形以及三角形面积公式 的应用.解答题常与三角恒等变换结合，属解答题中的中档 题，在新课标中显得尤其重要.
A．3 2 1
B. 3 2 1
C. 3 2 1
D．2 3 1
解析：由题意知A＝2π，B＝π3，C＝π6. 由正弦定理知a b c＝sinA sinB sinC＝2
3 1，
故选D.
答案：D
(2)(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，若a＝ 3，sinB＝12，C＝6π，则b＝________.
bc
b2＋c2－a2 a2＋c2－b2
2R 2R sinA B C
2bc
2ac
a2＋b2－c2 2ab
【调研1】 (1)(2015·北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c
＝6，则ssiinn2CA＝________.
【解析】 在△ABC中，由余弦定理的推论可得cosA＝
b2＋c2－a2 2bc
＝
解析：在△ABC中，由sinB＝
1 2
，可得B＝
π 6
或B＝
5π 6
，结
合C＝π6可知B＝6π，从而A＝23π，利用正弦定理sianA＝sibnB，可
得b＝1.
答案：1
突破考点 02
利用正、余弦定理判断三角形的形状
（题点多变型——一题多变）
三角形中常见的结论 (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三 边．
高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形3.7正弦定理、余弦定理
【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.7 正弦定理、余弦定理1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：在△ABC 中，常有以下结论： (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sinA ＋B2＝cos C2；cos A ＋B2＝sin C2.(5)tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . (6)A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，三角形为钝角三角形．( × ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝2，b ＝233，则B等于( ) A.π3B.5π6C.π6或5π6 D.π6答案 D解析 ∵A ＝120°，a ＝2，b ＝233，∴由正弦定理a sin A ＝bsin B 可得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝120°，∴B ＝30°，即B ＝π6.2．(2015·北京)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.答案 1解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1.3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则边a ＝________；△ABC 的面积等于________． 答案6＋ 2 1＋ 3解析 A ＝π－B －C ＝7π12，sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝32×22＋12×22＝64＋24.由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，即asin 7π12＝2sinπ6，解得a ＝6＋2， ∴△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×(6＋2)×2×22＝3＋1. 4．(教材改编)△ABC 中，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________三角形． 答案 直角三角形解析 由已知得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ， ∴sin A ＝sin 2A ，又sin A ≠0，∴sin A ＝1，A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．5．(2015·杭州二中高中第二次月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0，则角B ＝________.答案π3解析 由正弦定理知，sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0. ∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 代入上式得3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0. ∵sin C ＞0，∴3sin B －cos B －1＝0，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________．(3)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________. 答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个．(2)由题意知a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 又c 2＝b 2＋2bc ， ∴cos A ＝22，A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°.(3)因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1.思维升华 (1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．(1)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2B ．x ＜2C ．2＜x ＜2 2D ．2＜x ＜2 3(2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． 答案 (1)C (2)1解析 (1)若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2，又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×22＜1，可得x ＜22，∴x 的取值范围是2＜x ＜2 2. (2)∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3， 设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1.题型二 和三角形面积有关的问题例2 (2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos 2B ＝sin 2C .① 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－C ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－2C＝sin 2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2. (2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝255，cos C ＝55，因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ， 所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．(2015·天津七校4月联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝3b sin A －a cos B .(1)求角B ；(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .解 (1)由a ＝3b sin A －a cos B 及正弦定理，得sin A ＝3sin B ·sin A －sin A ·cos B ， ∵0<A <π，∴sin A >0，∴3sin B －cos B ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12.又∵0<B <π，∴－π6<B －π6<5π6，∴B ＝π3.(2)∵S ＝12ac sin B ＝3，∴ac ＝4，①又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2＝8.② 由①②联立解得a ＝c ＝2.题型三 正弦、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b<cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 (1)A (2)B解析 (1)已知c b <cos A ，由正弦定理，得sin Csin B<cos A ，即sin C <sin B cos A ，所以sin(A＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sinA >0，于是有cosB <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(2)∵cos 2B 2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c 2c ， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2， ∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形． 命题点2 求解几何计算问题例4 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ， ∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a－b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为______．答案 (1)D (2) 3解析 (1)∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴s in A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ， ∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，∴△ABC 为等腰或直角三角形．(2)sin∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos∠BAD ，∴cos∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.二审结论会转换典例 (14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．规范解答解 (1)△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ，[2分] 又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64.[7分] (2)在△ABC 中，由cos A ＝64， 可得sin A ＝104.[9分] 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[12分] 所以，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A cos π6＋sin 2A sin π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×32＋154×12＝15－38.[14分] 温馨提醒 (1)本题将正弦定理、余弦定理和和差公式综合进行考查，具有一定的综合性，要求考生对公式要熟练记忆；通过审题理清解题方向．(2)本题还考查考生的基本运算求解能力，要求计算准确无误，尽量简化计算过程，减少错误．[方法与技巧]1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要只含角或只含边． [失误与防范]1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，cos A ＝13，则B 等于( )A.π4 B.π3C.π6D.2π3答案 A解析 因为cos A ＝13，所以sin A ＝1－19＝223， 由正弦定理，得4sin A ＝3sin B ，所以sin B ＝22， 又因为b ＜a ，所以B ＜π2，B ＝π4，故选A.2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C 等于( ) A.2π3B.π3C.3π4D.5π6答案 A解析 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cosC ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3. 3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件sin A ∶sinB ∶sinC ＝5∶11∶13，可设a ＝5x ，b ＝11x ，c ＝13x (x ＞0)．则cos C ＝x2＋x 2－x22·5x ·11x＝－23x 2110x2＜0， ∴C 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3B.932C.332D ．3 3答案 C解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B 等于( ) A.π6B.π4C.π3D.3π4答案 C解析 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝ac ＋b， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝sin B cos C ，则B ＝______.若A ＝π6，则ac ＝________.答案π2 33解析 由sin A ＝sin B cos C ，得sin(B ＋C )＝sin B cos C ，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ，得cos B sin C ＝0，显然sin C ≠0， ∴cos B ＝0，∴B ＝π2.若A ＝π6，则C ＝π－A －B ＝π3.由正弦定理，得a c ＝sin A sin C ＝1232＝33.7．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52， 由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8. 8．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________． 答案3解析 由正弦定理，可得(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c . ∵a ＝2，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴si n A ＝32. 由b 2＋c 2－bc ＝4，得b 2＋c 2＝4＋bc . ∵b 2＋c 2≥2bc ，即4＋bc ≥2bc ，∴bc ≤4. ∴S △ABC ＝12bc ·sin A ≤3，即(S △ABC )max ＝ 3.9．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且b (cos A －3cos C )＝(3c －a )cosB .(1)求sin A sin C的值；(2)若cos B ＝16，且△ABC 的周长为14，求b 的值．解 (1)由正弦定理得到：sin B cos A ＋sin A cos B ＝3(sin B cos C ＋cos B sin C )， 即sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )，由三角形内角和为π，得到：sin C ＝3sin A ⇒sin A sin C ＝13. (2)由sin A sin C ＝13可得：a c ＝13⇒c ＝3a ，△ABC 的周长a ＋b ＋c ＝14⇒b ＝14－4a ，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16，解得a ＝2(a ＝14舍去)，则b ＝6.10．(2015·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69，ac ＝23， 求sin A 和c 的值． 解 在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69.因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角． 所以cos C ＝539.因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223. 由a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c sin Asin C ＝223c 69＝23c ， 又ac ＝23，所以c ＝1.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝c ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B 知7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 12．若△ABC 中，若3cos 2A －B2＋5cos 2C2＝4，则tan C 的最大值为( )A ．－34B ．－43C ．－24D ．－2 2答案 B解析 由条件得3×A －B ＋12＋5×cos C ＋12＝4，即3cos(A －B )＋5cos C ＝0，所以3cos(A －B )－5cos(A ＋B )＝0，所以3cos A cos B ＋3sin A sin B －5cos A cos B ＋5sin A sin B ＝0，即cos A cos B ＝4sin A sin B ，所以tan A tan B ＝14，tan A ＋tan B ≥2tan A tan B ＝1.又tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－43(tan A ＋tan B )≤－43，故选B.13．(2015·重庆)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________.答案 6解析 由正弦定理得ABsin∠ADB ＝AD sin B ，即2sin∠ADB ＝3sin 120°，解得sin∠ADB ＝22，所以∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2×sin 120°sin 30°＝ 6.14．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sinB ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ， 得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2 C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2， 即sin B ＝1＋cos C ， 则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin(5π6－C )＝1＋cos C ，化简得cos(C ＋π3)＝－1，解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a2)2－2b ·a2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。
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变式探究
1．(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝ b＝ A. 6 ，B＝120°，则 a等于 2 6 B．2 ( C. 3 ) D. 2 ，
(2)在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的
边，且a＝4，b＝4 ，∠A＝30°，则∠B等于 3 ( A．30° C．60° )
考点四
求三角形的面积
【例 4】 (2012· 衡阳八中月考)在△ABC 中， a， b， c 是角 A， cos B b B，C 的对边，且 ＝－ . cos C 2a＋c (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝2 3，求△ABC 面积的最大值．
则△ABC周长的最大值为________.
解析：(1)由题意知，在 Rt△BCE 中，EB＝EA＋AB＝2， EC ＝ EB2＋BC2 ＝ 4＋1 ＝ 5 ， 在 △EDC 中 ， ∠EDC ＝ π π 3π ∠EDA＋∠ADC＝ ＋ ＝ ， 4 2 4 sin ∠CED DC 1 5 由正弦定理得 ＝ CE ＝ ＝ ， 所以 sin ∠CED 5 sin ∠EDC 5 5 5 3π 10 ＝ · sin ∠EDC＝ · sin ＝ .故选 B. 5 5 4 10 3 (2)由正弦定理知 2R＝ ，∴R＝1.∴△ABC 周长为 sin 60° l ＝ 2sin A＋ 2sin C＋ 3 ＝ 2sin A＋ 2sin(120° － A) ＋ 3 ＝ 2 3 ＋ 3≤3 3. A ＋ 30° sin 答案：(1)B (2)3 3
变式探究
2． (1)如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍， 那么它的顶角的 余弦值为 A.
5 18
( B.
3 4
)
C.
3 2
D.
7 8
(2)(2011· 广州市一模)△ABC 的三个内角 A，B，C 所对边的
长分别为 a，b，c，已知 c＝3，C＝ ，a＝2b，则 b 的值为
3
______．
考 点 探 究
考点一
用正弦定理求边、角 (1)(2012· 四川卷)如图，正方形ABCD的边长为1， )
【例1】
延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin ∠CED＝(
3 10 A. 10 10 B. 10
C.
5 10
D.
5 15
(2) (2012· 泉州市质检)在△ABC中，B＝60°，
在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是 a，b，c，已知c＝2，C＝ .
3
【例3】
(1)若△ABC的面积等于 3 ，求a，b；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．
a2＋b2－4 1 解析：(1)由余弦定理及已知条件得， ＝ ，即 a2 2ab 2 ＋b2－ab＝4， 1 又因为△ABC 的面积等于 3，所以 absin C＝ 3，得 ab＝ 2 4.
3
A. 3
B．2
C. 7
D．7
3
(2)(2012· 日照市模拟)在△ABC中，已知内角A＝
，边BC＝
2 3，则△ABC的面积S的最大值为____________．
π 解析： (1)∵sin A:sin C＝3:1， 由正弦定理得 a＝3c， 又 B＝ ， 3 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B＝7c2，∴b:c＝ 7.故选 C. π 2 2 2 (2)由余弦定理得 (2 3) ＝AB ＋AC －2AB· ACcos ＝AB2＋ 3 AC2－AB· AC， ∴12 ＋ AB· AC ＝ AB2 ＋ AC2≥2AB· AC ， 得 1 π AB· AC≤12.∴△ABC 的面积 S＝ AB· ACsin ≤3 3，即最 2 3 大值为 3 3. 答案：(1) C (2)3 3
2．(2012· 陕西卷)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，
b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为
A.
3 2
(
1 2
2
)
B.
2 2
C.
1 2
D．－
2
1 2 2 a ＋ b － a ＋ b 2 2 2 a ＋b －c 2 解析： 由余弦定理知， cos C＝ ＝ ＝ 2ab 2ab a2＋b2 2ab 1 1 ≥ ＝ ，∴cos C 的最小值为 .故选 C. 4ab 4ab 2 2 答案：C
3．(2012· 江门市调研)在△ABC中，若A＝75°，B＝45°，
AB＝6，则AC＝________.
AC AB 解析：由已知得 C＝60° ，由正弦定理 ＝ ，得 AC＝ sin B sin C ABsin B 6sin 45° ＝ ＝2 6. sin C sin 60° 答案：2 6
4．(2012· 衡阳市模拟)在锐角三角形ABC中，BC＝1，∠B＝
AC 2∠A，则 cos A 等于______，AC的取值范围为__________．
解析：设∠A＝θ⇒∠B＝2θ.由正弦定理得 AC BC AC AC ＝ ，∴ ＝1⇒ ＝2. sin 2θ sin θ 2 cos θ cos θ 由锐角三角形 ABC 得 0° ＜2θ＜90° ⇒0° ＜θ＜45° ， 2 又 0° ＜180° －3θ＜90° ⇒30° ＜θ＜60° ，故 30° ＜θ＜45° ⇒ ＜ 2 3 cos θ＜ ， 2 ∴AC＝2 cos θ∈( 2， 3)． 答案：2 ( 2， 3)
第三章
三角函数与解三角形
第七节 正弦定理和余弦定理
考 纲 要 求
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形 度量问题．
课 前 自 修
知识梳理
一、三角形中的各种关系
设△ABC的三边为a，b，c，对应的三个角为A，B，C. A＋B＋C ＝ π 1．三内角的关系：________________.
内角，用余弦定理来求．
解析：(1)由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得 a2＋b2－c2 a2＋b2－c2 －ab 1 ＝－ab，根据余弦定理 cos C＝ ＝ ＝－ .又 2ab 2ab 2 2π 因为角 C 为△ABC 的内角，故 C＝ . 3 a2＋c2－b2 (2)在△ABC 中，利用余弦定理 cos B＝ ， 2ac 1 4＋c＋bc－b 4＋7c－b 即－ ＝ ＝ ，化简得 8c－7b＋4 4 4c 4c ＝0，与题目条件 b＋c＝7 联立，可解得 b＝4，c＝3. 2π 答案：(1) 3 (2)4
a ＋ b > c，b ＋ c > a，c ＋ a > b， 2．边与边关系：_________________________________ a－b < c，b－c < a，c－a < b． _____________________________. 3．边与角关系： a b c ＝ ＝ (1)正弦定理：____________________ sin A sin B sin C ＝2R.
c2 ＝ a2＋b2－2abcos C， (2)余弦定理：__________________________________
__________________________________________. b2 ＝ a2＋c2－2accos B，a2 ＝ b2＋c2－2bccos A 它们的变式有：cos cos
B．30°或150° D．60°或120°
6 2 1 解析： (1)由正弦定理 ＝ ⇒sin C＝ ， ∵0° <C<180° ， sin 120° sin C 2 但 B＝120° ，∴0° <C<60° ，于是 C＝30° ⇒A＝30° ⇒a＝c＝ 2. 故选 D. a b bsin A 4 3sin 30° (2)由正弦定理得 ＝ ⇒sin B＝ a ＝ ＝ sin A sin B 4 3 ， 2 ∵0° <B<180° ， ∴B＝60° 或 120° .故选 D. 答案：(1)D (2)D
三、三角形度量问题
求边、角、面积、周长及有关圆半径等.
条件 角角边 正弦 定理 边边角 正弦定理或 余弦定理 边边边 余弦 定理 边角边 余弦 定理
适用定理
其中“边边角”(abA)类型利用正弦定理求角时应判定三 角形的个数： A<90° a<b a>bsin A a＝bsin A A≥90° a<bsin A a>b a≤b
a2＋b2－c2 C＝________. 2ab
b2＋c2－a2 A＝________ ，cos 2bc
a2＋c2－b2 B＝________ ， 2ac
1 1 1 1 ah ＝ ab sin C ＝ ac sin B ＝ bcsin A (3)常用三角形面积公式：S△＝________________. 2 a 2 2 2
二、关于三角形内角的常用三角恒等式 由 A＋B＋C＝π，知 A＝π－(B＋C)可得出
cos(B＋C) sin(B＋C) ，cos A＝－ sin A＝__________ ___________.
A π B＋C A cosB＋C A sinB＋C 而 ＝ － ，有 sin ＝______ 2 ，cos 2 ＝______. 2 2 2 2 2
考点二
用余弦定理求边、角
(1)(2012· 湖北卷)设△ABC的内角A，B，C所对的
【例2】
边分别为a，b，c. 若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.
(2)(2012· 北京卷)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝
1 － ，则b＝________. 4
思路点拨：已知两边及其夹角，求第三边或已知三边求其
a≥b
一解
两解
一解
无解
一解
无解
四、判断三角形的形状特征，必须深入地研究边、角间的